Localización de cortante en suelos e hipoplasticidad

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(1)LOCALIZACION DE CORTANTE EN SUELOS E HIPOPLASTICIDAD. Presentado por Luis Carlos Leguizamón Barreto Candidato a M.Sc.. Asesor Arcesio Lizcano Peláez, Ph.D.. Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Magíster en Ingeniería Civil Grupo de Investigación en Geotecnia 2008.

(2) Tabla de Contenido 1. Introducción. 1. 2. Estado del Conocimiento. 5. 2.1. Evidencia experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.1. Desrues et al - 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. Yoshida et al - 1994. 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1.3. Oda y Kazama - 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Modelos Hipoplásticos. 29. 3.1. Hipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Hipoplasticidad Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Hipoplasticidad No Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4. Modelo de Elementos Finitos. 41. 4.1. Ensayos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1. Ensayo triaxial no drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.2. Ensayo triaxial drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.1.3. Ensayo oedométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.1.4. Influencia de parámetros poles en el comportamiento mecánico del suelo . 42 4.2. Implementación del Ensayo biaxial en Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . 44 5. Conclusiones. 53. 1.

(3) Capítulo 1. Introducción 3758. J. Desrues, R. Chambon / International Journal of Solids and Structures 39 (2002) 3757–3776. granular materials, experimental studies performed by Vardoulakis and co-workers (Han and Vardoulakis, 1991; Vardoulakis et al., 1978; Vardoulakis and Graf, 1985), Tatsuoka et al. (1990, 1986), Arthur and coworkers (Arthur and Dunstan, 1982; Arthur et al., 1977), Finno and co-workers (Finno et al., 1996; Finno and Viggiani, 1997), Desrues and co-workers (Besuelle et al., 2000; Desrues, 1984, 1990; Desrues et al., 1996, 1985; Mokni and Desrues, 1999), and others (many other studies in rock) have established a number of conclusions, among which the following can be listed as motivation for the present discussion: (1) Strain localization in shear band mode can be observed in most, if not all, laboratory tests leading to Como rupture lo establece Jacques Desrues en low su temperature Tesis de Doctorado: "´La in geomaterials, at least at sufficiently and pressure. The figurelocalización of the cylindricalde la defortriaxial specimen split into two blocks, after some barrel-shaped deformation, by a single shear plane is mación es classical a la vez unmechanics fenómeno banal y atractivo. ... Banal, porque aparece en un rango in soil (e.g. Fig. 1). However, shear banding is possible, and even very common, also amplio in short specimens as illustrated in Fig. 2, and even in cubical triaxial devices with strain control using rigid de situaciones y as materiales. platens, shown in Fig.... 3. Fascinante, ya que se revela brutalmente en el campo de deforma(2) Complex localization patterns may be the result of specific geometrical or loading conditions. In very ciones homogéneas o de heterogeneidad suave, estructura bien típificada short specimens, shear bands can reflect several timescon fromuna the rigid boundariesgeométricamente of the specimen, as revealed on Fig. 4 by incremental strain field monitoring using stereophotogrammetry on a specially designed biaxial conocida como banda de corte, y aparece en ciertos casos tomando una dimensión catastrófica, apparatus. Looking at the second increment from the left on the figure, one can see that a quasi-complete shear por la incapacidad súbita de la estructura considerada para soportar cargas aplicadas en diferentes band mechanism takes place suddenly at this time step (which is located just before the peak in the load– displacement curve). Whether a localization pattern of a propagation phenomenon, etapas"[5]. La localización de lasuch deformación comois the unresult proceso de bifurcación en orelit cual el ma-. Fig. 1. Classical triaxial test specimen with shear plane; after J.L. Colliat-Dangus Doctoral Thesis, 1984 (Colliat-Dangus, 1986).. Figura 1.0.1: Localización de la deformación en forma de banda de corte en un ensayo triaxial [5]. 1.

(4) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2008-II-17. terial que se deformaba homogéneamente pasa a una deformación no homogénea concentrada en una zona conocida como banda de corte y la definición de bloques rígidos, no solo se presenta en materiales granulares como arenas y arcillas, sino otros de origen artificial y natural como polvos y granos, y el punto de inicio de formación suele encontrarse en pequeñas discontinuidades en el material y en las condiciones de borde. Este fenómeno se identifica en campo en muchas obras geotécnicas como una superficie de falla, plana, propia de taludes naturales, terraplenes, excavaciones y túneles, bajo diversas condiciones de tipo, humedad y permeabilidad del material, historia de carga, y de condiciones de carga que solicitan el material considerado. Aún hoy en día es notable la incapacidad de recopilar la información necesaria y suficiente, inclusive a través de ensayos de laboratorio, que permitan profundizar en la compresión del comportamiento mecánico del suelo. En las etapas iniciales del proceso de modelación del comportamiento del suelo era común la implementación de la teoría del medio continuo convencional a través de modelos constitutivos que se basaban en el desarrollo de deformaciones homogéneas, y que pretendían ser validados a través de ensayos de laboratorio que debían garantizar esta condición de homogeneidad, situación que nunca se logro, debido a que a pesar de los grandes esfuerzos en instrumentación y controles de las condiciones del ensayo, siempre surgía alguna heterogeneidad en la muestra de suelo que se traducía en diversos tipos de falla. A través del tiempo este hecho ha llevado a la validación en el sentido inverso, es decir, el modelo constitutivo, y más en concreto, la teoría de medio continuo han pasado al proceso de validación a través de su capacidad para representar el fenómeno de localización bajo las mismas condiciones presentadas en los ensayos de laboratorio. A través de diversos estudios experimentales se ha intentado una descripción de la formación de la banda de corte en arenas drenadas, tendientes a establecer parámetros físicos del material y funciones de los mismos que permitan reproducir la inclinación y el espesor de la superficie de falla, y el empleo de estos parámetros en la simulación numérica a través de la técnica de elementos finitos que implementan modelos constitutivos elastoplásticos e hipoplásticos fundamentados en la mecánica del medio continuo convencional, sin ahondar en otros aspectos importantes como diferentes condiciones de saturación y su influencia en el comportamiento del material. El presente documento pretende: Establecer los parámetros físicos involucrados en el proceso de formación de bandas de corte en arenas drenadas densas, por medio del estudio de evidencia experimental de tipo micromecánico. Analizar el proceso de desarrollo del modelo hipoplástico y su fundamentación sobre la teoria del medio continuo convencional, y las modificaciones introducidas bajos los enfoque del medio continuo polar. 2.

(5) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2008-II-17. Determinar enfoques de continuos alternativos para el desarrollo de un modelo constitutivo hipoplástico que permita una representación más realística del fenómeno de localización de la deformación. Desarrollar un análisis de sensibilidad de los parámetros polares a través de la implementación de ensayos elementales. Estudiar los inconvenientes surgidos de la implementación el modelo hipoplástico convencional en el desarrollo de bandas de corte en arenas, con el empleo de un programa de elementos finitos como ABAQUS. De acuerdo con estos propósitos en el segundo capítulo de este documento se presenta una revisión bibliográfica detallada sobre la evidencia experimental encontrada por autores como Jacques Desrues, Masanobu Oda y Yoshida en los que se muestra como la localización de la deformación se presenta en un campo inhomogéneo de deformaciones que surge en etapas previas al estado pico de esfuerzos, a través de patrones de bandas de corte paralelos o de dirección contraria caracterizados por concentración de deformación cortante y de incremento volumétrico considerables, también se evidencia la necesidad de centrar los esfuerzos en el estudio de los procesos presentes directamente en la zona de formación de la banda de corte en la que se ha identificado la presencia de rotación de partículas generada por el pandeo de columnas surgidas en el estado pico y cuya dirección de movimiento es contraria a la inclinación de la superficie de falla, además de analizar el efecto del diámetro promedio del grano, la densidad inicial y la presión de confinamiento en el espesor y dirección de la banda de corte. En el tercer capítulo se detalla el desarrollo del modelo hipoplástico polar propuesto por Jacek Tejchman y que tiene como antecesores los modelos presentados por Dimitrios Kolymbas, Wei Wu, Gerd Gudehus, Erich Bauer y P.A. von Wolffersdorff, de este modelo enmarcado en un proceso de deformación plana se destaca la ventaja de adicionar un grado de libertad adicional para la representación de la rotación de la partícula y el momento o esfuerzo acoplado que origina este movimiento, y la inclusión del diámetro promedio del grano como longitud característica que permite establecer patrones de análisis sobre el espesor de la superficie de falla. Adicionalmente se presentan los fundamentos del modelo hipoplástico no local propuesto por Thomas Maier, como enfoque alternativo para suplir el inconveniente de dependencia de la geometría de la malla para estimación de la inclinación de la banda de corte.. 3.

