00 TOPOGRAFIA EN ARQUITECTURA - LIBRO.pdf

PRÓLOGO

LECTOR, O MEJOR DICHO, ESTUDIANTE que te acercas a esta materia por primera vez, y eres tan curioso como para leer el prólogo de la obra, he de advertir que estas palabras preliminares no son del autor, sino de alguien, elegido por éste –no siendo la primera vez que lo hace– para presentarlo.

El autor, hombre obstinado sin duda, me ha encargado este preludio, quizás para que salga de mi rutina literaria y me obligue a leer algo árido, lacónico, aséptico y preciso, como el gran Henry Boyle, a quien conocerás como Stendhal, que leía a diario una página del Código Civil para no perder la precisión en su estilo, o quizás, me convenceré de una vez, de que realmente le parece adecuado –me refiero con esto a mi estilo– para introducir un manual técnico. Por consiguiente, y como no soy conocedor, más de lo que aquí contaré, de la ciencia que este manual encierra, escribiré este exordio, como ya lo hice una vez, de oído, es decir, contaré una historia, espero que provechosa, tan curiosa como interesante, una historia que parece hecha a medida para este momento.

A medida parece ya que, comenzaré diciendo a modo de introducción, al leer este libro se ha producido un hecho curiosísimo que conocerás poco a poco en las próximas líneas. Así pues, lo primero que diré acerca de la materia de la que trata, es decir la topografía o la geodesia, en primer lugar es que yo hasta ahora no había alcanzado a diferenciarlas, y en segundo lugar,

que sobre dicha materia lo único que hasta ahora había sabido se debe a los escritos, del protagonista de mi anunciada historia, Mateo Stral, y por otros relacionados que encontré al paso de investigar acerca de su vida, y este es el hecho tan curioso del que hablaba. Diré que de Mateo Stral no he encontrado hasta ahora ninguna referencia escrita, aparte de las que yo poseo, y que ahora contaré, ni por tanto supongo que exista nada. Sí he encontrado sin embargo, y de algunos mucho, acerca y de personajes que ciertamente estuvieron relacionados con él.

En mi familia, siempre habíamos tenido a Stral por un antepasado, pero, estrictamente no lo fue, ya que, aunque tuvimos antepasados comunes, la relación que nos une es la descendencia que tuvo un tío suyo, hermano de su madre, concretamente Edouard de Saint-Nazaire, hermano de la madre que fue de Maeo Stral, Marie de Saint-Nazaire. Todo lo que voy a contar, a modo de brevísima biografía de un hombre, que, a través de otros, fue luminaria insigne, lo conozco por una serie de cuadernos manuscritos, que forman algo parecido a un diario, aunque en realidad son la recopilación de apuntes, anotaciones y dibujos de toda una vida, y cuya traducción y casi interpretación, y la posterior ordenación cronológica, ha sido mi dedicación de los últimos años. Estos papeles son legado de mi familia materna, y han estado en posesión de la familia desde hace más de tres siglos, cuando, y esto es deducción, Etienne, hijo de Edouard de Saint-Nazaire los recogió, probablemente tras la muerte de su primo. En mi familia hemos tenido a Mateo Stral como antepasado, tal como digo, hasta que hemos podido desentrañar parte de la historia, y, después de tantos años, casi lo consideramos. El Cuaderno de Mateo Stral lo seguiré guardando, y pasará a algún descendiente de nuestra familia, como siempre ha sido hasta ahora, y, como él parece que quiso quedar en el anonimato, no lo mencionare más que ahora, ni publicaré, mientras esté bajo mi custodia, pero permitidme que cuente esta historia, ya que, tras leer el libro cuyo autor me ha pedido prologar, no puedo resistir sin contarla. Verás, querido lector o estudiante, que viene al caso, y es apropiada, tanto como lo es la cal a la fábrica de albañilería.

Mateo Stral nació en el seno de una acomodada familia, en la villa de Le Flèche, el 12 de diciembre de 1598, cuando gobernaba la ciudad el Señor Gillaume Fouquet de la Varenne. Su padre Adrien

Stral era médico, y su madre Marie de Saint-Nazaire, procedía de una familia del Loira, mujer de espíritu inquieto y vasta cultura. Mateo aprendió de su padre el orden y la disciplina, de su madre el amor por las artes, la lectura y la inquietud por el estudio. Cuando tuvo la edad ingresó en la moderna institución fundada por el mencionado gobernador de Le Flèche, el Collège Royal Henri-le-Grand, que ostentaba el nombre del Rey Henry IV, de quien el Señor de la Varenne se sentía orgulloso de ser amigo, y que fue desde su fundación, regida por los Jesuitas. Había que comprender que a principios del siglo XVI, hablar de la cultura del imperio católico español, entonces bajo el reinado de Felipe III, era signo de modernidad y, de alguna manera de inteligencia. La

Societa Jesu, fundada casi un siglo atrás por San Ignacio de

Loyola, San Francisco Javier y otros cinco compañeros, fue una activísima institución evangelizadora, y de una importancia capital para la implantación del Catolicismo en gran parte de Europa tras el Concilio de Trento. Sus teólogos han sido tanto luz

de Trento como luz de la cultura, en los numerosos centros

educativos, tanto colegios como universidades que fundaron en toda Europa.

Allí Mateo, pues, en el Collège Royal de los Jesuitas, aprendió, latín, griego, matemáticas, física, biología, filosofía, música, arquitectura y astronomía, y leyó a autores tales como Cicerón, Horacio, Virgilio, Homero, Aristóteles y Platón, con los consiguientes comentarios de autores jesuitas, muchos de ellos lógicamente españoles, como eran Francisco Suárez, Francisco de Vitoria, Cristopher Clavius y Pedro de Fonseca entre otros. Mateo se educó de acuerdo con el sistema didáctico de los jesuitas, el

Ratio Studiorum, y se ejercitó, como todos sus condiscípulos en

la discusión, o disputatio, siguiendo la práctica clásica. En el Collège Royal Mateo aprovechó sobremanera las enseñanzas de sus maestros jesuitas, del que sólo menciona a un tal al Père Romero, así como su sistema de vida y su filosofía. Sobre ellos cuenta que se lo dieron todo en cuanto a conocimiento, y que admiraba la maravillosa sensación de libertad que le infundieron, lo importante que desde entonces fue para el la libertad, esencia misma del hombre, escribe Mateo que la libertad es algo que ni el

Creador puede quitar al hombre, puesto que libre lo ha creado y libre lo quiere, así, si Dios quitase la libertad al hombre, le quitaría una parte esencial de sí mismo, convirtiéndolo en un ser distinto. Por otro lado, digamos en el lado negativo, cuenta que no

podía estar de acuerdo con el empeño en utilizar las argumentaciones a conveniencia, tomando sólo la parte de la verdad que en cada momento se necesitaba. Mateo escribe: una

parte de la verdad no es la verdad, si a la verdad le quitamos algo, la convertimos en otra cosa.

También, entre los amigos que menciona, sólo cabe destacar a Renè o Renato, en cuya unión hace prácticamente toda los estudios que compusieron su educación en el Collège Royal. Sin duda Renato fue un amigo especialísimo con el que compartió la su amistad en la adolescencia, y también el resto de su vida, aunque como veremos más tarde, de forma exclusivamente epistolar. Renato era dos años mayor que Mateo, así terminó su bachillerato dos años antes que él, yendo a la universidad, a la que Mateo nunca pudo ir.

