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Espacio euclideo tridimensional.
El espacio que nos rodea estudiado desde el punto de vista matemático, es decir estudiando los puntos del espacio, los vectores, las rectas y planos y las distancias, áreas y volúmenes, recibe el nombre de ESPACIO EUCLIDEO
TRIDIMENSIONAL, en honor del matemático griego Euclides, del siglo III antes de Cristo; pionero en el estudio de la geometría.
Sistema de referencia en el espacio.
De la misma forma que en el plano, en el espacio se fijan unos ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas son 3 rectas perpendiculares entre sí y que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
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Puntos en el espacio.
Una vez fijados los ejes de coordenadas, automáticamente cada punto del espacio queda determinado por 3 coordenadas, una respecto al eje X, otra respecto al eje Y, otra respecto al eje Z.
Los puntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C,… P, Q, R,…. El punto origen de coordenadas se representa por O y sus coordenadas son O(0,0,0).
En la figura está representado el punto A(4,3,2).
Figura 1. Representación en el espacio del punto A(4,3,2).
Observaciones sobre los puntos.
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Vectores en el espacio.
Un vector es una flecha que sale de un punto (punto origen) y llega a otro punto (punto extremo). Punto origen A Punto extremo B Vector . Componentes o coordenadas de
un vector.
A(a1, a2, a3) B(b1, b2, b3)
Los vectores se representan utilizando las letras de los puntos origen y extremo. También se representan con letras minúsculas con una flecha en la parte superior:
Ejercicio 1. Se consideran los puntos A(-2,-3,3) y B(1,2,4), hallar las componentes del vector .
Representación de un vector.
Un mismo vector se puede representar con origen en cualquier punto del espacio, siempre que el punto extremo verifique:
En la siguiente figura está representado el vector en tres posiciones distintas, con origen en tres puntos diferentes. En los tres casos si escribimos las componentes del vector a partir de los puntos origen y extremo
siempre obtenemos el vector
Figura 2. Representación de un mismo vector en tres posiciones diferentes.
En resumen, un vector (a diferencia de los puntos) se puede representar en cualquier parte del espacio mediante una flecha. Todas las flechas que representan a un mismo vector son paralelas, tienen la misma longitud y apuntan en el mismo sentido.
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Ejercicio 2. Se considera el vector y el punto B(0,2,1). Hallar el punto A para que . Ejercicio 3. Se consideran los cuatro puntos siguientes A(2,-1, 3), B(5,6,7), C(3,8,1) y D(6,15,5). Comprobar que
En este ejemplo podemos observar que los 4 puntos ABDC (en este orden) forman un paralelogramo (figura plana de 4 lados paralelos dos a dos). También es evidente que
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Módulo de un vector.
Se llama módulo de un vector a la longitud de dicho vector. Si el vector está expresado a
partir de:
Las componentes del vector son: Módulo del vector:
Punto origen A(a1, a2, a3)
Punto extremo B(b1, b2, b3)
Sus componentes =
En la siguiente figura se ve como se calcula el módulo del vector . Para representar el vector se ha tomado como punto origen O(0,0,0) y como punto extremo P(4,3,2). Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OAB para calcular la longitud del lado OB. Después se aplica nuevamente el teorema de Pitágoras al triángulo
rectángulo OBP para hallar el módulo del vector
Figura 4. Módulo de un vector.
Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos es igual a la longitud del vector formado por dichos puntos. Dados dos puntos del espacio Distancia entre los puntos A y B
A(a1, a2, a3)
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Vectores básicos.
Hay tres vectores especiales llamados vectores básicos. Son tres vectores que tienen de módulo 1 (vectores unitarios) y cada dos de ellos son perpendiculares. Se pueden representar con origen en el punto O(0,0,0)
Vector básico Punto origen Punto extremo Componentes
O(0,0,0) A(1,0,0)
O(0,0,0) B(0,1,0)
O(0,0,0) C(0,0,1)
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Operaciones con vectores.
Operación Resultado Significado gráfico y aplicación
1) Suma de dos vectores
Un vector
El vector es el vector diagonal del paralelogramo que determinan los vectores y , representados a partir de un punto origen común.
Figura 6. Suma de 2 vectores.
Operación Resultado Significado gráfico y aplicación
2) Producto de un número K por un vector
Un vector
El vector que se obtiene
tiene las siguientes propiedades:
1) es paralelo al vector 2)
3) Si k>0 igual sentido que , si k<0 sentido contrario a
Aplicación: estudiar si dos vectores son paralelos (linealmente
dependientes) o no son paralelos (linealmente independientes).
