Funciones exponenciales y logarítmicas

(1)

68

© Santillana S.A. Pr

ohibida su fotocopia. Ley 15.913

Para empezar

La radiactividad es un fenó-meno en el que una sustancia emite radiaciones y por ello durante ese proceso se desin-tegra. Muchos isótopos son radiactivos y se utilizan en medicina, por ejemplo, para

realizar diagnósticos y en tratamientos de radioterapia.

El tiempo que tarda un isótopo en reducirse a la mitad se llama “período de semidesintegración” o “vida media”. Por ejemplo, 1 gramo de yodo-131 tarda 8 días en reducirse a la mitad, mientras que 1 gramo de radón-222 tarda casi 4.

Las curvas representan el proceso de desintegración de 100 g de cada uno de esos elementos en función del tiempo, medido en días.

¿Qué curva corresponde a cada sustancia?

De seguir esta tendencia, ¿cuántos gramos de yodo-131 y de radón-222 quedarán a los 16 días de haber comenzado la experiencia?

Funciones exponenciales

y logarítmicas

6

FUNCIONES EXPONENCIALES

1 Una fuga de combustible de un barco provocó una mancha de petróleo en la su-perficie del mar. Esta mancha se expande, con el correr de los días, de tal manera que duplica su área diariamente.

a. Completa la tabla que muestra el área de la mancha para los primeros 7 días, considerando que se comenzó a observar cuando su área era de 1 m2_.

Tiempo (días) 0 1 2 3 4 5 6 7

Área (m2₎

b. Plantea una expresión que permita obtener el área de la mancha en función del tiempo y úsala para calcular la que ocupará el día 12.

c. En tu cuaderno, o usando GeoGebra, representa gráficamente los datos de la tabla. 80 100 Masa (g) 20 40 60 2 4 0 ₆ ₈ _{10 12 14 16 18} Tiempo (días)

(2)

69

2 a. A diferencia de la situación anterior, en la que la variable independiente no toma valores negativos (no tendría sentido hablar de “área negativa”), para la función f dada por f(x) = 2x_{se consideran todos los valores reales. Completa} la tabla y representa gráficamente.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y

b. ¿La función tiene raíces? ¿Por qué?

c. ¿Qué ocurre con las imágenes de f cuando x toma valores negativos cada vez más grandes en valor absoluto?

d. ¿Cuál es el recorrido de f?

3 a. Representa las funciones f, g, y h dadas por: f(x) = 3x_;_g₍_x_{) = 5}x _y_h_{( )}_x x =  

3 2

en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra.

b. Compara los gráficos obtenidos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, y explica por qué.

I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen.

II. Todas las funciones tienen la misma raíz.

III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal.

IV. Todas las funciones son crecientes y positivas (sus imágenes).

c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g y h e incluye el gráfico de la función f

dada por f(x) = 4x_.

4 a. Usa el GeoGebra para representar gráficamente las funciones f, g y h dadas por:

f( )x ; ( )g x h( )x x x x = 13 =   =   1 5 2 3

y en el mismo sistema cartesiano.

b. Compara los gráficos e indica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas y explica por qué.

I. Todas las funciones tienen la misma ordenada al origen.

II. Todas las funciones tienen la misma raíz.

III. Todas las funciones tienen una asíntota horizontal.

IV. Todas las funciones son crecientes y positivas (sus imágenes).

c. Copia en tu cuaderno los gráficos de f, g y h e incluye el gráfico de la función f

dada por f( )x

x = 14 .

(3)

70

5 Representa en el mismo sistema los gráficos de f dada por f(x) = 3x_{y de}_g_dada por g x

x

( )_{= }1_ 3

a. Compara los gráficos y escribe tus observaciones

b. Dibuja en un mismo sistema los gráficos de las funciones h y t dadas por

h x x t x x ( )=7 ( )_{= }1_ 7 y c. Completa:

“Si las bases de dos funciones exponenciales son inversas a a

y 1



  entonces

sus gráficos

6 A partir del gráfico de la función f dada por f x

g x h x x x ( ) ( ) ( ) =   =   + =   1 2 1 2 3 1 2 ; xx x x j x t x −4 _{= − }1_ _{= − } _{ +} 2 1 2 7 ; ( ) y ( ) ;

representa las funciones

g, h, j y t dadas por: f x g x h x x x ( ) ( ) ( ) =   =   + =   1 2 1 2 3 1 2 ; xx x x j x t x −4 _{= − }1_ _{= − } _{ +} 2 1 2 7 ; ( ) y ( ) ;

después completa el cuadro.

