BLOQUE II: GEOMETRÍA.
TEMA 4. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: VECTORES. PRODUCTO ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO
1. VECTORES
1.1. Operaciones con vectores
Trabajamos en el espacio como hicimos en el plano en 1º de bachillerato.
Un vector fijo AB, es un segmento orientado de origen A y extremo B, que tiene las siguientes características:
Módulo: longitud del segmento AB, AB
Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
Sentido: indica cual de las dos orientaciones posibles sobre la recta posee el vector. El que va del origen al extremo. AB y BA son vectores con la misma dirección y sentido contrario.
Dos vectores fijos son equipolentes si tiene el mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado se llama vector libre.
Los vectores libres se representa por cualquiera de sus vectores fijos,AB, señalando el origen A y el extremo B, o bien por letras minúsculas: u,v,etc.
1.2. Expresión analítica de un vector Un sistema de referencia en 3
está formado por tres rectas OX, OY, OZ, llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto O, origen de coordenadas, y eligiendo una unidad en cada eje.
Cuando las tres rectas son perpendiculares, el sistema es ortogonal, y cuando, además, las tres medidas son iguales a la unidad, el sistema es ortonormal.
Si el vector OP tiene de coordenadas del origen O(0,0,0) y extremo P(x,y,z), las coordenadas del vector OP son OP (x,y,z), que coinciden con las coordenadas del punto P.
Si el vector AB tiene de coordenadas del origen A(x1,y2,z3) y del extremo B(x2,y2,z2), las coordenadas del vector AB son AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)
1.3. Operaciones con vectores Suma de vectores
Sean u y v dos vectores libres, se define el vector suma u v como otro vector obtenido de la forma:
Tomamos de esos vectores representantes poniendo uno y el segundo comenzando en el extremo del primero.
El vector suma será la diagonal del paralelogramo de lados u y v En coordenadas: u (u1,u2,u3) y v (v1,v2,v3) entonces: ) , , (u1 v1 u2 v2 u3 v3 v u
Propiedades de la suma:
Asociativa: (u v) w u (v w)
El vector nulo 0 es elemento neutro de la suma: u 0 0 u u
El vector opuesto de u es u: u ( u) ( u) u 0 Conmutativa: u v v u
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres en el espacio se suma al primer vector el opuesto del segundo. En coordenadas:
u v (u1 v1,u2 v2,u3 v3)
Producto de un número real (escalar) por un vector.
Si u es un vector libre un número real, se define el producto u como un nuevo vector que tiene por módulo el producto u , por dirección la misma de u y de sentido el mismo de u si es positivo y opuesto si es negativo.
En coordenadas: Si u (u1,u2,u3)
u ( u1, u2, u3) Propiedades del producto de un número real por un vector:
v u v u ) ( u u u ) ( El neutro 1 u u u u) ( ) ( El espacio vectorial V3
El conjunto de los vectores libres en el espacio V3 con la suma y el producto de un
número real es un espacio vectorial ya que cumple las ocho propiedades que caracterizan la estructura.
1.4. Combinación lineal.
Una combinación lineal de los vectores v1,v2,v3,,vn es una expresión de
la forma: 1v1 2v2 nvn
donde los coeficientes 1, 2, 3,, n son números reales.
Un vector v es combinación lineal o depende linealmente de los vectores
n v v v
v1, 2, 3,, si se puede expresar de la forma:
n nv v
v
v 1 1 2 2
1.5. Dependencia e independencia lineal. Base
Los vectores v1,v2,v3,,vn son linealmente independientes si: 0
2 2 1
1v v nvn 1 2 3 n 0
es decir, si una combinación lineal de ellos igualada a cero implica que todos los escalares son cero.
