3.1 Ecuaciones a diferencias con coeficientes constantes

PRELIMINAR

3.1

Ecuaciones a diferencias con coe

fi

cientes constantes

Hasta ahora se han estudiado los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, y se los ha caracterizado en funci´on de su respuesta impulsiva h[n]. Existe otra familia de sistemas en los cuales la entradax[n] y la saliday[n] satisfacen una ecuaci´on a diferencias lineal de orden N con coeficientes constantes,

N X k=0 aky[n−k] = M X k=0 bkx[n−k]. (3.1)

Los siguientes ejemplo muestran algunos de los sistemas lineales estudiados, que pueden ser expresados de esta manera.

Fig. 3.1: Diagrama bloque de una ecuaci´on a diferencias recursivas que representa un sistema acumulador.

Ejemplo 1 Representaci´on del acumulador usando ecuaciones a diferencias.

Un ejemplo de la clase de sistemas representados por ecuaciones a diferencias lineales con coeficientes constantes es el acumulador, definido por

y[n] = n X k=−∞

x[k]. (3.2)

Para mostrar que este sistema puede expresarse en la forma de la ecuaci´on a diferencias (3.1), se explicita la salida para el instanten₋1

y[n₋1] = n−1

X k=−∞

x[k] (3.3)

Separando el t´ermino x[n] de la suma (3.2), y[n] =x[n] + n−1 X k=−∞ x[k]. (3.4) Reemplazando (3.3) en (3.4), se obtiene y[n] =x[n] +y[n₋1], (3.5) que puede llevarse a la forma propuesta para la ecuaci´on a diferencias (3.1) escribiendo

y[n]₋y[n₋1] =x[n].

Se observa entonces que el acumulador representado por la relaci´on (3.2) tambi´en puede escribirse en la forma de una ecuaci´on a diferencias lineal a coeficientes constantes (3.1) conN= 1, a0= 1,

PRELIMINAR

Fig. 3.2: Diagrama bloque de la implementaci´on recursiva del promediador causal. La ecuaci´on (3.5) nos da una idea de c´omo implementar el sistema acumulador. De acuerdo con (3.5), para calcular el valor de la salida en el instante n, es necesario sumar el valor actual de la entrada con el valor de la muestra pasada de la salida, que se repre-senta en el diagrama bloque de la Fig. 3.1. La ecuaci´on (3.5) y el diagrama bloque de la Fig. 3.1 se denominan representaci´on recursiva del sistema, ya que cada valor se calcula en base a valores calculados previamente. Esta noci´on ser´a explorada detalladamente en las pr´oximas secciones.

Ejemplo 2 Representaci´on en ecuaci´on a diferencias de un sistema promediador Hemos visto que el promediador causal tiene respuesta impulsiva

h[n] = 1 M2+ 1 (u[n]₋u[n₋M2−1]), de donde y[n] = 1 M2+ 1 M2 X k=0 x[n₋k], (3.6)

que es un caso especial de la ecuaci´on (3.1) conN = 0, a0= 1, M =M2 ybk= 1/(M2+ 1)para

0_≤k_≤M2.

La respuesta impulsiva tambi´en puede expresarse como

h[n] = 1

M2+ 1

(δ[n]₋δ[n₋M2−1])∗u[n],

que sugiere que el promediador causal puede representarse como la cascada de dos sistemas que se muestra en la Fig. 3.2. La ecuaci´on a diferencias para esta sistema puede escribirse notando primeramente que

x1[n] =

1 M2+ 1

(x[n]₋x[n₋M2−1]).

De acuerdo a la ecuaci´on (3.5) del Ejemplo 1, la salida del acumulador satisface la ecuaci´on a diferencias y[n]₋y[n₋1] =x1[n] de modo que y[n]₋y[n₋1] = 1 M2+ 1 (x[n]₋x[n₋M2−1]).

De esta forma podemos expresar el promediador causal nuevamente en la forma de una ecuaci´on a diferencias lineales con coeficientes constantes (3.1) donde N = 1, a0= 1, a1 =−1, M =M2,y

b0=−bM2+1= 1/(M2+ 1), y el resto de losbk = 0,1≤k≤M2,que es distinta de (3.6). En el ejemplo 2 se mostraron dos ecuaciones a diferencias distintas que representan el mismo sistema discreto. M´as adelante veremos que existe un n´umero ilimitado de representar una relaci´on entrada-salida que sea lineal e invariante en el tiempo.

PRELIMINAR

Los sistemas descriptos por las ecuaciones a diferencias lineales con coeficientes cons-tantes (3.1) son una subclase de los sistemas recursivos/no recursivos comentados prece-dentemente, y bajo ciertas condiciones, permiten representar a su vez sistemas lineales e invariantes en el tiempo. El siguiente ejemplo permite introducir las ideas m´as importan-tes.

