Del Período Arcaico a las Guerras Persas. Persas Código de Solón

(1)

Del Período Arcaico a las Guerras

Persas

594594--591 Código de 591 Código de SolónSolón

561561--527 Tiranía 527 Tiranía PisístrataPisístrata en Atenasen Atenas

559559--513 Persas conquistan 513 Persas conquistan AnatoliaAnatolia

508508--507 Constitución democrática en 507 Constitución democrática en

Atenas Atenas

499499--449 Guerras Persas449 Guerras Persas

478 Liga 478 Liga DélicaDélica

449 Tratado de paz entre Griegos y 449 Tratado de paz entre Griegos y

Persas Persas

(2)

Tales de Mileto: (625

-

547)

del

mythos

_mythos

al

logos

_logos

Physis

,

historia

,

cosmos

,

mathemis

Uno de los siete sabios

Familia prestante, ¿madre fenicia?

Viaja a Egipto y Mesopotamia

Retorna astrónomo, filósofo,

matemático, empresario, estadista

Soñador distraído según Platón

“Todo es agua” (

archê

: principio) El

ánima rige el movimiento

(3)

Tales de Mileto

Predice el eclipse de 585

aC

Calcula los solsticios, equinoccios longitud del

año y las estaciones.

Mide el ángulo subtendido por el sol y por la

luna (1/720 de su órbita = 1/2°).

Propone la navegación por la Osa Menor.

Probablemente propone una tierra redonda

Escritos atribuidos:

Sobre el solsticio

,

Sobre el

equinoccio

(4)

Tales de Mileto

(5)

Tales de Mileto

(6)

Tales de Mileto

(7)

Tales de

MiletoC

_MiletoC

Cualquier diámetro biseca al círculo.

Congruencia ángulo

-

lado

-

ángulo.

Los ángulos de la base de un triángulo isósceles

son congruentes.

Ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Todo ángulo inscrito en un semicírculo es recto.

(8)

Tales de Mileto

Mide la altura de las pirámides por su sombra.Mide la altura de las pirámides por su sombra.

Método sencillo

(9)

Teorema de Tales

(demostración posterior a Tales)

ABC es un triángulo cualquiera cuya base está sobre la recta n y cuyo vértice B está sobre la recta l que es paralela a n. Entonces cualquier recta m, paralela a las dos anteriores que corte al lado AB en D, cortará al lado BC en E de manera que AD:DB :: CE:EB.

B A C D E l m n

(10)

Teorema de Tales

ABC es un triángulo cualquiera cuya base está sobre la recta n y cuyo vértice B está sobre la recta l que es paralela a n. Entonces cualquier recta m, paralela a las dos anteriores que corte al lado AB en D, cortará al lado BC en E de manera que AD:DB :: CE:EB

Construcción: u B A C D E l m n

(11)

Teorema de Tales

ABC es un triángulo cualquiera cuya base está sobre la recta n y cuyo vértice B está sobre la recta l que es paralela a n. Entonces cualquier recta m, paralela a las dos anteriores que corte al lado AB en D, cortará al lado BC en E de manera que AD:DB :: CE:EB

Con: v se tiene que CE=pv y EB=qv

B A C l m n D E

(12)

Teorema de Tales

De la conclusión AD:DB :: CE:EB se sigue

B A C l m n D E EB CE DBAD = EB CE DB AD = 1 1= + + EB CE DB AD EB EB CE DB DB AD + = + EB CB DBAB =

Lo cual se traduce en que los lados corres-pondientes de triángulos semejantes son proporcionales.

(13)

Presocráticos

(14)

Pitágoras de

Samos

:

(569 a 475)

Viaja mucho con su padre, comerciante Viaja mucho con su padre, comerciante

de Tiro (Fenicia) de Tiro (Fenicia)

Bien educado: lira, poesía, HomeroBien educado: lira, poesía, Homero

Conoce a Tales (?) y a su discípulo Conoce a Tales (?) y a su discípulo

Anaximandro Anaximandro

Viaja a Egipto en 535 (¿sacerdote?)Viaja a Egipto en 535 (¿sacerdote?)

CambisesCambises II invade Egipto, lo lleva II invade Egipto, lo lleva

prisionero a Babilonia prisionero a Babilonia

Regresa a Regresa a SamosSamos, funda escuela “El , funda escuela “El

semicírculo semicírculo

En 518 viaja al sur de Italia y funda En 518 viaja al sur de Italia y funda

escuela en Crotona escuela en Crotona

Cuando Cuando CiclonCiclon ataca a su sociedad, huye ataca a su sociedad, huye

a

a MetapontiumMetapontium donde muere en donde muere en circunstancias poco claras (?).

