LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES

LA FUNCIÓN FUERZA ESPECÍFICA EN CANALES

FRANCISCO JAIME MEJÍA

*

RESUMEN

Se presenta la función fuerza específica en flujo libre en canales de sección generalizada, se estudian sus características principales, un criterio de flujo crítico y su conversión a función adimensional o reducida.

PALABRAS CLAVE: momentum; estado de flujo; fuerza específica; número de Froude.

ABSTRACT

This paper shows the momentum equation applied to open-channel flow and to study the specific force function in terms of its properties, the definition of a critical flow condition and its non-dimensional form.

KEY WORDS: momentum; state of flow; specific force; Froude number.

* Ingeniero Civil. Profesor de Hidráulica, Escuela de Ingeniería de Antioquia. Grupo de Investigación Gabis –Gestión del Ambiente para el Bienestar Social–, EIA. [email protected]

Dibujos: Pedro Nel Orozco T. (Centro de Servicios y Apoyo Informático, EIA.)

Levantamiento de textos: Lina María Álvarez S. (alumna de ingeniería civil EIA; Grupo de Investigaciones Gabis) Artículo recibido 23-IX-2003. Aprobado con revisión 19-I-2004.

LAFUNCIÓNFUERZAESPECÍFICAENCANALES

INTRODUCCIÓN

El flujo libre de un líquido en un canal se expli-ca y predice con la apliexpli-cación de un número reduci-do de principios físicos clásicos básicos: el teorema de transporte de Reynolds, la segunda ley de Newton sobre el movimiento, la ley de gravitación universal de Newton, la ley de viscosidad de Newton y las leyes de la termodinámica.

Aplicar las leyes de la termodinámica al flujo libre conduce a la ecuación de la energía; mientras que aplicar el conjunto de las leyes de movimiento a este flujo conduce a la ecuación que describe el deli-cado equilibrio del flujo uniforme en canales. De igual manera, puede decirse que aplicar el teorema del transporte de Reynolds al caso del flujo libre condu-ce a las expresiones de transporte de la masa, de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular. A su vez, el conjunto de esas expresiones es la base para explicar y predecir el re-poso y el movimiento de los fluidos en general y de los líquidos en particular.

Algunos fenómenos hidráulicos se explican o predicen con la aplicación de la ecuación de la ener-gía, otros con la aplicación del principio del transpor-te de la cantidad de movimiento. En muchas situa-ciones ambos enfoques se complementan. Para la

aplicación del transporte de la cantidad de movimien-to en canales es necesario estudiar la función fuerza específica. Aquí se muestran las características de esa función, que posteriormente permitirá estudiar la ecuación de transporte de cantidad de movimiento lineal o momentum en flujo libre en canales.

LA FUNCIÓN FUERZA

ESPECÍFICA

Para estudiar el transporte de cantidad de mo-vimiento en la dirección paralela al fondo de un canal con flujo permanente e incompresible, se considera un volumen de control (figuras 1 y 2) y se obtiene1_:

f 2 i 2 e pf pi F Wsenè F âñQ_A âñQ_A F − + − =− + ₍₁₎

donde β es el coeficiente de corrección de cantidad de movimiento de Boussinesq, que aquí se considerará constante e independiente de la sección estudiada y de la altura del flujo. Si se requiere tener en cuenta esta variación, puede seguirse el proce-dimiento indicado por Naranjo (2000). Este coeficiente

1 _{La nomenclatura utilizada se define en la lista de}

sím-bolos al final del artículo.

Figura 1. Volumen de control para el análisis de

de velocidad, v_h, en términos de la velocidad media del flujo en la sección, v, que a su vez se obtiene con la continuidad del flujo volumétrico, v=Q/A:

A âñv dA ñv2_h = 2

∫

(2)

Si se reordenan los términos de (1) y se divide por el peso específico2_{, se llega a la siguiente}

expre-sión: senè F gA Q â F gA Q â F _e f 2 pf i 2 pi _−∀ γ =         + γ −         + γ (3)

A cada término entre paréntesis se le conoce como la fuerza específica en la sección, y se denota con la letra M: gA Q â F M p + 2 γ = (4)

Esta expresión reúne el empuje específico es-tático que ejerce el resto del flujo sobre el volumen de control y el empuje específico dinámico en la sec-ción, que es el flujo de cantidad de movimiento a través de ésta.

