UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA FIDEL VELÁZQUEZ
Matemáticas para Artes
Gráficas
Problemas Selectos
Ing. Manuel Medina Mendoza Agosto de 2013
1
Examen Diagnóstico ...2
Ecuaciones Algebraicas . ...4
Regresión Lineal ...7
Parábola de mínimos cuadrados ...10
Gráficas y Funciones ...11
Pre-Cálculo ...14
Cálculo Diferencial...14
Análisis de Casos ...15
2
Examen Diagnóstico
Si
𝑎 = 2, 𝑏 = 5, 𝑐 = 4, 𝑥 = 3, 𝑦 = 1 2
⁄
Calcular el valor numérico de las siguientes
expresiones
1.
5𝑐
2.
4𝑥
3.
2𝑏𝑦
4.
4𝑎
25.
5𝑏
26.
6𝑎𝑏𝑐𝑥
7.
3𝑎
2𝑏
2𝑐
28.
4(𝑏 + 𝑥
2)
9.
2𝑎(𝑐𝑦 + 𝑏𝑐)
10.
4𝑦 + 3𝑏
11.
8𝑎𝑐 + 5𝑎𝑥
12.
2(𝑎
2+ 𝑏
2+ 𝑥)
13.
√𝑐
14.
√𝑥
215.
3√2𝑐
16.
3√𝑏
317.
𝑎√𝑏
218.
(𝑎 + 𝑐)√10𝑎𝑏
19.
𝑐(𝑏 − 𝑎)
20.
(𝑐 + 𝑥)
23
21.
𝑎
2− 𝑦
222.
𝑐 𝑎+
𝑏 𝑦23.
1𝑎+
1 𝑐24.
1 𝑥+
1 𝑦25.
4𝑏𝑐 − 3𝑎𝑥
26.
2𝑐
2− 𝑥
227.
𝑥
2+ 𝑦
228.
(𝑥 + 𝑦)
229.
(𝑥 + 𝑦)
3 30.(𝑥 − 𝑦)
24
Ecuaciones Algebraicas
1.-Una fórmula que permite conocer la longitud de papel en una bobina (L
t) conociendo
el diámetro final del rollo (D
f), el diámetro del centro al borde donde empieza el
material (D
i), el espesor del material (h) y la constante
= 3.141592653, es la
siguiente.
) ( 4 2 2 i f t D D h L =
−Determine la longitud de papel de la bobina que le indique su profesor
2.- Para que las proporciones de cierto impreso sean adecuadas se ha establecido que deben emplearse páginas cuya diagonal sea dos veces su ancho, si se requiere un impreso de 8.4 cm de ancho:
a) ¿Cuál es el valor de la diagonal?
Respuesta: ____________________________________________
b) ¿Cuál deberá ser el largo de la página?
Recuerde que el teorema de Pitágoras expresa la relación entre los tres lados de un triángulo rectángulo: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Respuesta: _____________________________________________
c) ¿Cuál es el área de la página?
5
2.- En una cámara de fotomecánica, en la que se obtienen negativos para después transferir la imagen a una placa de impresión, para encontrar la relación de abertura de la lente F para una ampliación o reducción, a partir del F para un negativo del mismo tamaño del original (100%), se utiliza la siguiente fórmula:
𝐹100%2
𝐹2 =
%𝑅 100
Donde:
𝐹100%= Abertura del lente para una reproducción al 100%
𝐹 = Abertura del lente para la reducción o ampliación %𝑅 = Porcentaje de reproducción
Despeje 𝐹 Respuesta: ___________________________________________________
3.- Se ha estimado que el tiempo de secado de la tinta en un impreso, para cierto tipo de papel en impresión Offset está dado por:
𝑦 = .7447𝑥 + 72.482
Donde:
𝑦 = tiempo de secado en minutos
𝑥 = gramaje del papel en g/m2
Despeje x Respuesta: ____________________________________________________
4.- El espesor de un libro está dado por la fórmula
Espesor del libro =No. de páginas × Espesor de 4 hojas 8
6
5.-
Como se vió anteriormente, una fórmula que permite conocer la longitud de papel en
una bobina (L
t) conociendo el diámetro final del rollo (D
f), el diámetro del centro al
borde donde empieza el material (D
i), el espesor del material (h) y la constante
=
3.141592653, es la siguiente.
