Conjuntos, Relaciones y Funciones.
1.1.
Conjuntos.
1.1.1. Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusi´on.
Definici´on 1.1.1. (informal de conjunto y elementos.) Un conjunto es una colecci´on de objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.
Ejemplos:
A={1,2,3},B ={△,},C ={1,{1},{2,3}}.
N={1,2,3,4, . . .} el conjunto de los n´umeros naturales.
Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .} el conjunto de los n´umeros enteros. Q={a/b;a∈Z, b∈N} el conjunto de los n´umeros racionales.
Rel conjunto de los n´umeros reales, Cel conjunto de los n´umeros complejos.
∅o { }elconjunto vac´ıo.
Observaci´on 1.1.2. El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto no se tiene en cuenta repeticiones de elementos.
Se dice que cada elemento ade un conjunto A pertenece al conjunto A, y se notaa∈A. Si un objetob no pertenece al conjuntoA, se nota b /∈A.
Ejemplos:
SeaA={1,2,3}: 1∈A, 2∈A, 4∈/A,{1,2}∈/ A,∅∈/ A.
Para notar los conjuntos se suele reservar letras may´usculas:A,B, . . . , X,Y, . . . ,U,V, . . .
Definici´on 1.1.3. (Cardinal de un conjunto.)SeaAun conjunto, se llama cardinal deA a la cantidad de elementosdistintos que tiene A, y se nota #A. Cuando el conjunto no tiene un n´umero finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A=∞.
Ejemplos: #∅= 0, #{a, b, c}= 3 = #{1,2,3}, #N=∞.
Notar que si Aes un conjunto finito, #A∈N∪ {0}=:N0.
Las definiciones comunes de un conjunto son por extensi´on (listando todos los elementos del conjunto entre las llaves{y}, cuando es posible hacerlo, o sea cuando el conjunto es finito) y por
comprensi´on(a trav´es de una propiedad que describe los elementos del conjunto, pero usualmente para eso se necesita la noci´on de subconjunto porque hay que dar un conjunto referencial, de donde se eligen los elementos). Tambi´en presentamos en forma informal los conjuntos infinitos N y Z usando los puntos suspensivos . . ., aunque esto no es muy riguroso: se puede dar una definici´on formal del conjuntoNsin usar. . ., y a partir de ello definir Zy Q. El conjunto Rse supone “conocido”, aunque para ´el tambi´en se puede dar una construcci´on rigurosa (que no se ver´a en esta materia), y a trav´es deRse puede definirC facilmente.
Los conjuntos se suelen representar gr´aficamente por los llamados diagramas de Venn (por el l´ogico y fil´osofo brit´anicoJohn Archibald Venn, 1834–1923), que son simplemente de la forma:
Definici´on 1.1.4. (Subconjuntos e Inclusi´on.) SeaA un conjunto. Se dice que un conjunto
Best´a contenido enA, y se notaB ⊆A(o tambi´enB ⊂A), si todo elemento deBes un elemento de A. En ese caso decimos tambi´en que b est´a inclu´ıdo en A, o que B es unsubconjunto de A. SiB no es un subconjunto deA se notaB ̸⊆A (oB ̸⊂A).
Ejemplos:
SeaA={1,2,3}:{1} ⊆A,{2,3} ⊆A,∅ ⊆A,A⊆A,{3,4} ̸⊆A.
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C.
A⊆Ay ∅ ⊆Acualquiera sea el conjunto A.
O sea,B est´a inclu´ıdo enA si para todob, se tiene que sib pertenece aB entoncesbpertenece a A, y B no est´a inclu´ıdo en A si existe b perteneciendo a B tal que b no pertenece a A. Matem´aticamente se escribe:
Aqu´ı el s´ımbolo “∀”significa “para todo”: la construcci´on “∀b, . . .”se lee “para todo b, se tiene . . . ”, y el s´ımbolo “∃”significa “existe”: la construcci´on “∃b ∈ B : . . .”se lee “existe b en B
tal que . . . ”. El s´ımbolo “⇒”significa “implica”: la construcci´on “b∈ B ⇒ b ∈ A”se lee “b en
B implica b en A”, o tambi´en “si b en B, entonces b en A”(significa que si ocurre lo primero, entonces obligatoriamente tiene que ocurrir lo segundo, veremos esto con m´as precisi´on por medio de las tablas de la l´ogica un poco m´as adelante).
Ejemplos de conjuntos dados por comprensi´on:
A={x∈R:x≥ −2},B ={k∈Z:k≥ −2}.
P ={n∈N:nes par},I ={k∈Z:k es impar}.
Representaci´on de Venn de B⊆A:
Observaci´on 1.1.5. (Igualdad de conjuntos.)
A=B ⇐⇒ A⊆B yB ⊆A.
Es decir A=B si tienen exactamente los mismos elementos (sin importar el orden y sin tener en cuenta repeticiones de elementos). (Aqu´ı, el s´ımbolo “⇔” es el s´ımbolo de la bi-implicaci´on, que se lee “si y s´olo si”.)
Observaci´on 1.1.6. (Combinatoria, o el arte de contar.) Sea A es un conjunto finito y seaB ⊆A. Entonces #B ≤#A. (Esto vale tambi´en para conjuntos infinitos, como ver´an m´as adelante los matem´aticos.)
Ejemplo 1.1.7. (Conjunto de partes.)SeaA un conjunto. El conjunto de partes de A, que se notaP(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos deA, o sea el conjunto cuyos
elementosson los subconjuntos deA. Es decir
P(A) ={B : B⊆A} o tambi´en B∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆A.
Ejemplos:
SeaA={1,2,3}:P(A) ={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, A}.
Cualquiera sea el conjuntoA,∅ ∈ P(A), A∈ P(A).
1.1.2. Operaciones entre conjuntos.
Supondremos en todo lo que sigue que los conjuntos A, B, C, . . . que se consideran son sub-conjuntos de un mismo conjunto referencial (o de referencia) U (para poder “operar”). Esto tambi´en es generalmente indispensable al definir un conjunto por comprensi´on, como por ejem-ploP ={n∈N: n es un n´umero par}, o I ={x∈R: x≤2}= [−∞,2), que no es lo mismo queJ ={x∈N: x≤2}={1,2}.
Complemento: SeaA subconjunto de un conjunto referencial U. El complemento de A
(enU) es el conjuntoA′ de los elementos de U que no pertenecen aA. Es decir
A′ ={b∈U :b /∈A}, o tambi´en ∀b∈U, b∈A′ ⇐⇒ b /∈A.
Ejemplos:
• SiU ={1,2,3}y A={2}, entoncesA′ ={1,3}.
• Si U =N y A = {2}, entonces A′ ={n∈ N, n ̸= 2}. O sea el complemento de un conjunto depende del conjunto referencialU.
• Si U = N y P = {n ∈ N : n es un n´umero par}, entonces P′ = {n ∈ N :
n es un n´umero impar }.
• Se tiene∅′=U yU′ =∅.
• (A′)′ =A.
Representaci´on de Venn del complemento:
Uni´on: Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La uni´on de A y B es el conjuntoA∪B de los elementos deU que pertenecen aA o aB. Es decir
A∪B ={c∈U :c∈Ayc∈B}, o tambi´en ∀c∈U, c∈A∪B ⇐⇒ c∈A o c∈B.