10 12 8 2 6 4 1 –1 –2 _–2 –3 –4 –4 –6 –8 2 3 4 x y f Ordenada al origen Asíntota horizontal Recorrido ¿Es creciente o decreciente? f g h j t

(4)

71

5 Asocia cada gráfico con la expresión analítica de la función que representa

f x g x h x j x k x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = _{= } _ = + = − = − 4 3 4 1 2 1 4 3 2 xx x t x +1 _{= − }1_ 2 ( )

8 a. Usa el GeoGebra para representar en el mismo sistema los gráficos de f dada por

f x g x g x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − + 2 2 2 1 2 , g dada por f x g x g x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − + 2 2 2 1 2 y h dada por f x g x g x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − + 2 2 2 1 2 _.

b. Compara los gráficos y escribe tus observaciones

y 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 y=log x y= 2 x y=x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 y=log x y= 2 x y=x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 y=log x y= 2 x y=x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 y=log x y= 2 x y=x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 y=log x y= 2 x y=x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 –4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 y=log x y= 2 x y=x 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 y x y x -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3

(5)

72 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE POBLACIONES

9 Una colonia de bacterias en ciertas condiciones triplica el número de sus habitan-tes cada día.

a. Completa la tabla con el número de bacterias que habrá los primeros 6 días, considerando que cuando comenzó el conteo había 10 bacterias y durante el proceso no murió ninguna.

Tiempo

(días) 0 1 2 3 4 5 6

Bacterias

b. Marca con color la expresión que describe la reproducción de esta colonia en función del tiempo t. Fundamenta tu elección.

B(t) = 3t _B(_t_{) = 10 · 3}t _B(_t_{) = 3 · 10}t

10 Javier estudia la reproducción de ciertas langostas. Con lo registrado hasta el momento realizó este gráfico (no consideró las muertes).

a. ¿Cuántas langostas había cuando comenzó el estudio?

b. ¿Cuántas langostas nacieron en el primer mes? ¿Y en el segundo?

c. ¿Qué porcentaje representan los nacimientos del primer mes respecto de la cantidad inicial de langostas? ¿Y los del segundo mes respecto de la cantidad que había en el primer mes?

d. Javier sabe que este comportamiento se mantiene durante algún tiempo y que la cantidad de langostas puede expresarse con una expresión del tipo

P(t) = c · at_{. Halla}_c_y_a_.

e. De continuar con este comportamiento, ¿cuántas langostas habría al cabo de un año? 500 250 Tiempo (meses) 1000 750 1250 1500 1 2 600 720 864 Cantidad de langostas 3 4 5 6 0

(6)

73

11 Un hongo infectó todos los árboles de una plantación de manzanas de 4000 m2_,

por lo que se la está tratando con un fungicida de aplicación mensual. En prome-dio, el plaguicida cura cada mes la mitad de los árboles infectados.

a. Completa la tabla indicando el área que ocupan los árboles que permanecen afectados.

Tiempo (meses) 0 1 2 3 4

Plantas enfermas (m2₎

b. Escribe una expresión para calcular el área ocupada por las plantas que per-manecen enfermas cada mes.

c. ¿Qué área ocupan los árboles que en el octavo mes siguen infectados?

d. Se considera que el hongo estará exterminado cuando las plantas infecta-das ocupen menos de 1 m2_{de terreno. ¿Cuántos meses deberán pasar para}

que eso suceda? Explica cómo llegaste al resultado.

12 Se está combatiendo una plaga con un insecticida que elimina el 40% de los insectos por día. Se calculó que inicialmente había 10 000 ejemplares.

a. Marca la casilla del gráfico que representa la situación. Justifica tu elección.

