Ejercicio:
Diseñar la enfierradura a corte y flexo compresión del muro “PA1” de 20 (cm) de espesor, ubicado en el borde de un edificio de 15 pisos mostrado en la figura inferior.
Considere para el diseño los siguientes datos:
• Hormigón de calidad H-30 (F’C=25 Mpa)
• Acero de calidad A63-42H (fy=420 MPa)
• Lw = 6 m
• Hw = 45 m
• Aunque la razón hw/lw es mayor a 4 , se diseñara como muro esbelto.
• En la siguiente tabla se muestran los esfuerzos de diseño del muro obtenidos para las combinaciones de cargas UDWALL4 = 1.2D+1.4E+1L y UDWALL6 =0.9D+1.4E
• El programa desde el cual se obtuvieron los esfuerzos de diseño (ETABS) considera el siguiente convenio de signos para las cargas axiales: (+) tracción (-) compresión.
Nota: En este ejemplo solo se diseñara para 2 combinaciones de carga. Es importante destacar que en los proyectos reales el muro debe ser diseñado para un set de combinaciones de carga.
Tabla # 1: Esfuerzos de diseño para muro PA1
Story Pier Load Loc P (T) V2 (T) M3 (T*m) STORY15 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -35.21 -18.33 -34.12 STORY15 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -21.74 -13.47 -31.966 STORY14 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -72.36 -30.05 -71.311 STORY14 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -44.58 -24.74 -66.271 STORY13 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -109.37 -36.37 -119.655 STORY13 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -67.37 -31.72 -113.671 STORY12 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -146.29 -42.15 -179.645 STORY12 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -90.12 -37.73 -173.373 STORY11 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -183.05 -46.95 -253.762 STORY11 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -112.78 -42.62 -247.421 STORY10 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -219.6 -51.28 -338.685 STORY10 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -135.32 -47 -332.352 STORY9 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -255.85 -55.52 -433.396 STORY9 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -157.66 -51.27 -427.098 STORY8 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -291.73 -59.94 -539.196 STORY8 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -179.77 -55.72 -532.951 STORY7 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -327.17 -64.57 -658.088 STORY7 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -201.57 -60.39 -651.908 STORY6 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -362.07 -69.22 -791.996 STORY6 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -222.99 -65.08 -785.903 STORY5 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -396.35 -73.6 -942.118 STORY5 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -243.96 -69.52 -936.162 STORY4 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -429.9 -77.4 -1108.56 STORY4 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -264.41 -73.4 -1102.88 STORY3 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -462.62 -80.24 -1290.12 STORY3 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -284.24 -76.43 -1285.12 STORY2 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -494.41 -81.64 -1483.79 STORY2 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -303.38 -78.28 -1480.67 STORY1 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -525.06 -79.35 -1679.53 STORY1 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -321.68 -77.79 -1683.49
1. DISEÑO A FLEXO COMPRESIÓN:
Se utilizara diagrama de interacción desarrollado por Manual de cálculo Gerdau Aza: Las opciones de gráficos son:
Para cada piso se deben calcular los parámetros de entrada de los diagramas de interacción: Story Pier Load Loc P (T) V2 (T) M3 (T*m) Pu/(f'c*Ag) Mu/(f'c*Ag*L) STORY15 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -35.21 -18.33 -34.12 0.012 0.002 STORY15 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -21.74 -13.47 -31.966 0.007 0.002 STORY14 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -72.36 -30.05 -71.311 0.024 0.004 STORY14 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -44.58 -24.74 -66.271 0.015 0.004 STORY13 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -109.37 -36.37 -119.655 0.036 0.007 STORY13 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -67.37 -31.72 -113.671 