La fuerza estática total en la sección es:

∫

= pdA

Fp (5)

Ahora, si se puede ignorar la curvatura de las líneas de corriente (Naudascher, 2001) y se acepta la distribución uniforme de la velocidad, la fuerza está-tica sobre la sección se puede obtener con:

donde la presión en el centro de área es:

cosè h

p = γ (7)

Además se tiene que la profundidad del cen-tro de área es una fracción particular de la altura del flujo en la sección, que depende de la forma y tama-ño de la sección transversal:

kh

h= (8)

de manera que: F_γp =khAcosè (9) y con (4) se obtiene la función fuerza específi-ca o ímpetu (Newton, 1687) en la sección:

gA Q â khAcosè M= + 2 ₍₁₀₎

CARACTERÍSTICAS

GEOMÉTRICAS DE LA

SECCIÓN TRANSVERSAL

La figura 3 ilustra los principales elementos geométricos en una sección transversal perpendicu-lar al fondo del canal, a partir de los que se establecen las relaciones geométricas de interés que se mues-tran en la tabla 1: ycosè h= (11) Tdh dA = (12) T A D= (13)

2 _{El peso específico es el producto entre la densidad y la}

LAFUNCIÓNFUERZAESPECÍFICAENCANALES

En la tabla 1 se aprecia que las características geométricas de las secciones rectangular (z_i= z_d=0) y triangular (b=0) son casos particulares de la sección trapecial, que es aquella donde dos lados son parale-los entre sí, en este caso el fondo (b) y la superficie libre (T)3_.

CARACTERÍSTICAS DE LA

FUNCIÓN FUERZA

ESPECÍFICA

La función fuerza específica (10) tiene dimen-siones de longitud al cubo y está definida para todo valor no nulo de la profundidad (figura 4). La fuerza específica es asintótica a la profundidad cero, tiene concavidad positiva en el dominio positivo, tiene un punto de inflexión (d2_M/dy2_{=0) en un valor negativo} Esquema longitudinal Sección transversal Esquema longitudinal

Esquema longitudinal

Sección transversal

Sección transversal Figura 3. Elementos geométricos del canal.

3 _{La sección trapecial es diferente de la sección}

tra-pezoidal, que es aquella donde el fondo de la sección no es paralelo a la superficie libre.

Tabla 1. Características geométricas de la sección transversal. Tabla 1. Características geométricas de la sección transversal.

Sección

Cualquiera Trapecial Rectangular Triangular Parabólica 2 ax h == Área A ₂1 2b_h zi zdh2      _{+ +} bh

(

z z

)

h2 2 d i+ aT3 6 Ancho superficial T h z z h b d i       _{+ +} b

(

z_i+z_d

)

h 2 ha Profundidad hidráulica D

(

)

i d i d 2b h+z +z 1 _h 2 b h+z +z h h 2 2h 3 k h h d i d i z z h 2b z z h 3b 3 1 + + + + 2 1 1 3 2 5

de la profundidad y un intercepto (M=0) en la pro-fundidad negativa que cumplen lo expresado en (14):

gkcosè âQ A h A dh dT A 2T dh dT h 2T ₂ 2 int int 2 inf inf inf 2 inf inf inf inf − = =       −       + (14)

En los casos particulares de secciones rectan-gular y trianrectan-gular el punto de inflexión coincide con el intercepto. La función fuerza específica (10), en el rango de valores positivos de la profundidad, tiene un valor mínimo relativo a una profundidad que se conoce como profundidad crítica y a esa fuerza es-pecífica se le conoce como fuerza eses-pecífica crítica o mínima. Para un valor dado de la fuerza específica existen tres profundidades que lo satisfacen. Si el tal valor dado es mayor que la fuerza específica mínima, existirán tres valores de profundidad que satisfacen la función, dos positivos diferentes entre sí y uno ne-gativo. Si la fuerza específica es la mínima, habrá dos valores de profundidades positivas iguales entre sí, que corresponden precisamente a la profundidad crítica, y una profundidad negativa. Si la fuerza

específica es menor que la mínima, la solución estará formada por una pareja de valores complejos conju-gados entre sí y por un valor negativo de la profundi-dad. Para todo valor de M mayor que el mínimo, exis-ten dos posibles profundidades positivas de flujo que se conocen como profundidades conjugadas: una de ellas, mayor que la profundidad crítica, es la pro-fundidad secuente, que corresponde al estado subcrítico y la otra, menor que la profundidad crítica, está asociada al estado supercrítico del flujo.