(6) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2008-II-17. El cuarto capítulo se ha dedicado a presentar los resultados de la implementación del modelo hipoplástico polar en el desarrollo de una serie de ensayos elementales y estudiar la influencia de parámetros hipoplásticos polares como la velocidad angular en el desarrollo del proceso de ablandamiento por deformación y los efectos del parámetro micropolar en el control de los momentos presentes en la estructura granular dentro de la banda de corte y que están influenciados por la rugosidad del grano condicionando en definitiva las variables polares involucradas en el modelo. Adicionalmente se presentan resultados de un ensayo biaxial drenado en arena densa implementado el modelo hipoplástico convencional desarrollado por Andrzej Niemunis en una UMAT apropiada para la corrida de elementos finitos propia de ABAQUS, que permitieron establecer las desventajas del modelo empleado. El último capítulo esta centrado en la presentación de las conclusiones logradas con el desarrollo del proyecto indicado y trabajos propuestos con el fin de continuar con el desarrollo de la investigación del modelo hipoplástico que permita la reproducción más precisa del comportamiento de arenas sujetas a diversas condiciones mecánicas.. 4.

(7) Capítulo 2. Estado del Conocimiento 2.1.. Evidencia experimental. Con el propósito de disponer de resultados y parámetros apropiados para la modelación del comportamiento mecánico de materiales granulares, a través de ecuaciones constitutivas se adelantan Ensayos Elementales (Triaxiales, Biaxiales, Triaxiales verdaderos) que pretenden el desarrollo de deformación homogénea en las muestras de suelo ensayadas, objetivo que no ha sido posible alcanzar, y llevando a que para que un modelo constitutivo sea valido, este en capacidad de simular la ocurrencia de deformación no homogénea evidenciada en la localización de la deformación representada en la denominada Banda de corte.. 2.1.1.. Desrues et al - 1985. En 1985 Jacques Desrues y su grupo de colaboradores desarrolló una serie de Ensayos Biaxiales drenados en arena densa a deformación controlada, con el propósito de analizar la transición entre la deformación homogénea a la localización, las condiciones geométricas y el estado de esfuerzos y deformaciones presentes en estos ensayos se muestran en la Figura 2,1,1. Para tal fin emplearon el método esterofotogramétrico que permite la obtención del campo de desplazamientos y la deducción de parámetros como incrementos de deformación axial, cortante y cambios volumétricos en el material ensayado.. 5.

(8) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. Fig. 7. Test conditions in biaxial apparatus.. Figura 2.1.1: Condiciones de ensayo en el aparato biaxial [7]. MIC 2008-II-17. Fig. 8. Typical load vs. Iniciación de la banda de corte En9(a) la Figura 2,1,2 se muestran las curvas Figure and (b) presents the carga-desplazamiento isovalue curves. of the ax y deformación volumétrica-desplazamiento típicas para una densa en la que apre-4. If the strai the increment between themuestra photographs 3 seand cia el pico de carga seguido por la curves condición residual como ablanisovalue would conbela transición parallel conocida horizontal (vertical) lines. damiento por deformación, y en la que se definen instantes durante el ensayo en los cuales erogeneity appears, with some high gradients for the two di se presentan resultados del procesamiento con estereofotogrametría. in the middle of the sample. This is confirmed by Fig. 9(c), En las curvas de isovalores de desplazamientos y lateral- ende*). el incremento se distortion field dr axial = f(del This 3-4, mapqueindicates clearly observan en la Figura 2,1,3, (a) y (b) respectivamente, se evidencia que en esta etapa ya se initiated in the middle of the sample. The distortions inside ha perdido la condición de deformación homogénea, que correspondería a campos de dealthough the global axial strain increment over the sample is splazamientos axiales y laterales paralelos, al igual que la localización de la deformación band can be seen beside the major one: the two bands have ap se ha iniciado en el centro de la muestra de arena. Este hecho es confirmado por el comIt should be noted that this initiation of the localization is portamiento de la deformación cortante o distorsión que aparece en la Figura 2,1,4 (c). En deformation afteren lathe peak but este mismo instante the se aprecia el surgimientoprocess, de otra bandanot de corte parte inferior de before. Henc ofresultados the sample, localization to arise in the harde la considerada. Estos constatanthe que la iniciación de lacan bandabe de said corte surge en thecontraposición theoreticalde otros findings obtained by the applicatio estos instantes, antescorroborates del pico de carga, en resultados obtenidos por various soil-like models; when does not apply, the Vardoulakis (1978) que indica que la localización parte del pico denormality esfuerzos, y confirman desarrollos teóricos be de Rudnicki (1975)positive y del mismohardening Vardoulakis (1980) en los131. que establemet with rate[8, Experimentally, h cen que este fenómeno se produce aún en la etapa de endurecimiento positivo. En la Figurathat the localiz his biaxial tests, Vardoulakis indicated in 1978 2,1,4 (d) se presentaobservations evidencia relacionada con elclearly surgimiento e incremento de la dilatancia is initiated b show that the phenomenon o incremento de la relación de vacíos en el interior de la banda de corte respecto al material the peak appears to be rather a consequence of the developme que conforman los bloques que la circundan. The maps shown here allow us to obtain some new inform initiation. It can be seen in Fig. 9(c) that the shear band do sample, as could be expected since these points are singula conditions. The actual initiation is located in the central part of by the fact that, of this test, 6 during the previous increments heterogeneous deformation, leading to higher strains in its cen controlled perturbations, it was observed that the location of sitive to the imperfections of the test; as an example, a soft.

(9) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Localizationof deformationin tests on sand sample. MIC 2008-II-17 915. upper plotten displ.. 7. Test conditions in biaxial apparatus.. Fig. 8. Typical load vs displacement. curve in biaxial apparatus.. Figura 2.1.2: Curva típica carga vs desplazamiento [7]. Figure 9(a) and (b) presents the isovalue curves of the axial (lateral) displacements during increment between the photographs 3 and el4.comportamiento If the strain field was homogeneous, these La relación entre de ablandamiento por deformación y relaciones de value curves would be parallel horizontal (vertical) lines. It can be seen that a strong hetvacíos actuales ha sido identificada a través de ensayos experimentales, mostrando que la geneity appears, with some high gradients for the two displacement components, located marcada transición entre un estado pico de esfuerzos y el estado residual es producto de althe middle of the sample. This is confirmed by Fig. 9(c), which presents the incremental relaciones de vacío iniciales que influyen en la band concentración de deformación cortante en ortion field dr = f(del - tas de*). This map indicates clearly that a shear mechanism is iated in the middle of the lasample. distortions the band are higher thande0.03, banda deThe corte. Dentro de inside los resultados obtenidos a tráves los ensayos mencionados ough the global axial strainse increment over the sample is small (0.006). A secondary shear tiene la superficie de dilatancia que se puede obtener en el método estereofotogramético, d can be seen beside the major one: the two bands have approximately the same direction. y que evidencia que al final del ensayo el material dentro de la banda de corte es significatiIt should be noted that this initiation of the localization is observed in a very early stage of suelto en otras partesindeterms la muestra. deformation process, not vamente after themás peak but que before. Hence, of overall behaviour the sample, the localization can be said to arise in the hardening part of the test. This result Propagación de labybanda de corte of the localization analysis to roborates the theoretical findings obtained the application ious soil-like models; whenLanormality apply, the localization condition evolución does de la not localización en etapas posteriores al picoisdefound cargatose presenta en función met with positive hardening rate[8, 131. Experimentally, however, it was not so clear; from los cálculos de distorsión en la Figuratakes 2,1,5 place (a) y (b), mostrando biaxial tests, Vardoulakis de indicated in 1978 that the localization at peak[7]. Ourque las dos bandas de crecen de manera independiente hastacritical alcanzarpoint, los contornos ervations show clearly thatcorte the se phenomenon is initiated before that and thende la muestra, sin evipeak appears to be rather denciar a consequence of the development localized convergencia entre las mismas. of Enthe otros ensayos deformation. se encuentra el proceso de reflexión The maps shown here allow us to obtain some new information about the location this rígidos, tal como los de las bandas de corte, cuando estas en su desarrollo encuentran of bordes iation. It can be seen in Fig. 9(c) that the shear band does not appear in a corner of the impuestos el pedestal biaxial, como se aprecia en la mple, as could be expected contornos since these pointsporareel cabezal singular y with respectdeltoaparato the boundary 2,1,6. in the central part of the sample; this can be explained ditions. The actual initiationFigura is located the fact that, during the previous increments of this test, the sample showed a smoothly erogeneous deformation, leading to higher strains in its central part. In other tests, involving trolled perturbations, it was observed that the location of the first localization is very senve to the imperfections of the test; as an example, a soft inclusion, as well as a hard one, duces systematically the initiation in its immediate vicinity. This result confirms the eximental and theoretical findings given by Vardoulakis et a1.[7], 7studying the imperfection sitivity of the localization in biaxial tests. The results presented here in Section II indicate that, in the true triaxial apparatus, the shear ds are initialized in a corner; this confirms the idea that in such an apparatus, the corners the location of the major deviations from the desired homogeneity (before the localization)..