)
(
4
2 2 i f tD
D
h
L
=
−
Despeje D
fRespuesta:_________________________
7
Regresión Lineal
1. Un diseñador gráfico imprime en un plotter pruebas preliminares que debe aprobar el cliente antes de firmar un contrato, a continuación se muestra el número de pliegos y el tiempo de impresión requerido.
a) El diseñador está interesado en pronosticar el tiempo de impresión ¿Cuáles son la variable dependiente y la variable independiente?
Variable dependiente: _______________________________ Variable independiente:_______________________________ b) Trace un diagrama de dispersión
c) Determine la ecuación de regresión
Tiempo de Impresión en horas = __________(número de pliegos) + ____________ Donde:
____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
NOTA: Las horas, minutos y segundos deberán ser convertidos a un formato decimal Número de pliegos Tiempo de impresión (hh mm ss) 1 21’ 15’’ 2 31’ 02’’ 3 36’ 21’’ 4 44’ 22’’ 5 53’54’’ 6 1 02’ 17’’ 7 1 14’ 35’’ 8 1 19’ 02’’ 9 1 41’ 34’’ 10 1 21’ 28’’
8
2. En la industria de las Artes Gráficas es importante el tiempo de secado una vez que el impreso sale de la prensa Offset, ya que de la rapidez de lo anterior dependerá la agilización del proceso posterior y la eliminación de cuellos de botella innecesarios.
En la empresa Surtidora Gráfica S.A. de C.V., se desarrollo un muestreo con un área de impresión gráfica aproximada del 75%, ya que generalmente este impreso responde al formato común a producir. El objetivo de dicho estudio, fue determinar la relación existente entre gramaje y tiempo de secado.
Conocimiento Teórico.- El mecanismo de secado de la tinta se refiere a la forma en que la tinta impresa húmeda se transforma en película permanente sobre la superficie de impresión.
Especificaciones del proceso Offset: Máquina:Speed Master CD (5 colores), Proveedor Papel: Pochteca (Couche Brillante), Proveedor Tinta: Sun Chemical, Ganancia de Punto: 72%, Solución de la fuente. PH: 3.0-4.5 Conductividad: 800-1200 microhms, Temperatura: 120 C. Los resultados son los siguientes:
a) Complete la siguiente tabla:
Gramaje (g/m2) Tiempo de secado promedio (min) 90 100 115 135 150 200 250 300
9
c) Determine los parámetros del modelo lineal Y = mX + b por el método de mínimos cuadrados
m = _______________
b= ________________
d) Complete la siguiente tabla
Gramaje (g/m2) Tiempo de secado de acuerdo al modelo lineal (min) 90 300
e) Con los puntos anteriores trace la recta correspondiente en el diagrama de dispersión
3.-
Determine la ecuación que relaciona la lineatura como una función de la resolución:
Resolución
Lineatura
1200
75
1800
113
2400
150
3000
188
10
Parábola de mínimos cuadrados
En la impresión, a fin de evitar problemas de humedad en el papel, es necesario
acondicionarlo, es decir se debe llevar el papel a la sala de impresión mucho antes de que comience la impresión. Los rollos y pliegos deben alcanzar la temperatura de la sala de impresión antes de ser desempacados.
Para su proyecto de estadía, un alumno de artes gráficas necesita obtener una ecuación entre el tiempo de acondicionamiento de papel y la diferencia de temperaturas entre este y la
temperatura del área de prensa, lo anterior para bobinas de papel de 2 m3 a) De la siguiente gráfica complete la tabla:
Diferencia de temperatura ( C)
Tiempo requerido para el acondicionamiento de temperatura (horas) 0 5 10 15 20 25 30
11
c
b
a
+
+
=
a
temperatur
de
diferencia
a
temperatur
de
diferencia
amiento
acondicion
de
tiempo
2a = ______________ b = _______________ c =_________________
12
Gráficas y Funciones
1.- En la tabla adjunta se indica la velocidad
superficial de un cilindro de 15 cm de diámetro
empleado en una rotativa de periódicos, a diversas
revoluciones por minuto (R. P. M.).
a) Graficar la velocidad superficial en función de las
R. P. M.
b) Si requiere una velocidad superficial de 1036
m/min, determine las R. P. M. necesarias.
