productos de vectores

(1)

PRODUCTO ESCALAR

Definición de producto escalar de vectores.

Se denomina producto escalar de dos vectores ar=

(

a1,a2,a3

)

y b=

(

b1,b2,b3

)

r

y lo representamos por ar_obr, al número:

α ⋅ ⋅ =a b cos b

ar_or r r

En el producto escalar se multiplican dos vectores, pero el resultado es un número (escalar).

Si los vectores pertenecen al espacio vectorial Vn_{, el producto escalar así definido es una aplicación}

de Vn_×_Vn_{en R.}

f: Vn_×_Vn_→_R

La operación así definida es una ley de composición externa, ya que a dos vectores se les hace corresponder un número real y no un vector.

Interpretación geométrica.

Propiedades geométricas.

w proy OA sobre OB de proyección cos

OB OC OB OC

cosα= ⇒ = ⋅ α= = vr

w proy v cos w v w

v _v

OC

r r

43 42 1

r r r

r_⋅ ₌ _⋅ _⋅ _α₌ _⋅

El valor absoluto del producto escalar es igual al módulo de uno de ellos multiplicado por la proyección del otro sobre él. De está igualdad se puede despejar la proyección de un vector sobre otro.

v v u u proy te analogamen

u v u v

proy_u = o _v = o

Propiedades del producto escalar.

I) El producto escalar es nulo si al menos uno de los vectores es el vector nulo, o si los vectores son perpendiculares

II) El producto escalar de dos vectores es conmutativo. III) Asociativa entre elementos de V y elementos de R.

(

u v

) ( )

K·u v u

( )

K·v ·

K _o = _o = _o

IV) Distributiva de producto respecto de la suma

(

v w

)

u v u w

u_o + = _o + _o

Módulo y norma de un vector.

El producto escalar de un vector por si mismo es:

2 2 2 2

n _:_v _v _v _v _v _cos₀_º _v _: _v _v

V

v∈ = = ⋅ ⋅ = ⇒ =

∀ _o

por consiguiente

Norma: Producto escalar del vector por si mismo, o lo que es lo mismo, módulo del vector al

cuadrado.

2

v v v

(2)

Módulo: Raíz cuadrada positiva del producto escalar de un vector por si mismo. v

v

v =+ o

Vectores unitarios.

Se llaman vectores unitarios a los vectores cuyo módulo es la unidad. Para normalizar un vector basta dividirlo por su módulo.

v v v_N =

El producto escalar de vectores unitarios puede presentar tres casos: i) Si son perpendiculares, su producto escalar será nulo.

ii) Si son paralelos, su producto escalar será 1 sí son de igual sentido ó −1 sí tiene sentido opuesto

iii) Si no son perpendiculares ni paralelos, su producto escalar será igual al coseno del ángulo que formen.

Bases.

Base de un espacio vectorial es una familia de vectores libres en función de los cuales se pueden expresar todos los demás vectores como combinación lineal de ellos.

Las condiciones que debe reunir un subconjunto B de vectores de V, para ser una base de V son: i) Debe ser un sistema generador de V

ii) Los vectores que lo forman deben ser linealmente independientes.

Las base se pueden clasificar en función del ángulo entre los vectores y del módulo de estos.

Tipo de base

Ángulo

Módulo

LIBRE

Sin restricción

NORMALIZADA

Sin restricción

1 ORTOGONAL

90º Sin

restricción

ORTONORMAL

90º 1

La base ortonormal también recibe el nombre de base canónica ó base métrica. En V² esta formada por los vectores i=

( )

1,0 , j=

( )

}

una base del espacio vectorial V3_{. En dicha base nos definen dos vectores}

3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1

1u a u a u :b b u b u b u

a

ar= + + r= + +

(

+ +

) (

+ +

)

=

= a1u1 a2u2 a3u3 b1u1 b2u2 b3u3

b

aror o

teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar de vectores

(

)

(

)

(

) (

)(

)

(

1 3 3 1

)(

1 3

) (

2 3 3 2

)(

2 3

)

2 1 1 2 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

u u · b · a b · a u u · b · a b · a

u u · b · a b · a u u b · a u u b · a u u b · a

o o

+ +

+ =

(3)

( )

    = = = j i j i j i 2 i i i i i u u ·cos u · u u u u 0 ·cos u · u u u o o

expresión de producto escalar en una base libre.