(10) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. J. DESRUES et al.. Figura 2.1.3: Isovalores de desplazamiento axial y lateral [7] Tabla 2.1.1: Lista de materiales ensayados Material Origen d50 [mm] Arena de Hostun Francia 0.310 Arena de Toyoura Japón 0.162 Arena de Ticino Italia 0.502 Arena de Monterrey No. 0 USA 0.440 Arena de Silver Leighton Buzzard UK 0.620 Arena de Karslruhe Alemania 0.450 Arena de Ottawa USA 0.182 Vidrio Ballotini Japón 0.505. 2.1.2.. Cu 1.94 1.46 1.33 1.74 1.11 1.65 1.70 1.21. Gs 2.650 2.636 2.680 2.640 2.660 2.650 2.665 2.490. emax 0.950 0.973 0.960 0.860 0.790 0.870 0.864 0.713. emin Forma de grano 0.550 Subangular 0.612 Subangular 0.590 Subangular 0.550 Intermedia 0.490 Subredondeada 0.540 Subredondeada 0.515 Subredondeada 0.563 Esférica Yoshida et al, 1994. Yoshida et al - 1994. Hacia 1994, Yoshida et al desarrollaron una serie de ensayos biaxiales drenados en arena densa tendientes a evaluar la influencia de parámetros como diámetro promedio del grano, angularidad, y relaciones de vacío características en el comportamiento de localización de la deformación. El listado completo de los materiales y sus propiedades mecánicas relevantes aparecen en la Tabla 2,1,1 Estos ensayos consideran un método de observación de la banda de corte diferente al de relacionar las mediciones de desplazamientos axial y lateral en el contorno de los dos bloques involucrados en el proceso de localización. En este caso se traza una rejilla teñida en la superficie exterior. 8.

(11) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Localization ofdeformation intests onsand sample. Figura 2.1.4: Isovalores de distorsión y cambio volumétrico local, incremento 3-4 [7] de la membrana de latex en el plano σ2 , considerando el mismo sistema de coordenadas indicado en la Figura 2,1,1. A través de la placa de confinamiento transparente se toman varias imágenes de la superficie σ2 , similares a la mostrada en la Figura 2,1,7. Los ensayos fueron desarrollados para presiones de confinamiento en aire de 80, 200 y 400 kPa, en el caso de estas dos últimas presiones de confinamiento, las imágenes indicadas fueron tomadas desde afuera de la celda de presión, con la respectiva corrección de distorsión debida a la forma anular de la celda de presión. Las coordenadas de los nodos de la rejilla se registraron automáticamente con precisión igual o menor a 0.03 mm por medio de un nuevo sistema fotogramétrico, y con estas lecturas se construyeron los campos de deformación sobre la superficie σ2 . Los incrementos de desplazamiento cortante a través de la banda de corte, us y el cambio en espesor de la misma, un para dos etapas de carga sucesivas se obtienen de los cambios de las coordenadas de los nodos localizados en los extremos de dos líneas de referencia por fuera de los límites de la banda de corte formada. Se obtienen el componente horizontal del desplazamiento relativo hBA entre los puntos adyacentes en sentido vertical A y B y el componente vertical vBC entre los puntos adyacentes en sentido horizontal B y C, en este caso si la muestra se deformará de manera homogénea perfecta donde las deformaciones axial y lateral son principales, las componentes hBA y vBC serían cero.. El incremento del vector de desplazamiento relativo local d a través de la banda de corte se obtiene de la suma de las componentes hBA y vBC , y las componentes de d en las direcciones paralela y normal a la dirección de la banda de corte corresponden a los valores acumulados de us y un en una etapa de carga específica se obtienen por integración de los incrementos dus y dun desde el inicio 9.

(12) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17 918 J. DESRUES etal.. Figura 2.1.5: Propagación de la banda de corte durante los incrementos 4-5 y 5-6 [7] de carga.. En los resultados de las relaciones entre la razón de esfuerzos σ1 /σ3 y la deformación cortante promedio γ = ε1 − ε3 de que se muestran en la Figura 2,1,8, se aprecia que el estado residual para una presión de confinamiento de 80 kPa se alcanza con γ = 12,5 % y para 400 kPa con γ = 15,0 %, en esta misma figura se han indicado los puntos A, B y C correspondientes a etapas de carga sucesivas dentro del régimen de ablandamiento. El inicio de la formación de la banda de corte para la Arena SLB a una presión de cámara de 80 kPa, y para la Arena de Karlsruhe a una presión de 400 kPa se aprecian en la Figura 2,1,9, donde se muestran los contornos de deformación cortante local acumulada antes, en y después de un incremento de deformación cortante del 10 %. Estas distribuciones de deformación local se obtienen de deformaciones definidas en cada elemento de 0.5 cm × 0.5 cm asumiendo deformaciones uniformes en cada elemento. En ambos ensayos desde la etapa A, antes del estado pico, aparecen señales de múltiples bandas de corte, en el caso de la Figura 2,1,9 (a) dos bandas de corte en la dirección izquierda superior a derecha inferior y otra en dirección opuesta y en la Figura 2,1,9 (b) dos bandas de corte en direcciones opuestas; en la etapa B, después del pico, solo una de ellas se ha desarrollado en cada ensayo, y la deformación de la otra ha cesado. En el régimen post-pico la tendencia fue acelerada, y la etapa C es el inicio del estado residual. Los campos de deformación mostrados indican que la localización no es espontánea, y no es fácil identificar el momento exacto de su formación, de esta manera en etapas tempranas de localización, los desplazamientos relativos entre la parte superior e inferior de la muestra no serían representativos de la deformación de una 10.

(13) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Localization of deformation in tests on sand sample 919. Figura 2.1.6: Propagación de la banda de corte y reflexión [7] banda de corte simple.. Los espesores de la banda de corte to medidos en el inicio del estado residual son presentados en la Tabla 2,1,2, el valor de to fue definido como la distancia entre dos puntos en los lados opuestos de una banda de corte, donde la tasa de deformación de distorsión cruza con el máximo valor la banda de corte a lo largo de las líneas de la rejilla. La relación to /d50 se encuentre en el rango de 10 a 30, en contraste con resultados presentados por Mühlhaus y Vardoulakis (1987)[18], que reportan relaciones de 8 a 10. La tendencia es que to decrece con el incremento de la presión de cámara σ3 , y crece con el incremento del diámetro promedio del grano d50 El análisis de la dilatancia en la banda de corte se sustenta en la Figura 2,1,10 en la que se muestra la relación entre el desplazamiento cortante us y los cambios acumulados en el espesor de la banda de corte un para presiones de cámara de 80 y 400 kPa, para los ocho tipos de arena ensayados. Se aprecia un incremento en el espesor de la banda de corte desde el registro del desplazamiento cortante hasta alcanzar un valor máximo que se mantiene constante indefinidamente, resultado que esta en contraposición al planteado por Drescher et al (1990)[6], y Han y Vardoulakis (1991)[14] según el cual se presenta una tasa grande de incremento en el espesor de la banda de corte que ocurre después del inicio de la banda de corte, cerca al estado pico de esfuerzos, y subsecuentemente el espesor disminuye también a una gran tasa, exhibiendo comportamiento contractivo. Los ángulos ϑ relativos de la dirección σ3 a la dirección promedio de la banda de corte medidos desde el inicio del estado residual son mostrados en la Tabla 2,1,2, y como se aprecia disminuye con. 11.

(14) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Figura 2.1.7: Método para obtener el vector de incremento de desplazamiento relativo d a través de la banda de corte [12] el incremento del tamaño de la partícula, observación acorde a lo sugerido por Tatsuoka et al (1990) y explicado por Vermeer (1990), que establece que esta orientación para el caso de arenas gruesas tiende a la formulación planteada por Roscoe, obtenida mediante un análisis cinemático, y en el caso de arenas finas al modelo de Coulomb, sustentada en consideraciones estáticas, ecuaciones que se muestran a continuación, respectivamente:. ϑR = 45◦ +. ν 2. ϑC = 45◦ +. φ 2. (2.1.1). En estas ecuaciones ν representa el ángulo de dilatancia y φ el ángulo de fricción picos del material ensayado. Una aproximación desarrollada por Arthur (1977)[11], y que ha sido soportada matemáticamente y verificada a través de los resultados experimentales obtenidos en 1977, por Vardoulakis (1980)[26], tal y como se muestra en la Tabla 2,1,3:. 1 1 ϑA = 45◦ + (φ + ν) = (ϑC + ϑR ) 4 2. 12. (2.1.2).