Los vectores v1,v2,v3,,vn son linealmente dependientes si existen
escalares 1, 2, 3,, n no todos nulos, tales que:
0 2
2 1
1v v nvn
Dependencia e independencia con determinantes En 3
, tres vectores u (u1,u2,u3) ,v (v1,v2,v3) y w (w1,w2,w3) son:
Linealmente independientes si: 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 w v u w v u w v u
Linealmente dependiente si: 0 3 3 3 2 2 2 1 1 1 w v u w v u w v u
En un espacio vectorial un conjunto de vectores B {v1,v2,v3,,vn} forman una base si:
1. Los v1,v2,v3,,vn son linealmente independientes 2. Todo vector v es combinación lineal de estos vectores
n nv v
v
v 1 1 2 2
Los escalares 1, 2, 3,, n reciben el nombre de coordenadas del vector
v en la base B. n nv v v v 1 1 2 2
Los 1, 2, 3,, n son únicos.
La base más sencilla es la formada por tres vectores linealmente independientes, perpendiculares entre sí y de módulo la unidad. Es la base canónica:
)} 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 {( } , , {i j k B
El vector u (u1,u2,u3) tiene la siguiente expresión en la base canónica:
k u j u i u u u u u u u u ( 1, 2, 3) 1(1,0,0) 2(0,1,0) 3(0,0,1) 1 2 3 El módulo de este vector u (u1,u2,u3) viene dado por:
2 3 2 2 2 1 u u u u
2. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
2.1. Producto escalar
Se define ángulo entre los vectores libres u y v como el menor de los ángulos que forman dos representantes suyos con el mismo origen, y se representa de esta manera: (u,v).
Dados dos vectores libres del espacio, u y v , se define su producto escalar, u·v, como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
1ª FÓRMULA Observación
El producto escalar es un número real.
2.2. Interpretación geométrica del producto escalar
Dados los vectores libres u y v, tomamos dos representantes suyos con el mismo origen, los vectores fijos AB y AC. En la figura se observa que la proyección del vectorABsobre el
vectorAC, Proy uv AB cumple AB' AB cos ,
AB AB'
cos y
dado que AB AC AB AC cos , se puede escribir:
AC AB AC AB ' es decir: 2ª FÓRMULA
El producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
2.3. Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo. Así, dado el vector u :
0 u u
En efecto, u u u u cos0º u2 0
Además como el único vector que tiene módulo igual a cero es el vector nulo se cumple:
0 0 u u u .
2. Propiedad conmutativa. Dados los vectores u y v:
u v v u ) , cos(u v v u v u
v
oy
u
v
u
Pr
u
En efecto: u v u v cos(u,v) v u cos(v,u) v u
3. El producto escalar de vectores es homogéneo o lo que es lo mismo, cumple la propiedad asociativa mixta. Dados los vectores u y v y el número real k:
) ( ) ( ) (u v ku v u kv k En efecto: Si k > 0, k(u v) ku v cos(u,v) ku v cos(ku,v) (ku) v
En la figura se observa que los ángulos que forman con el vectorvel vector uy el kues el mismo.
Si k < 0, k(u v) ku v cos(u,v) ku v ( cos(ku,v)) (ku) v
En la figura se observa que los ángulos que forman con el vectorvel vector uy el kuson suplementarios, por lo tanto cos(u,v) cos(ku,v)
Si k = 0, la igualdad es evidente.
4. Propiedad distributiva respecto de la adición. Dados tres vectores u , v y w se verifica: w u v u w v u ( )
Tomamos tres representantes de los vectores u , v y w , por ejemplo, AB, AC y CD. Se proyectan los vectores AC y CD y su vector suma AD sobre el
vector AB. La proyección del vector suma es AD' AC' C'D'; dado que AC' y C'D' son paralelos, podemos escribir:
' ' ' ' ' ' C D AC C D AC
Aplicando la interpretación geométrica del producto escalar:
CD AB AC AB D C AB AC AB D C AC AB CD AC AB ' ' ' ' ' '
Luego podemos escribir:
w u v u w v u ( )
2.4. Expresión analítica del producto escalar Sea {e1,e2,e3} la base canónica del espacio y sean u
y v dos vectores que podrán expresarse como combinación lineal de los vectores de la base:
3 3 2 2 1 1e u e u e u u 3 3 2 2 1 1e v e v e v v
El producto escalar u v será: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 e e v u e e v u e e v u e e v u e e v u e e v u e e v u e e v u e e v u e v e v e v e u e u e u v u
Puede simplificarse notablemente la expresión anterior si se escoge la base de manera adecuada. Así, si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, los productos cruzados ei ej 0
, siendo i j; además, si los vectores de la base tienen de módulo 1, se cumple que ei ei 1 i
.
