PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1.- Una bolsa contiene bolas negras y rojas. Se extraen sucesivamente tres bolas. Obtener: a) El espacio muestral.
b) El suceso A = extraer tres bolas del mismo color. c) El suceso B = extraer, al menos, una bola negra. d) El suceso C = extraer una sola bola negra.
e) Calcular las probabilidades de los sucesos A, B y C.
2.- Halla las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Al lanzar un dado se obtiene el número 3.
b) Al lanzar dos dados, la suma de los puntos obtenidos es 6.
3.- En un hotel hay 200 clientes, de los cuales 40 son españoles y el resto extranjeros. Entre los rubios hay 5 españoles y el 40% de los extranjeros. Elegida una persona al azar, calcula:
a) La probabilidad de que sea rubio.
b) Si se sabe que es rubio, la probabilidad de que sea extranjero.
4.- En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% de la población lee A, el 20% lee B y el 15% lee C. El 12% lee A y B, el 9% A y C y el 6% B y C. Finalmente el 3% lee A, B y C. Se pide:
a) Porcentaje de personas que lee, al menos, uno de los tres periódicos. b) Porcentaje de personas que lee sólo A.
c) Porcentaje que leen B o C, pero no A.
5.- Una urna contiene 5 bolas blancas y tres negras. Tres jugadores A, B y C extraen una bola, sin reemplazamiento, en este mismo orden. Gana el primer jugador que saca bola blanca. Calcular la probabilidad de que gane C.
6.- En un colegio se va a hacer una excursión a una estación de esquí con dos autobuses, uno grande y otro pequeño. Las dos terceras partes de los alumnos apuntados a la excursión irán en el autobús grande y el resto en el pequeño. Se sabe que todos los
alumnos que viajarán en el autobús pequeño saben esquiar y el 40% de los que lo harán en el otro autobús no saben. Se pide:
Calcular la probabilidad de que un alumno de la excursión elegido al azar sepa esquiar.
7.- Lanzamos dos dados. Si la suma es 10 o más cogemos una bola de la urna A, en caso contrario la cogemos de la B. La urna A tiene 6 bolas blancas y 4 azules; y la urna B tiene 3 blancas y 7 azules. Calcular:
a) Probabilidad de que la bola sea blanca y de la urna A. b) Probabilidad de que la bola sea azul.
8.- Un joyero compra los relojes a dos casa proveedoras. La primera le sirve el 60% de los relojes, de los que el 0’4% son defectuosos. La segunda le proporciona el resto, siendo defectuoso el 1’5%. Un día el joyero, al vender un reloj observa que éste no funciona. Hallar la probabilidad de que el reloj sea defectuoso.
9.- Tres cofres idénticos contienen: el primero, 3 lingotes de oro y 2 de plata; el segundo, 2 de oro y 5 de plata; y el tercero, 6 de oro y 7 de plata. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un lingote al azar de un cofre sea de plata?
10.- En una clase hay 30 personas. El 60% son chicos. En la última evaluación suspendieron las Matemáticas la tercera parte de los chicos y la cuarta parte de las chicas. Elegida una persona al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) A = Que sea chica.
b) B = Que tenga aprobadas las Matemáticas.
c) C = Que sea chico y tenga suspensas las Matemáticas. d) D = Que sea chica y tenga aprobadas las Matemáticas.
11.- En una urna hay 8 bolas negras y 5 bolas blancas. Calcular:
a) La probabilidad de que al extraer dos bolas, con reemplazamiento, la primera sea negra y la segunda blanca.
b) La probabilidad de que al extraer dos bolas, sin reemplazamiento, la primera sea negra y la segunda blanca.
12.- Calcula la probabilidad de extraer dos cartas de espadas de una baraja española. a) Si lo hacemos con reemplazamiento.
b) Si lo hacemos sin reemplazamiento.
13.- La caja A contiene 6 pilas, de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 4 pilas, de las cuales 2 están descargadas. Si se saca al azar una pila de cada caja:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas estén descargadas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no?
14.- En una casa hay tres llaveros, el primero con tres llaves, el segundo con cuatro llaves y el tercero con cinco. Sólo una llave de cada llavero abre la puerta que da a la calle. Si se escoge al azar un llavero y de él una llave, ¿cuál es la probabilidad de que podamos abrir la puerta?
15.- En una urna hay 6 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen sucesivamente 3 bolas sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que alguna bola sea negra.
16.- El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% e los créditos para vivienda, 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcular la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.