(15) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Tabla 2.1.2: Resultados de Ensayos convencionales de deformación plana 0. σ3 [kPa]. Material. Arena de Hostun. Arena de Toyoura Arena de Ticino Arena de Monterrey No. 0. Arena de Silver Leighton Buzzard Arena de Karslruhe Arena de Ottawa Vidrio Ballotini. 80 400 80 200 400 80 400 80 400 80 200 400 80 400 80 400 80 400. ϕc [◦ ]. eo. ϕr [◦ ]. 0.616 47.6 35.9 0.648 44.8 34.2 0.694 45.7 (45.3) 35.5 (36.9) 0.660 45.9 35.0 0.661 45.0 33.7 0.657 48.1 34.8 0.679 45.7 34.5 0.604 47.8 (47.5) 34.4 0.643 45.5 34.7 0.549 44.7 32.7 0.548 43.4 31.3 0.547 42.5 30.8 0.621 43.8 33.0 0.636 42.8 31.0 0.598 43.4 34.2 0.608 44.3 32.2 0.573 35.7 26.5 0.621 32.3 26.2. ϑ [◦ ] to [mm] d50 [mm] to /d50. 63 58 66 65 66 61 60 66 59 59 62 61 59 58 70 65 54 53. 6.2 0.310 20 2.8 9 3.5 0.162 22 3.1 19 2.5 15 5.1 0.502 10 3.6 7 5.3 0.440 12 3.6 8 6.1 0.620 10 5.8 9 5.5 9 4.5 0.450 10 4.2 9 3.7 0.182 20 3.6 20 9.8 0.505 19 9.0 18 Yoshida et al, 1994. Tabla 2.1.3: Comparación entre inclinación de bandas de corte medida y calculada 1 Aparato ϕ p [◦ ] ν p [◦ ] ϑ p [◦ ] ϑA = 45◦ + (φ + ν) [◦ ] 4 FPSA 49.0 21.0 62.0 62.5 FPSA 50.0 30.0 65.0 65.0 FPSA 45.0 22.5 64.5 61.9 FBC 46.0 9.0 59.0 58.9 FBC 50.0 19.0 60.0 62.3 FBC 51.0 20.0 64.0 62.8 FBC 49.0 23.0 64.0 63.0 Vardoulakis, 1980. 13.

(16) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Figura 2.1.8: Relaciones entre σ1 /σ3 y γ = ε1 − ε3 para 80 y 400 kPa [12] El aparato FPSA hace referencia a un aparato de deformación plana (aparato biaxial) de contorno flexible , y el FBC a un aparato triaxial verdadero con celda de contorno flexible tipo London desarrollados en University College. De acuerdo a esta evidencia experimental, el ángulo de inclinación de la banda de corte, ϑ también disminuye con el incremento de la presión de confinamiento, σ3 .. 14.

(17) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Figura 2.1.9: Contornos de deformación cortante local para un incremento de 10 % para (a) Arena SLB y (b) Arena de Karlsruhe [12]. 2.1.3.. Oda y Kazama - 1998. El trabajo adelantado por estos investigadores pretendía estudiar el modelo de dilatancia propuesto por Newland y Allely (1957)[21], del cual se presenta un esquema en la Figura 2,1,11 a partir de observaciones micromecánicas en bandas de corte obtenidas en una serie de ensayos de deformación plana drenados en arenas densas de Toyoura y Ticino. Este modelo supone que el comportamiento cortante de los suelos granulares es análogo al deslizamiento friccionante entre dos bloques rígidos, con la diferencia que en el primero el deslizamiento tiene lugar en varias superficies de contacto mientras que en fricción se presenta un plano único. En el modelo cortante las direcciones de deslizamiento local varían de la dirección promedio del deslizamiento general, hecho que ocasiona la dilatancia durante corte y la relaciona con el ángulo de fricción movilizado. El modelo de Newland proporciona un mecanismo de cortante. 15.

(18) with the micropolar Horne, 1965; Matsuoka, 1974; Nemat-Nasser, predict the thickness 1980). A model by Newland & Allely (1957), the shear band direc among others, is of particular importance since it CAPÍTULO 2.had ESTADO DEL CONOCIMIENTO MIC 2008-II-17 some experimental o a tremendous in¯uence on the trend of subseis about 8 to 10 tim quent studies. The model basically relies on the Roscoe, 1970). Bard assumption that shearing of granular soils is anathe micropolar theor logous to frictional sliding between two rigid numerical simulation blocks. The only difference is that sliding takes of particles. Because place on many contact surfaces in the former but gibly small compare on a single plane in the latter. The local sliding ness, it is natural t directions vary, and therefore deviate, even on length scale into the average, from the general sliding direction (Fig. 1). micropolar theory. Accepting this model, we can easily understand Our present obje how the deviation of the actual sliding directions shortcomings of the from the general sliding direction causes dilatancy by examining the mi during shear, and how the dilatancy is related to bands, (2) to propos the mobilized friction angle (Newland & Allely, Figura 2.1.10:1957). Relaciones entre cambios acumulados en el espesor de la banda de corte un y udilatation s the mech The model indeed provides a possible, and para (a) σ3 = 80 kPa y (b) σ 3 = 400 kPa demonstrate the ess seemingly rational, mechanism of shearing, but effect in the evolutio To this end, we σn changes within two strain tests on Toyo τ General sliding supplementary test direction photoelastic pictures were examined to su Sliding at contacts. TEST MATERIALS AN Fig. 1. An idealization of shearing behaviour for Figura 2.1.11: Idealización del comportamiento granular soils (Newland & Allely, cortante 1957) para suelos granulares Test materials. Toyoura sand is a of 0´206 mm. The sub-angular quartz a posible pero que no se ha podido sustentar, aún en ensayos que emplean partículas artificiales. Manuscript received 9 September 1996; revised manuso strong that no bre script accepted 26 March 1997. Las relaciones esfuerzo y deformación volumétrica vs deformación axial se muestran en laThe maximum test. Discussion on this paper closes 6 November 1998; for Figura 2,1,12 (a) para la Arena de Toyoura y (b) para la Arena de Ticino, como se observa el the Japanese standar further details see p. ii. Saitama esfuerzo desviador presentaUniversity. una disminución considerable después del pico y simultáneamente se respectively (Yoshida [21]. desarrolla una banda de corte hasta que se alcanza el estado residual donde el esfuerzo axial es reducido hasta el nivel marcado como a, la muestra fallada se fijó con la infiltración en los vacíos de una mezcla de resina de poliester y estireno, solvente empleado para ajustar la viscosidad, a través de una línea conectada en la parte inferior del dispositivo cuidando evitar cambios en los esfuerzos. Después de 24 horas la muestra endureció facilitando su manipulación, y los cambios en las dimensiones de las muestras registrados indicando daños a la microestructura, representados por el cambio de a a b en la figura mencionada. El sistema de coordenadas de referencia permanece igual. 16.