Respuesta: ___________
2.- Como se vio anteriormente En una cámara de fotomecánica (en la que se obtienen
negativos para después transferir la imagen a una placa de impresión), para encontrar la
relación de abertura de la lente, comparando el ajuste F para la ampliación o la
reducción, con el ajuste F para un negativo del mismo tamaño del original, se utiliza la
siguiente fórmula:
100
%
2 2 % 100R
F
F
=
ón
reproducci
de
Porcentaje
%
ampliación
o
reducción
la
para
lente
del
Abertura
%
100
al
ón
reproducci
una
para
lente
del
Abertura
:
Donde
% 100R
F
F
=
=
=
a) Si F
100 %= 32
Complete la siguiente tabla
b) Grafique los datos obtenidos en la tabla
c) Si % R = 75 ¿Cuál será el valor de F que debe utilizarse?
Respuesta: F = ___________
R. P. M.
Velocidad
superficial
(m / min)
0 0 500 235 1000 470 1500 705 2000 940 2500 1175 3000 1410 % R F 25 50 100 32 150 200 30013 3. Existen prensas modernas de impresión Offset que utilizan alcohol isopropílico, el cual afecta al valor de la conductividad del agua de la fuente como se muestra a continuación
% de alcohol Isopropílico Conductividad S / cm
5 1170 10 1000 15 870 20 760 25 680
a) Si se tiene un 17 % de alcohol Isopropílico ¿Cuál será el valor de la conductividad del agua de la fuente?
b) Si la conductividad de la solución de la fuente es de 800 S / cm ¿Cuál es el % de alcohol que se tiene?
14
Pre-Cálculo
Un vendedor de libros inicialmente tiene, 100 ejemplares en existencia de
cierto título, su stock (existencia en bodega) crece, pero debido a las
ventas luego disminuye. Suponga que el número N(t) de libros que hay a
los t meses está dado por:
100
21t
t
-N(t)
=
4+
2+
Estime: a) b) y c) con una precisión de 1 decimal
a)
¿A los cuántos años deja de crecer el stock? __________
b)
¿Cuál es su tamaño máximo? _________
c)
¿A los cuántos años ya no tiene el título en stock? ____________
d) Resuma sus resultados en una gráfica desde t= 0 hasta t = meses en que
ya no tiene este título en stock.
15
Cálculo Diferencial
Cálculo del valor Gamma a partir una curva de oscurecimiento
Objetivo: utilizar los principios del cálculo diferencial para determinar el valor Gamma
a partir de una curva de gradación
Conceptos fundamentales:
Densidad: Medida de la oscuridad de una imagen en papel o película en una escala
logarítmica.
Curva de gradación o ennegrecimiento
Formación de una curva característica de gradación o ennegrecimiento.
El valor Gamma de una película es la pendiente de la zona recta de la gráfica Densidad
del Negativo en función de la Densidad del Original.
En una reproducción por contacto, para cierta película se obtiene la siguiente gráfica:
Calcule el valor Gamma para esta película
16
Análisis de Casos
Desarrollo de un Modelo Matemático para Estimar el Tiempo de
Acondicionamiento del Papel para la Impresión en Offset de Libros y
Revistas.
Development of a Mathematical Model to Estimate the Time
Conditioning for Paper in offset Printing of Books and Magazines
Autores
Ing. Manuel Medina Mendoza Profesor de Tiempo Completo de la División Académica de Artes Gráficas en la Universidad Tecnológica Fidel Velázquez, email: [email protected], tel: (55) 264931 30 ext. 255
Ing. Juan Manuel Chávez Mendoza Profesor de Tiempo Completo de la División Académica de Artes Gráficas en la Universidad Tecnológica Fidel Velázquez, email: [email protected], tel: (55) 264931 30 ext. 255
Resumen
En este artículo de desarrolla un modelo matemático que permite estimar el tiempo de
acondicionamiento del papel a partir de la diferencia de temperatura entre el papel y la sala de impresión y el volumen de bobina o pila de pliegos.