4000 2000 Tiempo (días) 8000 6000 10 000 1 2 Insectos vivos 3 4 5 6 0 4000 2000 Tiempo (días) 8000 6000 10 000 1 2 Insectos vivos 3 4 5 6 0 4000 2000 Tiempo (días) 8000 6000 10 000 1 2 Insectos vivos 3 4 5 6 0 4000 2000 Tiempo (días) 8000 6000 10 000 1 2 Insectos vivos 3 4 5 6 0

b. Marca la expresión que permite conocer la cantidad de insectos vivos que quedan al finalizar cada día.

I(t) = 10 000 · 0,4t _I(_t_{) = 10 000 · 0,6}t _I(_t_{) = 10 000 · 1,4}t

c. Usa la expresión que elegiste para calcular la cantidad de insectos vivos a los 3 días y marca un punto que represente esa información en el gráfico que corresponde.

(7)

74

13 Paraestudiar el desarrollo de una población de seres vivos se deben tener en cuenta factores como los índices de natalidad y de mortalidad, la disponibili-dad de alimento, etcétera. En muchos casos, al principio la reproducción sigue una ley exponencial que luego se frena por la incidencia de esos factores. En ecología se llama “capacidad de carga del medio” al valor límite de individuos, de una especie dada, que la colonia no puede sobrepasar, y “curva logística” a la que representa este tipo de evolución.

En el gráfico, con una curva de esas carac-terísticas, se muestra la evolución de una colonia de peces en una laguna.

a. ¿Cuántos peces había inicialmente en la laguna?

b. ¿Cuál es el valor límite de peces que esa colonia no podrá superar? ¿Cómo te diste cuenta?

c. La curva representada responde a la expresión P

e

( )t = _,_t

+ −

300 1 5 0 7 .

Calcula la cantidad de peces que habrá en el mes 15 (usa e;2,7).

14 Se está estudiando la evolución de una colonia de 100 roedores que habitan en una isla. A los 4 meses de comenzado el estudio se realiza un conteo y se detectan 560 roedores. Dadas las condiciones del medio se establece que no podrán convivir más de 2000 ejemplares.

a. Marca la expresión que representa esta situación.

R e ( )t = _t + 2000 1 19 5 R( )t = ₊ _e , t 2000 1 19 0 5 R( )t = ₊ _e−, t 2000 1 19 0 5

b. Completa la tabla usando la expresión que elegiste y verifica si, según esa expresión, la población de roedores no supera los 2000 individuos (recuerda aproximar al entero). Tiempo (meses) 10 20 50 100 500 Roedores 100 50 Tiempo (meses) 200 150 250 300 350 2 4 Cantidad de peces 6 8 10 0

(8)

75 FUNCIONES LOGARÍTMICAS

15 En el problema 1 de la página 68 se estimaba el área de una mancha de petró-leo en función del tiempo. Para un trabajo de ecología se necesita conocer la relación inversa, que permite estimar el tiempo transcurrido conocida el área de la mancha.

a. Completa la tabla de acuerdo con lo que hiciste en el problema 1.

x Área (m2₎ y Tiempo (días)

b. Juan dice que cada valor de y es el exponente al que hay que elevar el número 2 para obtener x. ¿Es cierto? ¿Con qué operación puede calcularse el valor de

y para cada valor de x dado?

Ayuda: si tienes dudas, vuelve a mirar el capítulo 1.

c. Según lo que respondiste en b., escribe la fórmula de la función que expresa el tiempo que tarda en formarse la mancha, según su área.

16 Rodea el par de funciones inversas. Explica cómo te diste cuenta.

f x_{( )}₌₅x _{g x} x ( )=     1 5 h x( ) log= 5 x t x x ( ) ( )= − ⋅     1 1 5

17 Si bien Lucas trabaja con las funciones exponenciales, todavía no sabe qué hacer con las logarítmicas. Sabe, por ejemplo, que si f x

x ( )=     2 3 , entonces f(0) = 1 y f( )1 2 3 = .

Ahora quiere analizar la función h dada por h x( ) log= 2 x

3

, que es la inversa de f.

a. Con lo que sabe de f, ¿puede hallar la raíz de h? ¿Por qué?

b. ¿Cómo le sirven los datos sobre f para calcular h 2 3

 



? ¿Y para calcular h

3 2    ?