Notemos que este “o” involucrado en la definici´on de la uni´on es no excluyente, es decir si un elemento est´a enA y en B, est´a en la uni´on por estar en al menos alguno de los dos.
Ejemplos:
• Si A = {1,2,3,5,8} y B = {3,4,5,10} ⊆ U = {1, . . . ,10}, entonces A ∪B =
{1,2,3,4,5,8,10}.
• Cualesquiera sean A y B, se tiene A∪B = B ∪A (conmutatividad), A∪ ∅ = A,
A∪U =U,A∪A′=U.
Probemos por ejemplo la afirmaci´on A∪A′=U: Hay que probar las dos inclusiones
A∪A′ ⊆U yU ⊆A∪A′.
◦ A∪A′ ⊆U: Sea a∈A∪A′; sia ∈A entonces a∈U pues A⊆ U, y si a∈A′, entoncesa∈U pues A′ ⊆U; por lo tantoA∪A′⊆U.
◦ U ⊆A∪A′: Seaa∈U; entoncesa∈A oa /∈A. Si a∈A, entonces a∈A∪A′, y si a /∈A, por definici´on a∈A′ y luegoa∈A∪A′; por lo tantoU ⊂A∪A′.
Representaci´on de Venn de la uni´on:
Intersecci´on. Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La intersecci´on de
AyB es el conjuntoA∩B de los elementos deU que pertenecen tanto aAcomo a B. Es decir
A∩B ={c∈U : c∈Ayc∈B}, o tambi´en c∈A∩B ⇐⇒ c∈Ayc∈B.
Ejemplos:
• SeanA={1,2,3,5,8}, B={3,4,5,10} ⊆U ={1, . . . ,10}. EntoncesA∩B ={3,5}.
• SeanI ={x ∈ R: x ≤2}= (−∞,2], J ={x ∈ R: −10 ≤x < 10} = [−10,10)⊆
U =R. Entonces I∩J ={x∈R: −10≤x≤2}= [−10,2].
• Cualesquiera sean A y B, se tiene A∩B = B ∩A (conmutatividad), A∩ ∅ = ∅,
A∩U =A,A∩A′ =∅.
Cuando A∩B =∅, se dice que AyB son conjuntos disjuntos.
Representaci´on de Venn de la intersecci´on:
Podemos notar que a diferencia del complemento, la uni´on y la intersecci´on no dependen del conjunto referencialU.
de conjuntos: Dado un conjunto A ⊆ U, un elemento a ∈ U puede pertenecer a A o no, notaremos en la tabla siguiente el hecho quea∈A con una V (deVerdadero) o con un 1, y el hecho que a /∈ A con una F (de Falso) o con un 0 (abajo de la letra A). Esto describe las dos posibilidades para todos los elementos de U. Ahora bien, si tenemos dos conjuntos A, B ⊆ U, hay 4 posibilidades: estar enA y enB, no en A pero s´ı en B, en A pero no enB, y finalmente ni en Ani en B.
Tablas de verdad del complemento, de la uni´on y de la intersecci´on:
A A′ V F F V
A B A∪B
V V V
F V V
V F V
F F F
A B A∩B
V V V
F V F
V F F
F F F
.
Proposici´on 1.1.8. Sean A, B, C conjuntos dentro de un conjunto referencial U. Entonces
Leyes de De Morgan, por el matem´atico brit´anicoAugustus De Morgan, 1806-1871:
(A∪B)′ =A′∩B′ y (A∩B)′ =A′∪B′.
Leyes distributivas:
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) y A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Demostraci´on. Haremos la demostraci´on de (A∪B)′ = A′ ∩B′ con tabla de verdad, la demostraci´on de A∩(B∪C) = (A ∩B)∪(A∩C) en forma directa, y la demostraci´on de
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) con los diagramas de Venn (donde es necesario explicitar todos los pasos). La otra demostraci´on queda para el lector.
(A∪B)′ =A′∩B′:
A B A∪B (A∪B)′ A′ B′ A′∩B′
V V V F F F F
F V V F V F F
V F V F F V F
F F F V V V V
Se observa que las columas correspondientes a (A∪B)′ y a A′ ∩B′ son exactamente las mismas, o sea los elementos pertenecen a (A∪B)′ si y solo si pertenecen aA′∩B′. Luego los dos conjuntos son iguales.
• A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C): Seax∈A∩(B∪C). Entoncesx∈Ayx∈(B∪C). Es decir x ∈ A y (x ∈B o x ∈ C). Six ∈B, entonces estamos en el caso x ∈ A y
x∈B, y si x∈C estamos en el casox∈A yx ∈C. O sea x ∈A∩B o x∈A∩C. Por lo tantox∈(A∩B)∪(A∩C). Luego A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C).
• (A∩B)∪(A∩C)⊆A∩(B∪C): Seax∈(A∩B)∪(A∩C). Entoncesx∈A∩B o
x∈A∩C. Es decir (x∈A y x∈B) o (x ∈A yx ∈C). En todos los casos x∈A, y adem´asx∈B o x∈C. Por lo tantox∈A∩(B∪C). Luego (A∩B)∪(A∩C)⊆
A∩(B∪C).
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C):
De las operaciones b´asicas se derivan las operaciones siguientes
Diferencia −: A−B es el conjunto de los elementos deAque no son elementos de B, o tambi´en,A−B=A∩B′. Es decir
A−B ={a∈A:a /∈B}, o tambi´en a∈A−B ⇐⇒ a∈Aya /∈B.
Ejemplos:
• Sean A = {1,2,3,5,8}, B = {3,4,5,10} ⊆ U = {1, . . . ,10}. Entonces A−B =
{1,2,8} yB−A={4,10}.
• SeanI = (−∞,2], J = [−10,10)⊆U =R. Entonces I−J = [−∞,−10) y J −I = (2,10].
• Siempre A− ∅ = A, A−U = ∅, A−A = ∅, A−A′ = A.A∩B = B ∩A pero
A−B ̸=B−A en general.
Diferencia sim´etrica △: A△B es el conjunto de los elementos deU que pertenecen a
Ao a B pero no a los dos a la vez. Es decir
A△B ={c∈U : (c∈Ayc /∈B) o (c∈B yc /∈A)}.
Vale
A△B = (A−B)∪(B−A) = (A∩B′)∪(B∩A′) = (A∪B)−(A∩B).
Ejemplos:
• Sean A = {1,2,3,5,8}, B = {3,4,5,10} ⊆ U = {1, . . . ,10}. Entonces A△B =
{1,2,4,8,10}.
• SeanI = (−∞,2], J = [−10,10)⊆U =R. Entonces I△J = [−∞,−10)∪(2,10].
• SiempreA△B =B△A(simetr´ıa),A△ ∅=A,A△U =A′,A△A=∅,A△A′=U.
Representaci´on de Venn de la diferencia sim´etrica:
Tablas de la diferencia y de la diferencia sim´etrica:
A B A−B
V V F
F V F
V F V
F F F
A B A△B
V V F
F V V
V F V
F F F
.
Observaci´on 1.1.9. (Combinatoria: Cardinal de la uni´on y del complemento.)
SeanA, B conjuntos finitos dentro de un conjunto referencial U.
SiAy B son conjuntos disjuntos, entonces #(A∪B) = #A+ #B.