Palabras clave: impresión offset, diseño de software, acondicionamiento de papel.
Introducción
Históricamente el proceso gráfico se ha caracterizado por ser empírico y apoyarse en la
habilidad y el talento de sus trabajadores para lograr productos impresos de gran calidad, pero con problemas de desperdicios acompañado de ausencia de métodos de trabajo en el propio proceso utilizado.
Esta situación se complementa con la competencia del sector que viene del extranjero, integrada por empresas en las que sus métodos de producción están estandarizados y sus márgenes de maniobra son más amplios, lo que pone en riesgo la permanencia de las empresas locales.
17 Una solución a esta problemática es la adecuada planeación y administración de la producción para estimar apropiadamente los tiempos de producción.
Este articulo está enfocado principalmente en el papel, como uno de los insumos mas importantes del proceso y del cual es necesario comprender, sus características, así como el comportamiento de este bajo ciertas condiciones. Se trata de establecer un modelo
matemático mediante el cual, sin importar las diferencias en cuanto a temperatura, humedad y lugar de almacenamiento, se pueda lograr el acondicionamiento del sustrato en tal medida, que permita un proceso de impresión homogéneo y constante durante la corrida de la máquina. Para esto un factor determinante es el tiempo que tarda el papel en adquirir las condiciones ambientales de la sala de impresión e iniciar su proceso. No hay que perder de vista que, para cualquier empresa, las perdidas por tiempos muertos llegan a ser bastante significativas, ya sea porque el material no esta listo o, porque su comportamiento en prensa no permite los resultados esperados.
En la Universidad Tecnológica Fidel Velázquez, UTFV, en la carrera de Artes Gráficas se ha encontrado que es recurrente el desarrollo de proyectos relacionados con la búsqueda en optimización del aprovechamiento de recursos, lo que está plasmado en los informes de estadía que los alumnos presentan como parte de su preparación académica. Cabe mencionar que son pocas las instituciones de institución superior que ofrecen esta carrera.
Existe un interés compartido de la cadena productiva de las artes gráficas para establecer diversas recomendaciones técnicas para la adecuada y eficiente utilización del papel offset [1]. Un papel que está frío, entre 10 y 15°C, y se lleva a una sala de prensa tibia, de 25 a 30 °C, enfría el aire circundante y cambia su humedad relativa (HR), este cambio hace que el aire circundante se sature, lo que ocasiona condensación en el papel, por lo que, si esta
descubierto, se humedecerá y la condensación le producirá bordes ondulados. La situación contraria ocurre cuando se trae un papel tibio a una sala de prensa fresca, por la mayor temperatura del papel se calienta el aire circundante, se reduce la HR y se desplaza del sustrato hacia el aire circundante, por lo que el papel se encoge y sus bordes quedan
“apretados” [2], lo que podría significar problemas de impresión.
Una vez que el papel llega a la sala de impresión, este puede o no tener la misma temperatura de la sala de impresión, una medición precisa de la temperatura del papel solo puede
obtenerse insertando en la pila un termómetro de espada. La envoltura de los paquetes, rollos o cajas debe ser removida cuando se ha determinado que la temperatura del papel es idéntica
18 a la del ambiente en el cual será procesado, para lo cual se le debe dar tiempo al papel a que alcance la temperatura de la sala de prensa, este tiempo se llama tiempo de
acondicionamiento del papel y puede tomar de unas horas a varios días. Gráficas o tablas pueden ser utilizadas para determinar el tiempo de acondicionamiento del papel [3]. Para estimar el tiempo de acondicionamiento del papel en el sistema de impresión offset utilizando herramientas informáticas se requiere más que gráficas y tablas, se requiere un modelo matemático o metodología totalmente programable a fin de incorporarla a software tal como programas y hojas de cálculo. En este sentido, un modelo matemático, donde directamente a partir de la sustitución de la diferencia de temperatura entre el papel y la sala de impresión y el volumen de los pliegos o rollos, se obtenga el tiempo de acondicionamiento es muy conveniente.
