Secciones cónicas y superficies cuadráticas variando los parámetros de la
ecuación general de segundo grado con el uso de GeoGebra
H. Cárdenas1, L. Peña2
1UniversidadPedagógica y Tecnológica de Colombia: Carrera18 con Calle 22, Duitama, Colombia,
(8)7604100, herberth.cardenas@uptc.edu.co
2Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia: Avenida Central del Norte 39-115, Tunja, Colombia,
(8)7405626, lauragivelly.pena@uptc.edu.co Resumen.
Se presenta una experiencia de aula en donde se ha utilizado el programa GeoGebra, con el fin de apoyar la enseñanza y el aprendizaje de las secciones cónicas y de las superficies cuadráticas, con estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Ajustando los parámetros de la ecuación general de segundo grado en dos y tres variables, es posible comprobar las condiciones que deben cumplir los coeficientes para visualizar las secciones cónicas y las superficies cuadráticas respectivamente. Además, para el caso de las secciones cónicas, el estudiante las puede identificar, al intersectar con un plano, un cono, en diferentes ángulos.
Palabras clave: secciones cónicas, superficies cuadráticas, ajuste de parámetros, GeoGebra.
Abstract.
We present a classroom experience in which the GeoGebra program has been used in order to support the teaching and learning of conic sections and quadratic surfaces, with students of Mathematics Degree from the Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. By adjusting the parameters of the second-degree general equation in two and three variables, it is possible to check the conditions that the coefficients must meet in order to visualize the conic sections and the quadratic surfaces respectively. In addition, in the case of conic sections, the student can identify them, intersecting with a plane, a cone, at different angles.
Keywords: conic sections, quadratic surfaces, parameter setting, GeoGebra.
1. Introducción
Se han definido las secciones cónicas como las curvas de intersección de un plano con un cono [1]. Cambiando el ángulo y el lugar de intersección se pueden generar una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Si el plano de intersección pasa por el vértice se generan dos rectas que se cortan. Sin embargo, usualmente esta identificación de las cónicas es apenas visual y no se comprueba que, desde las ecuaciones, correspondan a una de las cuatro curvas arriba mencionadas.
Todas las ecuaciones de las secciones cónicas se pueden escribir a partir de la ecuación general de segundo grado en dos variables [2]
𝐴𝑥2+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, (1) en donde el parámetro 𝐵, de la ecuación (1) rota las curvas con respecto a los ejes coordenados cuando es diferente de cero.
De manera similar las ecuaciones de las superficies cuadráticas se pueden escribir a partir de la ecuación general de segundo grado en tres variables [3]
𝐴𝑥2+ 𝐵𝑦2+ 𝐶𝑧2+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹𝑧 + 𝐺 = 0. (2)
En la ecuación (2) se han omitido los términos 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧 de modo que los ejes de las superficies no roten.
Tanto las secciones cónicas como las superficies cuadráticas se diferencian únicamente de acuerdo con los valores que tomen los coeficientes 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 y 𝐺.
GeoGebra es una aplicación, que, aunque fue inicialmente diseñada para su uso en geometría plana, permite con sus recientes actualizaciones [4], mostrar de una manera adecuada el comportamiento de las secciones cónicas y de las superficies cuadráticas mediante la variación de parámetros usando deslizadores. El programa permite graficar rectas y planos en el espacio, funciones de dos variables, superficies cuadráticas con sus trazas y curvas de nivel, gradientes, derivadas direccionales y puntos críticos; con la posibilidad de rotar, desplazar, alejar y/o acercar la vista gráfica. Esto facilita al estudiante la visualización de los elementos, anteriormente mencionados, en una forma dinámica y exacta.
2. Metodología
2.1. Variación de los parámetros en la ecuación de segundo grado en dos dimensiones
Antes de introducir la ecuación de segundo grado en la entrada algebraica, se crean deslizadores para cada uno de los coeficientes de la ecuación (1), con incrementos de 0.01 y un rango entre -20 y 20. Ajustando manualmente los valores de los parámetros, con 𝐵 = 0 los estudiantes han podido comprobar las restricciones que diferencian a cada una de las secciones cónicas [2] (Ver Figura 1). Esto permitió además dar respuesta a algunas preguntas teóricas que se hicieron a los estudiantes como:
1. ¿Qué condiciones pueden darse en los valores de los coeficientes para que: a) no exista lugar geométrico?
b) el lugar geométrico sean dos rectas paralelas o una única recta? c) se visualice tan solo un punto?