En general #(A∪B) = #A+ #B−#(A∩B).
SiU es un conjunto finito, entonces #(A′) = #U−#A.
Se deduce por ejemplo #(A−B) = #A−#(A∩B) y #(A△B) = #A+ #B−2#(A∩B).
A∩B ⊆(B−C)∪(A∩C):
A B C A∩B B−C A∩C (B−C)∪(A∩C) A∩B ⊆(B−C)∪(A∩C)
V V V V F V V V
F V V F F F F V
V F V F F V V V
F F V F F F F V
V V F V V V V V
F V F F V F V V
V F F F F V V V
F F F F F F F V
Vemos que la columna correspondiente a la inclusi´on es Verdadera siempre, lo que implica que es verdad queA∩B ⊆(B−C)∪(A∩C).
A′∩B =B ⇒A∩B=∅:
A B A′ A′∩B A∩B
V V F F
F V V V F
V F F F F
F F V F F
Comparando la 2da y la 4ta columna, se ve que A′∩B =B cuando no se est´a en la 1er fila, o sea cuando no se est´a en el caso de alg´un x ∈A, x ∈ B. Por lo tanto esta fila no cumple con la hip´otesis y se la olvida. Para las dem´as filas, A∩B da siempre Falso, es decir, no existe ning´un elementox∈A∩B. Por lo tantoA∩B =∅.
1.1.3. Tablas de verdad de la l´ogica proposicional.
Seanp(x), q(x) predicados que pueden ser Verdaderos o Falsos sobre los elementos de un conjunto
U. Se vio que las operaciones b´asicas de conjuntos est´an definidas por medio del no (para el complemento), delo no excluyente para la uni´on, del ypara la intersecci´on, y delo excluyente
para la diferencia sim´etrica. Estos se llaman conectores l´ogicos: ¬ (“no”, o “NOT”), ∨(“o” no excluyente, u “OR”),∧(“y”, o “AND”), ∨∨ (“o excluyente”, u “XOR”), y se les puede agregar
⇒ (implica, o si . . . entonces) y⇔ (si y solo si).
Tablas de verdad de los conectores l´ogicos:
p ¬p V F F V
p q p∨q V V V F V V V F V F F F
p q p∧q V V V F V F V F F F F F
p q p∨∨q V V F F V V V F V F F F
p q p⇒q V V V F V V V F F F F V
p q p⇔q V V V F V F V F F F F V
Las tablas de los conectores l´ogicos se relacionan con las tablas de las operaciones de conjuntos asociadas, pensando en los conjuntosP, Q⊆U definidos por P ={x∈U : p(x) es Verdadero}, yQ={x∈U : q(x) es Verdadero}:
no:¬p, se corresponde con el complementoP′.
“o” no excluyente:p∨q, se corresponde con la uni´on P∪Q.
y:p∧q, se corresponde con la intersecci´on P ∩Q.
“o” excluyente:p∨∨q, se corresponde con la diferencia sim´etrica P△Q.
implicaci´on:p⇒q, se corresponde con la inclusi´on P ⊆Q.
bi-implicaci´on:p⇔q, se corresponde con la igualdad P =Q.
1.1.4. Producto cartesiano.
El nombre producto cartesiano fue puesto en honor al matem´atico, f´ısico y fil´osofo franc´es
Ren´e Descartes, 1596-1650. El plano euclideo R2 = {(x, y);x, y ∈ R} representado mediante los ejes cartesianos es el plano donde constantemente dibujamos los gr´aficos de las funciones.
Definici´on 1.1.10. SeanA, Bconjuntos. El producto cartesiano deAconB, que se notaA×B, es el conjunto depares ordenados
A×B:={(a, b) : a∈A, b∈B}.
Ejemplos:
SeanA ={1,2,3},B ={a, b}. Entonces A×B ={(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)},
B×A={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}yB×B={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b)}.
SiA=B =R, entoncesR×Res el espacio euclideoR2.
SiA̸=B, entoncesA×B ̸=B×A.
SeanA⊆U,B ⊆V entoncesA×B ⊆U×V. Analizar si vale (A×B)′ =A′×B′.
De la misma forma se puede definir el producto cartesiano de n conjuntos A1, . . . , An como el
conjunto den-uplas ordenadas:
A1× · · · ×An:={(a1, . . . , an) : a1∈A1, . . . , an∈An}.
Representaci´on del producto cartesiano:
Proposici´on 1.1.11. (Combinatoria: Cardinal del producto cartesiano y del conjunto de partes.)
1. Sean A y B conjuntos finitos. Entonces#(A×B) = #A·#B.
Si A={a1, . . . , an} y B ={b1, . . . , bm}, entonces
A×B ={(a1, b1), . . . ,(a1, bm),(a2, b1), . . . ,(a2, bm), . . . ,(an, b1), . . . ,(an, bm)}.
2. Sean A1, . . . , An conjuntos finitos. Entonces #(A1× · · · ×An) = #A1· · ·#An.
3. Sea A un conjunto finito, entonces #(P(A)) = 2#A.
Demostraci´on. Haremos una demostraci´on informal pero muy intuitiva. Con los elementos que se ver´an en la materia se podr´a formalizar si se quiere.
1. SiA={a1, . . . , an} yB ={b1, . . . , bm}, entonces
A×B ={(a1, b1), . . . ,(a1, bm),(a2, b1), . . . ,(a2, bm), . . . ,(an, b1), . . . ,(an, bm)},
Lo informal aqu´ı es el uso de los . . ., la demostraci´on formal usa inducci´on, que veremos en el cap´ıtulo que viene.
2. Esto se formaliza tambi´en por inducci´on, aunque nuevamente se corresponde con un ´arbol:
3. A cada subconjunto B de A={a1, . . . , an} se le puede asociar un elemento del producto
cartesiano{0,1}n={0,1} × · · · × {0,1}
| {z }
n
: se asocia aB ⊆Alan-upla (e1, . . . , en)∈ {0,1}n
definida porei = 1 siai ∈B yei = 0 siai ∈/B. Por ejemplo, al subconjunto∅se le asocia
la n-upla (0, . . . ,0), al subconjunto A la n-upla (1, . . . ,1), y al subconjunto {a1} la n
-upla (1,0, . . . ,0). Est´a claro que esta asociaci´on define para cada subconjunto B ⊆A un elemento del producto cartesiano{0,1}n, y rec´ıprocamente a cada elemento del producto cartesiano{0,1}nle corresponde un subconjuntoB ⊆A(esta asociaci´on es un ejemplo de funci´on biyectiva entre el conjuntoP(A) y el conjunto{0,1}ncomo veremos m´as adelante) y por lo tanto los dos conjuntos tienen el mismo cardinal.
1.2.
Relaciones.
En lo que sigue daremos la formalizaci´on matem´atica de la noci´on de relaci´on que usamos constantemente en el lenguaje.
Definici´on 1.2.1. (Relaci´on.) Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto car-tesiano A ×B se llama una relaci´on de A en B. Es decir R es una relaci´on de A en B si
R ∈ P(A×B).
Ejemplos:
SeanA={a, b, c},B={1,2}. EntoncesR1 ={(a,1),(b,1),(b,2)},
R2 = {(a,2),(b,2),(c,1),(c,2)},R3 = ∅ y R4 =A×B son ejemplos de relaciones de A
en B, y R5 = {(1, c),(2, a)} es un ejemplo de relaci´on de B en A (notar que importa el
orden).