(9)

76

18 a. Completa la tabla de la función f dada por f x( ) log= 1x

2

.

Ayuda: puedes completar primero la tabla de la función exponencial g dada por

g x x ( )=     1 2 y luego invertirla. x g(x)  x f(x) –2 –1 0 1 2

b. Representa f y g en un mismo sistema cartesiano. y

x 0

c. Mirando los gráficos, completa el cuadro.

Raíz Dominio Recorrido Ordenada al _origen

¿Es creciente o decreciente? Asíntota g f

d. Ten en cuenta que f y g son funciones inversas, y relaciona entre sí el dominio y el recorrido de cada una.

e. De la misma manera que relacionaste el dominio y el recorrido de f y g, com-para los datos que aparecen en la tabla y escribe tus conclusiones.

(10)

77

19 a. Representa las funciones f y g dadas por f(x) = log₂x y g x( ) log= 1 x

2

en el mis-mo sistema cartesiano y compara sus gráficos.

b. ¿Cómo es el gráfico de f dada por j x( ) log= 3 x

2

respecto del de h dada por

h x( ) log= 2 x

3

?

c. Generaliza la propiedad que se desprende de los ítems anteriores.

20 Todos estos gráficos corresponden a funciones del tipo f(x) = a log₂x. Halla el valor de a en cada caso y explica cómo lo obtuviste.

. 2 –3 1 –4 4 –1 3 –2 5 6 2 4 6 8 10 12 y x 0 A j x( ) h x( ) g x( ) B C A( , )2 3 B( , )2 C( ,2 1) 2 12 −

21 a. Representa las funciones f, g y h dadas por f(x) = log x; g(x) = log (x – 5) y h(x) = log (x + 4) en el mismo sistema cartesiano. Puedes hacerlo en GeoGebra

(usa lg en vez de log).

b. Compara los gráficos obtenidos y completa el cuadro.

Dominio Recorrido Asíntota Raíces Ordenada _{al origen}

f g h

22 El gráfico corresponde a la función f dada por f x( ) log= 9x

4

. Basándote en él, re-presenta las funciones g, h, j y k dadas por:

g x( ) log= 9 x + 4 1; h x( ) log (= ₉ x+ ) 4 1; j x( ) log= 4 x 9 ; k x( )= −3 log₉ x 4 . 2 –3 1 –4 –5 4 –1 3 –2 5 2 –2 4 –4 6 8 10 12 y x 0 f x( ) Recuerda que log a = log₁₀a.

(11)

78

23 Asígnale a cada gráfico el cartel y la expresión que le corresponde.

4 –6 2 –2 6 –4 2 4 6 –2 –4 y x 0 A Tiene asíntota en x = –2 Dom f = (–2; ∞) La base de la función es mayor que 1. I. f (x) = log₂ (x + 3) II. f (x) = log₃ (x + 3) 4 –6 2 –2 6 –4 2 4 6 –2 –4 y x 0 B Tiene asíntota en x = –3 Dom f = (–3; ∞) La base de la función es menor que 1. III. f x( ) log (= 1 x + ) 2 3 2 –3 1 –1 3 –2 2 4 6 –2 –4 y x 0 C Tiene asíntota en x = –3 Dom f = (–3; ∞) La base de la función es mayor que 1. IV. f (x) = log₃ (x + 2)

24 Propon la fórmula de una función logarítmica que se ajuste a lo pedido en cada caso y analiza si hay más de una expresión posible. Explica cómo te das cuenta.

a. f tiene una asíntota vertical en x = 2 y su base es 3.

b. El Dom g = (–6; +∞) y su base es 1 3.

c. h es decreciente, tiene una asíntota vertical en x = 0 y h(5) = –1.

25 Juliana y Mateo escribieron, cada uno en su cuaderno, una expresión para la función representada. Mirá lo que escribió cada uno, indicá si es correcto o no y explica por qué.