Entre los libros que Mateo menciona hay uno que denota un interés especial y este es Eratosthenes Batavus, sive de terræ

ambitus vera quantitate escrito por el holandés Snellius, cuyo

nombre era Willebrord Snel van Royen, y que Mateo leyó un año antes de terminar su educación con los Jesuitas. Se nota que las materias de las que trata, para Mateo despertaban una curiosidad especial, por lo que tenían de aplicación práctica de principios matemáticos, Mateo pensaba que la ciencia debía ser ante todo útil, que debía reflejarse en un interés. Así pues, los métodos

topográficos que Snellius describía en su libro, entre los que,

parece ser estaba la triangulación, supusieron para Mateo algo verdaderamente novedoso y apasionante. De la lectura de Snellius Mateo derivó sus estudios en dos direcciones, una la que apuntaba a la óptica, interés compartido con su amigo Renato y la otra a la propia aplicación a la topografía, que a Renato no interesó tanto, pero sí a Mateo. Hay que decir que ambos amigos coincidían en su curiosidad científica, pero no compartían siempre los mismos puntos de vista ni tampoco los mismos intereses. Mateo representaba los dibujos de sus estudios en un sistema que diseño en forma de retícula, cuyos bordes –derecho e inferior– estaban numerados, así llamaba a cada punto por el número que correspondía a la escala de cada uno de los bordes de la cuadrícula, Mateo decía que cada punto estaba así mejor

ordonnée, y que con esas dos referencias estaba co-ordonnée.

lo vio, copiándolo y desarrollándolo. Cuando se separaron, siguieron compartiendo sus estudios y sus deducciones. Renato siempre en un plano muy teórico y Mateo en un plano mucho más práctico. Renato estaba muy interesado en lo que el llamaba el dualismo, pero Mateo le decía que era un camino poco interesante y le decía a Renato: en todo caso siempre habrá una

duda, una duda que te acerca a la verdad, como por ejemplo la verdad de nuestra propia existencia, sé que existo por que pienso Renato, cogito ergo sum.

El verdadero cambio lo experimentó Mateo cuanto murió su padre y no pudo ir a la Universidad, en la que Renato estaba ya a punto de licenciarse. Mateo de los años del Collège Royal además de una sólida formación intelectual y una enorme curiosidad científica, obtuvo la amistad con alguien, a quien, tras la finalización del bachillerato, no volvió a ver, aunque, siempre mantuvo el contacto por correo, su amigo René, a quien siempre llamó Renato, siendo, recíprocamente, llamado por éste, Mateus. Renato y Mateus, en los años del Collège Royal, fueron inseparables. Renato, una vez finalizado su bachillerato, se fue a estudiar a la universidad de Poitiers, que con fundación a comienzos del siglo XIV es una de las más antiguas de Francia, como lo hicieron algunos de sus otros compañeros, y Mateo tenía pensado seguir los pasos de Renato, pero terminado el periodo de bachiller, su padre murió, no pudiendo la viuda Stral permitir el gasto que suponía la educación superior de su hijo, aunque bien que ella lo hubiese querido. Mateo obtuvo el puesto de maestro en una escuela de Le Flèche, sin haber completado su currículo con una educación superior, aunque, por lo que se puede deducir, nunca abandonó el estudio y la investigación, sobre todo en las ciencias que más le interesaban: las matemáticas, la geodesia, la astronomía y la filosofía.

Renato entonces, empezó a sorprender al mundo, pero nunca sorprendió a Mateo, ya que él sabía todo el proceso intelectual que René había seguido, y sobre todo a las ideas que, gracias a su formación universitaria y a su prestigio podía esparcir por el mundo, cosa que Mateo, no podía. Matero escribió a René cuando vislumbró la posibilidad de desarrollar una ciencia maravillosa. Mateo seguía estudiando desarrollando ideas, como un teorema de poliedros que envió a René en una de sus cartas, o un método para poder construir polígonos regulares, que decía así: para

construir un polígono regular inscrito en una circunferencia has de partir del ángulo interior de sus lados, que hallarás multiplicando el círculo completo de trescientos sesenta grados por el número de lados buscado menos dos y dividiendo el resultado por el doble del número de lados buscado, y la longitud del lado será el producto del diámetro de la circunferencia por el seno del ángulo que es la mitad del complementario del que forman los lados del polígono. Siendo

este uno de los ejemplos que contienen los escritos de Mateo junto con muchos otros estudios acerca de círculos, ángulos y figuras geométricas. René publico su primer libro, pidiendo permiso a Mateo para incluir sus ideas, aunque estas eran fundamentalmente filosóficas. Mateo pensaba que a través de René podría difundir sus propias ideas, y así lo hizo: René, instalado en París, obtenía de sus interminables cartas frutos indudables, y Mateo, humilde maestro de escuela de provincias, se sentía orgulloso de sus ideas y de su amigo. René agradeció siempre a Mateo que de su intercambio de ideas surgiera tanta luz.

Mateo se casó, y tuvo dos hijas, René nunca lo hizo. Cuando Mateo conoció a Clara, su mujer, escribió a René: mi querido

amigo, he encontrado a una mujer cuya belleza se parece a la verdad.

Su amistad duró hasta que, tras vivir en algunos países de Europa, y ser un personaje famoso y respetado, René murió en Suecia de una enfermedad pulmonar, aunque luego alguien dijo que había sido envenenado. Siendo Mateo un anciano, visitó los restos de su amigo René, que habían sido trasladados a la iglesia de Saint-Genevieve-du-Mont de París, por orden del gobierno de la nación.

De todas formas, lo que apasionaba a Mateo era la astronomía, y también la geodesia, estando obsesionado por la forma de la tierra y sus dimensiones, desde que leyera en el libro de Snellius la medicion que éste había hecho. La mayor parte del tiempo que podía dedicar al estudio era nocturno, y tras muchas noches se acostumbró a estudiar las órbitas de los cuerpos celestes, pensando y calculando cuánto podría medir las estrellas y los demás planetas, estando obsesionado con la medición de de la Tierra. Sí, realmente Mateo quería también medir la Tierra,

quería saber cuándo media exactamente el radio de aquella esfera, y, aunque el cálculo era muy sencillo, lo complicado era obtener los datos correctos.

Uno de los alumnos de Mateo era un niño de Le Flèche, hijo de unos amigos, que se llamaba, Jean-Felix. El niño, a veces, visitaba la casa de Mateo y siempre había mostrado curiosidad por los instrumentos que Mateo guardaba en su gabinete, y por sus dibujos, cuando Mateo comprendió que el interés del joven Jean era verdadero empezó a enseñarle matemáticas y astronomía. El pequeño Jean ingresó también en el Collège royal de La Flèche, obteniendo su título de bachiller, al tiempo que fue ordenado como sacerdote católico, sin embargo mantuvo siempre el contacto con su amigo, que consideraba su primer maestro, Mateo Stral. Ambos observaron expectantes el fantástico eclipse solar que tuvo lugar el 21 de agosto de 1645. Aunque por aquel entonces, el Reverendo Jean, ya tenía puestas sus miras en la Universidad de París, en la que se graduó cinco años más tarde, justamente un año antes de la muerte de Renato, de quien había oído hablar a Mateo muchas veces. Cinco años mas tarde, el pupilo de Mateo Stral, era nombrado profesor de astronomía del Collège de France de París, y once años más tarde ingresó en la Academie Royal des Sciencies, siendo ya una autoridad en astronomía, y desde 1655 profesor precisamente del Collège Royal, en dónde ambos habían estudiado. El Reverendo Jean, tenía en mente realizar el sueño de su primer maestro: medir la Tierra.

Mateo, era ya casi un anciano, cuando el Reverendo Jean, a quien llamaban el Abate, ya que era prior de Rillé, le dijo que estaba en disposición de establecer una medición a lo largo de un meridiano, con el objeto de calcular el radio de la Tierra. Aunque el Abate debería haber sido el director del Observatorio de París, o al menos eso pensaba Mateo, y su opinión era seria, la dedicación religiosa del Abate le impedía claramente la libertad de acción, y para este puesto habían nombrado a un petulante italiano llamado Cassini. Sin embargo la Academie, algunos dicen que bajo la influencia o incluso las órdenes de Luis XIV, le proporcionaría al Abate la ayuda necesaria para la medición. Mateo no pudo acompañar al Abate en su medición, pero entre ambos diseñaron el sistema, basándose naturalmente en los

escritos de Snellius, aunque el sistema lo había pensado una y mil veces antes el propio Mateo.

En el año de 1670, al Abate midió un arco de meridiano de un grado, entre la ciudad de Amiens y París, comenzando por la torre del reloj de Sourvon, cerca de Amiens. El resultado de la medición arrojó que un arco de longitud 110,46 kilómetros correspondía a un grado de latitud, de dónde se deduce que el radio de la tierra tiene 6.328,9 kilómetros, lo cual fue un verdadero logro tanto para Mateo como para el Abate, considerándose ésta, como la primera medición del radio de la Tierra, sin contar la que en la antigüedad había hecho Eratóstenes de Cirene. Pero, tal como pasó con los libros de Renato, al Abate Jean se llevó toda la Gloria. Mateo nunca envidió a ninguno de ambos, al contrario los animó y se alegró de sus éxitos, que en el fondo eran los suyos. Al abate Jean-Felix se le erigió un monumento en Juvisy-sur-Orge, pero ni él ni Mateo lo supieron nunca, ya que fue en 1740. Ambos habían fallecido mucho antes.