Sean A = B = R: R6 = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y2} y R7 = {(x, y) ∈ R2 : x = y2} son
Dados a∈A,b ∈B y una relaci´on R de A en B, se dice que a est´a relacionado con b (por la relaci´on R) si (a, b) ∈ R. En ese caso se escribe aRb. Si a no est´a relacionado con b, es decir (a, b)∈ R/ , se escribe a̸Rb.
En los ejemplos arriba, se tienebR11 peroa ̸R12,aR4b,∀a∈A, b∈B, y@a∈A,@b ∈B tal
queaR3b. Tambi´en,−2R62 y 4R7 −2.
Posibles representaciones gr´aficas de las relaciones:
¿Cu´antas relaciones de A={a, b, c}en B={1,2}hay? Sabemos que hay una relaci´on por cada subconjunto de A×B, o sea por cada elemento de P(A×B). Es decir, hay tantas relaciones como elementos en P(A×B). Luego la cantidad de relaciones es igual a #(P(A×B)). Como, por la Proposici´on 1.1.11, el conjuntoP(A×B) tiene en este caso 26 elementos, hay 26 relaciones de Aen B. Este mismo razonamiento vale para conjuntos finitos cualesquiera:
Proposici´on 1.2.2. (Combinatoria: Cantidad de relaciones.) Sean Am y Bn conjuntos
finitos, conm ynelementos respectivamente. Entonces la cantidad de relaciones que hay deAm
enBn es igual a 2m·n.
1.2.1. Relaciones en un conjunto.
En esta secci´on consideramos relaciones de un conjunto en s´ı mismo.
Definici´on 1.2.3. SeaA un conjunto. Se dice queRes una relaci´on en Acuando R ⊆A×A.
Ejemplos:
Las relacionesR6 yR7 arriba son relaciones en el conjuntoR.
La igualdad de elementos siempre es una relaci´on en cualquier conjuntoA:
R={(a, a), a∈A}, es decir ∀a, b∈A: aRb⇔a=b.
Sea A = {a, b, c, d}, entonces R8 = {(a, a),(a, b),(a, d),(b, b),(c, c),(c, d),(d, a),(d, d)} es
una relaci´on en A, que seg´un lo que vimos arriba se puede representar de las siguientes maneras:
Sin embargo, cuando el conjuntoAes finito (como en este caso), una relaci´on Ren Ase puede representar tambi´en por medio de un grafo dirigido, o sea un conjunto de puntos (llamados
v´ertices, que son los elementos del conjunto A) y un conjunto de flechas entre los v´ertices, que se corresponden con los elementos relacionados: se pone una flecha (que parte deay llega a b) para cada elemento (a, b)∈ R, es decir cada vez queaRb.
Ejemplos:
La teor´ıa de grafos juega un rol esencial en varias ramas de la matem´atica y la computaci´on.
Las relaciones en un conjunto dado son particularmente importantes, y algunas de las propie-dades que pueden cumplir merecen un nombre.
Definici´on 1.2.4. (Relaci´on reflexiva, sim´etrica (antisim´etrica) y transitiva.)
SeanA un conjunto yRuna relaci´on enA.
Se dice que R es sim´etrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R, entonces el par (b, a) ∈ R tambi´en (dicho de otra manera, ∀a, b ∈ A, aRb ⇒ bRa). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es sim´etrica si por cada flecha que une dos v´ertices en un sentido, hay una flecha (entre los mismos v´ertices) en el sentido opuesto.
Se dice que R es antisim´etrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R con a ̸=b, entonces el par (b, a) ∈ R/ (dicho de otra manera, ∀a, b ∈ A, aRb ybRa ⇒ a= b). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es antisim´etrica si no hay ning´un par de flechas en sentidos opuestos que unen dos v´ertices distintos.
Se dice queRestransitiva si para toda terna de elementosa, b, c∈A tales que (a, b)∈ R y (b, c)∈ R, se tiene que (a, c) ∈ R tambi´en (dicho de otra manera, ∀a, b, c∈A, aRby
bRc ⇒ aRc). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es transitiva si hay un “camino directo” por cada “camino con paradas”.
Ejemplos:
La relaci´on R8 de arriba es reflexiva, pero no es sim´etrica ni antisim´etrica, y tampoco
transitiva como se ve en el grafo arriba: est´an todos los “bucles” (es reflexiva), est´a por ejemplo la flecha a→b pero no la vueltab→a(no es sim´etrica), est´an las flechas a→ d
yb → a(no es antisim´etrica) y est´an las flechas c → dy d→ apero no el camino corto
c→a(no es transitiva).
R6 es reflexiva, pues∀x∈R, se tienexR6x puesx2=x2, es sim´etrica pues∀x, y∈R, se
tiene que sixR6y, es decir x2 =y2, entoncesy2 =x2, es decir yR6x, no es antisim´etrica
pues no es cierto que xR6y e yR6x implica x = y: por ejemplo para x = 1 e y = −1
se tiene x2 =y2 e y2 = x2, y es transitiva pues ∀x, y, z ∈R, x2 = y2 e y2 = z2 implica
x2 =z2.
¿C´omo se ve que una relaci´on es reflexiva en la representaci´on gr´afica del producto carte-siano? ¿Y sim´etrica?
¿Puede ser una relaci´on sim´etrica y antisim´etrica a la vez? Si s´ı, ¿en qu´e caso?
= enA, conA un conjunto, es una relaci´on reflexiva, sim´etrica y transitiva.
≤enRes una relaci´on reflexiva pues para todox∈R, se tienex≤x, no es sim´etrica pues en generalx≤y no implicay≤x: por ejemplo para x= 1 e y= 2. Pero es antisim´etrica pues six≤y ey ≤x, entoncesx=y. Y es transitiva pues x≤y e y≤z implicax≤z.
Mostrar que ⊆en P(A) es una relaci´on reflexiva, antisim´etrica y transitiva.
R7 no es reflexiva, pues ∃x ∈ R tal que x ̸R7x, es decir x ̸= x2 (por ejemplo x = 2),
tampoco es sim´etrica porque x = y2 no implica en general y = x2 (por ejemplo para
x = 4, y = 2). ¿Es antisim´etrica? Supongamos x, y ∈ R tales que x = y2 e y = x2, por
lo tanto x = x4, lo que implica x(x3 −1) = 0, es decir x = 0 o x = 1 (por estar en R, ¡ojo!), y luego en el caso x = 0 se tiene y = x2 = 02 = 0 = x, y en el caso x = 1 se tieney =x2 = 12 = 1 = x tambi´en, o sea es antisim´etrica nom´as. Finalmente R
7 no es
Definici´on 1.2.5. (Relaci´on de equivalencia y relaci´on de orden.)
SeanA un conjunto yRuna relaci´on enA.
Se dice que R es una relaci´on de equivalencia cuando es una relaci´on reflexiva, sim´etrica y transitiva.
Se dice que R es una relaci´on de orden cuando es una relaci´on reflexiva, antisim´etrica y transitiva.
Ejemplos:
Las relaciones = en un conjuntoAyR6 en Rson relaciones de equivalencia, las relaciones ≤en Ry⊆en P(A) son relaciones de orden.