(19) plane strain tests are shown in Fig. 2(a) for the Toyoura sand and Fig. 2(b) for the Ticino sand. In each case, the stress difference (ó 1 ÿ ó 3 ) dropped markedly after the peak had passed, in parallel CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO MIC 2008-II-17 with progressive development of a shear band, and in tests were carried out using ®nally (ó 1 ÿ ó 3 ) reached a steady state called the g machine with minor modi®`residual stress state'. (The Soma sand, although ting procedures are alnot new at hasta el momento, considerado pero se adicionan un sistema local ξi (i=1,2,3), ξ1 se encuentra not reported here, showed exactly the same characomitted here except the de corte sobrefor el plano en dirección del corte, ξ3 es perpendicular al plano de corte, y ξ2 esta sobre teristics as the Toyoura and Ticino sands in Fig. 2). el plano de corte y The es perpendicular planothen formado por los to dosaejes indicados. axial stressalwas decreased stress state re 180 mm high, 160 mm wide k. 400 mples as uniform as possible, Toyoura sand ve pluviation method was used σ1 2 σ3 1982). The drop height was εv to produce a high relative proximately 90%. At every 22 200 a on of dry sand, dyed particles ough the same multiple sieves b 21 ntal, thin marker layers. n the sample and rigid end ab duced by means of a thin 0 1 2 3 4 0 r greased with silicone oil. duction appeared to work ef(a) mples remained rectangular in 400 fter large deformation was Global volumetric strain σv: %. ipal stress ó 1 was increased by top platen downward at a of about 0´125 mm/min. The 3 was controlled by applying uum pressure of 49´0 kN/m2 le through a regulator valve. was rigidly ®xed to a loading no rotational movement was. Stress difference σ1 2 σ3: kN/m2. pectively.. Ticino sand. a 200 b. 22 21. ba 0. 0 1 2 3 4 5 metric strain åv was calculated Axial strain ε1: % å2 å3 . Here å1 is the axial (b) y the downward movement of ston; å2 is zero since no Fig. 2. Stress±strain relations in plane strain tests on s allowed in the intermediate Figura 2.1.12: Relaciones de deformación plana en (a) Arena de (a) the esfuerzo-deformación Toyoura sand and en (b)ensayos the Ticino sand (note direction; å3 is the lateral strain Toyoura y (b) Arena de Ticino that the axial and volumetric strains are not strain in incipal stress direction, which the strict sense after the peak stress, as deformation is by monitoring with Oda a laser within bands) de deformación obtenidas después de la y Kazamaconcentrated recalcan el hecho queshear las relaciones. máxima relación de esfuerzos no corresponden a deformaciones de la muestra de suelo, sino al comportamiento dentro de la banda de corte. Se cortaron tres placas verticales delgadas de muestras endurecidas, entre 5 y 10 mm de espesor, que incluían los ejes x1 y x3 en la parte central de la muestra, y fueron sometidas a fotografía de Rayos X, con el propósito de visualizar la localización, la dirección y forma de las bandas de. 17.

(20) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. corte desarrolladas. Se prepararon otras dos secciones delgadas para estudio óptico a través de microscopio, 0.03 mm de espesor, una vertical perpendicular al eje x2 (42mm×60mm) que incluye la banda de corte, y una sección paralela a la banda de corte (17mm×32mm), como se muestra en las Figuras 2,1,13 y 2,1,14 σ1 80. 0 1 2 3 4. 160. Shear band. 5. 21. S-thin section ξ3 ξ1. σ2. No lateral strain ξ2 σ3 V-thin section. 180. 22 23. Shear band. 24 25. 60. θ. x1. x1. 42. x3 x2. x3. (a). Fig. 4. Inclination angles è and á of Fig. 3. Two thin sections and reference axes (dimenaxes of particles in (a) V-thin section Figura 2.1.13: Las dos secciones delgadas y ejes de referenciasection (dimensions in millimetres) sions in millimetres). La microestructura observada en las fotografías de Rayos X, Figura 2,1,15, para la Arena de Toyoura muestran dos bandas de corte que crecen y se unen en el área central, y estan inclinadas a 70.5◦ y 67.0◦ respecto de la horizontal, en general se observa que esta bandas de corte no son rectas, sino levemente curvas debido a la restricción cinemática impuesta por las placas rígidas del cabezal y el pedestal del dispositivo. Con base en estas fotografías de Rayos X, se elaboran esquemas, similares al mostrado en la Figura 2,1,16, donde se estiman parámetros como espesor de la banda de corte, desplazamientos relativos y relaciones de vacíos locales a lo largo de la banda. Las relaciones obtenidas entre el espesor de la banda de corte obtenido por medio de Rayos X y microscopio, ts , y el diámetro promedio del grano, d50 , se aprecian en la Figura 2,1,17, hecho que concuerda con las conclusiones del estudio desarrollado por Yoshida et al (1994), y que establece una razón entre estos dos parámetros de 7 a 8. Las imágenes de Rayos X muestran que la forma de la banda de corte varía de una placa delgada a otra, tal como se aprecia en la Figura 2,1,18. 18.

(21) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. σ1 80. 0 1 2 3 4. 160. Shear band. 5. 21. S-thin section ξ3 ξ1. No lateral strain 180. ξ2 σ3 V-thin section. 22 23. Shear band. 24. ξ2. 60. α 25. ξ1. θ. x1. 32. 42. x3. x3. 17 (b). (a). Fig. 4. Inclination angles è and á of apparent long hin sections and referenceFigura axes (dimenaxes de of inclinación particles inϑ(a) section and (b) S-thin 2.1.14: Ángulos y αV-thin de ejes longitudinales aparentes de partículas metres) section (dimensions in millimetres). Los desplazamientos relativos son medidos sobre las las líneas teñidas sobre las partículas como aparece en la Figura 2,1,15 y esquematizadas en la Figura 2,1,16, donde se aprecia un valor promedio de 4.1 mm de desplazamiento relativo no recuperable entre la placa superior e inferior que se alcanza después del pico de esfuerzos. En cuanto a la relación de vacíos observada, se aprecia un incremento considerable dentro de la banda de corte, que apoya la suposición del incremento de deformación volumétrica dilatante en esta misa zona, obtenida en resultados experimentales que ya han sido considerados y otros reportados en la literatura (Desrues et al, 1996)[8]. El análisis óptico de esta secciones muestran que grandes vacíos individuales y altos valores de relación de vacíos local se pueden desarrollar dentro de la banda de corte. En la Figura 2,1,19 que corresponde a una sección delgada vertical, se esquematizan zonas de análisis paralelas a la banda de corte planteadas en la Figura 2,1,14 (a), y que en este caso estan definidas por las líneas marcadas con -1, 0 y 1, separadas 1 mm. La línea 0-0 establece el centro de la banda de corte. En la figura se aprecia que en las zonas a, b, c y d se presentan vacíos considerables que surgen periódicamente en la zona (0,1) y que de un estudio esteréoscopico presentan una forma elipsoidal con el eje mayor en dirección del eje ξ2 . Para la estimación de la relación de vacíos local dentro de la banda de corte se midieron las longitudes de intersección con partículas, lsi , y vacíos, lvi como se esquematiza en la Figura 2,1,20 y se estimó una relación de intersecciones, r, calculada como:. 19.

(22) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17 469. MICROSTRUCTURE OF SHEAR BANDS. x1. x3. (a). (b). Fig. 5. X-ray images of shear bands: (a) Toyoura sand; (b) Ticino sand Figura 2.1.15: Imágenes de Rayos X de bandas de corte en Arena de Toyoura. of the Toyoura sand, in particular, two shear bands seem to grow and join around the centre (see also Fig. 7, which shows the same shear band as in Fig. 5(a) but viewed on a different thin plate. These two shear bands are inclined respectively at 70´58 and 67´08 to the horizontal. The orientation of a shear band varies, n n depending sensitively on some boundary conditions (Vermeer, 1990). vi (b) The thickness values of the shear sibands ts , determined usingi=1 X-ray photographs and thin i=1 plates of the sands, are shown by open symbols (open circle, square and triangle) in Fig. 8 as a function of D50 . The linear relation between ts and D50 seems to support the idea that the thickness of shear bands is related to the particle size (e.g. Roscoe, 1970; Scarpelli & Wood, 1982; MuÈhlhaus & Vardoulakis, 1987;. . r = ∑l. ∑l. Yoshida et al., 1994; Yoshida, 1994). Before going to the next topic, a dif®culty in the determination of shear band thickness should be noted: it is sometimes thought that shear bands can be seen through a rubber membrane, and that the thickness can be measured by a scale. This is not true. The measured value is nothing but a thickness value of a convoluted membrane. This is the case, in particular, when the sand consists of small-size particles as in the case of Toyoura sand. An overestimation of shear band thickness can happen even if X-ray photographs are used. This is because shear band is not a plane of constant thickness, but rather appears with a wavy form. (This is true, in particular, when a shear band intersects the top or bottom rigid platen.) The X-ray image of the shear band therefore changes in shape. (2.1.3). La relación r y la relación de vacíos e son equivalentes si el espesor de la zona delgada tiende a cero (0.03 mm). A través de correlaciones hechas con resultados de otro estudio experimental desarrollado por Oda et al (1972), y el empleo de la relación r se obtienen las relaciones de vacíos, que siguen la tendencia indicada en la Figura 2,1,21. Con el propósito de ampliar sus conclusiones, Oda y Kazama, recurren a los resultados experimentales obtenidos por Oda y otro grupo de coinvestigadores en 1982. En este caso se desarrollaron ensayos biaxiales de compresión en ensambles bidimensionales de partículas de forma cilíndrica, moldeadas con una membrana de poliuretano sensitiva fotoelásticamente, y con su superficie lubricada con un talco para obtener un ángulo de fricción interpartícula de 26◦ y dispuestas en un marco de carga de 330 mm de ancho y 370 mm de alto, que posteriormente fue comprimido verticalmente. Durante el ensayo imágenes fotoelásticas fueron tomadas con luz polarizada en las etapas 1 a 9 indicadas en las curvas esfuerzo y deformación volumétrica vs deformación axial mostradas en la Figura 2,1,22. En las imágenes tomadas en el pico (posición 4) y en el estado residual (posición 9) que se muestran en la Figura 2,1,23 se observa el desarrollo de una estructura de columnas paralelas a la dirección vertical, que en el estado pico se encarga de la transmisión del esfuerzo axial,. 20.