Cuando Mateo Stral murió, en Le Flèche, sólo murió un anciano que había sido Maître d’école, respetado y querido por sus pocos amigos, además de por su familia, pero poco más que eso. Su mujer y su hija habían muerto en 1666, contagiadas por la peste que asoló Inglaterra en aquellos años, y que también dejó un buen número de víctimas en Francia. Mateo había tenido una hija llamada Julienne, que tras casarse en el año 1643 había enviudado dos años más tarde, y vivía en casa de Mateo. Ambas mujeres murieron de la peste negra o peste bubónica, lo que hizo que Mateo no fuera nunca el mismo, aunque siguió con su actividad intelectual hasta su propia muerte, cuya fecha no está muy clara aunque debió de ser a muy avanzada edad, puesto que los últimos escritos datan de cinco años después de la medición del Abate, fecha en la cual Mateo tenía setenta y ocho años, y en los que describe precisamente la visita de su primo Etienne de Saint-Nazaire, punto este que fue uno de los más difíciles de descrifrar en los escritos de Mateo.

A veces me imagino, al bueno de Etienne, ocupándose de las exequias de su primo, y vendiendo su casa, por la que pasó multitud de gente que no prestaba la menor atención a los libros, tirados y deshojados en el suelo. La razón por la que mi antepasado Etienne recogió, guardó y legó, precisamente esos

papeles es un misterio, ya que Mateo casi no menciona a su familia, que se hayan conservado hasta ahora una curiosa coincidencia, que nunca se hayan descifrado en su totalidad hasta hace unos años un misterio, y que coincidan, en una gran parte, con el tema de que trata este libro una casualidad que me cuesta trabajo creer. Pero en cualquier caso, de esos escritos, anónimamente, no sólo había salido el proyecto de medición más exacto que hasta entonces se había hecho de la Tierra, había salido, sobre todo la visión más clara, hecha de método y de duda, que hasta el momento se había tenido de la filosofía, en esos papeles estaba escrito porqué nuestro pensamiento occidental enlazaba con el de los clásicos, y tomaba sentido de ellos.

Este es el destino de muchos hombres, en cuyo corazón, ocupado con otros sentimientos más altos no cabe la vanidad, este es el destino de tantos Mateo Stral como hay en el mundo, cuyos laureles los cosechan otros, pero que se sienten satisfechos porque al fin y al cabo, sus ideas ha valido para poner un hito en la historia del conocimiento humano.

De los dos personajes amigos de Mateo que aquí se mencionan, uno de ellos es tan evidente que la sorpresa de su descubrimiento aún me dura. Confieso que al segundo personaje no lo conocía, y tuve que buscar su biografía en las enciclopedias para saber quien es, puesto que Mateo nunca mencionó los apellidos de nadie, excepto de los de su madre y el suyo propio. Descubrí pues, con gran asombro, que el segundo personaje también fue un hombre notable. Uno de ellos se menciona en el texto de este libro, el otro, espero que tú, lector o estudiante, no hayas tardado mucho en darte cuenta de quien es.

Tomás Álter de S.N., 19 de febrero de 2009.

1. INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

(Isaías, 38-7)

1.1. La Topografía.

La topografía, del griego τόπος = lugar y γράφειν = escribir, se define como el arte de describir y delinear detalladamente la superficie de un terreno, y es la ciencia que estudia y desarrolla el conjunto de principios y procedimientos destinados a la representación gráfica de la superficie de la Tierra, con todas sus formas y detalles, tanto naturales como artificiales.

La topografía es una disciplina básica en todos los procesos relacionados con la ingeniería y la arquitectura, siendo pues, una asignatura común a la mayor parte de las carreras técnicas así como una carrera en sí misma. En relación con la arquitectura, la topografía responde a la necesidad de solucionar dos problemas básicos: en primer lugar la posibilidad de disponer de un modelo a escala del terreno sobre el que vamos a construir, y en segundo lugar la materialización en este terreno del proyecto una vez ejecutado.

La topografía, como ciencia auxiliar de la arquitectura se ha venido usando desde que existe la propia arquitectura, en el antiguo Egipto, en Mesopotamia y en Roma, teniendo referencias

por ejemplo de los instrumentos que menciona Vitrubio, tales como el corobate o la dioptra, precursores ambos de nuestros actuales nivel y taquímetro.

Actualmente, la topografía se apoya en otras disciplinas como es la fotogrametría, que es el procedimiento para obtener planos muy precisos de grandes extensiones de terreno por medio de fotografías, tomadas generalmente desde una aeronave, método potenciado por el considerable avance actual de las técnicas fotográficas. Otros avances del desarrollo de la topografía en la actualidad se deben, como otras muchas disciplinas auxiliares de la arquitectura, al avance de la electrónica y de la informática, habiendo sustituido en casi su totalidad los antiguos aparatos topográficos por las modernas estaciones totales que combinan la toma de datos automática con programas específicos para cálculos topográficos y programas de diseño asistido por ordenador, o CAD, además de la revolución que ha supuesto el moderno sistema de posicionamiento global, o GPS.

La topografía, en cuanto al estudio de la superficie terrestre, centra su función en superficies relativamente pequeñas, superficies en las que se prescinde de la esfericidad de la Tierra, sin cometer errores apreciables. Otras disciplinas que abarcan superficies mayores son la Geodesia y la Cartografía.

La agrimensura es la rama de la topografía que se ocupa de la delimitación de superficies, la determinación de las áreas y de la descripción de los límites de éstas.

Llamamos replanteo a la materialización sobre el terreno o sobre cualquier otro elemento del mismo o de la obra, de todos aquellos puntos fundamentales que nos sirven para ubicar correctamente todas las partes del proyecto que queremos construir. El replanteo va desde la ubicación de los puntos fundamentales o bases de replanteo de una obra de cualquier tipo, hasta la colocación dentro de la obra de todos los elementos que la componen. En una obra de arquitectura el replanteo es una labor o conjunto de labores que nos ocupan de una forma constante durante toda la ejecución de la obra.

1.2. El Geoide.

En primer lugar definiremos geodesia. La geodesia, del griego

γεωδαισία = división de la Tierra, es la ciencia matemática que

tiene por objeto determinar la figura y magnitud del globo terrestre o de gran parte de él, así como, en combinación con la cartografía, construir los mapas. La cartografía es el arte de trazar mapas geográficos así como la ciencia que los estudia. La geodesia es una disciplina que podemos enclavar entre las ciencias y la ingeniería, fue utilizada por primera vez por Aristóteles (384-322 a.C.), y además de levantar y representar las formas de la superficie de la Tierra, se usa también en matemáticas para la medición y el cálculo de superficies curvas.

La representación sobre un plano de un objeto como la Tierra reviste diversas dificultades, ya que si se proyecta un objeto esférico sobre un plano es inevitable que se produzcan distorsiones, y la Tierra no es siquiera un objeto esférico sino que su forma se aproxima a un elipsoide o esferoide ligeramente achatado en los polos, como veremos más adelante. Esta aproximación tampoco es válida cuando se desciende al detalle ya que la Tierra incluye numerosas irregularidades, se habla por tanto de geoide para hacer referencia a la Tierra como objeto geométrico irregular.

La geodesia define el geoide como una superficie en la que todos sus puntos experimentan la misma atracción gravitatoria siendo esta equivalente a la experimentada al nivel del mar. Debido a las diferentes densidades de los materiales que componen la corteza y el manto terrestre y a alteraciones debidas a los movimientos isostáticos, esta superficie no es regular sino que contiene ondulaciones que alteran los cálculos de localizaciones y distancias. Debido a esta irregularidad de la superficie terrestre, para describir la forma de la Tierra suelen utilizarse modelos de la misma denominados esferoides o elipsoides de referencia. Éstos se definen mediante dos parámetros, el tamaño del semieje mayor (a) y el tamaño del semieje menor (b). El aplanamiento, o diferencia de longitud de sus ejes, del esferoide se define entonces como el coeficiente (f), mediante la expresión:

El aplanamiento real de la Tierra es aproximadamente de 1/300. Alterando los valores de los coeficientes (a) y (b) se obtienen diferentes elipsoides, que han sido propuestos a lo largo de los últimos siglos, y que generalmente se conocen con el nombre de su creador. La razón de tener diferentes esferoides es que ninguno de ellos puede adaptarse completamente a todas las irregularidades del geoide, aunque cada uno de ellos se adapta razonablemente bien a una zona concreta de la superficie terrestre. Por tanto en cada país o territorio se utiliza el más conveniente en función de la zona del planeta en que se encuentre ya que el objetivo fundamental de un elipsoide es asignar a cada punto de la superficie del país donde se utiliza, un par de coordenadas geográficas, también llamadas coordenadas angulares.