0.022 0.006 STORY12 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -146.29 -42.15 -179.645 0.049 0.010 STORY12 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -90.12 -37.73 -173.373 0.030 0.010 STORY11 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -183.05 -46.95 -253.762 0.061 0.014 STORY11 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -112.78 -42.62 -247.421 0.038 0.014 STORY10 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -219.6 -51.28 -338.685 0.073 0.019 STORY10 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -135.32 -47 -332.352 0.045 0.018 STORY9 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -255.85 -55.52 -433.396 0.085 0.024 STORY9 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -157.66 -51.27 -427.098 0.053 0.024 STORY8 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -291.73 -59.94 -539.196 0.097 0.030 STORY8 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -179.77 -55.72 -532.951 0.060 0.030 STORY7 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -327.17 -64.57 -658.088 0.109 0.037 STORY7 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -201.57 -60.39 -651.908 0.067 0.036 STORY6 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -362.07 -69.22 -791.996 0.121 0.044 STORY6 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -222.99 -65.08 -785.903 0.074 0.044 STORY5 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -396.35 -73.6 -942.118 0.132 0.052 STORY5 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -243.96 -69.52 -936.162 0.081 0.052 STORY4 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -429.9 -77.4 -1108.56 0.143 0.062 STORY4 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -264.41 -73.4 -1102.88 0.088 0.061 STORY3 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -462.62 -80.24 -1290.12 0.154 0.072 STORY3 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -284.24 -76.43 -1285.12 0.095 0.071 STORY2 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -494.41 -81.64 -1483.79 0.165 0.082 STORY2 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -303.38 -78.28 -1480.67 0.101 0.082 STORY1 PA1 UDWAL4 MIN Bottom -525.06 -79.35 -1679.53 0.175 0.093 STORY1 PA1 UDWAL6 MIN Bottom -321.68 -77.79 -1683.49 0.107 0.094
Con estos parámetros se ingresan a los diferentes diagramas de interacción y se seleccionan las enfierraduras correspondientes.
En este ejemplo se trabajara con el grafico H-074, sinembargo el alumno debe realizar los diseños con el resto de los gráficos y obtener conclusiones comparativas.
En la figura siguiente se muestra el diagrama de interacción para cuantias de borde de 1%, 2% y 3%. Además se muestran simultáneamente los puntos que representan a las cargas solicitantes para cada piso.
De la figura anterior se desprende lo siguiente: Piso1: ρ=3% , ρw=0.0025 Piso2: ρ=2% , ρw=0.0025 Piso3: ρ=2% , ρw=0.0025 Piso4 a Piso 15: ρ=1% , ρw=0.0025
Debido a que se utilizo γ=0.9 en el diagrama de interaccion, se debe respetar un elemento de borde de 20x60cm. Para ese tamaño de elemento de borde es recomendable utilizar 8 fierros, en cuatro corridas de 2. En resumen una propuesta de enfierradura vertical para este muro seria:
Piso Enfierradura vertical en cada elemento de borde
Enfierradura vertical en el alma 4 al 15 8φ16 2φ8@20 2 y 3 8φ22 2φ8@20 1 8φ25 2φ8@20 2. DISEÑO AL CORTE.
El factor de reducción φ para el diseño al corte debe cumplir con lo siguiente:
En este ejercicio asumiremos φcorte=0.6
Después de asumir un valor de φ se debe verificar que la sección transversal del muro en planta (bw y lw) sea capaz de resistir las solicitaciones de corte Vu.
En nuestro ejemplo:
φVnmax=0.6*5/6*(25)^0.5*200*0.8*6000=240000(N)=240(T)
De la tabla de los esfuerzos de corte solicitantes se observa que el máximo valor de V2 =81.64(T), por lo tanto la geometría del muro en planta es satisfactoria para resistir los esfuerzos de corte. Si las disposiciones anteriores no se cumplen, se debe cambiar f’c o la geometría en planta del muro.
A continuación se determina si el hormigón por si solo es capaz de resistir todo el corte solicitante, por lo tanto se debe estimar φVc. Sin embargo, el código ACI entrega varias opciones para calcular este valor:
Método detallado:
Si el hormigón no es capaz de resistir por si solo todo el corte solicitante, se debe calcular la enfierradura horizontal para resistirlo.