(23) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. 470. ODA AND KAZAMA. 4.2 4.2. 3.0 4.2 2.9. 4.4. 70.5°. 4.0. 4.3. 4.1. 3.5 . e 5 1 09 21.14. 2.0 3.9. e 5 0.79 4.0 V-thin section. 3.9. e 5 1.01 21.13. 4.0. X1. 2.5. 3.8. 67°. e 5 0.63 2.0. 3.9. 65°. e 5 0.67. e 5 0.67 4.4 V-thin section 2.9. 2.0. X3 (a). (b). Figura 2.1.16: Esquemas de imágenes de Rayos X. Fig. 6. Sketches of the X-ray images of Fig. 5 with some measurements, including thickness and inclination angle of shear bands: (a) Toyoura sand; (b) Ticino sand. Two V-thin sections were made by grinding the portions surrounded broken lines; theesfuerzo image shown in Fig. 9 was al igual que la concentración de contactos normalesbyenthedirección del principal mayor, y taken by magnifying the hatched area with a microscope (all posteriormente al pico, estas columnas inician un pandeo que conlleva una disminución en la cadimensions in millimetres). pacidad de transmisión de esfuerzo axial, condición propia del ablandamiento por deformación. En los primeros instantes la localización y la dirección este fenómeno de pandeo es aleatoria, pero shear band strain is concentrated in a narrow from section to section. A typical de example is (or bands) as soon as strain localization starts. clearly seen when comparing the X-ray image gradualmente se concentra dethat la banda deThe corte a ser uniforme, como se observa of Fig.dentro 5(a) with of Fig. 7. samellegando shear en la Figura 2,1,23 (b).band looks quite different in spite of the fact. that both images were taken from two close Void ratios in shear bands vertical plates. In order to get more reliable If the dilatational thickness therefore, we Siguiendo la dirección de data, las partículas a, must b, c,used thinner y e en las imágenes 1 a 9,volumetric se trazanstrain, las as well as the shear strain, is concentrated in a narrow shear plates for such an X-ray analysis. The method trayectorias indicadas en la Figura 2,1,24, la cual indica desplazamiento lateral an el extremely large void ratio must be develpresented in this paper en using thin también sections, se band, oped in it. According to Roscoe (1970), for exam0´03 mm thick, provides an ideal way to del plato inferior. Las partículas a y b que se encuentran debajo del límite inferior de la banda de ple, Coumoulos (1968) applied X-rays to sand estimate the shear band thickness. sheared inen thecambio Roscoe-type simple shear apparatus, The horizontal lines visible on the X- el ensayo, corte, permanecen (c) prácticamente enparallel su posición durante todo las partículas and found that the void ratio in a shear zone is ray photographs in Fig. 5 show the ®nal c, d y e que se encuentran dentro la banda dirección much higher than en the una average. Recently, the same positions of thede marker layers se of mueven dyed parti-considerablemente observation was reported by Desrues et al. (1996). cles. Using these lines, the relative displace◦ entre 39 y 41.5 con respecto a lashear dirección debelameasured banda de corte,Byconstituyendo indicador delwe will show examining thin un sections optically, ment across bands can (Fig. how large individual voids, as well 6). The relative displacements are all about comportamiento dilatante del material en el interior de la banda y que corresponde al ángulo deas high local values of void ratio, can be developed in shear 4´1 mm in both cases. Using the stress±strain dilatancia estimado para el material bands. curves of Fig. 2,ensayado. it can be easily checked that the relative displacement of 4´1 mm is exactly Thin-section analysis for the Toyoura and Ticino the same as the non-recoverable relative Considerando nuevamente los resultados de top Odaand y Kazama, las partículas arena son section was sands. For convenience,deeach V-thin displacements between the bottom aunque divided into several zones by straight lines denoted platens taking place after the peak stress. This de forma irregular es posible seleccionar una dirección aparente by delserial eje longitudinal y establecer numbers ÿ2, ÿ1, 0, 1, 2 and so on, each seems to support the conclusions of Yoshida of which was parallel to the corresponding shear (1994) that (1) evolution of shear bands starts la orientación de las partículas de arena en las secciones delgadas verticales con la medición del band boundary (Fig. 4). Hereafter, each zone is around the peak stress, and (2) non-recoverable. ángulo θ , que se considera positivo en sentido antihorario (Figura 2,1,14), todas las partículas den-. tro de las zonas planteadas en la Figura 2,1,14 fueron estudiadas en el microscopio para establecer la inclinación del ángulo θ , los resultados de este cálculo para la Arena de Toyoura se presentan 21.

(24) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17 471. MICROSTRUCTURE OF SHEAR BANDS. 10. Estimated by X-ray. Thickness of shear band ts: mm. Estimated by microscope. t s/D50 5 8 Soma sand 5. 7. Toyoura sand. 0. Ticino sand. 0.5 Mean size D50: mm. 1.0. Fig. 8. Thickness of shear bands as a function of mean. Figura 2.1.17: Espesor de las particle sizebandas de corte en función del diámetro promedio del grano. almost along the las narrow (0, 1). a manera de histogramas en laperiodically Figura 2,1,25, donde flechaszone indican la orientación del vector Such large voids can also be found in a similar promedio. manner in the Ticino and Soma sands. Using vertical thin plates taken from the Toyoura, Ticino Soma desands, the de shear carefully En zonas alejadas and del centro la banda corte,bands estos were histogramas son unimodales con una observed under a stereoscope to see the shape of ◦ alta frecuencia entorno a θ =0 , hecho que ya ha sido evidenciado en un estudio anterior desarrollarge voids. The large voids are not spherical in lado por Oda y Koishikawa que establece que este de long histogramas shape,(1977) but, rather, ellipsoidal withtipo their axes es común en arenas parallel to the axis î . This observation explains 2 naturales depositadas bajo el efecto de la gravedad, ya que las partículas, que no son esféricas, why voids visible in the S-thin sections tend to be tienden a un plano horizontal con sus ejes longitudinales paralelos al mismo. En las zonas (0,1) y elongated parallel to the axis î2 . On the basis of (-1,0) las partículas sethese han reorientado hacia dirección de la banda observations, it la can be concluded that de thecorte, con una alta fre◦ appearancequeofla orientación such largedevoids is a secommon cuencia en θ =-44.3 , mostrando la partícula esta dando dentro de la banda microstructural characteristic of shear bands. de corte, con altos gradientes de rotación de lasthe partículas en los contornos, In order to estimate local void ratios within generando momentos de contacto, procesos propios de bands, la Teoría mostrando la necesidad de profundizar en the shear allMicropolar, intersectionylengths of particles image of the same shear band as in Fig. l and voids l were measured along scanning si vi ferent thin plate la resistencia rotacional en los contactos como efecto a considerar en el desarrollo de las bandas lines using an optical microscope with a mechanide corte. Estos hechoscal sonstage consistentes con Then el efecto pandeo de ratio las columnas mostrado entre (Fig. 10). an de intersection r was de calculated using by a pair of seriallosnumbers. Fory residual estados pico esfuerzos, Figura 2,1,26. Estos resultados concuerdan con el simulaP zone enclosed by the two lines denoted l vi ciones numéricas desarrolladas rotación de las partículas r Ppor Jean-Pierre Bardet que indica que la (1) d ÿ1 is called the zone (ÿ2, ÿ1). l si rodamiento y deslizamiento de contactos[1] . the X-ray photographsinducen and the asketches ®rst selected a 0 line as the centre of It can be proved that the ratio r is equivalent to and, and the ÿ1 and 1 lines as the the conventionally de®ned void ratio e if the thicktop shear band boundaries respectively. ness of the thin section approaches zero (Oda et ver, we found that these lines were not al., 1972). The thickness of thin sections is about top and bottom boundaries, but were 0´03 mm, but still cannot be neglected in compario them. Note also that individual lines son with the particle sizes. A correction is theremm apart in the V-thin section of the fore needed to convert the intersection ratio r to d, while they are drawn 2 mm apart in the corresponding void ratio e. To this end, we Ticino sand. used an experimentally22determined relation bewas taken from the V-thin section of tween r and e from Oda et al. (1972) (Fig. 11). sand by magnifying under a microThe ratio r was ®rst determined by measuring the atched area identi®ed in Fig. 6(a). A intersection values, and then the void ratio was observation is that surprisingly large estimated by using Fig. 11. To get a reliable result,.