A

B

C

D

a

b

b

a

a

b

a

b

(x , y)

(x , y)

Figura 1.1: Elipsoide y geoide.

La Figura 1.1 muestra como el elipsoide definido por los parámetros (a) y (b) es un modelo del geoide, pero para poder asignar coordenadas geográficas a los diferentes puntos de la superficie terrestre es necesario “anclar” elipsoide al geoide, esto se realiza eligiendo un punto en el que el elipsoide y el geoide son

tangentes, representado en las figuras C y D mediante un punto de coordenadas (x, y), este punto se denomina punto

fundamental, convirtiéndose así el elipsoide en un sistema de

referencia.

El conjunto de parámetros formado por:

• los parámetros que determinación del elipsoide (a) y (b)

• las coordenadas (x, y) del punto fundamental y • la dirección que define el norte

se denomina dátum.

Establecer cual es el dátum de un sistema de coordenadas es tarea de los servicios nacionales de geodesia. En España, el dátum utilizado tradicionalmente en cartografía, tanto en los mapas del Servicio Geográfico del Ejercito (SGE) como en los del Instituto Geográfico Nacional (IGN), es el Europeo. Este puede ser el de 1950 si el mapa está elaborado antes o durante 1979 o el europeo de 1979, si el mapa es posterior. Esta información figura en la letra pequeña del margen del mapa.

Hasta la segunda mitad del siglo XX, el propósito de los diferentes dátum era servir como modelo del geoide en porciones reducidas de la superficie terrestre a las que se adaptaban especialmente bien. Hoy en día la necesidad de estudios globales y la disponibilidad de dispositivos de toma de datos también globales (GPS, teledetección), se busca que los dátum tengan validez para todo el planeta, de forma que puedan tener empleo mundial, como el dátum WGS-84 que utilizan los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS). Para ello se hace necesario un parámetro más que es la distancia del centro del elipsoide con respecto al centro de masas de la Tierra, representado por un punto central del geoide en la Figura 1.1.

Como ejemplo, citaremos que si utilizásemos datos procedentes de mapas topográficos basados en el dátum europeo ED50 – Potsdam, con posiciones tomadas con GPS, es decir basadas en el dátum global WGS-84, sería necesario establecer la

correspondencia entre ambos: las posiciones tomadas con GPS deberán ser desplazadas 0,07 minutos al Norte y 0,09 minutos al Este.

De acuerdo con todo esto, resulta evidente que dar un par de coordenadas sin hacer referencia al dátum no es lo suficientemente preciso. En un dátum todo punto tiene un par de coordenadas único, mientras que el mismo punto tendrá diferentes coordenadas en diferentes dátum, o lo que es lo mismo un par de coordenadas puede corresponder a diferentes puntos en diferentes dátum.

1.3. Forma y dimensiones de la Tierra

La consideración de la forma redonda, o mejor dicho esférica de la Tierra no es un tema que se planteó con los viajes de Cristóbal Colón, sino mucho antes. Existen descripciones de Homero (c. siglo VIII a. C.) y de Thales de Mileto (624 a. C.-546 a.C.) acerca de que la tierra era un disco rodeado por un océano. Basándose en observaciones como la sombra curva de la Tierra en la Luna en los eclipses, la aparición de diferentes estrellas en diferentes puntos del mismo meridiano o la simple observación de la aparición progresiva del mástil de los barcos en el horizonte, Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) propugnó la forma esférica de la tierra, llegando a calcular, aunque con un considerable error, su radio en 4.000 estadios, lo que equivale a unos 632 km. Eratóstenes de Cirene (276 a. C.-194 a. C.), matemático, astrónomo y geógrafo griego, calculó con una gran aproximación el radio de la tierra, de la forma que veremos a continuación.

Alexandría

Syene

7º12'

Figura 1.2.

Eratóstenes, observó que en ciudad egipcia de Asuán (en la antigüedad Siena), durante el solsticio de verano los rayos del sol incidían de una forma prácticamente vertical sobre la superficie de la tierra, iluminando de forma directa el fondo de un pozo, mientras que en Alejandría, situada en el mismo meridiano pero más al norte, esto no sucedía ya que en el mismo momento, los rayos del sol formaban una inclinación con la vertical de 7º12’, Figura 1.2. Eratóstenes encargó el cálculo de la distancia, a pasos,

entre ambas ciudades, estimándola en 5.000 estadios, y mediante la siguiente expresión, m D r r D 55 , 605 . 286 . 6 23904 , 45 10 4 , 284 2 º 360 º 360 2 6 = × = × = ⇒ =

πα

π

α

En la que consideramos (D) la distancia entre ambas ciudades (tomando 1 estadio = 158 m) y (α) el ángulo que forman los radios de la tierra en ambos puntos, y que los rayos del sol son considerados paralelos.

El problema geodésico de la medición de las dimensiones terrestres, tal como lo conocemos hoy, fue formulado durante el siglo XIX, aunque como hemos visto, la cuestión relativa a la forma y dimensiones de la tierra es muy antiguo. El método de medidas de arco del que fue precursor Eratóstenes ha seguido aplicándose hasta el presente. En efecto, aparte de los primeros trabajos de triangulación de Tycho-Brahe (1546-1601), es Willenbrod Snel van Royen Snellius (1580-1626) quien mide en 1615 un arco de meridiano de 1º, entre Alkmaar y Bergen-op-Zoom, en los Países Bajos, y obtiene el radio terrestre con un error por exceso del 3.3%. Siguen a estas las medidas del abate Jean Picard (1620-1682) en el año 1670 entre Sourdon y Malvoisine, que fija el valor del grado terrestre con un error del orden de 0,001. Por esos mismos años Jean Richer (1630-1696) en 1673 deduce que la longitud del péndulo que bate segundos es aproximadamente 2,8 mm más corta en Cayena que en París, de donde Isaac Newton (1643-1727) y Christiaan Huyghens (1629-1695) concluyen que la Tierra es un elipsoide achatado. Por otra parte, la prolongación de las medidas de Picard hasta Dunkerque y Collioure por Giovanni Cassini (1625-1712), su sobrino Giacomo Maraldi (1687-1718) y Philippe de La Hire (1640-1716), conduce equivocadamente a la conclusión de que la Tierra es un elipsoide alargado de revolución. La famosa discusión que se origina entre los partidarios de Cassini a favor de un elipsoide alargado y los que se inclinan por un elipsoide achatado propugnado por Newton, quedó resuelta a favor de estos últimos, tanto por las misiones geodésicas que envió la Academia Francesa como por

los trabajos del matemático británico Colin McLaurin (1698-1746).

Las misiones geodésicas enviadas por la Academia Francesa en 1735, fueron dos la primera fue a Laponia entre 1736 y 1737, dirigida por Pierre Louis Moureau de Maupertuis (1698-1759), Alexis Claude Clairaut (1713-1765), Anders Celsius (1701-1744) entre otros. La segunda fue a Perú entre 1735 y 1744, dirigida por Charles-Marie de La Condamine (1701-1774) y Pierre Bouger (1698-1758) a quienes acompañó Louis Godin (1704-1760), profesor que fue de la escuela de Guardiamarinas de Cádiz, ciudad dónde murió. Esta expedición participó un equipo español del que estaban al frente el alicantino Jorge Juan y Santacilia (1713-1773) fundador del Real Observatorio Astronómico de Madrid y el sevillano Antonio de Ulloa y de la Torre-Giralt (1716-1795) fundador del Museo de Ciencias Naturales de Madrid y del Observatorio Astronómico de Cádiz. En realidad, en esta segunda expedición, se llevaron a cabo dos mediciones independientes, una por el equipo francés y otra por el español.