Ayuda: puedes mirar las propiedades de los loga-ritmos en el capítulo 1. Juliana: f x( ) log= 1 x 3 Mateo: f x( )= − ⋅1 log3x 2 5 1 4 –1 3 6 –2 4 6 8 –2 y x 0 2

(12)

79 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

26 a. Representa gráficamente la función f dada por f x_{( )}₌₂x+3₋₁_.

b. Usa el gráfico para resolver la ecuación 2x+3_{− =}1 3_.

c. Resuelve analíticamente la ecuación 2x+3_{− =}1 3_{y compara la solución con} la que obtuviste en b.

27 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación 2x+3_{− =}1 8_.

b. Resuelve analíticamente la ecuación 2x+3_{− =}1 8_{y compara la solución con} la que obtuviste en a.

28 a. Usa el gráfico del ejercicio anterior para resolver la ecuación 2x+3_{− = −}1 5_.

b. Resuelve analíticamente la ecuación 2x+3_{− = −}1 5_{y compara la solución con} la que obtuviste en a.

29 Discute según k la solución de la ecuación 2 1

2 1 3 3 x x k f x + + − = = − ( ) .

Ayuda: Usa el gráfico de la función f dada por

2 1 2 1 3 3 x x k f x + + − = = − ( ) y las soluciones de

(13)

80

30 Resuelve analíticamente las siguientes ecuaciones:

a. 4x+1_{− =}1 15 _b.₄3x_⋅₄2x−2₌₆₄ c. 4 1 4 1 2 x x − =   d. 932 1 27 x x− = e. 10 3 3 1 3 1 + x+ = _f. _e2x−1 ₌_e2 g. 2 5₍ 2x₎₌30 _h. _e3x+1₌₂ i. 1 ₄ 2 e x =

(14)

81 ECUACIONES Y FUNCIONES EXPONENCIALES

Y LOGARÍTMICAS

31 El siguiente gráfico corresponde a la función f dada por f(x) = ln x.

a. Mirando el gráfico, estima.

ln 0,5 =

ln 1,5 =

ln 5 =

b. Mirando el gráfico, estima x.

ln x = –2 → x=

ln x = 0,5 → x=

ln x = 1,2 → x=

c. Explica como hiciste para estimar los valores obtenidos en a y b.

d. Verifica los resultados obtenidos usando la calculadora científica. Aproxi-ma a los centésimos.

32 Resuelve las siguientes ecuaciones. Puedes usar GeoGebra para comprobar las soluciones. a. log2x = −1 b. log(x−1)=2 c. ln(2x+1)= −2 d. log(x+1)=0 5, +logx e. − +1 lnx=0 f. log3 1 27 _{= −}_x2₊₁ 2 –3 1 –4 –5 4 –1 3 –2 5 2 4 6 8 10 12 y x 0 f x( ) = lnx

(15)

P

ar

a r

ecor

dar

82 Cr

ecimiento y decr

ecimiento de poblaciones

El crecimiento de cier

tas poblaciones de seres vivos puede represen

-tar

se por medio de una función exponencial de la for

ma P ( t ) = c · a t, donde c

representa la población inicial.

Además, a se calcula como a =+ 1 100 r (o a =− 1 100 r ), si la población

aumenta (o disminuye) siendo

r

la tasa

de crecimiento (o decrecimien

-to) por unidad de tiempo.

Si una colonia de 3000 hor

migas aumenta un 38% mensual,

la ex

-presión que per

mite obtener la

cantidad de

habitantes de

la colonia

en función del tiempo (expresado en meses) es

H ( t ) = 3000 · 1,38 t. En cambio,

si una colonia de 50 000 mosquitos se está extinguien

-do al 25% diario, M ( t ) = 50 000 · 0,75 t representa la cantidad de

mosquitos que quedan vivos por día.

Muchas colonias de seres vivos se reproducen durante un tiempo de acuerdo con una le

y exponencial y luego el crecimiento se frena.

El gráfico muestra el desar

rollo de una colonia de 100 tr

uchas en una laguna. La expresión que representa la situación es T () , t e t = +⋅ −⋅ 50 0 14 09 , y

500 es el valor límite de habitantes de esta colonia.