La fuerza específica mínima es el ímpetu míni-mo que se requiere en una sección de flujo para man-tener el movimiento del flujo. Si el impulso en una sección es inferior a este valor mínimo, el flujo se remansa para acumular mayor cantidad de movi-miento que a su vez permita transportar la masa flui-da. Mientras se acumula esa cantidad de movimien-to, el flujo deja de ser permanente y se conoce como flujo no permanente.

Si la ecuación que describe el comportamien-to de la función fuerza específica (10) se deriva con respecto a la profundidad de flujo, se obtiene: Figura 4. La función fuerza específica

F u e r z a e s p e c í f ic a ( M ) P r o fu n d id a d Flujo supercrítico Flujo crítico Punto de inflexión Intercepto Flujo subcrítico, prof. subcrítica o secuente

LAFUNCIÓNFUERZAESPECÍFICAENCANALES dy dh dh dA gA Q â dy dh dh dA h A dy dh kcosè dy dM 2 2 −     ₊ = ₍₁₅₎

Combinar esta expresión con (11), (12) y la continuidad del flujo, permite obtener, en condicio-nes de fuerza específica mínima4 _(dM/dy=0):

g v â cosè kh cosè T A k 2c c c c _{+ =} (16) y por consiguiente:

(

D h

)

cosè 1 k â g v c c c ₌ + (17)

que no es más que una forma del número de Froude para el estado crítico de flujo, en el sentido de la fuerza específica mínima, diferente del criterio crítico a partir del flujo de energía, o del flujo de masa (Naranjo, 2000)5_.

De esta manera, puede definirse el número de Froude así:

(

D h

)

cosè k â g v Fâ + = (18)

y convertirlo a una expresión que contenga sólo elementos geométricos:

(

D h

)

A cosè gk âQ F_â2 2₂ + = ₍₁₉₎

Con la expresión general para la fuerza especí-fica (10) en la condición mínima, combinada con (19), también en estado crítico, se obtiene:

(

2h D

)

cosè

kA

Mc = c c+ c (20)

Las expresiones generales encontradas se pue-den evaluar para algunas secciones transversales particulares y así obtener los resultados indicados en la tabla 2.

Tanto en la tabla 2 como en la tabla 1 y en las demás que se presentarán puede apreciarse que las secciones rectangular y triangular son casos particu-lares de la sección trapecial.

EFECTO DE LAS PEQUEÑAS

PENDIENTES

LONGITUDINALES

La tabla 3 muestra algunos valores de interés asociados a pequeños ángulos de inclinación longitudinal.

Los valores consignados en la tabla 3 mues-tran que para canales con pendientes tan altas, des-de el punto des-de vista hidráulico, como 10%, se obtie-nen correcciones de altura de flujo insignificantes, representada por cosθ. El efecto de la corrección si-multánea de la presión y la altura de flujo por pen-diente, representada por cos2_{θ, indica que, con}

pen-dientes inferiores a 7,1%, se refleja en magnitudes feriores a la centésima. Así mismo, para pequeñas in-clinaciones de los canales, inferiores al 7%, se obser-va la igualdad entre el ángulo, el seno, la tangente y la pendiente. También se observa que para pendien-tes inferiores a 0,5%, el efecto del peso del volumen de líquido en el volumen de control, representado por sen θ, empieza a ser insignificante. Por supuesto que si en algunas circunstancias los efectos de la co-rrección para algunas pendientes son insignificantes, no impide que esos valores puedan calcularse si se requiere mayor pulcritud en los cálculos.

4 _{Cuando una variable tiene la letra c por subíndice se}

refiere al valor de esa variable en estado crítico.

5 _{El estado de flujo se caracteriza por su relación de}

fuerzas de inercia a gravitacionales mediante el núme-ro de Fnúme-roude o por su relación de fuerzas de inercia a viscosas mediante el número de Reynolds. La conside-ración de los dos estados a la vez corresponde a la clasificación del régimen de flujo (Chow, 1959).

Según lo anterior, se pueden transformar las expresiones reportadas en la tabla 2 para obtener las características de canales horizontales como se mues-tra en la tabla 4.

Tabla 3. Ángulos y funciones de interés en hidráulica de canales.