El precoz matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746) demostró en 1740 la posibilidad de que un elipsoide achatado fuera la figura de equilibrio para una masa fluida homogénea en rotación, siendo Clairaut en 1743 que dio el valor del aplanamiento en función de la gravedad y de la velocidad de rotación.

Más tarde entre 1792 y 1795, expedición de la que nos ocuparemos más adelante, una nueva y controvertida expedición francesa, bajo la dirección de Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) y Pierre François André Méchain (1744-1804), se midió un nuevo meridiano de 9º40’ desde Dunkerque a Montjuich, Barcelona, tales medidas sirvieron de base para la definición del metro y del sistema métrico decimal.

El siglo XIX, aparte del establecimiento de la fórmula fundamental de la gravimetría en 1849 por el matemático y físico irlandés George Gabriel Stokes (1819-1903), se caracteriza por las numerosas e importantes triangulaciones efectuadas en, Francia, España, Alemania, Inglaterra, Rusia, India, etc., y en los enlaces de estas redes entre Francia, Francia-Inglaterra,

España-África, etc., surgiendo así un notable conjunto de elipsoides de referencia (Bessel, Clark, Everest, etc.), y la fundación de la Asociación Geodésica Internacional en 1886, cuyo primer presidente fue el general español Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero, Marqués de Mulhacén (1825-1891).

Paralelamente a los trabajos anteriores, desde el comienzo del siglo XIX, ya Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), entre otros, se dieron cuenta de que las hipótesis basadas en un modelo de Tierra elipsoidal no eran válidas en observaciones de precisión. Es decir, no se podía despreciar en las mediciones de gran aproximación la desviación entre la normal al elipsoide y la vertical que define la plomada, respecto a la cual se referencian las mediciones, surgiendo contradicciones en medidas angulares en la determinación de los parámetros del elipsoide, mucho mayores que la propia exactitud y precisión de los aparatos y mediciones. Esta fue la razón de que se introdujera el geoide, definida como la superficie equipotencial correspondiente al nivel medio de los mares en calma.

El geoide es un esferoide tridimensional que constituye una superficie equipotencial imaginaria resultante de suponer la superficie de los océanos en reposo y prolongada por debajo de los continentes y que sería la superficie de equilibrio de las masas oceánicas sometidas a la acción gravitatoria y a la de la fuerza centrífuga ocasionada por la rotación y traslación del planeta; de manera que la dirección de la gravedad es perpendicular en todos los lugares. Aunque al ser su expresión matemática sumamente complicada, se prescindió del geoide como superficie de referencia y se tomó otra más asequible al cálculo. La obtención de una superficie de referencia, con una definición matemática sencilla que permita efectuar cálculos, es imprescindible para poder realizar la proyección de los puntos del relieve terrestre sobre la misma y permitir la elaboración de mapas y planos. El geoide no puede ser la superficie de referencia adoptada, pues, como hemos dicho, es muy compleja e irregular. Se toma entonces la hipótesis de escoger un elipsoide de revolución que se adapte en lo posible al geoide y que se define por unos parámetros matemáticos, denominándose elipsoide de

Así pues, durante el período comprendido entre 1880 y 1950 han predominado las determinaciones de tipo gravimétrico, que dan lugar a los elipsoides con los nombres de Helmert, Heiskanen, Outila, etc. Los importantes trabajos de John Fillmore Hayford (1868-1925) en los Estados Unidos, en los que aplica las compensaciones isostáticas ideadas por los británicos John Henry Pratt (1809-1871) y George Biddell Airy (1801-1892) hacia 1855, sirven para definir el elipsoide internacional en 1924. Sin embargo, a partir de los años 1930 se observa la tendencia a combinar el método gravimétrico con otros como el astronómico o el geométrico, siendo este el caso del ruso Feodosy Nicalaievich Krassovsky (1878-1948), cuyo elipsoide definido en 1938, aportado por la Unión Soviética en 1942.

AUTOR AÑO SEMIEJE (m) APLANAMIENTO

Delambre 1799 6.375.653 1/334 Walbeck 1810 6.376.895 1/302,78 Everest 1830 6.377.276 1/300,8 Bessel 1841 6.377.397 1/299,15 Airy 1849 6.377.480 1/299,33 Struve 1860 6.378.298 1/299,73 Clarke 1880 6.378.249 1/293,5 Helmert 1907 6.378.200 1/298,3 Hayford 1909 6.378.388 1/297 Krassovsky 1938 6.378.245 1/298,3 Hough 1956 6.378.270 1/297 Figura 1.3.

Tras la segunda guerra mundial, las observaciones de eclipses, las triangulaciones por radar y, sobre todo, las observaciones mediante satélites artificiales, dieron lugar a enlaces entre continentes, al propio tiempo que aumentaron la precisión en los datos. A partir de los años 1960, partiendo de estos nuevos datos se vuelven a proponer nuevos elipsoides, siendo por tanto en la actualidad, y desde entonces, que las mediciones y observaciones geodésicas se basan en los datos obtenidos por los satélites.

Siendo Newton quien sentó las bases de la hipótesis elipsoidal, al comprobar que la rotación terrestre es la que determina el ensanchamiento ecuatorial y por tanto el aplanamiento del elipsoide, al tiempo en que se producían las importantes observaciones del abate Picard entre 1669 y 1670, se lleva a estimar un aplanamiento del orden de 1/231, sucediéndose como se ha explicado las mediciones cada vez más precisas, dando lugar al establecimiento de distintos elipsoides de referencia, entre los cuales representamos los más importantes en la Figura 1.3. El elipsoide de Hayford fue adoptado por la IAG (Unión Geodésica Internacional), en su reunión de Madrid (1924), como elipsoide internacional.

Posteriormente, basándose en la observación de satélites artificiales, han sido propuestos, entre otros, los que se representan en la tabla de la Figura 1.4.

AUTOR AÑO SEMIEJE (m) APLANAMIENTO

Kaula 1961 6.378.163 1/298,24 Veis 1965 6.378.142 1/298,25 Lambeck 1971 6.378.140 1/298,25 Rapp 1973 6.378.142,8 1/298,256 Khan 1973 6.378.142 1/298,255 Gaposchkin 1973 6.378.140,4 1/298,256 WGS84 1984 6.378.137,01 1/298,257223563 Figura 1.4.

En su reunión de Hamburgo de 1964, la IAU (Unión Astronómica Internacional) adoptó el siguiente elipsoide:

IAU(1964) semieje (a) = 6.378.160m, aplanamiento (f) = 1/298,25

que fue más tarde confirmado por la IAG en su reunión de Lucerna y por la IUGG (Unión Geodésica y Geofísica Internacional) como Sistema de referencia 1967, para un valor de

Finalmente, en la XVII Asamblea General de la IAG, celebrada en Canberra (1979) fue preconizado un nuevo cambio, aprobado por la IUGG en su resolución nº 7, que asigna al elipsoide terrestre las siguientes dimensiones:

IUGG(1980) a = 6.378.137m, f 1/298,257

que ha recibido el nombre de Sistema Geodésico de Referencia 1980, (GRS80).

Desde mediados del siglo pasado se ha considerado la posible conveniencia de aproximar la Tierra con un elipsoide triaxial. Algunos investigadores han tratado de determinar la posible variación del radio ecuatorial terrestre con respecto a su longitud geográfica, obteniendo la diferencia (a1 - a2) entre los radios

mayor y menor, y la longitud (l) correspondiente al radio (a1). La

diferencia (a1 - a2), según las diferentes determinaciones parece

oscilar entre 150 y 350 m. La longitud (l), en promedio, es del orden de 20’E, para determinaciones astrogeodésicas y del orden de 15’W, en determinaciones gravimétricas o por satélites. Los resultados muestran una evidente disparidad, en los que parecen influir tanto el método seguido (astrogeodésico, gravimétrico o por satélites) como la carencia de suficientes datos en el mar, por lo que no parece aconsejable, de momento, su introducción en los cálculos geodésicos.

La geodesia, como teoría de la forma y dimensiones de la Tierra, puede parecer una ciencia puramente geométrica, pero no debemos olvidar que también influye en los cálculos de forma y dimensión, el campo gravitatorio, que es una cantidad física, y que no se puede desligar de la mayoría de las medidas geodésicas, incluso en las puramente geométricas. Las medidas de la astronomía geodésica, de triangulación y de nivelación hacen todas uso esencial de la línea de la plomada, que al ser la dirección del vector gravedad no está menos físicamente definida que su magnitud, esto es, que la gravedad (g).