Ejemplo 3 Un sistema recursivo simple est´a descripto por la ecuaci´on a diferencias

y[n] =ay[n₋1] +x[n], (3.7) donde a es una constante, que permite calcular la salida actual del sistema y[n] en funci´on de la entrada actualx[n]y la salida pasaday[n₋1].El sistema se excita con una entradax[n]supuesta nula paran <0,es decir, que escausal,y se supone conocida la saliday[₋1]en el instante previo al cual la entrada deja de ser nula. A partir de estos datos, se puede resolver la ecuaci´on (3.7) y calcular expl´ıcitamente la salida del sistema; observe que la ecuaci´on (3.7) describe la salida de formaimpl´ıcita. Evaluando los valores sucesivos dey[n]paran_≥0,se tiene

y[0] = ay[₋1] +x[0] y[1] = ay[0] +x[1] =a2y[₋1] +ax[0] +x[1] y[2] = ay[1] +x[2] =a3y[₋1] +a2x[0] +ax[1] +x[2] .. . y[n] = ay[n₋1] +x[n] = an+1y[₋1] +anx[0] +an−1x[1] +_{· · ·}+ax[n₋1] +x[n] o, en forma m´as compacta, y[n] =an+1y[₋1] + n X k=0 akx[n₋k], n_≥0. (3.8)

Para calcular la salida paran <0,es conveniente reescribir (3.7). Despejandoy[n₋1],se tiene y[n₋1] = 1

ay[n]− 1 ax[n].

Repitiendo el procedimiento anterior, pero para los n negativos, y recordando que x[n] = 0 para n <0, y[₋1] = c y[₋2] = 1 ay[−1]− 1 ax[−1] =a −1_y[ −1] y[₋3] = 1 ay[−2]− 1 ax[−2] =a −2_y[ −1] .. . y[n] = an+1y[₋1], n <0. (3.9)

Observe que las expresiones (3.8) y (3.9) pueden combinarse en una ´unica ecuaci´on y[n] =an+1y[₋1] +

n X k=0

akx[n₋k], _−∞< n <_∞, (3.10)

PRELIMINAR

La respuestay[n] del sistema (3.7) consta de dos partes, como se aprecia en (3.10). La primera parte,que contiene al t´ermino y[₋1], es el resultado de las condiciones iniciales del sistema. La segunda parte, donde interviene la sumatoria, es la respuesta del sistema debida a la se˜nal de entradax[n].

Si el sistema se encuentra inicialmente (para n= 0) en reposo, cuando la entrada es nula, su memoria (es decir, la salida debida al retardo) debiera ser nula. Por lo tanto, y[n₋1] = 0.De modo que un sistema recursivo est´a en reposo si sus condiciones iniciales son nulas. En este caso, la salida del sistema se debe ´unicamente a la se˜nal de entrada, y esta salida se denomina respuesta forzada yf[n] del sistema. Es evidente que, en este

caso, la respuesta forzada est´a dada por yf[n] =

n

X

k=0

akx[n₋k], n_≥0. (3.11)

Es interesante notar que (3.11) es una suma de convoluci´on que involucra la se˜nal de entrada x[n] y una respuesta impulsiva

h[n] =anu[n]. (3.12)

Se observa tambi´en que el sistema descripto por la ecuaci´on (3.7) es causal: su salida depende s´olo de la entrada actual y de valores pasados de la salida. Es coincidente entonces que el l´ımite inferior de la suma de convoluci´on que define la soluci´on forzada en (3.11) sea k= 0.Adem´as, como se supuso quex[n] = 0 paran <0 (entrada causal) el l´ımite superior de la suma convoluci´on esk=n,puesx[n₋k] = 0 sik > n.Note que la respuesta depende no s´olo del sistema, sino tambi´en de la se˜nal de entrada, como muestra la ecuaci´on (3.11), lo que justifica que esa soluci´on se denomine soluci´on forzada.

En s´ıntesis, el sistema descripto por la ecuaci´on a diferencias lineal de primer con coeficientes constantes (3.7) es un sistema lineal, invariante en el tiempo, tipo IIR, con respuesta impulsiva (3.12), al menos en este caso en que se consideran nulas las condiciones iniciales.

Supongamos ahora que el sistema (3.7) no se encuentra inicialmente en reposo (es decir, quey[₋1]₆= 0,por ejemploy[₋1] =c) yfijemos la entradax[n] = 0 para todon. Es evidente entonces que la respuesta de la ecuaci´on a diferencias (3.10) se debe ´unicamente a las condici´on inicial. Se dice que esta es larespuesta natural o libre del sistema (3.7), y de (3.10) es evidente que, para este ejemplo,

yn[n] =an+1y[−1], −∞< n <∞. (3.13)

Se dice en este caso que el sistema no est´a en reposo, ya que produce una salida yn[n]

aunque el sistema no est´e excitado ya que la entrada es nula.

Observe que la respuesta natural o libre se obtiene anulando la se˜nal de entrada, y por lo tanto no depende de ella, sino solamente de la naturaleza del sistema y de las condiciones iniciales. De modo que esta respuesta es una caracter´ıstica propia del sistema, lo que justifica el nombre de respuestanatural.

En general, la respuesta total del sistema es la suma de las respuestas forzadas yf[n]

y natural yn[n], como se desprende de (3.10):

PRELIMINAR

El caso m´as general es el de la ecuaci´on a diferencias con coeficientes constantes

N X k=0 aky[n−k] = M X k=0 bkx[n−k], (3.15)

donde frecuentemente se asume que a0 = 1. El m´aximo entre N y M es el orden de la ecuaci´on a diferencias; note que contrariamente a lo que sucede en el caso de sistemas continuos, en los cuales es poco frecuente que M > N, para el caso de sistemas discretos no ser´a necesario imponer tal restricci´on.