Una base cuyos vectores son perpendiculares y de módulo 1 recibe el nombre de base ortonormal. Un ejemplo de base ortonormal es la base canónica, formada por los vectores:
i = (1, 0, 0),j = (0, 1, 0) y k
= (0, 0, 1).
Tomando una base ortonormal el producto escalar resulta la expresión: 3ª FÓRMULA u v u1v1 u2v2 u3v3
La expresión anterior recibe el nombre de expresión analítica del producto escalar; esta expresión únicamente es válida si los vectores están expresados en una base ortonormal. Ejemplo 8
Calcula el producto escalar de los vectores u (2, 1,0)yv (3, 2,3), expresados en una base ortonormal. 4 3 0 2 ) 1 ( 3 2 v u ojo es un número
2.5. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR
2.5.1. MÓDULO DE UN VECTOR. PROPIEDADES. VECTOR UNITARIO. Módulo de un vector.
El módulo de un vector es su longitud.
En la figura se observa que la longitud de la proyección del vector sobre el plano XY es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos u1 y u2 por lo tanto su
longitud será 2 2 2 1 u
u . También se ve que el vector es la hipotenusa de otro triángulo rectángulo de catetos la proyección anterior y u3, por tanto, su
módulo será: 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 ) ( u u u u u u u Como 2 3 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1, , ) ( , , ) (u u u u u u u u u u
u , se puede definir el módulo de un vector como la raíz cuadrada positiva del producto escalar del vector por sí mismo:
u u
Propiedades 1. 0 0 0 o o u si u además u
Esta propiedad es evidente al ser el módulo una longitud.
2. Para cualquier vector del espacio se cumple que: u u
Si u (u1,u2,u3) u ( u1, u2, u3), entonces: u u u u u u u u 32 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1) ( ) ( ) (
3. Si u y vson dos vectores del espacio, se verifica: u v u v
Esta es una consecuencia evidente de la definición de suma de vectores y de la propiedad de que en todo triángulo la longitud de uno de sus lados es menor que la suma de las longitudes de los otros dos.
Además: 1 1 v 1 v v v uv VECTOR NORMALIZADO Ejemplo 9
El vector normalizado en la dirección y sentido de vector v= (3, 5, -4), se obtiene dividiendo las componentes del vector ventre su módulo, es decir:
5 2 2 , 2 2 , 10 2 3 2 5 4 , 2 1 , 2 5 3 ) 4 , 5 , 3 ( ) 4 ( 5 3 1 1 2 2 2 v v uv
Este vector tiene módulo 1
2.5.2. ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES. ORTOGONALIDAD.
Ángulo que forman dos vectores.
Se define ángulo entre los vectores u y v como el menor de los ángulos que forman dos representantes suyos con el mismo origen, y se representa de esta manera: (u,v).
Dados dos vectores del espacio u y v su producto escalar es: ) , cos(u v v u v u , de donde: v u v u v u ) , cos(
El coseno del ángulo formado por dos vectores se obtiene al dividir su producto escalar entre el producto de sus módulos. Si los vectores están expresados en una base ortonormal: u (u1,u2,u3) y v (v1,v2,v3), resulta: 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 3 3 2 2 1 1 ) , cos( v v v u u u v u v u v u v u
Ejemplo 10
Calcular el ángulo formado por los vectores siguientes: u= ( 2, -1, 2 ) y v= ( 0, 2, -1 ) 4 , 15 6 3 º 126 ) , ( 15 5 4 5 3 ) 2 ( 2 ) , cos(u v u v Ortogonalidad de vectores.
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
El vector nulo es ortogonal a cualquier vector, puesto que su producto escalar por cualquier otro vector resulta siempre nulo.