La relaci´on ∼ descrita con el grafo siguiente es una relaci´on de equivalencia, pues en cada uno de los subgrafos formados, est´an todas las flechas posibles (cada subgrafo es “completo”).
Las relaciones de equivalencia juegan un rol muy importante en matem´atica, porque de alg´un modo funcionan como una generalizaci´on de la igualdad (que es el ejemplo m´as simple de relaci´on de equivalencia): clasifican, a trav´es de las clases de equivalencia, a los elementos del conjunto en subconjuntos donde se los considera “iguales” en alg´un sentido. Veamoslo primero en un ejemplo.
Ejemplo:
Sea la relaci´on∼siguiente en el conjunto A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}:a∼b si al dividirayb
Esta relaci´on es claramente una relaci´on de equivalencia. La clase de equivalencia de a∈A es el subconjunto deA formado por todos los elementos relacionados cona, y se nota nota a. Aqu´ı,
1 ={1,4,7,10}= 4 = 7 = 10, 2 ={2,5,8}= 5 = 8, 3 ={3,6,9}= 6 = 9.
Estas clases de equivalencia clasifican entonces los elementos deAseg´un su resto al dividir por 3: dos elementos que est´an en la misma clase de equivalencia tienen mismo resto, y dos elementos en distintas clases tienen restos distintos.
Ahora bien, observemos que los tres subconjuntos obtenidos son disjuntos dos a dos (y su uni´on da todo el conjuntoA). Podemos considerar el conjunto de clases de equivalencia:
{ 1,2,3
}
={{1,4,7,10},{2,5,8},{3,6,9}}
que tiene 3 elementos (que caracterizan los posibles restos al dividir por 3). Lo que hicimos fue “partir” al conjuntoA en tres subconjuntos, que son las tres clases de equivalencia.
Definici´on 1.2.6. (Clases de equivalencia.)SeanA un conjunto y ∼una relaci´on de equi-valencia enA. Para cadaa∈A, laclase de equivalencia de aes el conjunto
a={b∈A: b∼a} ⊆A.
Observemos que debido a la simetr´ıa, podr´ıamos haber definido a= {b ∈ A : a ∼ b} y dar´ıa el mismo subconjunto de A. Tambi´en, debido a la reflexividad, siempre tenemos a ∈ a (pues
a ∼a). Finalmente la simetr´ıa y transitividad muestran que si b ∈ a y c ∈ a, entonces b ∼ c
(pues b ∼ay a∼c implican b ∼c), es decir todos los elementos de una clase de equivalencia est´an relacionados entre s´ı.
Proposici´on 1.2.7. Sean Aun conjunto y∼ una relaci´on de equivalencia enA. Seana, b∈A. Entonces, o biena∩b=∅, o bien a=b.
Observaci´on 1.2.8. En la proposici´on anterior, nuestro enunciado es que alguna de las afir-maciones “a∩b=∅”, o “a=b” valen. Si llamamos p a la primera y q a la segunda, queremos probar que siempre es cierto p∨q. Si p es cierto, tambi´en lo es p∨q, luego basta probar que si no vale p entonces debe valer q (que es lo que haremos a continuaci´on). El rol de p y de q
son intercambiables, con lo cual si resultase mas f´acil tambi´en podemos suponer que si no vale
Demostraci´on. Supongamos quea∩b̸=∅. Existe entoncesc∈Atal quec∈a∩b, es decir c∼a
yc∼b. Pero por simetr´ıa,a∼ctambi´en, y por transitividad,a∼cyc∼bimplicaa∼b, esto quiere decir quea∈b(y por simetr´ıa,b∈a). Pero luego, todo elementod∈asatisfaced∼a, y comoa∼b, se tiened∼b, o sea d∈b. Luego probamos quea⊆b, y del mismo modo se prueba
b⊆a: por lo tantoa=b.
As´ı, logramos partir el conjunto A en una uni´on disjunta de subconjuntos no vac´ıos, sus clases de equivalencia. Eso se se llama hacer una partici´onde A:
Ejemplos:
Para la relaci´on = en A, las clases de equivalencia son simplemente a = {a}, y para la relaci´on R6 en R, las clases de equivalencia son x = {x,−x}, ∀x ∈ R, o sea todas las
clases tienen dos elementos de la forma±x, salvo la clase del 0 que tiene solo el elemento 0. Esta relaci´on clasifica a los n´umeros reales seg´un su m´odulo. En cada clase podemos elegir un representante, es decir un elemento en la clase que “representa” la clase: por ejemplo aqu´ı podemos elegir en casa clase alx≥0 como representante.
Miremos el conjuntoLde las rectas del plano, con relaci´on de equivalencia//(ser paralelo). Cada clase consiste de rectas todas paralelas entre s´ı. Esta relaci´on clasifica a las rectas seg´un su direcci´on. En cada clase de rectas paralelas podemos elegir como representante la recta que pasa por el 0.
Si uno quiere describir el conjuntoQde n´umeros racionales sin repetir elementos, la forma correcta de hacerlo es por medio de las clases de equivalencia de la siguiente relaci´on∼en Z×N: Dados (k1, n1),(k2, n2)∈Z×N,
(k1, n1)∼(k2, n2) ⇐⇒ k1n2=k2n1.
Verificar que es una relaci´on de equivalencia. Se tiene (k1, n1) ∼ (k2, n2) ⇔ kn11 = nk22, o
sea k1
n1 y
k2
n2 determinan el mismo n´umero racional: todos los elementos de una clase de
Proposici´on 1.2.9. (Relaciones de equivalencia y particiones.) Sea A un conjunto. Hay una manera natural de asociarle a una relaci´on de equivalencia enAuna partici´on deA. Rec´ıpro-camente, a toda partici´on se le puede asociar unarelaci´on de equivalencia, y estas asociaciones son inversas una de la otra.
Demostraci´on. Si∼es una relaci´on de equivalencia, como vimos anteriormente podemos consi-derar las clases de equivalencia de los elementos deA. Cada clase de equivalencia es un subcon-junto, y dos de estos subconjuntos distintos son disjuntos. Como el conjunto es la uni´on de las clases, obtenemos una partici´on.
Rec´ıprocamente, dada una partici´on, definimos la relaci´on ∼de la siguiente manera:a∼b si y s´olo siaybest´an en el mismo subconjunto. Es f´acil ver que esto da una relaci´on de equivalencia. Tambi´en es f´acil ver que estas asignaciones son una la inversa de la otra, en el sentido de que si empezamos con una relaci´on de equivalencia, miramos la partici´on asociada, y la relaci´on asociada a esta partici´on, recuperamos la relaci´on original. Asimismo, si empezamos con una partici´on, miramos la relaci´on de equivalencia asociada, y la partici´on que tiene esta relaci´on, recuperamos la partici´on original.
1.3.
Funciones.
En esta secci´on volvemos a considerar relaciones de un conjuntoA en un conjuntoB y formali-zamos la noci´on de funci´on, que todos sabemos que es una asignaci´on que a cada elemento de un conjunto de partidaA le hace corresponder alg´un elemento de un conjunto de llegadaB. Como por ejemplo la famosa funci´on cuadr´atica:
Definici´on 1.3.1. (Funci´on.)SeanAyB conjuntos, y seaRuna relaci´on deAen B. Se dice que R es una funci´on cuando todo elemento a ∈ A est´a relacionado con alg´un b ∈ B, y este elementob es ´unico. Es decir:
∀a∈A, ∃!b∈B : aRb.