La ecuaci´on (3.15) expresa la salida de un sistema en el instante n como una suma ponderada de N muestras pasadas de la salida, y[n₋1], y[n₋2], . . . , y[n₋N] y M muestras pasadas y futuras de la entrada1.

Al igual que lo que sucede para el caso de ecuaciones diferenciales para sistemas lineales continuos, la descripci´on de sistemas discretos mediante una ecuaci´on a diferencias con coeficientes constantes no provee una especificaci´on ´unica de la salida del sistema para una dada se˜nal de entrada, a no ser que se especifiquen restricciones adicionales o se d´e alg´un tipo de informaci´on adicional. Si de alguna manera se ha podido determinar que ante una entradax[n] =xp[n] el sistema responde con una saliday[n] =yp[n], la ecuaci´on

a diferencias (3.15) tambi´en ser´a satisfecha por el par

x[n] = xp[n], (3.16)

y[n] = yp[n] +yh[n], (3.17)

dondeyh[n] es la soluci´on de (3.15) cuandoxp[n] = 0,lo que implica que N

X

k=0

akyh[n−k] = 0. (3.18)

En efecto, reemplazando (3.16) y (3.17) en (3.15), se tiene

N X k=0 ak(yp[n−k] +yh[n−k]) = M X k=0 bk(xp[n−k] + 0) N X k=0 akyp[n−k]+ N X k=0 akyh[n−k | {z } ] =0 = M X k=0 bkx[n−k],

que prueba que el par (3.16)-(3.17) satisface (3.15). La ecuaci´on (3.18) es la ecuaci´on homog´enea del sistema y la soluci´on yh[n] es la soluci´on homog´enea. Observe que existen

infinitas soluciones homog´eneas: siyh[n] es una soluci´on homog´enea, ˆyh[n] =Kyh[n],con K _{∈ C}, tambi´en es una soluci´on homog´enea. La respuesta natural o libre es una de las posibles soluciones homog´eneas.

En consecuencia, para poder calcular expl´ıcitamente la salida de un sistema descripto por (3.15) es necesario “elegir” alguna de las infinitas soluciones: tal como se realiz´o para el sistema simple descripto por la ecuaci´on a diferencias (3.7), esto se logra conociendo no

1_{Las “muestras futuras” de la entrada aparecen si alguno de losa}

k, k= 0, . . . , N0−1 son nulos. En

este caso, la salida en el instanten₋N0depende de la entrada en el instanten,o en otras palabras, y[n]

PRELIMINAR

s´olo la entrada x[n], sino tambi´en los ´ultimos N valores de la salida: y[₋1], y[₋2], . . . , y[₋N],es decir, lascondiciones iniciales del sistema. Estas condiciones iniciales resumen la historia pasada del sistema, y permiten calcular por recursi´on la salida actual y futura. Esto puede observarse reescribiendo la ecuaci´on (3.15) como una f´ormula de recurrencia (es decir, de modo que la salida actual dependa de las muestras previas de la salida):

y[n] =₋ N X k=1 ak a0 y[n₋k] + M X k=0 bk a0 x[n₋k]. (3.19)

Si se especifica la entradax[n] junto con un conjunto de valores auxiliaresy[₋1], y[₋2], . . . , y[₋N],entonces y[0] puede calcularse usando la ecuaci´on (3.19). Una vez que se calcula y[0],se dispone de lasN muestras de la salida y[0], y[₋1], . . . , y[₋N+ 1],de modo que se puede calcular y[1], etc. Cuando se utiliza este procedimiento se dice que y[n] se calcula recursivamente, es decir que el c´alculo de la salida involucra no s´olo el conocimiento de la sucesi´on de entrada, sino tambi´en los valores previos de la sucesi´on de salida.

Para el c´alculo de los valores de la saliday[n] para n <₋N, suponiendo nuevamente que se conocen los valores auxiliares y[₋1], y[₋2], . . . , y[₋N], se puede reorganizar la ecuaci´on (3.15) en la forma y[n₋N] =₋ N_X−1 k=0 ak aNy[n−k] + M X k=0 bk aN x[n₋k],

a partir de la cual se pueden computar recursivamentey[₋N₋1], y[₋N₋2], . . . ,tal como se calcul´o en el Ejemplo previo.

La soluci´on general de estas ecuaciones, que involucra hallar la soluci´on de (3.18) ser´a analizada en la Secci´on 3.1.2.

3.1.1

Linealidad, invariaci´

on en el tiempo, causalidad

Es interesante plantear ahora c´omo se revelan las propiedades de linealidad, invariaci´on en el tiempo y causalidad en los sistemas descriptos por las ecuaciones a diferencias (3.15), del mismo modo que fueron analizados en base a la respuesta impulsiva para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo descriptos por la suma convoluci´on.

El Ejemplo 3 de la secci´on anterior permite deducir algunas interesantes conclusiones. Para simplificar el an´alisis, se supondr´a que la entrada es un impulso escalado x[n] = Kδ[n],de manera que, seg´un (3.10), la salida ser´a

y[n] =an+1y[₋1] +Kanu[n], _−∞< n <_∞. (3.20) Es interesante notar que:

• La salida del sistema se calcul´o iterando la ecuaci´on (3.7) tanto para n positivos como negativos. Evidentemente, este es un proceso no causal, lo que tambi´en resulta de analizar la soluci´on general (3.20): la entrada es un impulso en el origen, pero la salida est´a definida para valores positivos y negativos del ´ındice; en particular, observe que la salida para n < 0 se debe al t´ermino y[₋1]. En s´ıntesis, el sistema (3.7)no es causal.