2. ¿Cómo se podría deducir una ecuación para el coeficiente 𝐹 de la ecuación (1), en términos de los demás coeficientes de manera que el lugar geométrico corresponda a dos rectas intersecantes?
Figura 1. Variación de los parámetros en la ecuación de segundo grado en dos dimensiones.
2.2. Intersección de planos con un cono circular recto
En esta aplicación, se requieren simultáneamente las vistas algebraicas en dos y tres dimensiones del programa. Se grafica un cono circular recto con la ecuación
𝑧2 25= 𝑥2 16+ 𝑦2 16 (3)
En la vista 2D se crea el deslizador 𝑘, con incrementos de 1 y un rango entre -10 y 10, que permite la traslación de los planos cortantes. Para el caso de la circunferencia se usan planos cortantes de la forma 𝑧 = 𝑘 (Figura 2 a); para las elipses planos de la forma 𝑧 = 0.7𝑥 + 𝑘
(Figura 2 b); para la parábola planos de la forma 5𝑥 − 4𝑧 + 𝑘 = 0 (Figura 2 c) y para las hipérbolas planos de la forma 𝑥 = 𝑘 (Figura 2 d).
Para generalizar el tipo de sección cónica con base en el ángulo de inclinación del plano cortante con respecto al plano 𝑋𝑌, se crea el deslizador α con un incremento de 1º y un rango entre 0º y 360º. La ecuación del plano cortante es de la forma 𝑧 = tan𝛼𝑥 + 2.
Por facilidad se ha utilizado la ecuación del cono
𝑧2 = 𝑥2+ 𝑦2,
(4) en el que la generatriz forma un ángulo de 45º con respecto al plano 𝑋𝑌.
De este modo, el estudiante puede diferenciar los valores entre 0º y 90º para los cuales el plano cortante genera las secciones cónicas (Ver Figura 3). En la ponencia “Obtención de las ecuaciones de las cónicas mediante la intersección de un cono de luz” [5] se mostró la manera de encontrar las ecuaciones y representaciones de las secciones cónicas utilizando un cono de luz.
Figura 2. Intersección de planos con un cono circular recto
a) Circunferencia
b) Elipse
c) Parábola
d) Hipérbola
2.3. Variación de los parámetros en la ecuación de segundo grado en tres dimensiones
Al proceder del mismo modo que en el numeral 2.1, pero usando la ecuación de segundo grado en tres variables, es posible visualizar las superficies cuadráticas (Ver figura 4). De manera similar al caso de dos dimensiones, es posible preguntar al estudiante sobre las condiciones que deben satisfacer los coeficientes de la ecuación (2) para que el lugar geométrico corresponda a una superficie cuadrática determinada. De manera análoga al caso de dos dimensiones, se puede cuestionar sobre los valores de los parámetros para que se den condiciones como: no hay lugar geométrico, el lugar geométrico corresponde a dos planos paralelos o intersecantes, a un único plano o a cilindros cuadráticos.
Figura 4. Variación de los parámetros en la ecuación de segundo grado en tres dimensiones
3. Resultados y discusión
Este trabajo se desarrolla con estudiantes de cuarto semestre de Licenciatura en Matemáticas, quienes ya han tomado los cursos de Geometría Analítica Bidimensional y
Tridimensional con escaso uso de la tecnología. Esta forma de visualizar las secciones cónicas y superficies cuadráticas, genera gran interés y motivación por parte de los estudiantes, lo que permite que el proceso de generalización que se pretende, sea logrado.
Al preguntar a los estudiantes por experiencias previas en las que hubiera estado presente el uso del GeoGebra, se constató que en particular no se habían usado deslizadores. Por lo mismo, la aplicación de menor complejidad “Variación de los parámetros en la ecuación de segundo grado en dos dimensiones”, conlleva más tiempo en su realización (Ver Figura 5 a). La animación simultánea de los deslizadores, genera un buen ambiente y disposición para contestar a las preguntas arriba mencionadas. Las respuestas a las mismas, fueron posibles no solo con la manipulación individual de los deslizadores, sino a partir de ejemplos concretos para los coeficientes, que se iban colocando en conocimiento del grupo.