_{LA FUNCIÓN FUERZA}

ESPECÍFICA

REDUCIDA EN

CANALES (M

’)

La función fuerza específica (10) adopta valores diferentes de acuerdo con el caudal que transporta el canal. Se puede obtener una expresión adimensional e independiente del cau-dal a partir de una reducción de las va-riables respecto a las condiciones críti-cas.

Así, a partir del número de Froude (19), en estado crítico, se puede escribir:

(

)

2 c c c c c âQ h A cosè= gk D h +1 A (21)

Tabla 3. Ángulos y funciones de interés en hidráulica de canales.

ángulo

grado radián cosθθ cos

2_{θθ senθθ tanθθ So} 0 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0% 0.29 0.0050 1.0000 1.0000 0.0050 0.0050 0.5% 1 0.0175 0.9998 0.9997 0.0175 0.0175 1.7% 2 0.0349 0.9994 0.9988 0.0349 0.0349 3.5% 3 0.0524 0.9986 0.9973 0.0523 0.0524 5.2% 4 0.0698 0.9976 0.9951 0.0698 0.0699 7.0% 4.05 0.0708 0.9975 0.9950 0.0707 0.0709 7.1% 5 0.0873 0.9962 0.9924 0.0872 0.0875 8.7% 5.73 0.1000 0.9950 0.9900 0.0999 0.1004 10.0% 6 0.1047 0.9945 0.9891 0.1045 0.1051 10.5% 7 0.1222 0.9925 0.9851 0.1219 0.1228 12.3% 2 ax h == (D h)cosè k â g v +

(

)

(

(

)

)

(

i id d

)(

i i d

)

d v 3b h+z +z 4b h+3 z +z g 1 _hcosè â 6 2b h+z +z b h+z +z âhcosè g v cosè 2 h â g v hcosè 3 2 â g v ( ) 2 2 âQ gk D+h A cosè ( ) ( ) (4bh 3z z )(3bh z z )(2bh z z )hcosè g z z h b Q 24 5 d i d i d i d i 2 + + + + + + + + β 2 2 3 âQ gb h cosè

(

)

2 2 5 i d 8âQ g z +z h cosè 32ghcosè aQ 27 4 2 β ( ) gkcosè âQ A h D 2 2 c c c+ = ( ( ))( )( ) 5 c i d c i d c i d c c i d 2 4b h 3 z z 3b h z z 2b h z z h cosè b h z z 24âQ g + + + + + + + + =

(

)

2 4 â Q b 3 gcosè 5

(

)

2 2 6 i d 8âQ g z z+ cosè 4 2 5 27âaQ 32gcosè 2 âQ khAcosè gA + ( ) _{( )} 2 d i 2 3 d i h z z h 2b g Q 2 cosè h z z h 3b 6 1 + + β + + + 2 2 1_{bh cosè} 2 âQ gbh +

(

)

(

)

3 i d 2 2 i d 1 _{z z h cosè} 6 2 Q g z z h β + + + 2 2 4 _{Th cosè} 15 3âQ 2gTh + (2h D)cosè kAc c+ c

(

)

(

c i d

)

(

c i d

)

3 c c i d 6b h +5 z +z 3b h +z +z 1 _{h cosè} 12 b h +z +z 2bhcosè 3 2 c ₁₂(z z )hcosè 5 3 c d i+ Th cosè 45 32 2 c c

LAFUNCIÓNFUERZAESPECÍFICAENCANALES 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 0.0 1.0 2 .0 3 .0 4.0 5.0 M '= M /h_cA_cco s ?? y ´= y /yc

Trapec ial b/hc =2; z i=z d= 1 Rec tangular

Triangular Parabólic a Ahora, la relación (21) se adopta como factor

para obtener las formas adimensionales de la función y las variables de flujo crítico se usan para definir otras variables adimensionales, así:

c c M M'= h A cosè (22) c y y y'= ₍₂₃₎ c A A A'= ₍₂₄₎

De manera que es posible obtener, mediante la combinación de (10) con (21), (22), (23) y (24):

(

)

' A 1 h D k A' ky' M'_{= +} c c+

₍₂₅₎

Esta expresión es la función de fuerza espe-cífica reducida para cualquier sección transversal de canal.

Mediante procedimientos análogos puede obtenerse la expresión para la fuerza específica

reducida en canales con otras secciones transversales, tal como se muestra en la tabla 5.