PRELIMINAR

• SiK = 0,la entrada es nula; para un sistema lineal e invariante en el tiempo, esto

implica que la salida y[n] tambi´en debe ser nula, como se desprende de analizar la expresi´on de la suma convoluci´on

y[n] = ∞

X

k=−∞

x[k]h[n₋k]

haciendox[n]_≡0.Sin embargo, la saliday[n] de la ecuaci´on (3.7)no es nula, ya que si K = 0, de (3.20) se observa que y[n] = an+1y[₋1]. En consecuencia, el sistema (3.7)no es lineal.

• Finalmente, si la entrada se demora n0 muestras, x1[n] = Kδ[n−n0], es sencillo observar que la salida correspondiente ser´a

y1[n] =an+1y[₋1] +Kδ[n₋n0] (3.21) y evidentemente,y1[n]₆=y[n₋n0].Por lo tanto, el sistema (3.7)no es invariante en el tiempo.

En esta materia, nuestro principal inter´es son los sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo, y los aspectos reci´en analizados muestran que para que un sistema represen-tado por ecuaciones a diferencias sea lineal e invariante en el tiempo, es necesario que las condiciones iniciales sean consistentes con estos requerimientos adicionales. Cuando estu-diemos m´as adelante la soluci´on de las ecuaciones a diferencias utilizando la transformada Z, estos requerimientos de linealidad e invariaci´on temporal ser´as asumidos impl´ıcitamente. Como veremos entonces, a´un la incorporaci´on de estos requisitos no determina de manera ´

unica la soluci´on de la ecuaci´on a diferencias, ya que una dada ecuaci´on puede tener una o m´as soluciones causales y no causales2.

Lo que las observaciones anteriores permiten asegurar es que si un sistema est´a ca-racterizado por una ecuaci´on a diferencias lineal con coeficientes constantes, y se exige adem´as que sea lineal, invariante en el tiempo y causal, la soluci´on en este caso es ´unica, y las condiciones iniciales compatibles con estas exigencias son las de reposo, es decir, que si la entrada x[n] es nula para todo n menor que alg´un n0, entonces la salida y[n] debe ser nula para todo nmenor que n0. Esto permite obtener suficientes condiciones iniciales para calculary[n] para n_≥n0 de forma recursiva utilizando la ecuaci´on (3.19).

En s´ıntesis, para un sistema descripto por una ecuaci´on a diferencias lineal con coefi -cientes constantes,

• La salida para una entrada dada no est´a determinada de manera ´unica. Se debe proveer informaci´on adicional en funci´on de las condiciones iniciales del sistema o bien a partir de exigir que cumpla con determinadas condiciones, como linealidad, causalidad, invariaci´on temporal, etc.

• Si la informaci´on auxiliar se provee en la forma deN valores consecutivos de la salida, los valores pr´oximos pueden obtenerse reacomodando la ecuaci´on a diferencias como una relaci´on recursiva que depende de valores crecientes de n; si se desean calcular los valores previos de la salida, la ecuaci´on a diferencias debe reescribirse como una relaci´on recursiva que dependa de valores decrecientes de n.

2

De todos modos, del conjunto de las infinitas soluciones posibles que se detallan aqu´ı, se determinar´an un conjuntofinito de a lo sumoN soluciones que permite caracterizarlas a todas ellas.

PRELIMINAR

• Las propiedades de linealidad, causalidad e invariaci´on temporal dependen de las condiciones auxiliares. Si la informaci´on adicional provista es que el sistema se encontraba inicialmente en reposo, entonces el sistema descripto por la ecuaci´on a diferencias ser´a lineal, invariante en el tiempo y causal.

Si el sistema no esta en estado de reposo, es decir que no son nulas las condiciones iniciales, se pueden reformular las propiedades de linealidad e invariaci´on temporal para tener en cuenta estas nuevas condiciones. Se dice entonces que un sistema es lineal si satisface los siguientes tres requerimientos:

1. La respuesta total es la suma de la respuesta natural o libre (que se obtiene haciendo x[n] _≡ 0), y la respuesta a la entrada x[n] cuando el sistema est´a en estado de reposo (con condiciones iniciales nulas). Esta ´ultima respuesta se suele denominar respuesta de estado cero,yec[n].Es decir, quey[n] =yn[n] +yec[n].Note queyec[n] es

una respuesta forzada particular (la que se obtiene con condiciones iniciales nulas) e yec[n] es una de las respuestas homog´eneas.

2. El principio de superposici´on es aplicable a respuestas de estado cero, es decir, que la salida correspondiente a una combinaci´on de entradas es la combinaci´on de las salidas respectivas, siempre que ´estsa hayan sido calculadas para el sistema en reposo. 3. El principio de superposici´on es aplicable a las respuestas naturales o libres del

sistema.

Un sistema que falla en satisfacer alguna de las tres condiciones, es no lineal por definici´on.

La verificaci´on que un sistema descripto por una ecuaci´on a diferencias (3.15) con condiciones iniciales nulas es invariante en el tiempo es relativamente sencilla. Es evidente que el sistema no var´ıa en el tiempo pues los coeficientesak ybk son constantes.