200 100 t 400 300 500 600 24 Cantidad de tr uchas 61 01 21 41 6 8 0 T ()t

Funciones exponenciales

Las funciones de la for

ma f ( x ) = a x se denominan exponenciales porque la variable x aparece en el exponente. Ha

y que tener en cuenta que:

•

La base

a

es un número real positivo y distinto de 1.

• Si a > 1, la función es creciente; si 0 < a < 1 la función es decreciente. Además,

si las bases de dos funciones de la for

ma f ( x ) = a x son in ver sas (el

producto entre ellas es 1) sus gráficos son simétricos respecto del eje

y . El gráfico cor responde a la función f dada por f ( x ) = 3 x y a la g dada por gx x () =     1 3 . f es creciente y g es decreciente. El do

-minio de ambas funciones es

¡ y el re -cor rido, (0; +∞). La recta y = 0 es asínto

-ta de los gráficos de ambas funciones.

Si una función es de la for

ma h ( x ) = k a x + c puede anticipar se que y = c

será asíntota de su gráfico.

Además,

si

k

> 0,

el crecimiento de la función respeta lo dicho para

f ( x ) = a x, mientras que si k < 0, se in vier te. En consecuencia, si k > 0, Rec h = ( c ; +∞), y si k < 0, Rec h = (–∞; c ) El gráfico cor

responde a las funciones

f y g dadas por f ( x ) = 2 x – 3 y a g ( x ) = –2(3 x) + 1. f

tiene una asíntota horizontal en _y = –3 y su recor

rido es (–3; +∞). La recta y = 1 es asíntota del gráfico de g . Su base es ma yor que 1, por

lo que debería ser creciente; pero al estar multiplicada por –2,

el gráfico se in vier te y la función es decrecien -te. En consecuencia, Rec g = (–∞; 1). 2 5 4 3 1 _–1 6 7 4 –2 –4 y x 0 2 fx () gx () 2 4 –1 –2 –4 3 4 –2 –4 y x 0 2 fx () gx () –3 1

(16)

P

ar

a r

ecor

dar

83 Funciones logarítmicas

La in

ver

sa de una función exponencial del tipo

f ( x ) = a x es otra función de la for ma h ( x ) = log a x , denominada función lo garítmica . La base de la función logarítmica es a . Por ser a la misma que en la función exponencial,

debe ser un número real positivo distinto de 1.

El gráfico cor responde a la función f dada por : f ( x ) = 3 x y la h dada por : h ( x ) = log 3 x . Como pasa con todas las funciones in ver sas, el dominio de una coincide con el recor rido de la otra. En consecuencia, Dom h = (0; +∞) y Rec h = ¡ . Además, x = 0 es asíntota ver tical del gráfico de h .

Igual que en la función exponencial,

si a > 1 la función logarítmica es creciente; y si 0 < a < 1, la función es decreciente. Además,

si las bases de dos funciones del tipo

f ( x ) = log a x son in ver

-sas (el producto entre ellas es 1) sus gráficos son simétricos respec

-to del eje

x

.

El gráfico cor

responde a las funcio

-nes f y g dadas por : f ( x ) = log 2 x y a gx x () lo g = 1 2 . f es creciente y g , decreciente.

El dominio de ambas es (0; +∞) y la imagen es

¡

.

La recta

x

= 0 es asíntota de los gráficos de ambas funciones.

ma h ( x ) = k log a ( x – b ) + c , su dominio es ( b ; +∞) y x = b es asíntota de su gráfico. Además, si k > 0,

f ( x ) = log a x , mientras que si k < 0, se in vier te. El valor de c

genera un desplazamiento ver

tical que no modifica el

dominio ni la asíntota ver

tical. 2 5 4 3 1 _–1 _–2 _–3 _–4 _–5 4 –2 –4 y x 0 2 fx () hx () 2 –3 1 –1 3 –2 24 68 –2 y x 0 fx () _gx()

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

A tra

vés del gráfico de las funciones exponenciales y logarítmicas se

pueden estimar soluciones de ecuaciones,

analizando para qué valo

-res de

x

la función alcanza un deter

minado valor de y . El gráfico cor responde a la función f ( x ) = –0,5 log 2 ( x + 3) – 1. El dominio de f es (–3; +∞) y la asíntota ver tical es x = –3. Como la base es ma yor que 1 y el

número que multiplica es negativo, la función es decreciente. Para estimar la solución de

−− =− + 05 11 2 3 ,l og () x se puede anali

-zar para qué valor de

x es y = –1. Así, x ; –2.