Para fijar la posición de un punto en el espacio necesitamos tres coordenadas. Podemos usar un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. No obstante, en muchos casos es preferible tomar las coordenadas naturales: (F), latitud geográfica, (L), longitud geográfica y (H), altitud sobre el geoide,

que se refieren directamente al campo garvitatorio de la Tierra. La altitud (H) se obtiene por nivelación geométrica, combinada con medidas de la gravedad, mientras que (F) y (D) se determinan por medidas astronómicas. En tanto que el geoide pueda identificarse con un elipsoide, el uso de estas coordenadas para cálculos es muy sencillo. Puesto que esta identificación es suficiente sólo para resultados de muy baja precisión, la desviación del geoide respecto de un elipsoide debe tenerse en cuenta.

Puesto que las desviaciones del geoide con respecto al elipsoide son pequeñas y pueden ser calculadas, es conveniente añadir pequeñas reducciones a las coordenadas originales (D), (F) y (H) de modo que se obtengan valores que se refieran a un elipsoide. De esta forma, se tiene:

f = F – x l = L - h sec f

h = H + N

(f) y (l) son las coordenadas geográficas sobre el elipsoide, llamadas también latitud geodésica y longitud geodésica para distinguirlas de la latitud astronómica (F) y la Longitud astronómica (D). Las coordenadas astronómicas y geodésicas difieren en la desviación de la vertical. La cantidad (h) es la altitud geométrica sobre el elipsoide; difiere de la altitud ortométrica (H) sobre el geoide en la ondulación del geoide (N). Estos sistemas de alturas se relacionan por medio de la ecuación

h = H + N

donde:

h = altura elipsoidal N = altura geoidal H = altura ortométrica

geoide h H

N terreno

elipsoide

Fig. 1.5: Diferencias de alturas entre Elipsoide y Geoide.

Las medidas geodésicas (ángulos, distancias) se tratan de forma análoga. El principio de triangulación es bien conocido: las distancias se obtienen indirectamente midiendo los ángulos de una red apropiada de triángulos; sólo una base es necesaria para proporcionar la escala de la red. La triangulación fue indispensable en los primeros tiempos, porque los ángulos podían medirse mucho más fácilmente que las grandes distancias. No obstante, hoy día las grandes distancias pueden medirse de forma tan fácil como los ángulos utilizando instrumentos electrónicos, de modo que la triangulación, usando medidas angulares, es a menudo sustituida o suplementada por la trilateración que usa medidas de distancias.

El cálculo de triangulaciones y trilateraciones sobre el elipsoide es fácil. Por lo tanto, es conveniente reducir los ángulos medidos, las bases y las grandes distancias al elipsoide, de la misma manera que se tratan las coordenadas astronómicas. Entonces, las coordenadas geodésicas o elipsóidicas, (f, l) obtenidas en primer lugar reduciendo las coordenadas astronómicas, y en segundo lugar calculando triangulaciones o trilateraciones sobre el elipsoide pueden compararse entre sí, debiendo ser idénticas para el mismo punto.

Cómo hemos visto, la aproximación geométrica que supone el elipsoide, con sus diferentes versiones, coincide más o menos con el geoide, dependiendo del punto de la tierra en que nos

encontremos, de ahí que la mayoría de los países, incluso territorios menores, quieran establecer su propio elipsoide para que coincida con el geoide en su territorio. Para esto, cada país elige un punto fundamental en el que coincide el geoide con el elipsoide elegido de referencia, existiendo como hemos visto es diferentes dátum locales y un dátum geocéntrico o global que usa el centro de masa de la tierra como origen.

Figura 1.6: Torre Helmert de Potsdam, construida en 1890.

El sistema de referencia geodésico oficial español (según la red de referencia llamada Red Geodésica Nacional Convencional, que depende del Instituto Geográfico Nacional (IGN) y que consta de unos 11.000 vértices) es el European Datum 50 (ED50) establecido como reglamentario en el Decreto 2303/1970. El ED50 es un sistema de referencia local basado en el Elipsoide Internacional de Hayford de 1924. El sistema de representación plano es la proyección conforme Transversa de Mercator (UTM), y se compone de los siguientes parámetros:

DÁTUM ELIPSOIDE SEMIEJE MAYOR

(a) SEMIEJE MENOR (b)

Potsdam

(Torre de Helmert)

Hayford

1924 6.378.388 m 6.356.911,946130 m

El punto astronómico fundamental del dátum ED-50 está en la Torre de Helmert que está en el observatorio de Potsdam, que es una población cercana a Berlín y que se escogió en los años cincuenta como centro del dátum local ED50 por estar más o menos centrado en la zona de cobertura. Existen otros dátum posteriores definidos también sobre este punto que son el ED79 y ED87, pero estos dátum no pasaron de aplicaciones científicas o técnicas, y en ningún momento se llegó a publicar cartografía referida a estos dátum, al menos en España.

1.4. Elementos Geográficos de la Tierra

Se denomina eje terrestre geográfico a la línea imaginaria que pasa por el centro de la tierra y que sirve de eje a la tierra en su movimiento de rotación, y que dura y define un día. Este se desplaza paralelo a sí mismo alrededor del sol, en una órbita elíptica dando lugar al movimiento de translación que dura y define un año (365 días). La tierra gira alrededor del sol con una velocidad de 30 Km/sg, lo que equivale a 108.000 Km/h. Topográficamente, consideraremos que el eje terrestre apunta siempre a la Estrella Polar por el norte y a la Cruz del Sur por el lado sur. Esto cambiará en el entorno de unos 35.000 años, por el denominado movimiento de precesión por el que el eje de la tierra describe un cono. Los puntos en los que el eje geográfico corta a la superficie de la tierra se llaman polos geográficos.

Polo Norte Geofráfico Polo Norte Magnético

Figura 1.7: Situación de los polos magnéticos y geográficos de la tierra.

La Tierra, que tiene el mismo comportamiento que un imán, tiene asimismo un polo positivo y un polo negativo, la línea imaginaria que une estos dos puntos se denomina eje magnético. El eje magnético y el eje geográfico de la tierra forman un ángulo de 10,5º. Cualquier imán o metal imantado que gire libremente apuntara al norte magnético de la tierra.

Denominados esfera celeste, a la esfera imaginaria cuyo centro es coincidente con la Tierra, y cuyo radio se considera infinito, es una superficie teórica sobre la que aparecen proyectadas todas las estrellas y demás cuerpos celestes según son visibles desde la tierra. eje imaginario Ecuador Trópico _{de Cán} cer Trópico _{de Cap} riconio _Merid iano de G renwi ch 0 º Círculo _{Polar A} ntártico meridianos paralelos Círculo Polar Ártico Polo Norte

Polo Sur

Figura 1.8: Elementos geográficos de la Tierra.

Llamamos vertical a la dirección que materializa el vector (g) de la fuerza de gravedad de la tierra, según el hilo de una plomada. Toda vertical corta a la superficie de la tierra en dos puntos denominados antípodas. Vertical de un punto es la recta determinada por dicho punto y el centro de la tierra, prolongada indefinidamente en ambos sentidos. Los puntos de corte de una

vertical con la esfera terrestre se llaman cenit el lado más cercano a la posición del observador, o dicho de otra forma, por encima de su cabeza, y nadir el lado más alejado, diametralmente opuesto al cenit.

Una horizontal es aquella recta perpendicular a la vertical. Plano horizontal es aquel que contiene dos horizontales. Plano horizontal tangente en un punto, es aquel que contiene dicho punto.

Plano meridiano es aquel que contiene al eje geográfico de la

Tierra. Meridiano es la línea de intersección entre un plano meridiano y la superficie de la tierra. También se definen como los círculos máximos que pasan por los polos.

Planos paralelos son aquellos planos perpendiculares a eje

geográfico terrestre. El círculo de intersección entre un plano paralelo y la superficie terrestre se denomina paralelo. El paralelo que pasa por el centro de la Tierra se denomina ecuador. El ecuador divide a la Tierra en dos partes, denominadas

hemisferios, que a su vez se denominan hemisferio norte, boreal,

septentrional o ártico, y hemisferio sur, austral, meridional o antártico.