Si alguno de los coeficientes es funci´on del tiempo (o del ´ındice n), entonces el sistema ser´a variante en el tiempo, ya que sus propiedades cambian en funci´on del tiempo.

Consideremos nuevamente el sistema (3.7), pero ahora con condiciones iniciales de reposo: x[n] =Kδ[n], y[₋1] = 0, n <0.Entonces, de acuerdo con (3.20),

y[n] =Kanu[n]. (3.22)

Observe que ahora, si se anula la entrada (K = 0), la salida tambi´en se anula: el sistema se comporta como un sistema lineal. Si la entrada se retardan0 muestras (x1[n] =Kδ[n− n0]), nuevamente con condiciones iniciales de reposo, la salida esy1[n] =Kan−n0u[n−n0] = y[n₋n0], lo que implica que el sistema es invariante en el tiempo. Observe que en este caso la soluci´on iterativa se calcula utilizando la condici´on inicial y[n] = 0, n < n0; esto no significa que y[₋1] =y[₋2] =. . .=y[₋N] = 0,sino que y[n0−1] =y[n0−2] =. . .= y[n0−N] = 0 six[n] = 0 paran < n0.Finalmente, es f´acil deducir que ahora la respuesta impulsiva es h[n] = anu[n], lo que significa que h[n] = 0 para n < 0, de modo que el sistema es causal.

En otras palabras, el suponer que el sistema parte del estado de reposo o, lo que es lo mismo, que sus condiciones iniciales son nulas, hace que la soluci´on del sistema (3.7) cambie de (3.21) a (3.22), con lo cual el sistema se torna lineal, invariante en el tiempo, y causal.

PRELIMINAR

La discusi´on previa supuso que en la ecuaci´on (3.15) N _≥ 1. Si, en cambio, N = 0, no aparecen las muestras pasadas de la salida, y en consecuencia no es necesario aplicar el m´etodo de recursi´on para calcular la salida, y por lo tanto, no se requiere conocer las condiciones iniciales. En este caso,

y[n] = M X k=0 bk a0 x[n₋k]. (3.23)

Esta ecuaci´on tiene el aspecto de una convoluci´on, y adoptando x[n] = δ[n], la respuesta impulsiva es h[n] = M X k=0 bk a0 δ[n₋k], o bien h[n] =      bk a0 , 0_≤n_≤M, 0, en caso contrario.

Evidentemente, la respuesta impulsiva es de duraci´on finita. De hecho, la respuesta de cualquier sistema FIR puede ser calculada de manera no recursiva utilizando la ecuaci´on a diferencias (3.23), en la cual los coeficientes son los elementos de la sucesi´on finita que representa la respuesta impulsiva h[n]. El Ejemplo 2.15 del promediador es un ejemplo de un sistema FIR causal. Una caracter´ıstica interesante de tal sistema es que tambi´en se ha encontrado una ecuaci´on recursiva para calcular la salida. M´as adelante veremos que existen muchas formas posibles de implementar transformaciones de se˜nales utilizando ecuaciones a diferencias. Las ventajas de un tipo de implementaci´on sobre otra depende de consideraciones pr´acticas tales como precisi´on num´erica, cantidad de memoria requerida, y el n´umero de multiplicaciones y sumas necesarios para calcular cada muestra de la salida.

3.1.2

Soluci´

on de las ecuaciones a diferencias con coe

fi

cientes constantes

La soluci´on general de la ecuaci´on a diferencias (3.15) requiere calcular las dos componentes que designamos como respuesta natural o libre, y respuesta forzada. De modo que para calcular la soluci´on total (3.14) deben calcularse estos dos t´erminos.

Soluci´on homog´enea

De manera an´aloga al caso de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes, se supone que la soluci´on general homog´enea est´a dada por una suma de exponenciales:

yh[n] = P

X

m=1

Am(zm)n, (3.24)

donde zm ∈ C es el “modo” de la exponencial, y Am ∈ C es un coeficiente de peso.

Observe que estamos suponiendo la existencia de 2P inc´ognitas: losP modos zm,y losP

coeficientes Am.

Para computar los modos zm basta reemplazar la soluci´on propuesta (3.24) en la

ecuaci´on homog´enea (3.18): 0 = N X k=0 akyh[n−k] = N X k=0 ak à _P X m=1 Am(zm)n−k ! ,

PRELIMINAR

e intercambiando el orden de suma,

0 = P X m=1 Am à _N X k=0 ak(zm)n−k ! = P X m=1 Amzn à _N X k=0 ak(zm)−k ! . (3.25)

Como esta ecuaci´on debe verificarse para cualquier conjunto de valores Am,es indudable

que debe anularse el t´ermino entre llaves, p(z)=˙

N

X

k=0

ak(zm)−k= 0. (3.26)

Esta ecuaci´on es un polinomio de grado N, y por lo tanto tiene a lo sumo N soluciones distintas3. Observe que en este polinomio losakson conocidos (akes el coeficiente que pesa

la muestra pasada de la saliday[n₋k]) y loszm son los n´umeros complejos a determinar.