En la tabla siguiente se muestran los valores de φVc calculados por el método simplificado y el método detallado. Finalmente se escoge el mínimo valor calculado:
Metodo Metodo Valor
simplificado detallado escogido
Story Load N_u(T) Mu (T*m) Vu (T) φ Vc (T) φ Vc1 (T) Mu/Vu-lw/2 φ Vc2 (T) φ Vc (T) φ Vc (T) final
STORY15 UDWAL4 MIN 35.210 34.120 18.330 48.000 76.225 -1138.571 no aplica 76.225 48.000
STORY15 UDWAL6 MIN 21.740 31.966 13.470 48.000 74.609 -626.875 no aplica 74.609 48.000
STORY14 UDWAL4 MIN 72.360 71.311 30.050 48.000 80.683 -626.922 no aplica 80.683 48.000
STORY14 UDWAL6 MIN 44.580 66.271 24.740 48.000 77.350 -321.302 no aplica 77.350 48.000
STORY13 UDWAL4 MIN 109.370 119.655 36.370 48.000 85.124 289.937 827.671 85.124 48.000
STORY13 UDWAL6 MIN 67.370 113.671 31.720 48.000 80.084 583.575 377.001 80.084 48.000
STORY12 UDWAL4 MIN 146.290 179.645 42.150 48.000 89.555 1262.040 218.088 89.555 48.000
STORY12 UDWAL6 MIN 90.120 173.373 37.730 48.000 82.814 1595.097 155.275 82.814 48.000
STORY11 UDWAL4 MIN 183.050 253.762 46.950 48.000 93.966 2404.941 130.094 93.966 48.000
STORY11 UDWAL6 MIN 112.780 247.421 42.620 48.000 85.534 2805.279 99.155 85.534 48.000
STORY10 UDWAL4 MIN 219.600 338.685 51.280 48.000 98.352 3604.622 97.429 97.429 48.000
STORY10 UDWAL6 MIN 135.320 332.352 47.000 48.000 88.238 4071.319 75.988 75.988 48.000
STORY9 UDWAL4 MIN 255.850 433.396 55.520 48.000 102.702 4806.124 81.017 81.017 48.000
STORY9 UDWAL6 MIN 157.660 427.098 51.270 48.000 90.919 5330.369 63.855 63.855 48.000
STORY8 UDWAL4 MIN 291.730 539.196 59.940 48.000 107.008 5995.596 71.248 71.248 48.000
STORY8 UDWAL6 MIN 179.770 532.951 55.720 48.000 93.572 6564.806 56.495 56.495 48.000
STORY7 UDWAL4 MIN 327.170 658.088 64.570 48.000 111.260 7191.854 64.630 64.630 48.000
STORY7 UDWAL6 MIN 201.570 651.908 60.390 48.000 96.188 7794.966 51.463 51.463 48.000
STORY6 UDWAL4 MIN 362.070 791.996 69.220 48.000 115.448 8441.722 59.575 59.575 48.000
STORY5 UDWAL4 MIN 396.350 942.118 73.600 48.000 119.562 9800.516 55.326 55.326 48.000
STORY5 UDWAL6 MIN 243.960 936.162 69.520 48.000 101.275 10466.082 44.337 44.337 44.337
STORY4 UDWAL4 MIN 429.900 1108.562 77.400 48.000 123.588 11322.506 51.532 51.532 48.000
STORY4 UDWAL6 MIN 264.410 1102.880 73.400 48.000 103.729 12025.613 41.434 41.434 41.434
STORY3 UDWAL4 MIN 462.620 1290.122 80.240 48.000 127.514 13078.290 47.988 47.988 47.988
STORY3 UDWAL6 MIN 284.240 1285.118 76.430 48.000 106.109 13814.314 38.760 38.760 38.760
STORY2 UDWAL4 MIN 494.410 1483.788 81.640 48.000 131.329 15174.767 44.554 44.554 44.554
STORY2 UDWAL6 MIN 303.380 1480.674 78.280 48.000 108.406 15915.100 36.238 36.238 36.238
STORY1 UDWAL4 MIN 525.060 1679.530 79.350 48.000 135.007 18166.100 40.561 40.561 40.561
STORY1 UDWAL6 MIN 321.680 1683.485 77.790 48.000 110.602 18641.406 33.609 33.609 33.609
Como se observa de la tabla anterior desde el piso 11 al 15 Vu<φVc, por lo tanto en esos pisos se dispondrá armadura mínima horizontal.