Aqu´ı el s´ımbolo “∃!” significa “existe un ´unico”, es decir:
∀a∈A, ∃b∈B tal que aRb, y si b, b′ ∈B son tales que aRB y aRb′, entoncesb=b′.
que es la forma usual en la que conocemos a las funciones; se nota “f :A→ B” a una funci´on del conjuntoA en el conjuntoB.
Ejemplos:
La relaci´on del conjunto A={1,2,3,4,5} en el conjunto B ={1,4,7,23} descrita por el diagrama siguiente es una funci´on.
La relaci´on del conjunto A={1,2,3,4,5} en el conjunto B ={1,4,7,23} descrita por el diagrama siguiente no es una funci´on.
Falla tanto que el elemento 1∈Ano est´a relacionado con nadie enB como que el elemento 3∈Aest´a relacionado con dos elementos distintos deB. (Lo primero se puede solucionar “restrigiendo el dominio”, pero lo segundo no tiene soluci´on clara para hacer de esta relaci´on una funci´on.)
La relaci´onR ⊆R×Rdada porR={(x, x2) :x∈R} es la funci´onf :R→R, f(x) =x2
mencionada arriba.
La relaci´on R ⊆ Z×N0 dada por R = {(k,|k|) : k ∈ Z} es una funci´on, que se escribe
f :Z→N0, f(k) =|k|.
La relaci´on R ⊆ N0×Z dada por R = {(k2, k) : k ∈ Z} no es una funci´on, ya que por
ejemplo tanto (1,1) como (1,−1) pertenecen aR(el elemento 1∈N0 est´a relacionado con
dos elementos deZ).
Dado un conjuntoA̸=∅ cualquiera, la relaci´onR ⊆A×Adada porR={(a, a) :a∈A}
siempre es una funci´on, que se llama lafunci´on identidadde Ay se nota idA (o id cuando
Unan-upla x= (x1, . . . , xn)∈Rn se puede pensar como una funci´onf :{1, . . . , n} → R:
la funci´on
f :{1, . . . , n} →R definida por f(1) =x1, f(2) =x2, . . . , f(n) =xn.
Rec´ıprocamente, una funci´onf :{1, . . . , n} →Rse puede pensar como unan-upla deRn: lan-upla
(x1, . . . , xn) =
(
f(1), f(2), . . . , f(n))∈Rn.
Extendiendo el ejemplo anterior, siA es un conjunto, una sucesi´on
(ai)i∈N= (a1, a2, a3, . . .)
de elementos deA se puede pensar como una funci´onf :N→A: la funci´on
f :N→A definida por f(1) =a1, f(2) =a2, f(a3) =a3, . . . , es decirf(i) =ai,∀i∈N.
Rec´ıprocamente, una funci´on f : N → A se puede pensar como una sucesi´on en A: la sucesi´on
(a1, a2, a3. . .) = (
f(1), f(2), f(3), . . .), es decir (ai)i∈N=
(
f(i))i∈N.
Definici´on 1.3.2. (Igualdad de funciones). Seanf, g:A→B funciones. Se dice quef =g
cuandof(a) =g(a), ∀a∈A.
Dada una funci´onf :A→B, el conjuntoAse llama eldominiode la funci´onf, y el conjuntoB
se llama elcodominiode la funci´onf. Como se ve de los ejemplos anteriores, todos los elementos del dominio tienen que estar involucrados en una funci´on, pero puede ocurrir que haya elementos del codominio que no est´en involucrados. Esto motiva la siguiente definici´on:
Definici´on 1.3.3. (Imagen de una funci´on.) Seaf :A→B es una funci´on. La imagen de
f, que se nota Im(f), es el subconjunto de elementos de B que est´an relacionados con alg´un elemento deA. Es decir
Im(f) ={b∈B: ∃a∈Atal quef(a) =b}.
En t´erminos del diagrama,la imagen es el conjunto de elementos deB a los que les llega al menos una flecha. En t´erminos del gr´afico, es el conjunto de puntos del eje vertical que cuando tiro una recta horizontal por ese punto, corta el gr´afico en al menos un punto.
Ejemplos:
La imagen de la funci´on f1 : {1,2,3,4,5} → {1,4,7,23} descrita arriba es el conjunto {1,4,23}.
Seaf2:N→N, f2(n) =n+ 1. Entonces Im(f2) =N≥2 pues para todom≥2, existen∈N
tal quen+ 1 =m (tomando n=m−1 que pertenece aN puesm ≥2) pero 1∈/ Im(f2)
¿Y si se consideraf3:Z→Z, f(n) =n+ 1?
Seaf4:R→R, f(x) =x2. Entonces Im(f) =R≥0.
Seaf5:Z→Z, f(k) =|k|. Entonces Im(f) =N0.
SeaA̸=∅un conjunto, entonces Im(idA) =A.
Sea
f6 :N→Z, f6(n) =
{ n−1
2 si nes impar −n
2 si nes par
.
Esto es efectivamente una funci´on bien definida sobre los n´umeros naturales, y para cada n´umero naturaln, se tienef6(n)∈Z. M´as a´un Probemos que Im(f6) =Z:
Se tiene 17→ 1−21 = 0 pues 1 es impar, 27→ −22 =−1 pues 2 es par, 37→1, 47→ −2, 57→2 y esto da una indicaci´on de c´omo funciona esta funci´on: los impares va a parar a los enteros
≥0 y los pares van a parar a los enteros≥ −1.
Sea entoncesk∈Z. Queremos probar quek=f6(n) para alg´unn∈N.
Sik≥0, probemos quek=f6(n) = n−21 para alg´un n´umero natural impar n:
k= n−1
2 ⇐⇒ 2k=n−1 ⇐⇒ n= 2k+ 1
que pertenece aN por serk≥0 (se tiene k≥0 ⇒ n= 2k+ 1≥1), y es adem´as impar, como se quer´ıa probar.
Sik≤ −1, probemos que k=f6(n) =−n2 paraalg´un n´umero natural par n:
k=−n
2 ⇐⇒ 2k=−n ⇐⇒ n=−2k
que pertenece aNpor serk≤ −1 (se tienek≤ −1 ⇒ −2k≥2), y es adem´as par, como se quer´ıa probar.
Luego Im(f6) =Z.