Se deduce entonces que a lo sumo hayN modoszmdiferentes, y entonces no tiene sentido

suponer queP > N en (3.24). En consecuencia, supondremos que P =N. Resumiendo,

• Las soluciones homog´eneas son combinaciones deN exponenciales complejas yh[n] =

N

X

m=1

Am(zm)n. (3.27)

• Hay infinitas soluciones homog´eneas posibles, ya que, seg´un (3.25), los coeficientes Am son arbitrarios.

¿C´omo elegir una soluci´on particular de entre las infinitas soluciones homog´eneas? Especificando los coeficientes Am, 1 ≤ m ≤ N, a partir de las condiciones iniciales.

Explicitando N muestras consecutivas de la salida, yh[n] = N X m=1 Am(zm)n=A1z1n+A2z2n+· · ·ANzNn, yh[n−1] = N X m=1 Am(zm)n−1 =A1z₁n−1+A2z₂n−1+· · ·ANzn_N−1, (3.28) .. . yh[n−N+ 1] = N X m=1 Am(zm)n−N+1=A1z1n−N+1+A2z2n−N+1+· · ·ANz_Nn−N+1.

Como los zm,1 ≤m ≤N son conocidos, los coeficientes A1, . . . , AN se pueden calcular

resolviendo el sistema de ecuaciones (3.28). Adoptando la notaci´on matricial, y eligiendo (arbitrariamente) n=₋1,resulta      y[₋1] y[₋2] .. . y[₋N]     =      z₁−1 z₂−1 _{· · ·} z−_N1 z₁−2 z₂−2 _{· · ·} z−_N2 .. . . .. ... z−₁N z₂−N _{· · ·} z_N−N           A1 A2 .. . AN      3

En esta derivaci´on suponemos que lasNra´ıces del polinomio (3.26) son diferentes. En caso que algunas ra´ıces se repitan, debe modificarse ligeramente el m´etodo de c´alculo que se describe a continuaci´on.

PRELIMINAR

o bien, Y =ZA, con Y=      y[₋1] y[₋2] .. . y[₋N]     , Z=      z₁−1 z−₂1 _{· · ·} z_N−1 z₁−2 z−₂2 _{· · ·} z_N−2 .. . . .. ... z₁−N z₂−N _{· · ·} z_N−N     , A=      A1 A2 .. . AN     . (3.29)

De modo que los N coeficientes desconocidos Am se calculan resolviendo la ecuaci´on

matricial

A=Z−1Y. (3.30)

En s´ıntesis, el c´alculo de la soluci´on homog´enea involucra los siguientes pasos: 1. Se calculan lasN ra´ıceszmde la soluci´on homog´enea (3.26):

N

X

k=0

ak(zm)−k= 0.

2. Dadas las N condiciones inicialesy[₋1], y[₋2], . . . , y[₋N], se calculan los A1, . . . , AN resolviendo (3.30), teniendo en cuenta (3.29).

3. Se computa la soluci´on homog´enea en base a (3.27), yh[n] =

N

X

m=1

Am(zm)n.

Note que la soluci´on homog´enea calculada vale para todon, sea positivo o negativo.

Ejemplo 4 Calculemos la soluci´on homog´enea del sistema (3.7) del Ejemplo 3. La ecuaci´on homog´enea en este caso es

y[n]₋ay[n₋1] = 0,

y reemplazandoy[n₋k]porz−k_{,se obtiene el polinomiop(z)[ecuaci´on (3.26)]} 1₋az−1= 0.

La ra´ız de este polinomio es

z=a

de modo que, de acuerdo con (3.27), la forma general de la soluci´on homog´enea es

yh[n] =Aan. (3.31)

La respuesta libre del sistema es un miembro de la familia de las soluciones homog´eneas, y el valor de las condiciones iniciales permite especificar un elemento particular de esa familia. En este caso las condiciones iniciales permiten determinar de manera ´unica el valor deA.Suponiendo una condici´on inicialy[₋1],de (3.31) se encuentra queAdebe satisfacer

y[n] =Aa−1_⇒A=ay[₋1].

De modo que la respuesta libre del sistema(3.7) con condici´on inicialy[₋1]es

yn[n] =y[₋1]an+1, (3.32) que coincide con la salida (3.13) calculada por el m´etodo de recursi´on.

PRELIMINAR

Ejemplo 5 Determinar la soluci´on homog´enea del sistema

y[n]₋3y[n₋2]₋4y[n₋2] =x[n] + 2x[n₋1], (3.33) y la respuesta libre para condiciones inicialesy[₋1] =c1, y[−2] =c2.

Para hallar la soluci´on de la soluci´on homog´enea se construye el polinomio auxiliarp(z)[ecuaci´on (3.26)] reemplazandoy[n₋k]por z−k _{y tomandox[n] = 0.Resulta entonces}

p(z) = 1₋3z−1₋4z−2= 0. Este polinomio tiene dos ra´ıces,

z1=−1, z2= 4,

de modo que la soluci´on homog´enea (3.27) es

yh[n] = A1(z1)n+A2(z2)n

= A1(−1)n+A2(4)n. (3.34)

La respuesta libre requiere calcular el valor de los coeficientesA1yA2en funci´on de las condiciones

iniciales dadas. En este caso, las matrices (3.29) son

Y= · y[₋1] y[₋2] ¸ , Z= · z−₁1 z₂−1 z−₁2 z₂−2 ¸ = · −1 1₄ 1 ₁₆1 ¸ , A= · A1 A2 ¸ , y resolviendo (3.30), se encuentra que