17.- La última novela de cierto afamado autor ha tenido un importante éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la obra 2 personas? ¿Y de que la hayan leído al menos 2?
18.- El 4% de los disquetes de ordenador que fabrica una determinada una empresa son defectuosos. Los disquetes se distribuyen en cajas de 5 unidades. Calcula la probabilidad de que en una caja no haya ningún disquete defectuoso.
19.- Si se contesta al azar un test de 8 preguntas con respuestas SI/NO, ¿cuál es la probabilidad de acertar más de 5? ¿Y la de acertar 3ó 4?
20.- En una cierta población la probabilidad de que una persona pertenezca al grupo sanguíneo A es igual a 0’38. Se toma, aleatoriamente, una muestra de 25 personas de dicha población. Halla la probabilidad de que en dicha muestra haya exactamente 5 del grupo sanguíneo A. ¿Cuántas del grupo cabe esperar que sean del grupo A?
21.- El 73% de la población adulta conoce una determinada enfermedad. Se reúnen cinco amigos para cenar y uno de ellos hace referencia a esta afección. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco amigos puedan intervenir en la conversación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la conversación no se llegue a plantear?
c) Si el índice de mortalidad de la enfermedad es del 60% y hay seis personas afectadas en un hospital, ¿cuál es la probabilidad de que al menos la mitad de ellas sobreviva?
22.- Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que en 7 lanzamientos se obtenga 3 veces una suma de puntos igual a 7.
23.- La probabilidad de que un tornillo sea defectuoso es 0’12. Halla la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 50 tornillos haya 7 defectuosos. ¿Cuál es el número de tornillos defectuosos que cabe esperar en la muestra?
24.- Se ha comprobado que determinada prueba cultural es superada por el 70% de las personas con estudio de grado medio y por el 55% de las personas con estudios primarios. Un total de 10 personas (seis con estudios de grado medio y cuatro con estudios primarios) realizan dicha prueba cultural. Calcular:
a) La probabilidad de que exactamente cuatro de las personas con estudios de grado medio superen la prueba.
b) La probabilidad de que, al menos, una de las personas con estudios primarios supere la prueba.
3 5 3 12 9 3 6 1.- a) Ω=
{
(
N,N,N) (
, N,N,R) (
, N,R,R) (
, N,R,N) (
, R,N,N) (
, R,N,R) (
, R,R,N) (
, R,R,R)
}
b) A={
(
N,N,N) (
, R,R,R)
}
c) B={
(
N,N,N) (
, N,N,R) (
, N,R,R) (
, N,R,N) (
, R,N,N) (
, R,N,R) (
, R,R,N)
}
d) C ={
(
N,R,R) (
, R,N,R) (
, R,R,N)
}
e) 8 3 ) ( , 8 7 ) ( , 4 1 8 2 ) (A = = p B = p C = p 2.- a) 6 1 ) (A = p b) 36 5 ) (B = p 3.- 200 clientes40 Españoles (E) 160 Extranjeros (E)
5 Rubios (R) 35 No rubios (R ) 64 Rubios (R) 96 No rubios (R) a) 0'345 200 69 ) (R = = p b)
( )
0'928 69 64= = R E p 4.- A B C a) p(A∪B∪C)=12+9+5+6+3+3+3=41% b) p(A)=12% c) p((B∪C)∩A)=3+3+5=11% 5.- 0'089 56 5 6 5 7 2 8 3 ) (C = ⋅ ⋅ = = p6.-