(25) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. 471. MICROSTRUCTURE OF SHEAR BANDS. Estimated by X-ray. 10. Thickness of shear band ts: mm. Estimated by microscope. t s/D50 5 8 Soma sand 5. 7. Toyoura sand. 0. Ticino sand. 0.5 Mean size D50: mm. 1.0. Fig. 8. Thickness of shear bands as a function of mean particle size. x1. x3. Fig. 7. X-ray image of the same shear band as in Fig. 5(a), in a different thin plate. almost periodically along the narrow zone (0, 1). Such large voids can also be found in a similar manner in the Ticino and Soma sands. Using vertical thin plates taken from the Toyoura, Ticino and Soma sands, the shear bands were carefully observed under a stereoscope to see the shape of large voids. The large voids are not spherical in shape, but, rather, ellipsoidal with their long axes parallel to the axis î2 . This observation explains why voids visible in the S-thin sections tend to be elongated parallel to the axis î2 . On the basis of these observations, it can be concluded that the appearance of such large voids is a common microstructural characteristic of shear bands. In order to estimate the local void ratios within the shear bands, all intersection lengths of particles lsi and voids lvi were measured along scanning lines using an optical microscope with a mechanical stage (Fig. 10). Then an intersection ratio r was calculated using P lvi rP (1) lsi. Figura 2.1.18: Imagen de Rayos Xdesignated de la bymisma banda de corte mostrada en la Figura 2,1,15, en a pair of serial numbers. For example, a zone enclosed by the two lines denoted una placa delgada diferente by ÿ2 and ÿ1 is called the zone (ÿ2, ÿ1).. 472. Referring to the X-ray photographs and the sketches of them, we ®rst selected a 0 line as the centre of the shear band, and the ÿ1 and 1 lines as the bottom and top shear band boundaries respectively. Later, however, we found that these lines were not exactly the top and bottom boundaries, but were very close to them. Note also that individual lines are drawn 1 mm apart in the V-thin section of the ANDare KAZAMA Toyoura sand, whileODA they drawn 2 mm apart in that of the Ticino sand. Figure 9 was taken from the V-thin section of the Toyoura sand by magnifying under a microscope the hatched area identi®ed in Fig. 6(a). A remarkable observation is that surprisingly large voids, such as a, b, c and d in Fig. 9, appear. It can be proved that the ratio r is equivalent to the conventionally de®ned void ratio e if the thickness of the thin section approaches zero (Oda et al., 1972). The thickness of thin sections is about 0´03 mm, but still cannot be neglected in comparison with the particle sizes. A correction is therefore needed to convert the intersection ratio r to the corresponding void ratio e. To this end, we used an experimentally determined relation between r and e from Oda et al. (1972) (Fig. 11). The ratio r was ®rst determined by measuring the intersection values, and then the void ratio was estimated by using Fig. 11. To get a reliable result, the scanning lines were selected in at least two. Fig. 9. Almost periodic appearance of extremely large voids along the shear band (0, 1) of the Toyoura sand. Figura 2.1.19: Aparición vacíos grandes a such lo anlargo la onbanda de corte (0,1) (Fig. 6(a)), estimation de gives 0´63 the orthogonal directions, de and the area was covered with a close net of scanning lines. Each V-thin section was divided into three zones: one shear zone (ÿ1, 1) and two zones (ÿx, ÿ1) and (1, y), where x and y were taken to be 10 and 6 for the Toyoura sand and 7 and 4 for the Ticino sand respectively. Local values of void ratios in the three zones were estimated, and are summarized in Fig. 6. They have the following characteristics. In the case of the Toyoura sand. right side of the shear band and this is considered to be the initial void ratio of the sand. On the left side, on the other hand, the estimation gives a slightly higher value of 0´79. This is because the left side includes a prolongation of the upper shear band, as can be clearly seen on the X-ray photograph of Fig. 5(a). The void ratio in the shear band (ÿ1, 1) was estimated to be 1´01 from the V-thin section and 1´13 from the S-thin section. Both. 23.

(26) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. MICROSTRUCTURE OF SHEAR BANDS. In the light of these observatio individual voids and high values of in shear bands, we must ask wheth model of Newland & Allely (19 these experimental observations large voids can survive in shear ba deformation is being accumulated. will be answered in the next sectio. Plan view Particle Scanning line. 4. MICROSTRUCTURE OF SHEAR BANDS. In the Biaxial light of these observations of very by la compression tests individual voids Oda and high values of void ratio wi (1982). et al. (1982) carried 0.03 mm Particle in shearpression bands, wetests must on ask whether the dilatan two-dimensiona model of Newland & Allely (1957) can expl particles. One ofand thehow testssu l si l vi Scanning these rod-like experimental observations line because it helps to explain thesh large voids can survive in shear bands where is being Fig. 10. Particle and void intersections along a scan-deformation leading to theaccumulated. growth of These large questio voids Figura 2.1.20:ning Intersección de partículas y vacíos a lo largo de la línea escaneada will be answered in the next section. line Rod-like particles with oval cro Plan view. cast from photoelastically sensiti. r5e. 1.0 l vi. Fig. 10. Particle and void intersections along a scanning 0.8 line Regression line r5e. 1.0. 0.6 Void/particle intersection ratio r. Void/particle intersection ratio r. l si. 0.03 mm. 0.8. Regression line. 0.4. Dm: mm 0.5 0.7 1.0. 0.6. 0.2 0.4. 0 0.2 0.4. 0.6. Dm: mm 0.5 0.7 1.0 1.0. 0.8 Void ratio e. 1.2. Biaxial compression tests by Oda et The(1982) surfaces these part (1982).rubber. Oda et al. carriedofout biaxial co cated with talcum powder to give pression tests on two-dimensional assemblies partich rod-likefriction particles.angle One ofofthe268. testsThese is discussed becausebyit hand helps to the micromechani in explain a loading frame 330 leading370 to the growth of large in a shearwas ba mm high. Thevoids assembly Rod-like particles with oval cross-sections w compressed by moving upper cast from photoelastically sensitive an polyuretha keeping rubber.downward, The surfaceswhile of these particlesthe werelate lub constant. test,anphotoelas cated with talcumDuring powder the to give interparti frictiontaken angle of 268. These particles wereatstack under polarized light th by hand in a loading frame 330 mm shown in Fig. 12. Pictureswide takea 370 mm high. The assembly was then vertica position (4) and the residual positio compressed by moving an upper loading pla duced in keeping Fig. 13.theWelateral make the alm fo downward, while stress tions. constant. During the test, photoelastic pictures w taken under polarized light at the positions 1 Development columnar shown (a) in Fig. 12. Picturesoftaken at the st pe the peak (Fig. 13(a)), position (4) and the residual position (9) axial are rep duced in Fig.transmitted 13. We makethrough the following obser columna tions.. (a) Development of columnar structure. Arou the peak 16 (Fig. 13(a)), axial stress is mai transmitted through columnar structures σ1/σ3 εv. 14. Fig. 11. Experimentally determined relation between 0 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 the intersection ratio andVoid theratio corresponding void ratio e. 16. 4. 12. 5 σ1/σ3. 14. Stress ratio σ1/σ3. Figura 2.1.21: mum void ratio of 0´973 determined by the Japaspondiente relación de vacíos nesevalues standard method (Yoshida, Ticino are surprisingly large, larger1994). than theThe maxi0´973 determined by 0´67 the Japasandmum hasvoid the ratio sameofestimated value of on both nese method 1994). The The Ticino sides ofstandard the shear band(Yoshida, (Fig. 6(b)). void ratio sand has the same estimated value of 0´67 in the shear band (ÿ1, 1) is estimated on to both be 1´09 sides of the shear band (Fig. 6(b)). The void ratio from the V-thin section and 1´14 from the S-thin in the shear band (ÿ1, 1) is estimated to be 1´09 section. Again these values within the shear band from the V-thin section and 1´14 from the S-thin 24 are section. larger Again than the thesecorresponding values within themaximum shear band stanlargerratio than of the0´96. corresponding maximum stan-ratios dardarevoid (Note that the void dard void ratio of 0´96. (Note that the void ratios estimated by the V- and S-thin sections are someestimated by the V- and S-thin sections are somewhat different, the S-thin S-thinsection section yielding a what different, with with the yielding a. 10 8. Stress ratio σ1/σ3. Fig. 11. Experimentally determined relation between 10 4 values are surprisingly larger than the 12 the intersection ratio and large, the corresponding void ratiomaxiRelación determinada experimentalmente entre la razón de intersección y 3. εv. 3. 6. 8 6. 6 2. 6 2. 12. la corre5. 4. 10. 7. 8. 7. 6. 8. 4 9. 2 0. 1. 0. 4. 8. 2. 2. 1 2. 2. 3. 4. 3 4 5 6 7 Axial strain εAxial : % strain ε1: %. 05.