Si la base B=

{

ur1,ur2,ur3

}

es normada (módulo unidad y ángulo libre)

1 u u u u u

ur₁or₁=r₂or₂ =r₃or₃ =

( )

i j j

i u cosu u

ur _or = r r

por lo que la expresión del producto escalar se simplifica un poco

(

) (

)

(

1 3 3 1

) (

1 3

) (

2 3 3 2

) (

2 3

)

2 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 1 u u ·cos b · a b · a u u ·cos b · a b · a u u ·cos b · a b · a b · a b · a b · a b a + + + + + + + + + = o

Si la base B=

{

ur₁,ur₂,ur₃

}

es ortogonal, (módulo libre y ángulo entre vectores 90º)

2 i i

i u u

ur or = r 0 º 90 cos u

ur_ior_j= =

con lo que la expresión del producto escalar queda

2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1

1·b u a ·b u a ·b u

a b

ao = + +

Si el sistema referencia está formado por la base canónica B=

{ }

ri,r,jkr , la expresión anterior se simplifica bastante ya que:

0 k j k i j i 1 k k j j i i = = = = = = r o r r o r r o r r o r r o r r o r

2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2

1u a u a u 2a a u u cosu u 2a a u u cosu u 2a a u u cosu u a

a r r r r r r r r r r r r r r r

r ₌ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊

(

)

(

)

(4)

2 1 2 3 2 2 2

1 a a 2aa cosuu 2aa cosuu 2a a cosu u a

ar = + + + rr + r r + r r

Base Ortogonal

2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2

1u a u a u a

a r r r

r ₌ ₊ ₊

Base canónica

2 3 2 2 2 1 a a a

a = + +

r

II) Vectores normalizados.

a a

a_N _r

r

r ₌

Base canónica

2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1 N

a a a

u a u a u a a a a

+ +

+ + =

= _rr r r r

r

El vector unitario se puede expresar en función de los cosenos directores

3 2 3 2 2 2 1

3 2

2 3 2 2 2 1

2 1

2 3 2 2 2 1

1

N u

a a a

a u

a a a

a u

a a a

a

ar r r r

+ + + +

+ + + + =

III) Proyección de un vector sobre otro

Como aplicación de la interpretación geométrica del producto escalar de vectores

b b a a

proy_b _r

r o r r

r =

Base canónica

2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1 b

b b b

b a b a b a b

b a a proy

+ +

⋅ + ⋅ + ⋅ = = _r

r o r r r

(5)

IV) Ángulo entre vectores

De la expresión de definición del producto escalar de vectores, se puede despejar el coseno del ángulo que forman los vectores.

( )

ab cos b a b

aror= r⋅r⋅ rr se puede despejar el ángulo que forman los vectores, obteniéndose:

( )

b a

b a b a

cos _r _r

r o r r r

⋅ =

Base canónica

( )

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

b b b a a a

b a b a b a b

a b a b a cos

+ + ⋅ + +

⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ = _r _r

r o r r r

(6)

PRODUCTO VECTORIAL

Se define el producto vectorial de dos vectores ary brcomo otro vector perpendicular a ambos.

Vector producto vectorial de dos vectores.

Sean ar=

(

a1,a2,a3

)

y b=

(

b1,b2,b3

)

r

dos vectores de R³ linealmente independientes y sea

(

x1,x2,x3

)

xr= el vector producto vectorial de ary br, todos definidos en la base canónica B=

{ }

ri,r,jkr . Si xr es el producto vectorial de ar y br, xr debe ser perpendicular a ambos y por tanto su producto escalar con cada uno de ellos debe ser nulo.