Es por ese motivo que se ha planteado la pregunta: ¿Cuál es modelo matemático o
metodología programable que permita estimar el tiempo de acondicionamiento del papel a partir de la diferencia de temperatura entre el papel y la sala de impresión y el volumen de los pliegos o rollos?
Si es un modelo matemático se utilizarán los principios de correlación y regresión para obtenerlo.
Si es una metodología programable se diseñará el pseudocódigo adecuado utilizando los principios de la programación.
Objetivo
Diseñar un modelo matemático que permita estimar el tiempo de acondicionamiento del papel a partir de la diferencia de temperatura entre el papel y la sala de impresión y el volumen de los pliegos o rollos
19
Desarrollo
A continuación se muestra una tabla y una gráfica a partir del cual se pueden estimar en tiempo de acondicionamiento del papel.
Tabla para estimar el tiempo de acondicionamiento de papel [4]
Gráfica para estimar el tiempo de acondicionamiento del papel [3]
Para diseñar una metodología programable que permita determinar el tiempo de
acondicionamiento del papel, utilizando herramientas computacionales, partiendo de la tabla se tendría que hacer primero una base de datos, diseñar rutinas de ubicación de datos, llevar a
20 cabo una doble interpolación y además se deberán incluir rutinas adicionales en el caso de extrapolaciones.
Utilizando la gráfica: Si hacemos:
=
x
Diferencia de temperaturas entre el papel y la sala de impresión en °C=
y Volumen en m3
=
z
Tiempo de acondicionamiento en horasEl tiempo de acondicionamiento en función de la diferencia de temperatura, manteniendo fijo el volumen, se ajusta bien a una ecuación cuadrática que pasa por el origen como lo muestran los valores de R2.
21 Podemos generalizar que:
𝑧 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥
Ahora se determina la relación que existe entre los coeficientes de las ecuaciones cuadráticas obtenidas y el volumen. 𝑎 = 𝑓(𝑦) 𝑏 = 𝑓(𝑦) Y a b 0.2 0.0133 0.9040 0.5 0.0206 1.4145 1.0 0.0302 1.6259 2.0 0.0240 1.9559 3.0 0.0235 2.1865
Se observa la dependencia de los coeficientes de las ecuaciones cuadráticas en función del volumen, utilizando una regresión polinomial de grado tres se obtienen valores de R2 mayores
a 0.9, con lo que se concluye que se obtiene una buena correlación, por lo que el modelo matemático buscado es:
𝑧 = (0.0057𝑦3 − 0.0325𝑦2 + 0.0525𝑦 + 0.0033)𝑥2+ (.1392𝑦3− .8288𝑦2+ 1.7532𝑦 + .6306) 𝑥
Discusión y análisis de resultados:
A fin de verificar la validez del modelo matemático se comparan los valores obtenidos entre la gráfica y el modelo matemático obtenido en un rango de diferencia de temperatura de 0 a 30 °C y un rango de volumen de 0 a 3 m3.
22 Como se puede observar contrastando lo obtenido por el modelo y los de la gráfica, se obtiene un R2 de 0.9991 por lo que el modelo predice adecuadamente el tiempo de
acondicionamiento.
Conclusiones
Se obtuvo un modelo matemático que permite estimar el tiempo de acondicionamiento del papel, el cual se puede utilizar aquellos interesados en administrar y planear la producción y en desarrollar software para el sector gráfico.
Referencias
[1] Comité Técnico de Normalización de Artes Gráficas, NMX-AG-001-1999, “Papel bond offset
blanco 75 g/m2 en extendido para la impresión offset de libros y revistas –especificaciones”,
2000.Pag. 1
[2] Wilson, Lawrence A. Lo que el Impresor Debe Saber Acerca del Papel, 1999. Pag. 16 [3] Breede, Manfred H. Handbook of Graphic Arts Equations, ed. GATF, 1999, pag. 40-42
[4] Cerrato Escobar Pedro José, “Manual Técnico de Impresión Offset”, Aralia XXI Ediciones S.
23
Bibliografía Consultada
Breede, Manfred H. Handbook of Graphic Arts Equations, ed. GATF, 1999, Cerrato Escobar Pedro José, “Manual Técnico de Impresión Offset”, Aralia XXI Ediciones S. L., 2004.