(27) constant. During the test, photoelastic pictures were taken under polarized light at the positions 1±9 shown in Fig. 12. Pictures taken at the peak position (4) and the residual position (9) are reproduced in Fig. 13. We make the following observaCAPÍTULO 2. ESTADOtions. DEL CONOCIMIENTO. 6. 4. Dm: mm 0.5 0.7 1.0. 2. (a) Development of columnar structure. Around the peak (Fig. 13(a)), axial stress is mainly transmitted through columnar structures ex16. 0.6. 0.8 1.0 Void ratio e. 1.2 σ1/σ3 εv. 14. 1. Experimentally determined relation between tersection ratio and the corresponding void ratio. 12. 4. 12 5. Volumetric strain 2εv: %. 0 0.4. MIC 2008-II-17. Stress ratio σ1/σ3. 10 10 3 s are surprisingly large, larger than the maxivoid ratio of 0´973 determined by the Japa6 8 8 standard method (Yoshida, 1994). The Ticino has the same estimated value of 0´67 on both 7 6 6 of the shear band (Fig. 6(b)). The void ratio 2 e shear band (ÿ1, 1) is estimated to be 1´09 4 4 the V-thin section and 1´14 from the S-thin 8 n. Again these values within the shear band 9 2 2 arger than the corresponding maximum stanvoid ratio of 0´96. (Note that the void ratios 1 0 ated by the V- and S-thin sections are some0 2 3 4 5 6 7 different, with the S-thin section yielding a Axial strain ε1: % void ratio than the V-thin section. This is lly because the bands (ÿ1, 1) on V-thin secFig. 12. Stress±strain relation in a biaxial test on a do not exactly agree with the2.1.22: shear bands, Figura Relación esfuerzo-deformación en un ensayo en unby ensamble bidimensional two-dimensional assembly of oval rodsbiaxial performed partially because large de voids are elongated Oda et al. (1982) (1, 2, . . . 9: positions where photocilíndros ovales el to the axis î2 .) elastic pictures were taken). 474. ODA AND KAZAMA. Shear band. (a). (b). Fig. 13. Photoelastic pictures taken at (a) the peak stress state 4 and (b) the. residual fotoelásticas stress state 9 (Oda et al., en 1982) Figura 2.1.23: Imágenes tomadas (a) el estado de esfuerzos pico y (b) estados de esfuerzos residual. tending parallel to the vertical direction, and contact normals gradually concentrate towards the major principal stress direction in parallel with the development of such columns (Oda, 1972; Oda et al., 1982). Wakabayashi (1957), Drescher (1976) and Allersma (1987)25 also observed bright bands in stressed assemblies of optically sensitive particles under polarized light, and interpreted them as principal stress trajectories. These bands are essentially the same as the columns. We can. 12 c 4–58 3 9 39° 67 d 39° Lower boundary of shear band. 2–3 7 1 4–56 8. 41.5°. e. 9. 2–3 6 1 45 7 8.

(28) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. MIC 2008-II-17. Shear band. (a). (b). Fig. 13. Photoelastic pictures taken at (a) the peak stress state 4 and (b) the residual stress state 9 (Oda et al., 1982). parallel to the vertical direction, and 12 normals gradually concentrate towards 4–5 c or principal stress direction in paral36 89 39° 7 h the development of such columns 972; Oda et al., 1982). Wakabayashi d Drescher (1976) and Allersma (1987) 2–3 39° served bright bands in stressed assem7 1 4–56 f optically sensitive particles under 8 Lower 9 boundary d light, and interpreted them as e 2–3 of shear band 41.5° l stress trajectories. These bands are 6 1 45 7 lly the same as the columns. We can 8 a 2 9 e therefore that development of the 1–2 3–9 ar structure is a common feature ng in the strain-hardening (pre-peak) of granular soils. g of columnar structure in shear bands. axial stress reaches the peak (failure), b umns start buckling, and are subsex1 1–9 able to carry less axial stress (strain 1 4 6 89 g). Buckling ®rst takes place at random Displacement x2 s and in random directions, but gradu65° of lateral loading platen kling concentrates into conjugate shear The buckling direction becomes unieach shear band as well (Fig. 13(b)). Fig. 14. Loci of the centres of particles a to e during the progressive from the initial durante state 1 to Figura envolventedeformation de los centros de partículas deformación progresiva pictures from positions 1 to2.1.24: 9, theSuperficie the residual state 9 in the biaxial test of Fig. 12 ®ve particles a, b, c, d and e were the trajectories of the particles were direction inclined at â ( 39ÿ41:58) to the general shown in Fig. 14, in which the disdirection of the shear band. The angle essentially f the lateral loading platen is also controls the dilatancy behaviour in the shear band, w the overall deformation. The partiand in fact agrees well with the dilation angle í , which were located below the lower ( 428) at the peak, de®ned by the shear band, stayed essentially at ositions while the deformation prodå1 då3 í arcsin ÿ (2) m 1 to 9. On the other hand, the då1 ÿ då3 to e, which were located above the ary, moved substantially, in a unique It should also be noted that large voids gradually. 26.

(29) CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO. 476. MIC 2008-II-17. ODA AND KAZAMA. θ 5 22.6°. θ 5 228.4° (e) (21,0). (a) (5,6) 10. 10. 0. 290 260 230 0 (b) (2,3). 30 60 θ 5 22.9°. 90. Frequency: %. 10. 0. 10. 0. 290260 230 0 (f). (22,21). 30 60 90 θ 5 27.9°. 10. 10. 0. Shear band. 290 260 230 0. 30 60 θ 5 20.6°. (c). 90. (1,2). 0. 290 260 230 0. 60. 90. 0. 90. (g) (25,24). 10. 290 260 230 0 30 θ 5 244.3°. 30 60 θ 5 5.4°. 290 260 230 0. (d) (0,1). (h) (210,29). 30. 60 . θ 5 3 1°. 90. 30 60. 90. Shear band. 0. 290 260 230 0. 290 260 230 0 30 60 90 Inclination angle θ: degrees. Fig. 16. Preferred orientation of particles in the V-thin section of the. Figura 2.1.25: Orientación Toyoura sand preferida de partículas en la sección delgada vertical - Arena de Toyoura. (a) Ticino sand. The arrows in these ®gures denote the mean vector directions (or preferred directions) de®ned by Curray (1956). First, look at the histograms for the zones other than the shear bands, e.g. the zones (5, 6) and (ÿ10, ÿ9) for the Toyoura sand and the zones (2, 4) and (ÿ7, ÿ6) for the Ticino sand. The histograms are all unimodal, with a high frequency 27 around è 08. Oda & Koishikawa (1977) have already shown that such a histogram is quite common in natural sands deposited under gravity. This is because non-spherical particles lie on a. The particle orientation changes sharply when crossing the shear band boundaries, which means that a high gradient of particle rotation takes place at the boundaries. Taking this into account, together with the presence of moments at contacts mentioned above, it can be said that a micropolar theory can provide a possible continuum model, in particular for solving strain localization problems of granular soils (e.g. MuÈhlhaus & Vardoulakis, 1987). The recent study by Iwashita & Oda (1997) and Oda et al. (1997) has shown that such a.

(30) Frequen. 290 260 230 0 (c) (0,1). 30. 60 . θ 5 23 4°. 90 0. 10. 290 260 230 0. 30. 60. 90. CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO θ 5 3.9°. MIC 2008-II-17. (g) (27,26) 10 0. 10. 290 260 230 0 30 60 θ 5 224.5° (d) (21,0). 90. Shear band 0. 0. 290 260 230 0. 290 260 230 0. 30. 60. 90. 30 60 90 Inclination angle θ: degrees. Fig. 17. Preferred orientation of particles in the V-thin section of the Ticino sand. s (ÿ1, 1) of both the Toyoura and the sands, the particles were rotated clockowards the shear band direction. It be noted, however, that the preferred ion of particles does not coincide with eral direction of shear bands (solid lines 18), but is parallel to the initial tal plane, which was also rotated during cess of shear banding (broken line in ). This means that the particle rotation verage, takes place in parallel with the onding macroscopic rotation Ù in the um sense. The same observation was d by Lanier & Combe (1995) in a paper with simple shear tests on two-dimenranular media.. Column. Clockwise rotation. Initial horizontal plane. x1. Ω Shear band. x3. orientation in S-thin section of the d. Let á be the inclination angle of Fig. 18. Buckling of columns and particle rotation in a long axis of a particle in Figura an S-thin 2.1.26: shear Pandeo de columnas y rotación de partículas en una banda de corte band. 28.