De manera análoga se puede hallar

alg

ebraicamente

la solución de

la ecuación anterior así: −−

=− −= = + + + + 05 11 05 0 0 3 2 3 2 3 2 3 ,l og ,l og lo g () () () x x x x == += =− =−

{}

−∈ 2 31 2 22 0 x x Sf () Do m 2 1 _–3 3 _–2 24 6 –2 –4 y x 0 fx () –1

Funciones exponenciales

Las funciones de la for

ma f ( x ) = a x se denominan exponenciales porque la variable x aparece en el exponente. Ha

y que tener en cuenta que:

•

La base

a

es un número real positivo y distinto de 1.

• Si a > 1, la función es creciente; si 0 < a < 1 la función es decreciente. Además,

si las bases de dos funciones de la for

ma f ( x ) = a x son in ver sas (el

producto entre ellas es 1) sus gráficos son simétricos respecto del eje

y . El gráfico cor responde a la función f dada por f ( x ) = 3 x y a la g dada por gx x () =     1 3 . f es creciente y g es decreciente. El do

-minio de ambas funciones es

¡ y el re -cor rido, (0; +∞). La recta y = 0 es asínto

-ta de los gráficos de ambas funciones.

ma h ( x ) = k a x + c puede anticipar se que y = c

será asíntota de su gráfico.

Además,

si

k

> 0,

f ( x ) = a x, mientras que si k < 0, se in vier te. En consecuencia, si k > 0, Rec h = ( c ; +∞), y si k < 0, Rec h = (–∞; c ) El gráfico cor

responde a las funciones

f y g dadas por f ( x ) = 2 x – 3 y a g ( x ) = –2(3 x) + 1. f

tiene una asíntota horizontal en _y = –3 y su recor

rido es (–3; +∞). La recta y = 1 es asíntota del gráfico de g . Su base es ma yor que 1, por

lo que debería ser creciente; pero al estar multiplicada por –2,

el gráfico se in vier te y la función es decrecien -te. En consecuencia, Rec g = (–∞; 1). 2 5 4 3 1 _–1 6 7 4 –2 –4 y x 0 2 fx () gx () 2 4 –1 –2 –4 3 4 –2 –4 y x 0 2 fx () gx () –3 1

(17)

84 Más actividades

33 Analiza la expresión de cada función exponencial y determina su imagen, la ecuación de la asín-tota, su ordenada al origen y si se trata de una función creciente o decreciente.

a. f x x ( )=     − 2 3 5 c. h x x ( )= ⋅3 2 −0 5, b. g x_{( )}₌₄x ₊₁ _d._{j x}_{( ) ( ) ,}_{= −}_{2 0 7}x ₊₁₀

34 Representa las funciones del ejercicio anterior y verifica si se cumple lo que anticipaste. Puedes usar GeoGebra.

35 Escribe una expresión del tipo f(x) = ax₊_c_para la cual:

a. Rec f = (4; ∞) y sea creciente.

b. Rec f = (4; ∞) y sea decreciente.

c. Su asíntota sea y = –5 y sea decreciente.

36 En la actividad anterior, ¿cuántas expresiones puedes escribir en cada ítem? Si hay más de una, explica por qué y qué características tienen todas.

37 La ordenada al origen de una función del tipo

f(x) = ax₊_c_{es 8; además,}_f_{(1) = 10. Halla el valor} de a y c, y reescribe la expresión.

38 Escribe la expresión de una función de la forma

f(x) = kax₊_c_{cuya imagen incluya todos los} nú-meros menores que 1. ¿Puede ser esta una fun-ción creciente? ¿Y decreciente?

39 Esteban dice que si la expresión de una función es de la forma f(x) = kax₊_c_{y la función es} cre-ciente, entonces a es mayor que 1. ¿Siempre se cumple esto? ¿Por qué?