Si dos vectores son distintos del vector nulo, para que sean ortogonales su producto escalar debe ser 0, y puesto que los dos tienen módulo distinto de 0, es necesario que sea 0 el coseno del ángulo que forman, es decir que el ángulo sea 90º. O lo que es igual, que los vectores sean perpendiculares.
Por tanto la condición para que dos vectores distintos del vector nulo sean perpendiculares es que sean ortogonales, es decir, que su producto escalar sea 0.
ACTIVIDADES 9. Dados los vectores u (2, 1,0)y v ( 1,1,2)calcula:
a) El módulo de u y v
b) Normalizar ambos vectores. c) El producto escalar u v. d) El ángulo que forman
e) El valor de k para que el vector w (k,2,3) esa perpendicular a u
10. Comprueba que los vectores u (1, 3,1)y v (0,1,3) son ortogonales. Halla sus módulos.
11. Dados los vectores u (a,2, 2)y v (4,b,3), determina a y b para que los vectores
v y
u sean perpendiculares y además v 13.
3. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
3.1. Producto vectorial de dos vectores libres IMPORTANTE SELECTIVIDAD El producto vectorial de dos vectores libres del espacio u y v, se designa por u v y es otro vector que tiene:
Como módulo el producto de los módulos de u y v por el seno del ángulo que forman: u v u v sen(u,v)
La dirección de u v es la perpendicular común a u y v.
El sentido es el del avance del sacacorchos, que gira de u a v siguiendo el camino más corto.
Consecuencias
Si u 0 o v 0, entonces u v 0.
Si u y v tienen la misma dirección (son linealmente dependientes), entonces 0 v u . k j i j k i k i j
Las igualdades anteriores son ciertas, ya que sen 90° = 1, los módulos son la unidad, y el sentido se puede comprobar para cada producto.
3.2. Interpretación geométrica del producto vectorial
Sean los vectores libres u y v, tomamos dos representantes de estos con origen en el punto A, AB y AC. Los vectores AB y AC determinan un paralelogramo.
El área del paralelogramo ABDC será:
BH AC Área
Dado que ( , ) BH AB sen ,
AB BH v u sen sen luego: Área = AC BH AC AB sen AC AB
Área = u v IMPORTANTE SELECTIVIDAD
El módulo del producto vectorial de los vectores u y v coincide con el área del paralelogramo determinado por estos vectores.
Área paralelogramo = u v
El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo, por tanto, el área de un triángulo de vértices A, B y C será:
ÁREA triángulo = AB AC
2 1
3.3. Propiedades del producto vectorial
Propiedad anticonmutativa: dados los vectores libres, u y v, del espacio, se verifica: u v (v u)
Propiedad asociativa respecto de la multiplicación por un escalar: dados los vectores libres, u y v, del espacio y el escalar k:
) ( )
(u v ku v
k
Propiedad distributiva respecto de la adición: dados tres vectores libres del espacio, u , v y w, se verifica: w u v u w v u ( )
El producto vectorial no cumple la propiedad asociativa: dados tres vectores libres del espacio, u , v y w: w v u w v u ( ) ( )
Los vectores resultantes no tienen la misma dirección. Por esta razón, el producto vectorial entre tres vectores nunca debe escribirse u v w.
3.4. Expresión analítica del producto vectorial
La expresión analítica del producto vectorial de dos vectores libres del espacio,u (u1,u2,u3) y v (v1,v2,v3)es: 3 2 1 3 2 1 v v v u u u k j i v u
Para demostrar esta igualdad se debe desarrollar el determinante y ver que cumple la definición dada de producto vectorial.
Esta igualdad también se podría escribir desarrollando por los elementos de la primera fila:
2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 , , v v u u v v u u v v u u v v u u k v v u u j v v u u i v u Ejemplo 11
Calcular el producto vectorial de los vectores u (-2, 1, 0) y v= (2, 2, -1).
