Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema B) 1

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Universidad de los Andes Departamento de Matem´aticas

Primer Parcial MATE1207 C´

alculo Vectorial (Tema B)

Instrucciones:

Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba con bol´ıgrafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede

hablar con compa˜neros, no puede usar calculadora, celular, apuntes, cuadernos, textos ni aparatos electr´onicos. Escriba todo su an´alisis si desea

recibir el m´aximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.

Question Points Score

1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 Total: 50

Chequee su secci´on en la tabla_−→

Secci´on Profesor Mi secci´on 01 Mauricio Velasco Grigori

06 Mikhail Malakhaltsev 11 Paul Bressler

16 Marco Boggi

21 Alexander Cardona Guio 26 Jean Carlos Cortissoz Iriarte

Nombre: C´odigo: Firma:

Bogot´a, Marzo 8, 2014

1_{El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que}

pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas acad´emicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compa˜neros o de la misma Universidad”

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C´odigo: Tema B P´ag. 2 de 15 1. (10 points) Si su respuesta y justificaci´on son correctas obtendr´a el m´aximo puntaje. Si su

res-puesta es incorrecta podr´a obtener cr´editos parciales de acuerdo a su justificaci´on.

Sea Σ la superficie de gr´afico de la funci´on f(x, y) =x2_+y2_{. Hallar todos los puntos de la} superficie Σ donde el plano tangente a la superficie sea paralelo al plano 2x₋4y₋z = 0.

Respuesta:

Solution: La superficie Σ es dada por la ecuaci´on F(x, y, z) = x2_+y2_{−z, entonces el} vector normal al plano tangente es_∇F = (2x,2y,₋1). Como el vector normal al plano

α : 2x₋4y₋z = 0 es N~ = (2,₋4,₋1), el plano tangente es paralelo al plano α si y s´olo si

2x= 2λ, 2y=₋4λ, ₋1 =₋λ.

Entonces λ= 1 y por lo tanto x= 1, y=₋2 y luegoz = 5.

Respuesta: (1, -2, 5)

Pautas de correcci´

on:

Reglas generales:

Cada error en c´alculo . . . -2 Cada error aritm´etico . . . -1 El “camino” sin soluci´on correcta . . . 0

Cr´editos parciales:

De un total de 10 puntos:

Vector normal al plano . . . 3 Vector normal a la superficie en (x,y,z) . . . 3 Plantear que los vectores son paralelos ssi uno se obtiene del otro multiplicando por alguna constante λ (-1 si se pide que los vectores normales sean iguales y no paralelos) o por plantear que el producto cruz entre los dos vectores normales debe ser cero . . . 2 Solucion correcta de la ecuacion de paralelismo planteada anteriormente . . . 2

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C´odigo: Tema B P´ag. 4 de 15 2. Si su respuesta y justificaci´on son correctas obtendr´a el m´aximo puntaje. Si su respuesta es

inco-rrecta podr´a obtener cr´editos parciales de acuerdo a su justificaci´on.

Suponga queT(x, y, z) =e(−3x2_−2y2_−z2₎

es la temperatura en grados de un punto (x, y, z)_∈

R3 (x, y, z est´an medido en cent´ımetros). Suponga que tenemos una part´ıcula en el punto (1,₋1,1).

(a) (5 points) En qu´e direcci´on (unitaria) deber´ıa moverse la part´ıcula para disminuir _su temperatura lo m´as r´apidamente posible?

(b) (5 points) Si la part´ıcula avanza a una velocidad de e6_{cm/seg en la direcci´on} deter-minada en la parte (a), con que rapidez decrecer´a la temperatura?