La cuantía mínima horizontal es 0.0025. Utilizando un espaciamiento de 20(cm) se tiene que la armadura horizontal requerida es Av=0.0025*20*20=1(cm2), por lo tanto se utilizara 2φ8@20cm. La resistencia asociada a la cuantía mínima horizontal es
φVsmin=0.6*1*4200*0.8*600/20=60480(kg)=60.48(T)
Observando los valores de Vu de la tabla anterior se concluye que (φVc + φVsmin) > Vu en todos los pisos y combinaciones de carga, por lo que utilizara armadura horizontal 2φ8@20cm en toda la altura del muro.
3. Verificaciones según el capítulo 21 del código ACI.
En el capítulo 21 del código ACI (DISPOSICIONES ESPECIALES PARA EL DISEÑO SISMICO) también se entregan exigencias adicionales, las cuales a veces son complementadas por la NCH430of2008: Requisitos adicionales de resistencia al corte:
En la ecuación (21-7) Acv es el área bruta de la sección de concreto limitada por el espesor del alma y la longitud de la sección en la dirección de la fuerza de cortante considerada, (mm2) Por lo tanto, en nuestro ejemplo φVn no debería exceder
0.6*200*6000*(1/6*(25)^0.5+0.0025*420)=1356000(N)=135.6(T)
Lo anterior se verifica favorablemente ya que el máximo valor que utilizamos de (φVc + φVs) fue 108.48 (T).
Requisitos adicionales para los elementos de borde:
El art. 21.7.6 del código ACI indica que es necesario colocar elementos especiales de borde en muros cuanto el eje neutro supere el valor limite dado por la ecuación (21-8). Estos elementos especiales de borde requieren estribos de confinamiento con espaciamientos bastante pequeños. A continuación se muestran las exigencias del código ACI y la NCH 430.
En nuestro ejemplo se obtuvieron el siguiente valor de δu/hw del análisis modal espectral.
δu/hw=0.015, por lo tanto cuando el eje neutro sea mayor al valor limite indicado en la desigualdad (21-8) se deben colocar elementos especiales de borde:
c>6000/(600*0.015)=666.67(mm)=66.67 (cm)
Para la máxima carga axial mayorada en la base del muro (525.06 (T)) y las cuantias verticales dispuestas en el 1° piso (borde:8φ25, alma:2φ8@20) se obtiene una profundidad del eje neutro c=176(cm), por lo tanto es necesario colocar elementos especiales de borde.
El largo del elemento de borde debe ser el mayor valor entre (c-0.1*lw) y (c/2), es decir debe tener una longitud de 116 (cm), valor que es casi el doble del valor dado originalmente (60 cm).
La altura hasta la cual se debe prolongar el elemento especial de borde (medido desde la base) debe ser la mayor entre lw y Mu/(4Vu), es decir 6(m). Es decir los 2 primeros pisos.
Según las exigencias de 21.4.4.2 el espaciamiento entre los estribos de confinamiento no debe ser mayor a 5(cm).
El area de estribos debe ser calculada según la ecuación (21-4). En esta ecuación bc es la distancia entre las ramas del estribo. Si se asume un recubrimiento libre de 2.5(cm),
bc=200-2*25-10=140(mm)
Por lo tanto, los estribos de confinamiento deberían ser al menos Eφ8@5cm.
Finalmente queda una verificación por realizar debido a que la longitud del elemento de borde (116cm) debe ser mayor a la original (60cm). Esto implica calcular una nueva cantidad de fierros en los bordes ya que el valor de γ variara con respecto al original (0.9).
Por lo tanto asumiendo una longitud de elemento de borde de 120cm y ocupando el grafico con
γ=0.8, se obtiene una cuantía de borde de 2%. De esta forma las enfierraduras finales para el muro son:
Piso Dimensiones del elemento de borde Enfierradura vertical en cada elemento de borde Enfierradura vertical en el alma Estribos de confinamiento de elemento de borde 4 al 15 20x60cm 8φ16 2φ8@20 No aplica 3 20x60cm 8φ22 2φ8@20 No aplica 1 y 2 20x120cm 14φ22 2φ8@20 Eφ8@5cm