) 6 , 2 , 1 ( 6 2 1 2 2 0 1 2 i j k u v k j i v u Ejemplo 12
Dados los vectores u= (1, -1, 0) y v= (2, 3, -1), calcular un vector unitario perpendicular a u y v ) 5 , 1 , 1 ( 1 3 2 0 1 1 k j i v u
El vector u ves perpendicular a u y v pero no es unitario, para obtener el vector unitario tengo que dividir entre el módulo, y obtengo:
27 27 5 , 27 27 , 27 27
Si hubiese multiplicado v u habría obtenido el opuesto de este vector
27 27 5 , 27 27 , 27 27
Ejemplo 13
Dados los vectores del ejemplo anterior ¿cuál es el área del paralelogramo que determinan? El área del paralelogramo coincidirá con el módulo del producto vectorial de u y v
2 27 ) 5 , 1 , 1 ( u v u A ACTIVIDADES
12. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A (1, 0, 2), B (2, 2, 2) y C (3, -1, 2).
13. Sean los vectores u (1, 1,2);v ( 1, 1,3) y w (5,2,1)calcula: a) u v b) u w c) u (v w) d) (u v) w e) u·(v w)
4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES.
4.1. Producto mixto
Una vez tratados el producto escalar y el producto vectorial, podemos estudiar el producto mixto, que es una combinación de ambos. Dados tres vectores libres del espacio, u,v y w, se define su producto mixto, [u,v,w], como:
) ( ] , , [u v w u v w
4.2. Interpretación geométrica del producto mixto
Sean tres vectores libres del espacio, u,v y w. Consideramos tres representantes suyos con un origen común, AB, ACyAD
El volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores es: V = S · h, donde S es el área de la base y h la altura.
es el ángulo que forman los vectores ) (v w y u . Pero: S v w y h u cos Luego: ) ·( ·cos · cos u v w u v w u w v V
Por tanto, resulta: V u (v w) [u,v,w]
El producto mixto es, en valor absoluto, el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores.
Como un paralelepípedo contiene 6 tetraedros, el volumen de un tetraedro de vértices A, B, C y D será: AD AC AB V , , 6 1
4.3. Expresión analítica del producto mixto
Sean tres vectores del espacio expresados en la base canónica: ) , , ( ), , , ( ), , , (u1 u2 u3 v v1 v2 v3 w w1 w2 w3 u
Aplicando las expresiones analíticas del producto escalar y del producto vectorial a la definición del producto mixto, obtenemos:
2 1 2 1 3 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1, , ) , , ( ) ( ] , , [ w w v v u w w v v u w w v v u w w v v w w v v w w v v u u u w v u w v u
Que corresponde al desarrollo por los elementos de la primera fila del determinante:
3 2 1 3 2 1 3 2 1 w w w v v v u u u
Definitivamente se puede escribir: ] , , [u v w 3 2 1 3 2 1 3 2 1 w w w v v v u u u
La identidad anterior constituye la expresión analítica del producto mixto. Ejemplo 14
Determinar cual es el volumen del paralelepípedo construido con los vectores u = ( 1, 0, 2 ); v= ( 2, 2, 2 ) y w= ( 3, -1, 2 ). 3 10 10 2 1 3 2 2 2 2 0 1 ] , , [u v w u V
4.4. Propiedades del producto mixto
Dados tres vectores , u,v y w, se cumple:
[u,v,w] [v,w,u] [w,u,v] [v,u,w] [u,w,v] [w,v,u] 0
] , ,
[u v w , si, y solo si, u,v y w, son linealmente dependientes. ] , , [ ] , , [ ] , ), [(u u v w u v w u v w R k w k v u w v k u w v u k w v u k[,,] [ ,,] [, ,] [,, ],
Estas propiedades son consecuencia directa de las propiedades de los determinantes. ACTIVIDADES
14. Calcula el volumen del cubo determinado por los vectores i (1,0,0),j (0,1,0) y ) 1 , 0 , 0 ( k .
15. Cuatro puntos no coplanarios determinan un paralelepípedo. Demuestra que ) 2 , 3 , 3 ( ) 2 , 5 , 3 ( ), 7 , 4 , 1 ( ), 4 , 2 , 1 ( B C yD
A son no coplanarios y calcula el volumen del