Se denomina horizonte sensible, o simplemente horizonte, a la línea imaginaria que supone el límite visual de la superficie terrestre así como el espacio circular contenido en esa línea, también se define como el cono de visión que percibe un observador desde un punto determinado. Horizonte racional es un círculo máximo de la esfera celeste, paralelo al horizonte sensible.

Llamamos puntos cardinales a los cuatro puntos que se sitúan en la línea de horizonte y vienen determinados respectivamente por la posición del polo septentrional: el Norte; por la del Sol a la hora de mediodía: el Sur; y por la salida y puesta de este astro en los equinoccios: el Este y el Oeste. Estos puntos se puede designar por sus iniciales en español: N, S, E y O, o más habitualmente en inglés: N, S, E y W. Si nos referimos a los puntos cardinales magnéticos, son los que se definen de igual manera pero que están referidos a los polos magnéticos de la tierra, y se designarán por las mismas letras aunque son el subíndice “m”: Nm, Sm, Em y

Wm. Podemos para diferenciar los puntos geográficos de los magnéticos añadirles el subíndice “g”, aunque no es necesario. Existen sin embargo otros dos tipos de puntos cardinales, referidos al Norte, y que hay que tener en cuenta: el norte astronómico que es el que define la dirección de la estrella Polar, y norte de la malla que depende de la proyección que se utilice para pasar de coordenadas geográficas a coordenadas cartesianas a la hora de confeccionar el mapa.

Se llaman antípodas, en relación con la definición de vertical expuesta con aterioridad, cada par de puntos de la superficie terrestre diametralmente opuestos. Asimismo, se denominan

antecos a cada par de puntos situados en el mismo meridiano a

distancias iguales del ecuador, uno en cada hemisferio. Son

periecos cada par de puntos situados en el mismo paralelo, pero

separados 180º sobre éste.

Llamamos declinación magnética de un punto al ángulo que forma el meridiano geográfico con el meridiano magnético en dicho punto. La declinación será oriental cuando el Nm se encuentra al E del Ng, y occidental cuando está al W. Convencionalmente, las declinaciones orientales son positivas y las occidentales, negativas. La inclinación magnética, es una propiedad del campo magnético terrestre que señala el centro de la Tierra. Es cero en el ecuador y de 90º en el polo magnético.

1.5. Proyecciones

El proceso de transformar las coordenadas geográficas del esferoide en coordenadas planas para representar una parte de la superficie del elipsoide en dos dimensiones se conoce como proyección y es el campo de estudio tradicional de la ciencia cartográfica.

El problema fundamental a la hora de abordar una proyección es que no existe modo alguno de representar en un plano toda la superficie del elipsoide sin deformarla, el objetivo va a ser minimizar, en la medida de lo posible, estas deformaciones. Puesto que el efecto de la curvatura de la superficie terrestre es proporcional al tamaño del área representada (y en consecuencia a la escala), estos problemas sólo se plantean al cartografiar zonas amplias. Cuando se trata de cartografiar zonas pequeñas, por ejemplo una ciudad, la distorsión es despreciable por lo que se suelen utilizar coordenadas planas, relativas a un origen de coordenadas arbitrario y medidas sobre el terreno. A estas representaciones se les llama planos en lugar de mapas.

Cuando la distorsión debida a la esfericidad de la superficie terrestre se considera relevante se hace necesario buscar una ecuación que a cada par de coordenadas geográficas le asigne un par de coordenadas planas de manera que los diferentes elementos y objetos de la superficie terrestre puedan ser representados sobre un plano.

Estas ecuaciones son de la forma:

x = f1(ω,λ) ó y = f2(ω,λ)

Para obtener estas ecuaciones se proyecta (Figura 1.9) la porción de la superficie terrestre que va a cartografiarse sobre una figura geométrica (un cilindro, un cono o un plano) que sí puede transformarse en plano sin distorsiones. El foco de la proyección puede ubicarse en diferentes puntos dando lugar a diferentes tipos de proyecciones. De este modo podemos clasificar las proyecciones en función del objeto geométrico utilizado para proyectar, se habla entonces de proyecciones cilíndricas, cónicas y azimutales o planas.

foco Polo Norte Stoke Mandeville Málaga Meknes Polo Norte Stoke Mandeville Málaga Meknes

Figura 1.9: Proyección cartográfica.

En el caso de proyecciones cilíndricas o cónicas, la figura envuelve al elipsoide y, tras desenvolverla, el resultado será un plano en el que una parte de la Tierra se representa mediante un sistema de coordenadas cartesiano. En el caso de las proyecciones planas, el plano es tangente al elipsoide en un punto y no necesita por tanto ser desenvuelto.

Una proyección implica siempre una distorsión en la superficie representada, el objetivo de la cartografía es minimizar estas distorsiones utilizando la técnica de proyección más adecuada a cada caso. Las propiedades del elipsoide que pueden mantenerse son las siguientes: conformidad, equivalencia y equidistancia. Si un mapa mantiene los ángulos que dos líneas forman en la superficie terrestre, se dice que la proyección es conforme. El requerimiento para que haya conformidad es que en el mapa los meridianos y los paralelos se corten en ángulo recto y que la escala sea la misma en todas las direcciones alrededor de un punto, sea el punto que sea. Una proyección conforme mantiene además las formas de polígonos pequeños. Se trata de una propiedad fundamental en navegación.

Equivalencia, es la condición por la cual una superficie en el

plano de proyección tiene la misma superficie que en la esfera. La equivalencia no es posible sin deformar considerablemente los ángulos originales, por lo tanto, ninguna proyección puede ser equivalente y conforme a la vez. Resulta conveniente por ejemplo en planos catastrales.

Equidistancia, es la condición por la cual una proyección

mantiene las distancias reales entre dos puntos situados sobre la superficie del Globo (representada por el arco de Círculo Máximo que las une).

Como se puede ver en la Figura 1.9, las distorsiones son nulas en la línea donde la figura geométrica toca al elipsoide y aumentan a medida que la separación entre ambas aumenta. Por tanto para minimizar el error medio suelen utilizarse planos secantes en lugar de planos tangentes. De esta manera en lugar de tener una sola línea del elipsoide tangente a la Figura tenemos dos líneas secantes y las distancias a las mismas, y por tanto los errores, se reducen a la mitad. Así otro criterio para clasificar sistemas de proyección sería en proyecciones secantes y tangentes.

Existen multitud de tipos de proyecciones diferentes para realizar los mapas, las seis más importantes son: Proyección Cilíndrica Equidistante, Proyección Mercator, Proyección Polar Estereográfica, Proyección Lambert de Azimut y área constante, Proyección de Azimut Equidistante y Proyección Ortográfica. Las dos primeras proyecciones siempre presentarán un mapa rectangular del área especificada. Se exceptúan las áreas comprendidas en las latitudes 85° norte o sur, que no podrán ser representadas si se escoge la Proyección Mercator. La Proyección Cilíndrica Equidistante es realmente un escalado linear de longitudes y latitudes, Es también conocida como la Proyección de Plate Carée. Es característico observar que todas las líneas de los meridianos y paralelos son líneas rectas, y que todas las áreas representadas corresponden a perfectos cuadrados. Hay que prestar atención a que las áreas en la proyección Mercator cerca de los polos son más grandes. La Proyección de Mercator es probablemente la más famosa de todas las proyecciones, y toma el nombre de su creador, que lo creó en 1569. Es una proyección cilíndrica que carece de distorsiones en la zona del Ecuador. Una

de las características de esta proyección es que la representación de una línea con un azimut (dirección) constante se dibuja completamente recta. Esta línea se llama línea de rumbo o

loxódromo. De esta forma, para navegar de un sitio a otro, sólo

hay que conectar los puntos de salida y destino con una línea recta, lo que permite mantener el curso constante durante todo el viaje. Esta Proyección se usa extensivamente para representar los mapas mundiales, pero las distorsiones que crea en las regiones polares son bastantes grandes, dando la falsa impresión de que Groenlandia y la antigua Unión Soviética son más grandes que África y Sudamérica.

Figura 1.10: Proyección Cilíndrica equidistante y Proyección Mercator.

Los mapas representados por la Proyección Polar Estereográfica, serán dibujados con gráficos curvos. Estos mapas corresponden a un gráfico completamente circular o curvo con una extensión Este-Oeste de 360°. Este tipo de proyección se basa en las proyecciones que realizaban los griegos. Su uso principal es representar las regiones polares. Es característico ver que todos los meridianos son líneas rectas, con un azimut constante, mientras que los paralelos constituyen los arcos de un círculo.

