Unidad 1. Vectores en el espacio
Ing. César Omar Corona Castro
ESPACIO BIDIMENSIONAL
ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Vector posición 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝑥1, 𝑦1〉 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝑥1, 𝑦1, 𝑧1〉 Vector de desplazamiento El vector de desplazamiento 𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ desde el punto inicial 𝑃1= (𝑥1, 𝑦1) hasta el punto final 𝑃2= (𝑥2, 𝑦2) es 𝑃1𝑃2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝑥2− 𝑥1, 𝑦2− 𝑦1〉 El vector de desplazamiento 𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ desde el punto inicial 𝑃1= (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) hasta el punto final 𝑃2=
(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) es 𝑃1𝑃2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝑥2− 𝑥1, 𝑦2− 𝑦1, 𝑧2− 𝑧1〉
Adición de vectores
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 y 𝒃 = 〈𝑏1, 𝑏2〉 en el espacio
bidimensional, entonces 𝒂 + 𝒃 = 〈𝑎1+ 𝑏1, 𝑎2+ 𝑏2〉
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 y 𝒃 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝒂 + 𝒃 = 〈𝑎1+ 𝑏1, 𝑎2+ 𝑏2, 𝑎3+ 𝑏3〉 Multiplicación escalar Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 en el espacio bidimensional, entonces 𝑚𝒂 = 〈𝑚𝑎1, 𝑚𝑎2〉
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2 𝑎3〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝑚𝒂 = 〈𝑚𝑎1, 𝑚𝑎2, 𝑚𝑎3〉 Negativo de un vector Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 en el espacio bidimensional, entonces −𝒂 = 〈−𝑎1, −𝑎2〉
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2 𝑎3〉 en el espacio tridimensional, entonces
−𝒂 = 〈−𝑎1, −𝑎2, −𝑎3〉
Resta de vectores
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 y 𝒃 = 〈𝑏1, 𝑏2〉 en el espacio
bidimensional, entonces 𝒂 − 𝒃 = 〈𝑎1− 𝑏1, 𝑎2− 𝑏2〉
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 y 𝒃 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝒂 − 𝒃 = 〈𝑎1− 𝑏1, 𝑎2− 𝑏2, 𝑎3− 𝑏3〉 Vector cero 𝟎 = 〈0, 0〉 𝟎 = 〈0, 0, 0〉 Norma de un vector Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 en el espacio bidimensional, entonces ‖𝒂‖ = √𝑎12+ 𝑎22
Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2 𝑎3〉 en el espacio tridimensional, entonces
‖𝒂‖ = √𝑎12+ 𝑎22+ 𝑎32 Sea el vector 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 en el
Producto punto
Sean los vectores a = 〈a1, a2, a3〉 y b = 〈b1, b2, b3〉 en el espacio tridimensional, entonces a ∙ b = a1b1+ a2b2+ a3b3
Forma alterna:
El producto punto de los vectores a y 𝒃 es
a ∙ b = ‖a‖‖b‖ cos 𝜃 donde u es el ángulo entre los vectores tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.
Producto cruz
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 y 𝒃 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 en el espacio tridimensional, entonces
𝒂 × 𝒃 = | 𝒊 𝒋 𝒌 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3 | Forma alterna:
Sean 𝒂 y 𝒃 dos vectores distintos de cero que no son paralelos entre sí. Entonces el producto cruz de 𝒂 y 𝒃 es
𝒂 × 𝒃 = (‖𝒂‖‖𝒃‖ sen 𝜃) 𝒏
donde 𝜃 es el ángulo entre los vectores tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 y 𝒏 es un vector unitario perpendicular al plano de 𝒂 y 𝒃 con dirección dada por la regla de la mano derecha.
Triple producto escalar
Sean los vectores 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉, 𝒃 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 y 𝒄 = 〈𝑐1, 𝑐2, 𝑐3〉 en el espacio tridimensional, entonces 𝒂 ∙ (𝒃 × 𝒄) = | 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑐1 𝑐2 𝑐3 |
Ángulo entre vectores
El ángulo 𝜃 más pequeño de los dos ángulos posibles entre los vectores 𝒂 y 𝒃 es 𝜃 = cos−1 𝒂 ∙ 𝒃
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Ing. César Omar Corona Castro
Cosenos directores
Para un vector distinto de cero 𝒂 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 en el espacio tridimensional cos 𝛼 = 𝑎1 ‖𝒂‖ cos 𝛽 = 𝑎2 ‖𝒂‖ cos 𝛾 = 𝑎3 ‖𝒂‖
Componente de un vector sobre otro
Sean los vectores 𝒂 y 𝒃 en el espacio tridimensional, entonces 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑏𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃 ‖𝒃‖
Proyección de un vector sobre otro
Sean los vectores 𝒂 y 𝒃 en el espacio tridimensional, entonces
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑏𝒂 = (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑏𝒂) ( 𝒃 ‖𝒃‖)
Criterio para vectores ortogonales (perpendiculares)
Criterio para vectores paralelos
Primer criterioDos vectores distintos de cero son paralelos 𝒂 y 𝒃 si y sólo si uno es un múltiplo escalar distinto de cero del otro.
Segundo criterio
Dos vectores distintos de cero 𝒂 y 𝒃 son paralelos si y sólo si 𝒂 × 𝒃 = 𝟎.
Áreas de un paralelogramo y de un triángulo
El área de un paralelogramo con lados 𝒂 y 𝒃 es
𝐴 = ‖𝒂 × 𝒃‖
y el de área de un triángulo con lados 𝒂 y 𝒃 es 𝐴 =‖𝒂 × 𝒃‖
2
Volumen de un paralelepípedo
El volumen de un paralelepípedo con lados 𝒂, 𝒃 y 𝒄 es 𝑉 = |𝒂 ∙ (𝒃 × 𝒄)|
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Ing. César Omar Corona Castro
Rectas en el espacio tridimensional
Una recta en el espacio se determina especificando un punto 𝑃0= (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y un vector distinto de cero 𝒗 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 paralelo a ella. Ecuación vectorial 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 〈𝑥0, 𝑦0, 𝑧0〉 + 𝑡〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 Ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑥0+ 𝑎𝑡, 𝑦 = 𝑦0+ 𝑏𝑡, 𝑧 = 𝑧0+ 𝑐𝑡 Ecuaciones simétricas 𝑥−𝑥0 𝑎 = 𝑦−𝑦0 𝑏 = 𝑧−𝑧0 𝑐
Si uno de los números direccionales 𝑎, 𝑏 o 𝑐 es cero, se emplean las dos ecuaciones restantes para eliminar el parámetro 𝑡. Por ejemplo, si 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0 entonces 𝑥 = 𝑥0, 𝑦−𝑦0 𝑏 = 𝑧−𝑧0 𝑐
Planos
Un plano se determina si se especifica un punto 𝑃0= (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) y un vector distinto de cero 𝒏 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 ortogonal a él.