A1 = − 1 5y[−1] + 4 5y[−2], A2 = 16 5y[−1] + 16 5y[−2]. Por lo tanto, la soluci´on natural o libre del sistema es

yn[n] = µ −1 5y[−1] + 4 5y[−2] ¶ (₋1)n+ µ 16 5y[−1] + 16 5y[−2] ¶ (4)n. (3.35) Soluci´on forzada

La soluci´on forzada yf[n] de la ecuaci´on a diferencias debe satisfacer la ecuaci´on (3.15)

para una se˜nal de entrada espec´ıficax[n].Para resolver la ecuaci´on, se asume parayf[n]

una expresi´on similar a la de la entrada x[n]. Por ejemplo, si x[n] es una constante, se asume que la forma general de la soluci´on forzada tambi´en es una constante. Six[n] fuese una exponencial, se supone que la forma general de la soluci´on forzada tambi´en ser´a una exponencial, etc. En la Tabla 3.1 se muestra la forma general de la soluci´on forzada para distintos tipos de se˜nales de excitaci´on. Observe que, para el caso en que la entrada fuese un impulso (x[n] =δ[n]), resulta m´as conveniente hallar la respuesta del sistema aplicando el m´etodo de recursi´on.

Ejemplo 6 Determinemos la soluci´on forzada del sistema (3.7) del Ejemplo 3, ante una entrada tipo escal´on unitario, es decir,x[n] =u[n].

Como la sucesi´on de entrada es constante maran_≥0,la forma supuesta para la soluci´on tambi´en es una constante, tal como sugiere la Tabla 3.1:

PRELIMINAR

Se˜nal de entrada Soluci´on forzada

x[n] yf[n] A(constante) K (constante) Aan _Kan AnM K0nM+K1nM−1+· · ·+KM annM an¡K0nM +K1nM−1+· · ·+KM ¢ ½ Acosω0n Asenω0n ¾ K1cosω0n+K2senω0n

Tabla 3.1: Forma general de la soluci´on forzada para distintos tipos de se˜nales de entrada. donde el valorKse determina de modo de satisfacer la ecuaci´on a diferencias (3.7). Reemplazando en esta ecuaci´on la soluci´on (3.36) propuesta, se tiene

Ku[n] =aKu[n₋1] +u[n].

Para determinarKse debe evaluar esta ecuaci´on para cualquier valor den_≥1,donde no se anula ninguno de los t´erminos. Resulta entoncesK=aK+ 1,de modo que

K= 1

1₋a. Por lo tanto, la soluci´on forzada del sistema es

yf[n] = 1

1₋au[n]. (3.37)

En base a la soluci´on homog´enea del sistema, dada por (3.31) del Ejemplo 4, y la ecuaci´on (3.37), la soluci´on general del sistema (3.7) para una excitaci´onx[n] =u[n] est´a dada por

y[n] = yh[n] +yf[n] = Aan+ 1

1₋au[n]. (3.38)

El valor de la constante A se calcula en base a las condiciones iniciales, y la ecuaci´on a diferencias: recuerde que si las condiciones iniciales no corresponden a las de un sistema en reposo, la ecuaci´on a diferenciasno representa un sistema lineal, y por lo tanto no vale el principio de superposici´on.

Hasta ahora hemos visto c´omo calcular las dos componentes de la soluci´on de una ecuaci´on a diferencias con coeficientes constantes: estas dos componentes son la soluci´on homog´enea y la soluci´on forzada. A partir de estas dos componentes, se puede calcular la soluci´on total, a partir de la cual se puede obtener la respuesta del sistema con condiciones iniciales nulas, ante una entrada cualquiera.

Soluci´on total de la ecuaci´on a diferencias

La soluci´on total de la ecuaci´on a diferencias es la suma de la soluci´on homog´enea y de la soluci´on forzada,

y[n] =yh[n] +yf[n].

Como en la soluci´on homog´enea aparecen coeficientes indeterminados Am, ´estos deben

determinarse a partir de las condiciones iniciales, y de la propia ecuaci´on del sistema. Los siguientes ejemplos muestran el procedimiento.

PRELIMINAR

Ejemplo 7 Determinar la respuesta del sistema (3.7) del Ejemplo 3 para condiciones iniciales de reposo. Como el sistema est´a inicialmente en reposo,y[₋1] = 0, y reemplazando paran= 0 en (3.7), resulta y[0] =ay[₋1] + 1 _⇒ y[0] = 1. Evaluando 3.38 enn= 0, se tiene y[0] =A+ 1 1₋a = 1 de donde A= −a 1₋a.

Por lo tanto, la respuesta total del sistema, inicialmente en reposo, ante una entrada escal´on es

y[n] = −a 1₋aa n₊ 1 1₋au[n], = 1−a n+1 1₋a , n≥0,

que coincide con la soluci´on hallada en el Ejemplo 3 por el m´etodo de recursi´on haciendoy[₋1] = 0. En efecto, la soluci´on (3.10) paray[₋1] = 0y una entrada x[n] =u[n]es

y[n] = y[₋1]an+1+ n X k=0 akx[n₋k] = 1−a n+1 1₋a . (3.39)

Ejemplo 8 Para determinar la respuesta del sistema (3.7) del Ejemplo 3 con una condici´on inicial y[₋1] = c₆= 0, se repite el desarrollo previo. En este caso, reemplazando para n = 0 en (3.7), resulta y[0] =ay[₋1] + 1. Evaluando (3.38) enn= 0,se tiene y[0] =A+ 1 1₋a =ay[−1] + 1. de donde A = −1 1₋a+ay[−1] + 1 = −a 1₋a+ay[−1].