Finalmente, vale la pena resaltar que la ecua-ción para la fuerza específica reducida (25), es adimensional y representa una familia de curvas, in-dependientemente del caudal que circule por el ca-nal y de su pendiente, y está representada en la figura 5, para varias secciones transversales.

Figura 5. Fuerza específica reducida en diversas sec-ciones transversales

Tabla 4. La fuerza específica en canales horizontales

Sección

Cualquiera Trapecial simétrica Rectangular Triangular

simétrica Parabólica 2 ax h == Fββ _k

(

_{D y}

)

â g v +

(

₍

₎₍

)(

₎

)

y z 2 y b z y b 3z y b 2 z 2 y 3b 6 1 â g v + + + + y â g v 2 y â g v y 3 2 â g v Fββ2

₍

₎

2 2 A y D gk âQ +

(

)(

(

)(

)

)

5 2 y z y b z 3 y 2b 2z y 3b g z 2 y b Q 6 + + + + β 3 2 2 y gb âQ 5 2 2 y gz Q 2β 4 2 32gy Q 27β yc,ββ

(

D y

)

A _gkQ 2 2 c c c+ =β

(

)(

)(

)

g Q 6 2z y b y z y b 3z y 2b 2z y 3b 2 c 5 c c c c ₌ β + + + + 3

( )

g b Q â yc,β= 2 5 gz Q 2 yc,β= β ₂2 y 427_32gaQ 2 c,β= β M kyA âQ2 gA +

(

)

3

₍

2

₎

₂ y z h b g Q y z 2 y 3b 6 1 + β + + 1_by2 âQ2 2 +gby 2 2 3 gzy Q zy 3 1 β + 2gyT Q 3 T y 15 4 2 2 ₊ β Mc kAc

(

2yc+Dc

)

(

)(

)

3c c c c _y 2z y b 2z y 3b 5z y 3b 6 1 + + + 2 c by 2 3 3 c zy 6 5 c 2 cT y 45 32 F_βββββ F_βββββ22222 Sec-ción y_c,βββββ M M_c

CONCLUSIONES

En la sección transversal de geometría gene-ralizada en un canal con cualquier pendiente, se pue-den obtener:

• La función fuerza específica (ecuación 10) • El número de Froude a partir del criterio de

fuer-za específica (ecuación 19)

• La profundidad crítica a partir del criterio de fuer-za específica mínima (ecuación 19 con el número de Froude unitario)

• La fuerza específica mínima (ecuación 20) • La fuerza específica reducida (ecuación 25)

La combinación de las ecuaciones (3) y (4) permite estudiar el transporte de la cantidad de movimiento y, por tanto, el comportamiento de la altura del flujo gradual o rápidamente variado a lo largo de un canal sin estructuras o regulado por una compuerta o por un azud, o en una transición gradual, o en un resalto hidráulico si se conocen las

condiciones de flujo en la sección inicial o en la sección secuente, para una sección generalizada o particular, pero todo ello se presentará en otro escrito y se publicará en otra oportunidad.

LISTA DE SÍMBOLOS

A área mojada de la sección transversal del canal. a inverso del latus rectum de la sección transversal

parabólica.

A’ área mojada reducida de la sección transversal del canal.

A_c área mojada crítica de la sección transversal del ca-nal.

A_f área mojada de la sección transversal final.

A_i área mojada de la sección inicial del volumen de con-trol.

A_inf área mojada de la sección para el punto de inflexión de la función fuerza específica

A_int área mojada del flujo en el intercepto de la función fuerza específica.

b ancho del fondo en la sección transversal rectangu-lar o trapecial. Sección M Factor de reduc-ción M’ M’ Sección 2 ax h == M 2 âQ khAcosè gA + _{( )}

(

)

2 3 i d ₂ i 1 _{3b h z z h cosè} 2âQ 6 _{g 2b h z z h} d + + + + + 2 2 1_{bh cosè} âQ 2 +gbh ( ) ( ) 2 d i 2 3 d i h z z g Q 2 cosè h z z 6 1 + β + + 2gTh Q 3 cosè Th 15 4 2 2 β + Factor de reducción ( ) c c 2 c c c h A cosè âQ gk D h 1 A = +