La variación del parámetro 𝐵 de la ecuación (1) con el uso de la herramienta virtual, en este caso GeoGebra ayuda a reconocer o comprobar que este parámetro está asociado con la rotación de las secciones cónicas.
En la sesión en la que se trabajó la aplicación “Intersección de planos con un cono circular recto”, dado que se requieren la vista algebraica en dos y tres dimensiones del programa, se presentan algunas dificultades en la identificación de las vistas (Ver Figura 5 b), puesto que se debía manipular de una manera adecuada herramientas tales como el zoom. El ambiente gráfico 3D genera mayor interés, cuando es posible en programas que, como GeoGebra, permiten rotación, traslación acercar y/o alejar (Ver Figura 5 c).
Es el programa el que en este caso permite determinar, que, para visualizar una sola recta discutida en la sesión de clase arriba mencionada, el plano cortante debe tener la misma inclinación que la recta generatriz del cono (Ver Figura 5 d).
Esta estrategia metodológica ayuda a verificar cómo a partir de la ecuación general del plano
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0, (5)
puede darse su traslación y su rotación [6] (Ver Figura 5 e).
Los estudiantes muestran gran participación y agrado por estos ambientes virtuales, que se evidencia en la personalización de los objetos conos, planos, deslizadores y curvas en diferentes colores (Ver Figura 5 f).
Finalmente, en la aplicación “Variación de los parámetros en la ecuación de segundo grado en tres dimensiones” con toda la experiencia previa, fue evidente que ahora se entienden las superficies cuadráticas como una generalización de las secciones cónicas en el espacio.
Se aprecia mayor agilidad en el uso de la aplicación, aunque aún está en desarrollo la determinación individual de las condiciones de los coeficientes, con el objeto de mostrar, además de las superficies cuadráticas, situaciones como: planos paralelos o intersecantes, un único plano, cilindros cuadráticos o ningún lugar geométrico.
a) b)
c) d)
e) f)
4. Conclusiones y trabajos futuros
Esta estrategia metodológica facilita el análisis de las condiciones que deben cumplir los coeficientes de la ecuación general de segundo grado, en dos y tres dimensiones, para visualizar las secciones cónicas y las superficies cuadráticas respectivamente.
GeoGebra es una herramienta computacional de fácil uso y acceso que permite comprobar la definición de las ecuaciones de las secciones cónicas como la intersección de un cono con un plano, no sólo como una simple descripción gráfica, sino por medio de la estructura de las ecuaciones.
Esta propuesta es parte del trabajo de grado de Maestría en Educación Matemática titulado “Un material educativo virtual como apoyo al estudio de superficies cuadráticas” y se pretende incorporar dentro de su estructura, como una estrategia que facilite el estudio de las temáticas ya mencionadas, apoyado en experimentos y en el uso del software libre GeoGebra.
El método puede ser aplicado con estudiantes de geometría analítica bidimensional, geometría analítica tridimensional y con estudiantes de cálculo multivariado a nivel universitario.
Es posible también, a partir de las ecuaciones de las ecuaciones de las secciones cónicas, encontrar la ecuación del cono; sin embargo, esto no se ha resuelto en este trabajo.
A corto plazo, se plantea como alternativa en el estudio de las trazas de las superficies cuadráticas, tomar fotografías de objetos reales cuya forma se aproxime a tales superficies, cortando los objetos con agua a diferente nivel.
Referencias
[1] J. Stewart, W. Redlin. Precáculo. Matemáticas para el cálculo, 2012. [2] C. Lehmann. Geometría Analítica. México: Limusa, 1996
[3] J. Stewart. Cálculo Trascendentes Tempranas. México: Thomson, 2002
[4] I. Institute, Geogebra Online. https://www.geogebra.org/material/show/id/124609, 2017. [5] H. Cárdenas, L. Peña. Obtención de las ecuaciones de las cónicas mediante la intersección de un cono de luz. VII Simposio de Matemáticas y Educación Matemática y VI Congreso Internacional de Matemática Asistida por Computador, 2017