40 Se estima que en un bosque hay 8 000 m3_de

ma-dera y que esa cantidad aumenta 3,2% por año.

a. ¿Cuánta madera se espera tener en 8 años?

b. No se permite la explotación del bosque hasta que la cantidad de madera supere los 20 000 m3_{. ¿Cuánto tiempo habrá que}

espe-rar para comenzar a talar?

41 Una colonia de ranas está en un proceso de ex-tinción. El gráfico muestra la cantidad de ejempla-res que aún quedan vivos por mes.

80 40 Tiempo (meses) 160 120 200 1 2 Ranas vivas 3 4 5 6 0

a. ¿Cuántas ranas había inicialmente?

b. ¿Qué porcentaje de ranas se muere cada mes?

c. Escribe una expresión del tipo R(t)= k at_con la que se pueda calcular la cantidad de ranas vivas que hay cada mes.

42 Una colonia de iguanas se reproduce de acuerdo

con la fórmula I( )t _, e t = + − 200 1 19 0 2 , donde I es la

cantidad de iguanas en función del tiempo medi-do en meses.

a. ¿Cuántas iguanas hay inicialmente?

b. ¿Cuál es el valor límite de iguanas que la colo-nia no podrá sobrepasar?

c. ¿Cuántas iguanas se espera tener al año de comenzada la reproducción?

43 Representa en el mismo sistema cartesiano las funciones f y g dadas por f(x) = 10x_y_g₍_x_{) = log}_x (puedes usar el GeoGebra). ¿Respecto de qué recta son simétricas sus gráficos? Escribe sus diferencias y similitudes.

44 Escribe la expresión de una función del tipo

f(x) = log_a (x + c) para cada caso.

a. Dom f = (–2, ∞) y f(6) = –3.

b. Dom f = (6, ∞) y f(15) = 2.

c. Dom f = (–1, ∞) y f(0,5) = –1.

45 Analiza la expresión de cada función y determina su dominio, la ecuación de su asíntota, sus raíces y si se trata de una función creciente o decreciente.

a. f(x) = log₇ (x – 9)

b. g(x) = log_0,2 (x + 4)

(18)

40 Se depositan $ 30 000 en un banco que ofrece un interés del 12% anual. Al finalizar cada año, los intereses acumulados pasan a formar parte del capital.

a. Si no se efectúa ningún retiro de dinero, ¿cuán-to habrá a los 8 años de realizado el depósi¿cuán-to?

b. Planteá una fórmula que permita calcular el dine-ro que habrá en el banco, en función del tiempo (en años), si no se realizan extracciones.

c. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir hasta que el depósito inicial se triplique?

39 A partir del gráfico de la función f dada por

f(x) = log_1,7 (x + 1,5) estima el valor de x para el que:

a. f(x) = –1 c. f(x) = 5

b. f(x) = 2,5 d. f(x) = 6,5

Para representar puedes usar el GeoGebra, luego resuélvelas analíticamente.

40Resuelve gráfica y analíticamente las siguientes ecuaciones:

a. 32x_{= 81} _c.₃x + 1_{– 2 = 4}

b. 3x – 1_{= 7} _d.₃_·₃x – 2_{= 5}

85 Autoevaluación

1 Analizando cada expresión completa el cuadro sobre cada función.

¿Creciente o

decreciente? Asíntota Dominio Recorrido

Ordenada

al origen Cero o raíz

f(x)= 0,7x_{– 4}

g(x)= 9,2x_{+ 8}

h(x)= log₇ (x + 2)

2 En el gráfico se representó una función del tipo f(x) = log_a (x – k).

a. Determina el valor de a y de k, y reescribe su expresión.

b. Indica el dominio, el recorrido, la raíz y la asíntota de la función.

c. A partir del gráfico, estimá el valor de x para que

f(x) = –2.

3 Una colonia de monos se reproduce de acuerdo con una función exponencial y el número de sus ha-bitantes aumenta un 8% cada año. Hoy se realizó un conteo y se determinó que hay 200 ejemplares.

a. ¿Cuántos monos habrá dentro de 5 años, sin considerar ninguna muerte?

b. ¿Cuánto tiempo habrá pasado cuando haya más de 1000 ejemplares?