Figura 1.11: Proyección Polar Estereográfica.

Representación plana cónica conforme directa de la superficie de una esfera o elipsoide, introducida por Lambert en 1772, se basa en un desarrollo cónico efectuado a lo largo de un paralelo central de la superficie modelo. Un mapa que use la Proyección Lambert será una figura rectangular siempre que defina áreas pequeñas o de tamaño medio. En mapas de grandes áreas se representa sobre un hemisferio entero con el área especificada dibujada en el centro del mapa. Esta proyección fue creada por Lambert en 1772, y se usa típicamente para representar grandes regiones del tamaño de continentes y hemisferios. Carece de perspectiva. Las áreas representadas coinciden con las reales. La distorsión es cero en el centro de la proyección para cada plano que se represente, pero esta distorsión aumenta radialmente conforme se aleja del centro.

La Proyección de Azimut Equidistante está representada por un dibujo circular del mundo entero que tiene representado el área de interés en el centro de la gráfica. Todas las distancias medidas corresponden con la realidad. Todos los sitios localizados a 180° del centro del mapa corresponden a la circunferencia exterior de esta figura. Lo más notorio de esta proyección es las distancias medidas desde el centro del mapa son todas verdaderas. Por tanto, un círculo que dibuje representa el conjunto de puntos que están equidistantes del origen de dicho círculo. Además, las direcciones señaladas desde el centro son también todas verdaderas. Este tipo de representación ha sido creada desde hace varios siglos. Es útil para hacerse una idea global de todas las localizaciones que están equidistantes de un punto determinado.

Figura 1.13: Proyección de azimut equidistante y Proyección ortográfica.

La Proyección Ortográfica siempre es una imagen hemisférica. El área de interés siempre está representada en el centro de la imagen. Esta proyección presenta una perspectiva tomada desde una distancia infinita. Se usa principalmente para presentar la apariencia que el globo terráqueo tiene desde el espacio. Como la proyección de Lambert y la estereográfica, sólo un hemisferio se puede ver a un tiempo determinado. Esta proyección no es ni conforme ni posee áreas reales, e introduce muchísima distorsión cerca de los bordes del hemisferio. Las direcciones desde el centro de la proyección son, sin embargo, verdaderas. Esta proyección fue usada por los egipcios y los griegos hace más de 2000 años.

La proyección UTM, siglas de Universal Transversa Mercator, es una de las más conocidas y utilizadas, entre otros lugares en España. Se trata de una proyección cilíndrica transversa (la generatriz del cilindro no es paralela al eje de rotación sino perpendicular) tal como se ve en la Figura 1.14. La Tierra se divide en 60 husos, con una anchura de 6 grados de longitud, empezando desde el meridiano de Greenwich (Figura 1.1.13). Se define un huso como las posiciones geográficas que ocupan todos los puntos comprendidos entre dos meridianos. A pesar de que se ha utilizado en casi toda la cartografía española, introduce un grave problema debido a que la Península Ibérica queda situada sobre tres husos, el 29, el 30 y el 31, estos últimos situados uno a cada lado del meridiano de Greenwich.

Latitud Long itud N S M er idi an o de Gre nw ic h 0º 3º 3º

Figura 1.14: Cilindro generador de la proyección UTM.

La representación cartográfica en cada huso se genera a partir de un cilindro diferente siendo cada uno de ellos secante al elipsoide. De esta manera en cada huso aparecen dos líneas verticales en las que no hay distorsiones (líneas A-D y C-F en al Figura 1.15), entre estas dos líneas las distorsiones disminuyen la escala (distancias y áreas se representan menores de lo que son) hacia fuera de las líneas las distorsiones aumentan la escala (distancias y áreas se representan mayores de lo que son). Estas distorsiones tienden a incrementarse conforme se aumenta en latitud por lo que la proyección UTM no debe usarse en latitudes altas y suele reemplazarse por proyecciones azimutales polares en las que el plano es tangente al elipsoide en el polo correspondiente.

b a c e d f es ca la e xa ct a es ca la e xa ct a ecuador b a c e d f escala menor escala mayor be = m er id ia no c en tr al ad = seca nte al cili nd ro y a l epi ps oide cf = se ca nt e al c ili nd ro y a l e pi ps oi de Deformación lineal: máximo 1,00096 mínimo 0,.9996

Figura 1.15: Deformaciones en un huso UTM debido a que el cilindro es secante al elipsoide.

Figura 1.16. Número y designación de las zonas en el Sistema UTM.

La representación o proyección de Lambert, conocida como proyección cónica conforme de Lambert o desarrollo cónico conforme de Lambert es una transformación conforme del elipsoide sobre un cono tangente a esa superficie a lo largo de un paralelo llamado origen, y, como el cono es una superficie reglada, se puede desarrollar sobre el plano sin deformación. Este sistema ha sido el reglamentario en la cartografía militar hasta los años setenta y se usaba como referencia el elipsoide de Struve, siendo la referencia el meridiano que pasaba con Madrid (λ =3º 41’15”) y el paralelo 40º (ω=40º00’00”).

Se supone, para mayor sencillez, un modelo esférico para la tierra y, como en todo desarrollo cónico, los meridianos tendrán como imágenes rectas concurrentes en el punto S’ homólogo del polo, Figura 1.17. La representación es conforme y un paralelo, el que se toma como origen, conserva su longitud en el plano, es decir es

automecoico. Las transformadas de los paralelos, curvas

ortogonales a las rectas serán por tanto circunferencias concéntricas de centro S’ y un radio tal que la representación sea conforme.

ECUADOR O R A A A1 2 S A1 A'o A'2 A' R0 R Kx Ky S' Y X Falso Origen O' γ φ λ λ φo

Figura 1.17: Proyección de un punto en el sistema conforme de Lambert.

Una vez obtenidas las coordenadas de acuerdo con los datos que representa la Figura 1.17, y para evitar valores negativos se les suma a cada una de ellas una constante dependiendo de la zona a representar, siendo en España el valor de 600 Km., por tanto las coordendas tendrán la expresión siguiente:

X=Rsenγ+600000 Y=Ro-Rcosγ+600000

1.6. Cartografía

La cartografía es la ciencia que se ocupa del estudio y de la elaboración de mapas, tanto de la superficie sólida como de la superficie marítima de la tierra. Se puede considerar, desde un punto de vista histórico, que la elaboración de mapas es anterior a la propia escritura, existiendo ejemplos en los que se usaban distintos tipos de grafías para representar distancias, lugares o recorridos. Nos han llegado mapas tanto puramente informativos y otros que introducen conceptos intelectuales de tipo religioso o cosmológico combinándolos con la imagen del territorio representada.

También encotramos referencias en las literatura clásica, como en el poema de “Los Argonautas”, en el que Apolonio de Rodas (295 a. C.-215 a. C.) refleja la existencia de tablas grabadas en Egipto, con caminos y los límites entre la tierra y el mar. Otros ejemplos los encontramos en el poema “La vuelta al mundo” Dionisio El Perigeta (s.II a. C.). Eustasio de Tesalónica (s.II a. C.) nos refiere que Sesostris I, fundador de la XII dinastía, dio a los egipcios tablas con la representación de sus viajes. En la ruinas de Thebas el egiptólogo francés Auguste Mariette (1821-1881) encontró inscripciones con representaciones cartográficas, con una antigüedad de más de 3.700 años, aunque en nada se parecen a nuestros mapas actuales, ya que sólo hay figuras etnográficas, tipos de hombres y de otros seres colocados en el orden de su posición geográfica, acompañados de leyendas indicadoras de los pueblos a los que pertenecen, de forma análoga a la que más tarde utilizarían los romanos. También es conocido que los egipcios disponían de un catastro, con representación del territorio en ladrillos o tablillas

En tiempos más recientes, cabe destacar figuras en la historia como el gran cartógrafo hispanomusulmán Abu Abd Allah Muhammad al-Idrisi (1100 - 1166), quien usó como principal fuente el trabajo de Claudio Ptolomeo (90-170) para confeccionar un mapa del mundo en 1154. El geógrafo alemán Martin Waldseemüller (1470-1520), quien nombró por primera vez el nombre de América, para referirse al nuevo continente. El cartógrafo flamenco Abraham Ortelius (1527-1598), publicó lo que podemos denominar el primer atlas moderno.