Hemos visto que siA={a, b, c} yB ={1,2}, hay 26 = 64 relaciones deA en B. Nos podemos preguntar cu´antas de estas relaciones son funciones f : A → B. Esto se puede pensar en t´erminos de producto cartesiano (o de ´arboles): para definir una funci´on f : A → B tenemos que determinar f(a) ∈ {1,2}, f(b) ∈ {1,2} y f(c) ∈ {1,2}. Por cada elecci´on de f(a), f(b) y
f(c) tendremos una funci´on distinta. Como tenemos 2 elecciones posibles paraf(a), 2 paraf(b) y 2 paraf(c) tenemos en total 2·2·2 = 23 = 8 funciones (bastante menos que las 64 relaciones que hay de A en B). Dicho de otra manera la cantidad de funciones es igual al cardinal del producto cartesiano {1,2} × {1,2} × {1,2}. Este rezonamiento vale en general para funciones entre conjuntos finitos:
Proposici´on 1.3.4. (Combinatoria: Cantidad de funciones.) Sean Am y Bn conjuntos
finitos, con m y n elementos respectivamente. Entonces la cantidad de funciones f que hay de
Propiedades importantes que pueden satisfacer las funciones son las siguientes:
Definici´on 1.3.5. (Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.) Sea f : A → B
una funci´on. Se dice que
f esinyectivasipara todoelementob∈B existea lo sumo un elementoa∈Apara el cual
f(a) =b. Dicho de otra manera,f es inyectiva si para todoa, a′ ∈Atales quef(a) =f(a′) entoncesa=a′.
f es sobreyectiva sipara todo elemento b∈B existe al menos un elemento a∈A para el cualf(a) =b. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si Im(f) =B.
f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir para todo elemento b ∈ B
existeexactamente unelementoa∈A para el cualf(a) =b.
Ser inyectiva, sobreyectiva y biyectiva son propiedades que se chequean a nivel del codominio: en las representaciones gr´aficas, ser inyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega a lo sumo una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, se corta el grafo de la funci´on a lo sumo corta en un punto. Ser sobreyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega por lo menos sumo una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, siempre se corta el grafo de la funci´on en al menos un punto. Biyectiva significa que a cada elemento del codominio le llega exactamente una flecha, o en el producto cartesiano, que si se trazan rectas horizontales, siempre se corta el grafo de la funci´on en exactamente un punto.
Ejemplos:
La funci´onf1arriba no es ni inyectiva (pues por ejemplof1(1) =f1(2) = 1) ni sobreyectiva
pues (7∈/ Im(f1)).
La funci´onf2 :N→N es inyectiva pues f2(n) =f2(m) significa n+ 1 =m+ 1 de lo cual
se deducen=m, pero no es sobreyectiva pues 1∈/ Im(f2).
La funci´on f3 : Z → Z es inyectiva, igual que f2, y tambi´en es sobreyectiva pues ∀k ∈
Z, ∃n ∈ Z t.q. f3(n) = k: simplemente tomando n = k−1 se satisface que f3(n) = k.
La funci´on f4 :R→ Rno es ni inyectiva ni sobreyectiva. (Pero se puede forzar a que sea
sobreyectiva restringiendo el codominioR a la imagen R≥0, o sea definiendo en realidad
f4:R→R≥0.)
La funci´onf5 tampoco es inyectiva ni sobreyectiva.
idA es claramente biyectiva, cualquiera sea el conjuntoA̸=∅.
La funci´onf6 es sobreyectiva ya que probamos que Im(f6) =Z. Probemos que es tambi´en
inyectiva:
Seann, m∈Ntales quef6(n) =f6(m) =k. Est´a claro que para tener la misma imagenk,
o biennymson ambos impares, o bien son ambos pares (pues si son uno impar y el otro par, por la definici´on de la funci´on, uno tiene imagen ≥ 0 y el otro < 0). Si son ambos impares, entonces k = n−21 = m−21 implica n =m. Si por otro lado son ambos impares, entoncesk=−n2 =−m2 tambi´en implican=m. Luego la funci´on f6 es inyectiva.
Por lo tantof6 es biyectiva (esta funci´on biyectiva entre NyZmuestra que NyZtienen
el mismo cardinal, el “mismo infinito”...).
De las definiciones de funci´on inyectiva, sobreyectiva y biyectiva se desprenden las propiedades siguientes sobre cardinales.
Proposici´on 1.3.6. (Combinatoria.) Sean A y B conjuntos finitos.
Sea f :A→B una funci´oninyectiva. Entonces #A≤#B.
Sea f :A→B una funci´onsobreyectiva. Entonces #A≥#B.
Sea f :A→B una funci´onbiyectiva. Entonces #A= #B.
Las funciones se pueden componer, cuando el codominio de una coincide con el dominio de la siguiente:
Definici´on 1.3.7. (Composici´on.)SeanA, B, Cconjuntos, yf :A→B,g:B →Cfunciones. Entonces lacomposici´onde f cong, que se nota g◦f, definida por
g◦f(a) =g(f(a)), ∀a∈A
resulta ser una funci´on deA en C. Esto se visualiza mejor en el diagrama:
Seanf :N→R, f(n) =√nyg:R→R≥0, g(x) =x2+ 1, entoncesg◦f :N→R≥0 es la
funci´on dada por:
g◦f(n) =g(f(n))=g(√n) = (√n)2+ 1 =n+ 1, ∀n∈N.
Seanf :R→ R, f(x) =x2+ 3x+ 2 y g:R→R, g(x) =x2−1. En este caso se pueden calcularg◦f yf◦g que son ambas funciones deR enR:
g◦f(x) =g(f(x))=g(x2+ 3x+ 2) = (x2+ 3x+ 2)2−1 =x4+ 6x3+ 11x2+ 12x+ 3,
f ◦g(x) =f(g(x))=f(x2−1) = (x2−1)2+ 3(x2−1) + 2 =x4+x2, ∀x∈R
Seaf :A→B una funci´on, entonces idB◦f =f yf ◦idA=f.
1.3.1. Funciones biyectivas.
Cuando f : A → B es una funci´on biyectiva, recordemos que se tiene que para todo elemento
b ∈ B existe exactamente un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. Por lo tanto el conjunto
R′ ={(b, a) : f(a) = b} ⊆B×A es una relaci´on de B en A que satisface las propiedades de funci´on! Pues todos losb∈B est´an relacionados con alg´una∈A, y eseaes ´unico. Esta funci´on
R′ se nota f−1 y se llama la funci´on inversa de f. Est´a definida ´unicamente cuando la funci´on
f es biyectiva. Se tiene que f−1 :B →Aes la funci´on que satisface para todob∈B:
f−1(b) =a ⇐⇒ f(a) =b.
La funci´on inversa de la funci´on idA:A→A es la misma funci´on idA:A→A.
La funci´on inversa de la funci´on f3 : Z → Z, f3(n) = n+ 1 es la funci´on f3−1 : Z →
Z, f3−1(k) =k−1 (simplemente se despeja en la expresi´onk=f3(n) qui´en esnen funci´on
dek, lo que se suele hacer para calcular la imagen).
La funci´on inversa de la funci´on
f6 :N→Z, f6(n) =
{ n−1
2 si nes impar −n
2 si n es par
es la funci´on f6−1 :Z→Ndada por
f6−1(k) = {
2k+ 1 si k≥0
−2k si k≤ −1 .
Las funciones biyectivas y su inversa est´an relacionadas por medio de la composici´on: Por ejemplo paraf3 :Z→Z: f3(n) =n+ 1 se tiene que
f3−1◦f3(n) =f3−1 (
f3(n) )
=f3−1(n+ 1) = (n+ 1)−1 =n, ∀n∈Z,
y por lo tantof3−1◦f3 = idZ, y del mismo modo,
f3◦f3−1(k) =f3 (
f3−1(k))=f3(k−1) = (k−1) + 1 =k, ∀k∈Z,
y por lo tantof3◦f3−1 = idZ. Esto ocurre siempre, y m´as a´un, vale una rec´ıproca:
Proposici´on 1.3.8. Sea f :A→B una funci´on.