Respuesta: (a)

(b)

Solution: a) Sea A(1,₋1,1). La part´ıcula debe moverse en la direcci´on del vector

−∇T(A). Como

∇T =₋2e−(−3x2_−2y2_−z2₎

(3x,2y, z),

entonces

∇T(A) =₋2e−6_{(3,−2,1) = 2e}−6_{(−3,2,−1).}

Entonces la part´ıcula debe moverse en la direcci´on determinada por el vector unitario

~u = 3/√14,₋2/√14,1/√14 . b) La rapidez es igual a e6_∇T(A)_·~u= 2 (₋3,2,₋1)_·3/√14,₋2/√14,1/√14=₋2√14. Respuesta: (a) 3/ √ 14,₋2/√14,1/√14 (b) −2 √ 14

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Prob. 2 cont.. . . C´odigo: Tema B P´ag. 5 de 15

Pautas de correcci´

on:

Reglas generales:

Cada error en c´alculo . . . -2

Cada error aritm´etico . . . -1

El “camino” sin soluci´on correcta . . . 0

Cr´editos parciales: El vector gradiente _∇T . . . 2

El valor de vector gradiente_∇T(A) . . . 1

El vector de la direcci´on no es unitario . . . -1

La formula e6_{∇T(A)·~u . . . 4}

La formula _∇T(A)_·~u (sin e6_{) . . . 2}

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C´odigo: Tema B P´ag. 7 de 15 3. Si su respuesta y justificaci´on son correctas obtendr´a el m´aximo puntaje. Si su respuesta es

inco-rrecta podr´a obtener cr´editos parciales de acuerdo a su justificaci´on.

(a) (4 points) (a) Demostrar que la ecuaci´on x+ 2z+ 3y= sin(x2_{−z) define una funci´on}

z =f(x, y) en una vecindad del punto (1,₋1) tal que f(1,₋1) = 1.

(b) (4 points) (b) Hallar los valores de las derivadas parciales ∂f_∂x(1,₋1) y ∂f_∂y(1,₋1), donde la funci´on f(x, y) es definida en la parte a).

(c) (2 points) (c) Hallar la recta normal al gr´afico de la funci´onz =f(x, y) definida en la parte a) en el punto (1,₋1,1).

Respuesta: (b) (c)

Solution: a) Tomemos F(x, y, z) = x+ 2z+ 3y₋sin(x2_{−z). F(1,−1,1) = 0, luego}

Fz(x, y, z) = 2 + cos(x2 − z) implica Fz(1,−1,1) = 3 6= 0. Entonces el teorema de

funci´on impl´ıcita implica la afirmaci´on.

b) Encontraremos las derivadas fx(1,−1) y fy(1,−1). Derivamos la identidad x +

2f(x, y) + 3y₋ sin(x2 _{− f(x, y)) = 0 con respecto a x y despu´es ponemos x = 1,}

y=₋1, f(1,₋1) = 1: ∂ ∂x : 1 + 2fx(x, y)−cos(x 2 −f(x, y))(2x₋fx(x, y)) = 0 ⇒1 + 2fx(1,−1)−(2−fx(1,−1)) = 0⇒fx(1,−1) = 1/3. ∂ ∂y : 2fy(x, y) + 3−cos(x 2 −f(x, y))(₋fy(x, y)) = 0 ⇒2fy(1,−1) + 3 +fy(1,−1)) = 0⇒fy(1,−1) = −1. c)x= 1 +t/3, y=₋1₋t,z = 1₋t. Respuesta: (b) fx(1,−1) = 1/3,fy(1,−1) =−1 (c) x= 1 +t/3, y=−1−t, z= 1−t

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Prob. 3 cont.. . . C´odigo: Tema B P´ag. 8 de 15

Pautas de correcci´

on:

Reglas generales:

Cada error en c´alculo . . . -2 Cada error aritm´etico . . . -1 El “camino” sin soluci´on correcta . . . 0

Cr´editos parciales: En a):

La funci´onF(x, y, z) y verificaci´on que F(x0, y0, z0) = 0 . . . 1 Verificaci´on que ∂

∂zF(x0, y0, z0)6= 0 . . . 2

Referencia al teorema de la funci´on impl´ıcita . . . 1 En c):

El vector normal a la superficie . . . 1

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C´odigo: Tema B P´ag. 10 de 15 4. Si su respuesta y justificaci´on son correctas obtendr´a el m´aximo puntaje. Si su respuesta es

inco-rrecta podr´a obtener cr´editos parciales de acuerdo a su justificaci´on.