Autobús grande (G) (2/3) Autobús pequeño (P) (1/3) Esquía (E) (60%) No esquía (E ) (40%) Esquía (E) (100%) No esquía (E) (0%) 73 ' 0 3 1 1 3 2 6 ' 0 ) (E = ⋅ + ⋅ = p 7.- a) 01' 10 1 10 6 36 6 ) (A∩Bl = ⋅ = = p b)
( )
( )
0'65 20 13 10 7 36 30 10 4 36 6 ) ( ) ( ) ( = ⋅ + p B ⋅p AzB = ⋅ + ⋅ = = A Az p A p Az p 8.-Casa A (A) (60%) Casa B (B) (40%) Defectuoso (D) (0’4%) No defectuoso (D) (99’6%) Defectuoso (D) (1’5%) No defectuoso (D) (98’5%)
( )
D =0'6⋅0,004+0'4⋅0'015=0'0084 p 9.-55 ' 0 13 7 3 1 7 5 3 1 5 2 3 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 1 ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = p PC p C p PC p C p PC p C P p 10.-Chicos (O) (60%) Chicas (A) (40%) Suspenden (M) (1/3) Aprueban (M) (2/3) Suspenden (M) (1/4) Aprueban (M) (3/4) a) p(A) = 0’4 b) 0'4 0'7 4 3 6 ' 0 3 2 ) (B = ⋅ + ⋅ = p c) 0'6 0'2 3 1 ) ( ) (C = p O∩M = ⋅ = p d) 0'4 0'3 4 3 ) ( ) (D = p A∩M = ⋅ = p
11.- a) 0'237 169 40 13 5 13 8 ) (N1∩B2 = ⋅ = = p b) 0'256 39 10 12 5 13 8 ) (N1∩B2 = ⋅ = = p 12.- a) 0'0625 16 1 40 10 ) ( 2 = = = A p b) 0'0577 52 3 39 9 40 10 ) (A = ⋅ = = p 13.- a)
(
) ( ) ( )
4 1 4 2 6 3 2 1 2 1∩D = p D ⋅p D = ⋅ = D p b)(
) (
)
2 1 4 2 6 3 4 2 6 3 2 1 2 1∩D + p D ∩D = ⋅ + ⋅ = D p 14.- A = “abre la puerta”( )
( )
( )
( )
26 ' 0 180 47 3 1 5 1 3 1 4 1 3 1 3 1 3 3 2 2 1 1 = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ = p ALL p LL p ALL p LL p ALL p LL A p15.- A = “alguna de las bolas es negra”
( )
( )
0'76 21 16 21 5 1 21 5 7 4 8 5 9 6⋅ ⋅ = = − = = = p A A p16.-( )
P = p( )
PV ⋅p( )
V + p( )
PI ⋅p( )
I + p( )
PC ⋅p( )
C =0'8⋅0'35+0'85⋅0'50+0'3⋅0'15=0'75 p17.- X = número de personas que han leído la novela ~ B(4,0’8)
[
]
0'8 0'2 0'1536 2 4 2 = 2⋅ 2 = = X p[
]
[
]
(
[
] [
]
)
(
0'0016 0'0256)
0'9728 1 2 ' 0 8 ' 0 1 4 2 ' 0 8 ' 0 0 4 1 1 0 1 2 1 2 3 1 4 0⋅ + ⋅ = − + = − = = = + = − = < − = ≥ p X p X p X X p18.- X = número de disquetes defectuosos en una caja ~ B(5,0’04)
[
]
0'04 0'96 0'8154 0 5 0 = 0⋅ 5 = = X p19.- X = número de preguntas acertadas ~ B(8,0’5)
[
] [
] [
] [
] [
]
3633 ' 0 5 ' 0 5 ' 0 8 8 5 ' 0 5 ' 0 7 8 5 ' 0 5 ' 0 6 8 5 ' 0 5 ' 0 5 8 8 7 6 5 5 0 8 1 7 2 6 3 5⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = = + = + = + = = ≥ p X p X p X p X X p[
] [
]
0'5 0'5 0'4922 4 8 5 ' 0 5 ' 0 3 8 4 3 + = = 3⋅ 5+ 4⋅ 4 = = p X X p20.- X = número de personas que pertenecen al grupo A ~ B(25,0’38)
[
]
0'38 0'62 0'0297 5 25 5 = 5⋅ 20 = = X p 10 5 ' 9 38 ' 0 25⋅ = ≈ = µ21.- X = número de personas que conocen la enfermedad ~ B(5,0’73) a)
[
]
0'73 0'27 0'21 5 5 5 = 5⋅ 0 = = X p b)[
]
0'73 0'27 0'0014 0 5 0 = 0⋅ 5 = = X pc) X = número de personas que sobreviven ~ B(6,0’4)
[
]
(
[
] [
] [
]
)
544 ' 0 6 ' 0 4 ' 0 2 6 6 ' 0 4 ' 0 1 6 6 ' 0 4 ' 0 0 6 1 2 1 0 1 3 4 2 5 1 6 0⋅ + ⋅ + ⋅ = − = = = + = + = − = ≥ p X p X p X X p22.- X = número de veces que se obtiene 7 ~ B 36 6 , 7
[
]
0'0781 6 5 6 1 3 7 3 4 3 = ⋅ = = X p23.- X = número de tornillos defectuosos ~ B(50,0’12)
[
]
0'12 0'88 0'1467 7 50 7 = 7⋅ 43 = = X p 6 12 ' 0 50⋅ = = µ24.- X = número de personas con estudios medios que superan la prueba ~ B