De modo que la respuesta del sistema con condiciones iniciales y[₋1] =c₆= 0 ante una entrada escal´on es y[n] = µ −a 1₋a+ay[−1] ¶ an+ 1 1₋au[n] = an+1y[₋1] +1−a n+1 1₋a , n≥0.

Nuevamente, esta soluci´on coincide con la soluci´on (3.10) hallada en el Ejemplo 3 por el m´etodo de recursi´on.

PRELIMINAR

Del ejemplo anterior se desprende que la constanteAde la soluci´on homog´enea depende no s´olo de la condici´on inicialy[₋1],sino tambi´en de la funci´on que excita al sistema. En consecuencia, el valor de esta constante influye tanto en la respuesta libre como en la respuesta del sistema con condiciones iniciales de reposo. Si se desea calcular la soluci´on del sistema en estado de reposo, basta calcular los Am a partir de condiciones iniciales

nulas, como en el Ejemplo 7.

Es interesante notar que la soluci´on forzada del sistema (3.37) tambi´en puede calcularse a partir de la respuesta del sistema en reposo. En efecto, si_|a_|<1,haciendo tendern_{→ ∞} en (3.39) se tiene que yf[n] = lim n→∞ 1₋an+1 1₋a = 1 1₋a.

Como esta respuesta en general no se anula cuandon_{→ ∞},se la suele llamar la respuesta de estado estacionario del sistema. Esta respuesta persiste tanto tiempo como persista la se˜nal de entrada. La componente de la salida que se extingue a medida que n crece se denomina respuesta transitoria del sistema

Ejemplo 9 Calculemos la respuesta del sistema (3.33) del Ejemplo 5 ante una se˜nal de entrada x[n] = 4n_{u[n]. La soluci´on homog´enea de este sistema est´a dada por la ecuaci´on (3.34),}

yh[n] =A1(−1)n+A2(4)n.

La soluci´on forzada, de acuerdo con la Tabla (3.1), se supone exponencial, de la misma forma que x[n],

yf[n] =K(4)nu[n].

Sin embargo, como esta soluci´on ya est´a contenida en la soluci´on homog´enea (3.34), de modo que la soluci´on propuesta es redundante. Por este motivo se elige una soluci´on particular que sea linealmente independiente de los t´erminos contenidos en la soluci´on homog´enea. Este tipo de tratamiento es el mismo que se adopta cuando se tienen ra´ıces m´ultiples en la soluci´on del polinomio caracter´ıstico (3.26). Se supone entonces

yf[n] =Kn(4)nu[n]. (3.40) Reemplazando (3.40) en (3.33) se obtiene

Kn(4)nu[n]₋3K(n₋1) (4)n−1u[n₋1]₋4K(n₋2) (4)n−2u[n₋2] = (4)nu[n] + 2 (4)n−1u[n₋1]

Para determinarK se eval´ua esta ecuaci´on para cualquiern_≥2,donde no se anula ninguno de los escalones unitarios. Para simplificar las cuentas, se adoptan= 2,de donde se obtiene K = 6/5. Entonces, yf[n] = 6 5n(4) n u[n].

La soluci´on total se calcula teniendo en cuenta la soluci´on homog´enea (3.34): y[n] = yh[n] +yf[n] = A1(−1)n+A2(4)n+ 6 5n(4) n , n_≥0, (3.41)

donde las constantesA1yA2se determinan para satisfacer las condiciones iniciales. De la ecuaci´on

del sistema (3.33) se obtiene

y[0] = 3y[₋1] + 4y[₋2] + 1, y[1] = 3y[0] + 4y[₋1] + 6

PRELIMINAR

Por otra parte, de la soluci´on general (3.41) evaluada enn= 0y enn= 1se tiene

y[0] = A1+A2,

y[1] = ₋A1+ 4A2+

24 5.

Igualando los dos conjuntos de ecuaciones, se pueden calcular los valores deA1yA2en funci´on de

y[₋1]ey[₋2].En particular, si se desea evaluar la respuesta forzada del sistema ante condiciones iniciales nulas, debe adoptarsey[₋1] =y[₋2] = 0,de donde

A1+A2 = 1, −A1+ 4A2+ 24 5 = 9, de modo que A1=− 1 25, A2= 26 25.

Finalmente, la soluci´on forzada correspondiente a condiciones iniciales nulas (sistema en reposo) est´a dada por

y[n] =₋1 25(−1) n +26 25(4) n +6 5n(4) n , n_≥0. (3.42)

La soluci´on del sistema paracualquiercondici´on inicial est´a dada por la suma de la respuesta natural o libre (3.35) y la respuesta forzada para el sistema en reposo (3.42):

y[n] = µ −1 25− 1 5y[−1] + 4 5y[−2] ¶ (₋1)n+ µ 26 25+ 16 5y[−1] + 16 5y[−2] ¶ (4)n+6 5n(4) n , paran_≥0.