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 c d i c d i c d i c 2 3 c d i c h z z h 3b z z 3 h 4b g z z h b Q 12 cosè h z z h 2b 2 1 + + + + + + β = + + c 2 2 ccosè _gbhQ bh = β ( ) ( ) 2 c d i 2 3 c d i h z z g Q 4 cosè h z z 2 1 + β = + c c 2 2 c c h 4gT Q 9 cosè h T 3 2 β = M? ( ) A' 1 h D k A' ky' c c + +

(

)(

)

(

(

)

)

(

)(

)

3 c i d c i d c i d c i d c i d 2 2 c i d c i d 3b h y'+z +z 1 _{y' +} 3 2b h +z +z 3b h y'+z +z 2b h +z +z 4b h +3 z +z 1 6 b h +z +z 2b h y'+z +z y' y' 1 2 y'2 + 3 ₂ 2y' 1 3 y'₊ 2 3₂ 5 3y' 2 y' 5 2 ₊ M? _ +2_ h D k c c ( )( ( )) ( c i d)( c i d) d i c d i c z z h b z z h b 2 z z 5 h b 6 z z h b 3 6 1 + + + + + + + + 2 3 6 5 15 16

LAFUNCIÓNFUERZAESPECÍFICAENCANALES

D profundidad hidráulica en la sección. D_c profundidad hidráulica crítica en la sección. F_e fuerza externa que actúa sobre el volumen de

con-trol.

F_p fuerza estática total sobre la sección transversal. F_pf fuerza debida a la presión en la sección final del

volu-men de control.

F_pi fuerza debida a la presión en la sección inicial del volumen de control.

F_β número de Froude para flujo de cantidad de movi-miento (Boussinesq).

f subíndice para la sección final del volumen de con-trol.

g aceleración gravitacional local.

h profundidad hasta el centro de área.

h profundidad de flujo en la sección, perpendicular al fondo del canal. Ordenada de la sección parabólica. h_inf profundidad de flujo en la sección para el punto de

inflexión de la función fuerza específica.

h_int profundidad de flujo en el intercepto de la función fuerza específica.

h_c profundidad crítica del flujo en la sección perpendi-cular al fondo del canal.

i subíndice para la sección inicial del volumen de con-trol.

k fracción de profundidad del centro de área en la sec-ción respecto a la profundidad del flujo.

L longitud del volumen de control en la dirección del flujo.

M fuerza específica.

M’ fuerza específica reducida para la sección del canal. M_c fuerza específica mínima.

M’_c fuerza específica mínima reducida.

n-n sección transversal perpendicular al fondo del canal. p presión en el centro de área.

p función distribución de presión en la sección. Q caudal que circula a través de la sección. S_o pendiente del fondo del canal.

T ancho de la superficie libre en la sección transversal. Tc ancho de la superficie libre crítico.

Tinf ancho de la superficie libre en el punto de inflexión de

la función fuerza específica.

∀ volumen del líquido dentro del volumen de control. v velocidad media del flujo en la sección.

v_c velocidad crítica en la sección.

v_f velocidad media en la sección final del volumen de control.

v_i velocidad media en la sección inicial del volumen de control.

v_h función velocidad en términos de la distancia h desde el fondo.

x abscisa de la sección parabólica en sentido perpendi-cular al flujo.

y profundidad de flujo, paralela al eje vertical. y’ profundidad reducida para la sección del canal. yc profundidad crítica.

y_c,β profundidad crítica obtenida con el criterio de fuerza específica mínima.

z componente horizontal del talud (1V:zH), cuando son iguales en ambas márgenes.

z_d componente horizontal del talud (1V:z_dH) correspon-diente a la margen derecha del canal.

z_i componente horizontal del talud (1V:z_iH) correspon-diente a la margen izquierda del canal.

W peso del líquido contenido en el volumen de control. β coeficiente de corrección de cantidad de

movimien-to o de Boussinesq. γ peso específico del líquido.

θ ángulo de inclinación del canal medido con la hori-zontal.

ρ densidad del líquido.

BIBLIOGRAFÍA

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NARANJO MESA, Jorge Alberto (2000). La sección crítica son tres. XIV Seminario Nacional de Hidráulica e Hidrología. Villa de Leyva, Colombia, documento 41. NAUDASCHER, Eduard (2001). Hidráulica de canales.

Méxi-co : Limusa, 381 p.

NEWTON, Isaac (1687). Philosophiae Naturales Principia Matemática. Barcelona, España : Altaza, 621 p.