   = = 0 x b 0 x a r o r r o r

sustituyendo y operando

(

) (

)

(

) (

)

_ ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒    = = 0 x b x b x b 0 x a x a x a 0 x , x , x b , b , b 0 x , x , x a , a , a 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 o o

se obtiene un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas (x1,x2,x3) compatible indeterminado dado que los

vectores ar y br son linealmente independientes y por tanto rgA = rgA* _{= 2}_≥_{n = 3.}

Para resolver el sistema se toma una variable como parámetro, por ejemplo x3=λ, y se despeja:

   λ ⋅ − = ⋅ + ⋅ λ ⋅ − = ⋅ + ⋅ λ = 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1

3 _b _x _b _x _b

a x a x a : x

resolviendo por Cramer:

λ = − − ⋅ λ = λ ⋅ − λ ⋅ − = − − ⋅ λ = λ ⋅ − λ ⋅ − = 3 2 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3

1 : x

b b a a b b a a b b a a b b a a x : b b a a b b a a b b a a b b a a x

dando a λ el valor

2 1 2 1 b b a a

se obtiene el vector xr en función de las componentes de los vectores ar y br

xr= _

      − − − − 2 1 2 1 3 1 3 1 2 3 2 3 b b a a , b b a a , b b a a

aplicando las propiedades de los determinantes a las dos primera componentes del vector se obtiene:

x r₌         − 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 b b a a , b b a a , b b a a

que corresponde al desarrollo del determinante

3 2 1 3 2 1 b b b a a a k j i

(7)

Propiedades del producto vectorial.

(1) ar×br=−br×ar

(2)

( )

α·va ×rb=ar×

( ) ( )

α·br =α·ar×rb (3) ar×br esortogoanal ary abr

(4) ar×br2 = ar2·br2−

( )

ar_obr 2

(5) ar×br = ar·br·sen

( )

ar ,br

(6) ar×br=0 ⇔ ar y br son linealmente dependientes

(7) Sí ar y br son linealmente independientes,

{

ar ,br ,ar×rb

}

constituyen una base de V3.

Interpretación geométrica.

Si ar y br son linealmente independientes, determinan un paralelogramo

h a S= r⋅

Por trigonometría

α ⋅ = =

α ; h b sen b

h

sen _r r

sustituyendo en la ecuación del área

b a sen b a h a

S= r⋅ = r⋅r⋅ α= r×r

Área de un triángulo.

Si A B y C son puntos no alineados del espacio, determinan un triángulo cuyo área puede calcularse como aplicación del módulo del producto vectorial.

(

)

AB AC

2 1 C , B , A

(8)

PRODUCTO MIXTO

Se define el producto mixto de tres vectores como el producto escalar de uno de ellos por el vector producto vectorial de los otros dos.

( )

(

) (

[

) (

)

]

(

)

_=

  

  

− =

× =

×

2 1

2 1 3 1

3 1 3 2

3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

c c

b b , c c

b b a , a , a c , c , c b , b , b a , a , a c b

aro r r o o

2 1

2 1 3 3 1

3 1 2 3 2

3 2

1 _c _c

b b a c c

b b

a ⋅ − ⋅ + ⋅

=

El producto mixto de tres vectores corresponde al desarrollo del determinante de orden tres formado por las componente de los vectores:

( )

3 2 1

c c c

b b b

o

( ) ( ) ( )

br×cr =aro br×rc +ar'obr×rc

(4) aro

( )

br×rc =0⇔ra,rb,cr son linealmente dependientes

Interpretación geométrica.

Si tres vectores espaciales son linealmente independientes, determinan un paralelepípedo.

h ) base ( S

V= ⋅

teniendo en cuenta las relaciones Trigonométricas del ángulo α α ⋅ = ⇒ =

α h a cos a

h

cos _r r

sustituyendo en la ecuación del volumen

( )

b c a cos a c b

V= r×r⋅r⋅ α=r_o r×r

Por geometría elemental, el volumen del tetraedro formado por cuatro puntos es 61 del volumen del paralelepípedo.

( )

b c a 6 1