Si f es biyectiva, entonces f−1◦f = idA y f ◦f−1 = idB.
Si existe una funci´ong:B →Atal que g◦f = idA y f◦g= idB, entonces f es biyectiva
yf−1 =g.
Demostraci´on.
f−1◦f(a) =f−1(f(a))=f−1(b) dondeb=f(a) y por lo tantof−1(b) =apor la definici´on de la funci´on inversa. Es decir f−1 ◦f(a) = a, ∀a ∈ A. As´ıf−1 ◦f = idA. Del mismo
Seag :B → A la funci´on tal que g◦f = idA y f◦g = idB. Probemos primero que f es
biyectiva:
–f es inyectiva puesf(a) =f(a′) implicag(f(a))=g(f(a′)), es decirg◦f(a) =g◦f(a′). Perog◦f = idA, por lo tantoa= idA(a) = idA(a′) =a′.
–f es suryectiva pues sib∈B, podemos tomara=g(b). Luegof(a) =f(g(b))=f◦g(b) = idB(b) =b.
As´ı acabamos de probar quef es biyectiva.
Para probar queg=f−1, hay que probar queg(b) =f−1(b), ∀b∈B. Perog(b) =g(f(a))
donde b = f(a), luego g(b) = g◦f(a) = idA(a) = a = f−1(b) por la definici´on de f−1,
∀b∈B. As´ıg=f−1.
Cuando A, B son conjuntos finitos con n elementos, se puede contar la cantidad de funciones biyectivasf :A→B distintas que hay.
Por ejemplo si A2 = {a1, a2} y B2 = {b1, b2} tienen 2 elementos, hay 2 funciones funciones
biyectivas de A2 en B2: la funci´on f1 definida como f1(a1) = b1, f1(a2) = b2, y la funci´on f2
dada por f2(a1) = b2, f2(a2) = b1. Esto se puede pensar nuevamente con un ´arbol: primero se
fija d´onde va a parar el elemento a1 que tiene 2 posibilidades (b1 o b2), y en este caso haber
fijado d´onde va a parara1 determina autom´aticamente d´onde va a parar a2 (al elemento de B2
que qued´o libre). Estas 2 funciones biyectivas se pueden pensar como las 2 permutaciones de (b1, b2), que son (b1, b2) y (b2, b1).
Y si A3 ={a1, a2, a3} y B3 ={b1, b2, b3} tienen 3 elementos, hay 6 = 3·2 funciones biyectivas
de A3 enB3: primero se fija d´onde va a parar el elementoa1 que tiene 3 posibilidades (b1,b2 o
b3), luego se fija d´onde va a parara2, a qui´en le quedan 2 posibilidades enB3 (seg´un d´onde fue
a parara1) y luego queda autom´aticamente determinado d´onde va a parar a3 (al elemento de
B3 que qued´o libre). Estas 6 funciones biyectivas se pueden pensar como las 6 permutacionesde
(b1, b2, b3) que son:
(b1, b2, b3), (b1, b3, b2) , (b2, b1, b3) , (b2, b3, b1) , (b3, b1, b2) , (b3, b2, b1).
En general si An = {a1, . . . , an} y Bn = {b1, . . . , bn} son conjuntos con n elementos, se puede
probar formalmente (por inducci´on) que hay n·(n− 1)· · ·2·1 funciones biyectivas de An
en Bn. Esta cantidad de funciones biyectivas que hay entre conjuntos con n elementos (o de
permutaciones de los elementos de un conjunto de n elementos) resulta ser tan importante en matem´atica que se le da un nombre y una notaci´on particulares.
Definici´on 1.3.9. (Combinatoria: El factorial, o la cantidad de funciones biyectivas.)
Sean∈N. El factorialde n, que se nota n!, es el n´umero natural definido como
n! =n·(n−1)· · ·2·1,
que coincide con la cantidad de funciones biyectivas que hay entre dos conjuntos connelementos, o con la cantidad de permutaciones de elementos en un conjunto denelementos.
As´ı,
0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40320, 9! = 362880, 10! = 3628800,
y este n´umero crece muy r´apido!
Esta definici´on del factorial no es muy satisfactoria ya que involucra puntos suspensivos. La definici´on matem´atica formal espor recurrencia, como veremos m´as en detalle en el cap´ıtulo que viene:
0! = 1 y n! =n·(n−1)! , ∀n∈N.
Un programa recursivo para el factorial en Haskell:
Esta definici´on recursiva est´a muy en sinton´ıa con la programaci´on funcional. Por ejemplo la funci´on factorial:N0 → N en el lenguaje de programaci´on funcional Haskell, desarrollado a
partir de mediados de los 80, y nombrado as´ı por el matem´atico y l´ogico americano Haskell Brooks Curry, 1900-1982, se puede definir de la manera siguiente, como ver´an en el taller:
factorial :: Integer → Integer factorial 0 = 1
factorial n=n∗factorial(n−1)
Un programa iterativo para el factorial en Python:
Existen otros lenguajes de programaci´on no funcionales, por ejemploimperativos. Si escribimos un programa iterativo para el factorial en el extensamente usado lenguaje de programaci´on imperativo Python, creado a fines de los a˜nos 80 por el computador y matem´atico holand´es
Guido van Rossum, resulta m´as parecido a la primer definici´on de factorial que dimos como el producto de todos los enteros≤n:
def factorial(n)
f = 1
fori in range (1, n+ 1) :
f =f ∗i
return f
(La l´ıneaf = 1 pone en la variablef el valor 1. Luego la instrucci´on “foriin range (1, n+ 1)” ejecuta la l´ınea que sigue (es decir poner en la variablef el valor que ten´ıa f multiplicado por el valor de i) para todos los valores dei≥1 y< n+ 1, es decir entre 1 yn.)
Am ={a1, . . . , am}con m elementos en un conjuntoBn={b1, . . . , bn} connelementos, donde
m≤n.
Por ejemplo supongamos A2 ={a1, a2, a3} y B5 ={b1, b2, b3, b4, b5}. ¿Cu´antas funciones
inyec-tivasf :A3 →B5 hay?
Nuevamente, primero se fija d´onde va a parar el elemento a1 que tiene 5 posibilidades (b1,b2,
b3, b4 o b5), luego se fija d´onde va a parar a2, a qui´en le quedan 4 posibilidades en B5 (seg´un
d´onde fue a parara1, ya que no se puede repetir) y luego se fija d´onde va a parar a3 (a qui´en le
quedan 3 posibilidades). Por lo tanto hay 5·4·3 = 5!/2! funciones inyectivas deA3 en B5. Este
razonamiento se puede hacer en general (y probar rigurosamente por inducci´on).
Proposici´on 1.3.10. (Combinatoria: Cantidad de funciones inyectivas.) SeanAm yBn
conjuntos finitos, conm y n elementos respectivamente, dondem≤n. Entonces la cantidad de funciones inyectivasf :Am→Bn que hay es
n·(n−1)· · ·(n−m+ 1) = n! (n−m)!.
Para finalizar este cap´ıtulo, cabe mencionar que no hay una f´ormula tan simple como las an-teriores para contar la cantidad de funciones sobreyectivas que hay de un conjunto An de n
elementos en un conjunto Bm de m elementos, con n≥m cualesquiera. S´ı se puede presentar