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Ejercicio 4. Estudiar si las siguientes parejas de vectores son paralelos (linealmente dependientes) o no son paralelos (linealmente independientes). En caso de ser paralelos, decir si son del mismo sentido o si son de sentido contrario.
a) y b) y c) y
Propiedad. Cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de los 3 vectores básicos.
Figura 7. Expresión de un vector como combinación lineal de los vectores básicos.
Cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los 3 vectores básicos.
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Operación Resultado Significado gráfico y aplicación
3) Producto escalar de dos vectores
Un número que se puede calcular de dos formas distintas según los datos del problema.
(α es el ángulo que forman los vectores y )
Con el producto escalar se puede hallar el ángulo que forman dos vectores:
También el producto escalar nos sirve para saber si dos vectores son
perpendiculares (también se dicen ortogonales), ya que en este caso su producto escalar vale cero =0 porque el ángulo que forman es α=90o
Dados dos vectores en el espacio, siempre los podremos representar con origen en el mismo punto, para ver el ángulo que forman:
Ejercicio 5. Se consideran los siguientes vectores y . Se pide: a) El producto escalar de ambos vectores.
b) El módulo de cada vector. c) El ángulo que forman.
d) Dado otro vector , hallar el valor de m para que sea perpendicular a .
Ejercicio 6. Comprobar si los vectores siguientes son unitarios y .
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Operación Resultado Significado gráfico y aplicación
4) Producto vectorial de dos vectores
Un vector que se calcula de la forma siguiente.
El vector es perpendicular al vector y al vector . Es decir el vector es perpendicular al plano determinado por los vectores y .
El módulo del vector igual al área del paralelogramo
determinado por los vectores y .
Figura 8. Producto vectorial de dos vectores. Hemos representado los 3 vectores , y en el mismo punto origen.
El vector es perpendicular al vector y al vector .
El módulo del vector igual al área del paralelogramo determinado por los vectores y .
Ejercicio 8. Dados los vectores y , se pide: a) Calcular el vector
b) Comprobar que el vector es perpendicular al vector y al vector . Calcular el ángulo que forman entre sí los vectores y .
c) Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores y .
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Operación Resultado Significado gráfico y aplicación
5) Producto mixto de tres vectores
Un número se calcula de la forma siguiente:
El valor absoluto del número que se obtiene al efectuar el producto mixto de 3 vectores es el
volumen del paralelepípedo que tiene por aristas a dichos vectores.
En esta figura se puede ver el paralelepípedo determinado por tres vectores , se han representado los tres vectores en el mismo punto origen. Un paralelepípedo es un poliedro limitado por 6 caras que son paralelogramos. Además cada cara es igual que la cara opuesta.
El volumen de este poliedro es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.
Ejercicio 10. Hallar el producto mixto de los 3 vectores básicos.
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Tres vectores linealmente
independientes o no coplanarios
Tres vectores linealmente
dependientes o coplanarios
Los vectores , , y se dice que son linealmente independientes o no coplanarios si
Los vectores , , y se dice que son linealmente dependientes o coplanarios si
En este caso los 3 vectores forman un paralelepípedo cuyo volumen es el valor absoluto de su producto mixto.
En este caso los 3 vectores no pueden formar un paralelepípedo. Entonces los 3 vectores estarán en esta posición (es este caso no forman un paralelepípedo que tenga volumen).
Es evidente que los tres vectores no se pueden situar sobre un mismo plano (son tres vectores no
coplanarios).
En este caso los tres vectores se pueden situar en el mismo plano (los tres vectores son coplanarios).
En este caso, si
En este caso, si
Punto medio de un segmento.
Ejercicio 12. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(1,0,1) y B(5,2,3).
Ejercicio 13. Las coordenadas del punto medio M del segmento son M(1,1,1). Hallar las coordenadas del punto B, sabiendo que las coordenadas del punto A son A(2,4,6).
13 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS.
1) 2) B(-2,2,-4)
3)
4) a. Son paralelos y del mismo sentido porque b. Son paralelos y de sentido contrario porque
c. No son paralelos porque no hay ningún número k que verifique , o de otra manera sus componentes no son proporcionales, por ejemplo
5) a.
b. c.
d. m=-2
6) El vector es unitario, pero el vector no lo es.
7) Si dos vectores y son paralelos y del mismo sentido, entonces (ya que forman un ángulo de ). Sin embargo si dos vectores y son paralelos y de sentido contrario, entonces (ya que forman un ángulo de ).
8) a.
b. , ,
c. Área del paralelogramo determinado por los vectores y es
9) 10)
11)Volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores 2 u3. 12)M(3,1,2)
13)B(0,-2,-4)