(15)

Pitágoras:

Números y Música

_{Números y Música}

Relaciones Pitagóricas

Números con música

Nota Frecuencia (Hz) Razones de frecuencia con DO DO 16,35 1:1 4 RE 18,35 9:8 3 MI 20,6 5:4 5 FA 21,83 4:3 4 SOL 24,5 3:2 6 4 4 LA 27,5 5:3 5 SI 30,87 15:8 5 5 DO 8va _32,7 _2:1 ₆ RE 8va _36,7 _9:4 ₆

(16)

Vibración de una cuerda

(17)

Los Pitagóricos

Pitagóricos forman

comunidad

religiosa

Seguidores llamados Seguidores llamados mathematikoimathematikoi

Son vegetarianos y no comen granosSon vegetarianos y no comen granos

Los hermanos de la orden deben guardar lealtad y Los hermanos de la orden deben guardar lealtad y

secreto secreto

El alma se reencarna pero puede llegar a unirse con El alma se reencarna pero puede llegar a unirse con

lo divino lo divino

La filosofía purifica el espírituLa filosofía purifica el espíritu

La realidad es matemática “Todo es número”La realidad es matemática “Todo es número”

(18)

Los Pitagóricos

Su interés principal eran los números y los

conceptos matemáticos como entidades

abstractas

En esto son los primerosEn esto son los primeros

Según Aristóteles, para ellos todas las cosas son Según Aristóteles, para ellos todas las cosas son

números…el cosmos es una escala y un número. números…el cosmos es una escala y un número.

Este convencimiento viene de la experiencia de Este convencimiento viene de la experiencia de

Pitágoras con música y astronomía. Pitágoras con música y astronomía.

Cada número tiene sus propiedades: masculino, Cada número tiene sus propiedades: masculino,

femenino, perfecto, triangular. femenino, perfecto, triangular.

(19)

Los Pitagóricos

Su legado:

Avanzan el razonamiento deductivoAvanzan el razonamiento deductivo

El Teorema de PitágorasEl Teorema de Pitágoras

La suma de los ángulos internos de un triángulo es La suma de los ángulos internos de un triángulo es

igual a dos rectos (generalización para polígonos) igual a dos rectos (generalización para polígonos)

El descubrimiento de magnitudes inconmensurablesEl descubrimiento de magnitudes inconmensurables

Los 5 sólidos regularesLos 5 sólidos regulares

En astronomía enseñaban: que la tierra era redonda En astronomía enseñaban: que la tierra era redonda

y ocupaba el centro del universo; que la orbita de la y ocupaba el centro del universo; que la orbita de la

luna estaba inclinada respecto al ecuador y que luna estaba inclinada respecto al ecuador y que Venus matutino era el mismo que el vespertino. Venus matutino era el mismo que el vespertino.

(20)

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado

edificado sobre la hipotenusa es igual a la suma de edificado sobre la hipotenusa es igual a la suma de

las áreas de los cuadrados edificados sobre los las áreas de los cuadrados edificados sobre los

catetos. catetos.

(21)

Teorema de Pitágoras

a

b

c

a

b

a

b

c2 _{= a}2 _{+ b}2

(22)

Teorema de Pitágoras

Demostración por semejanza de triángulos

A

B C

D Construcción: BD perpendicular a AC._{Entonces los triángulos ABC, ADB}

y BDC son semejantes.

Entonces, AB/AD = AC/AB y BC/DC = AC/BC Luego, AB2 _{= AD * AC y BC}2 _{= DC * AC ; y}

(23)

Magnitudes inconmensurables

La diagonal

d

_d

de un cuadrado y su lado de un cuadrado y su lado

l

_l

son magnitudes inconmensurables.

d l

(24)

Magnitudes inconmensurables

La diagonal

d

_d

de un cuadrado y su lado de un cuadrado y su lado

l

_l

son magnitudes inconmensurables.

Supongamos que son conmensurables y que se pueden medir ambos con una misma unidad u. Entonces d/l = pu/qu = p/q, donde p y q son enteros y la fracción se encuentra reducida a su mínima expresión.

Por el teorema de Pitágoras, d 2_{= 2}_l2 _{, es decir (}_pu₎ 2 _{= 2(}_qu₎ 2_{, y simplificando,}

p 2 _{= 2}_q2_,_{lo que significa que}_p2 _{es par. Entonces,}_p _{es par (porque si fuera}

impar su cuadrado sería impar) y se puede escribir p = 2k, donde k es un entero. Además, q tiene que ser impar porque la fracción se encuentra en su mínima expresión.

Pero, p 2_{= 2}_q2 _{= 4}_k2 _{por lo que}_q2 _{= 2}_k2_{. Por el mismo razonamiento de arriba}

q 2 _y_q _{son pares. Lo cual es una contradicción.}

Debido a esta contradicción, debemos concluir que d y l son inconmensurables.