Sea Γ la curva en el plano dada por la ecuaci´on param´etrica~r(t) = (1 + sin(2t), t2_{−sin(t)−1),}

t_∈(₋π/2, π/2).

(a) (5 points) Hallar la recta normal a la curva Γ en el punto (1,₋1). (b) (5 points) Hallar la curvatura de la curva Γ en el punto (1,₋1).

Respuesta:a) b)

Solution: a) Si (1 + sin(2t), t2_{−sin(t)−1) = (1,−1), entonces bajo la condici´on que}

t_∈(₋π/2, π/2) tenemos que t= 0.

Tenemos que ~r′_{(t) = (2 cos(2t),2t−cos(t)), entonces ~r}′_{(0) = (2,−1). Por lo tanto la}

recta normal es dada por la ecuaci´on 2(x₋1)₋(y+ 1) = 0 o 2x₋y₋3 = 0.

b) Como ~r′′_{(t) = (−4 sin(2t),2 + sin(t)), ~r}′′_{(0) = (0,2), entonces la curvatura de la}

curva en este punto es

k(0) = k~r ′_(0)×~r′′_(0)k k~r′_(0)k3 = det 2 ₋1 0 2 p 22_{+ (−1)}23 = 4 5√5. Respuesta:a) 2x₋y₋3 = 0 b) 4 5√5

Pautas de correcci´

on:

Reglas generales:

Cada error en c´alculo . . . -2

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Prob. 4 cont.. . . C´odigo: Tema B P´ag. 11 de 15

Cada error aritm´etico . . . -1

El “camino” sin soluci´on correcta . . . 0

Cr´editos parciales: En a): El punto t= 0 . . . 1

El vector tangente ent = 0 . . . 2

La ecuaci´on de la recta tangente . . . 2

En b): La formula para la curvatura . . . .1

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C´odigo: Tema B P´ag. 13 de 15 5. No hay cr´editos parciales. Las cinco partes no est´an relacionadas.

Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), seg´un sea el caso.

(a) (2 points) En el plano la recta l1 dada por la ecuaci´onx−y−1 = 0 y la recta l2 dada por la ecuaci´on: x= 2 +t y y =t son paralelas. . . . (b) (2 points) La funci´on f(x, y) = ex_{cosy es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial}

∂2_f

∂x2 −

∂2_f

∂y2 = 0. . . . (c) (2 points) La longitud de la curva parametrizada ~r(t) = (cost,2 sint,2t), 0 _≤t _≤ 1,

es major que 3. . . . (d) (2 points) Si~r(t), t _∈ (a, b), es una funci´on vectorial diferenciable tal que para cada

t _∈ (a, b) tenemos _k~r(t)_k = 9, entonces los vectores ~r(t) y ~r′_{(t) son perpendiculares}

para cada t_∈(a, b). . . . (e) (2 points) La Figura 1 muestra las curvas de nivel de la funci´on f(x, y) = 2x2 _−y2

correspondientes a los valores 0,2,4,_{· · ·} ,40 def(x, y). . . .

Figure 1. Las curvas de nivel de la funci´on f(x, y)

Solution:

(a) En el plano la recta l1 dada por la ecuaci´on x−y−1 = 0 y la recta l2 dada por la ecuaci´on: x= 2 +t y y=t son paralelas. . . V (b) La funci´onf(x, y) =ex_{cosyes una soluci´on de la ecuaci´on diferencial} ∂2_f

∂x2−

∂2_f

∂y2 = 0. . . F (c) La longitud de la curva parametrizada~r(t) = (cost,2 sint,2t), 0_≤t _≤1, es major

que 3. . . F

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Prob. 5 cont.. . . C´odigo: Tema B P´ag. 14 de 15

(d) Si~r(t),t_∈(a, b), es una funci´on vectorial diferenciable tal que para cadat_∈(a, b) tenemos _k~r(t)_k = 9, entonces los vectores ~r(t) y ~r′_{(t) son perpendiculares para}

cada t_∈(a, b). . . V (e) La Figura 1 muestra las curvas de nivel de la funci´on f(x, y) = 2x2_−y2

corres-pondientes a los valores 0,2,4,_{· · ·} ,40 de f(x, y). . . F

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