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(2) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 1. ∫ Sec x dx = Secxtg x − ∫ Sec x + ∫ Secx dx ⇒∫ Sec x dx = 2 ⎡⎣Secxtg x + Ln Secx + tg x ⎤⎦ + k 3. 3. 3. 4)∫ SenxLn(Cosx) dx ⇒ Selección : u = Ln(Cos x) ⇒ du =. −Sen x dx Cosx. dv = Senx dx ⇒ ∫ dv = ∫ Senx dx ⇒ v = − Cosx + k ⇒ ∫ udv = uv −∫ vdu ⎛ Sen x ⎞. ∫ SenxLn(Cos x)dx = − Cos xLn(Cosx) − ∫ Cosx ⎜⎝ Cos x ⎟⎠ dx ∫ SenxLn(Cosx)dx = − [ Ln (Cosx)] Cos x + Cosx + k 5)∫ x2Cos xdx ⇒ Selección :u = x2 ⇒ du = 2 xdx; dv = Cos x dx ⇒ ∫ dv = ∫ Cos x dx ⇒ v = Sen x + k. ∫ x Cosxdx = x Sen x − 2∫ xSen x dx (I ) I = ∫ xSen x dx ⇒ Selección :u = x ⇒ du = dx; dv = sen x dx ⇒ ∫ dv = ∫ senxdx ⇒ v = − cos x + k ∫ x Cosxdx = x Sen x − 2 ⎡⎣− xCosx + ∫ Cosx dx⎤⎦ ⇒ ∫ x Cosxdx = x Senx − 2xCosx − 2 Senx + k 2. 2. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 6)∫ x5 1 − x3 dx ⇒ ∫ x3 1− x3 x2 dx ⇒ Selección : u = x3 ⇒ du = 3 x2 dx dv = 1 − x3 x2 dx ⇒ v =. ∫. 1 − x3 x2 dx ⇒ Cambio de Variable : w =1− x3 ⇒ dw = − 3x2 dx 3. sust. v = −. 1 1 2(1− x3 ) 2 2 w dw v ⇒ = − + k ⇒ ∫ udv = uv − ∫ v du 3∫ 9 3. ∫x. 5. −2 x3 (1− x3 ) 2 2 1 − x dx = + 9 9. 5. −2 x3 (1− x3 ) 2 2 1 − x dx = + 9 3. 3. 3. ∫x. 3. ∫ (1− x ) 3. ∫ (1− x ) 3. 3 2. 3 2. 3 x2 dx ⇒ x2 dx. I1 = ∫ (1− x3 ) x2 dx ⇒ Cambio de Variable : z =1− x3 ⇒ dz = − 3x2 dx 3 2. 3. 5 5 1 3 2 −2 x3 (1− x3 ) 2 2 2 + (− (1− x3 ) 2 ) + k sust. I1 = − ∫ z 2 dz = − (1− x3 ) 2 + k ⇒ ∫ x5 1 − x3 dx = 9 3 15 3 15. −2(1− x3 ) 2 ⎡ 3 2(1− x3 ) ⎤ 1 − x dx = +k ⎢x − 9 5 ⎥⎦ ⎣ 3. ∫x 7). 5. ∫ ( x − 3). 3. 3. Ln ( x − 3) dx ⇒ Selección : u = Ln ( x − 3) ⇒ du =. dx ( x − 3). dv = ( x − 3) dx ⇒ v = ∫ ( x − 3) dx ⇒ Cambio de Variable : z = x − 3 ⇒ dz = dx 3. 3. ( x − 3) + k ⇒ udv = uv − vdu z4 sust. ⇒ v = ∫ z dz ⇒ v = + k ⇒ v = ∫ ∫ 4 4 4. 3. 22 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(3) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫ ( x − 3). 3. ∫ ( x − 3). 3. ∫ ( x − 3). 3. ∫ ( x − 3). 3. Ln ( x − 3). ( x − 3) dx =. 4. Ln ( x − 3). ( x − 3) dx =. 4. Ln ( x − 3). ( x − 3) dx =. 4. Ln ( x − 3). ( x − 3) dx =. 4. 4 4 4. 4. 1 ( x − 3) dx Ln ( x − 3) − ∫ 4 ( x − 3) 4/. 1 3 ( x − 3) dx ∫ 4 4 1 ⎡ ( x − 3) ⎤ Ln ( x − 3) − ⎢ ⎥+ k 4 ⎣⎢ 4 ⎦⎥ Ln ( x − 3) −. Ln ( x − 3). ( x − 3) −. 4. +k. 16. 8) ∫ x sen x dx ⇒ Selección : u = x ⇒ du = dx; dv = sen x dx ⇒ v = ∫ sen x dx ⇒ v − cos x + k. ∫ x sen x dx. = x cos x + ∫ cos x dx ⇒ ∫ x sen x dx = − x cos x + sen x + k. 9) ∫ Ln x dx ⇒ Selección : u = Lnx ⇒ du =. dx ; dv = dx ⇒ v = ∫ dx ⇒ v = x + k x. ∫ Ln x dx = x Ln x − ∫ dx ⇒ ∫ Ln x dx = x Ln x − x + k 10) ∫ Arctgx dx ⇒ Selección : u = Arctgx ⇒ du = x. dx ; dv = dx ⇒ v = x 1+ x2. dz = dx 2 dz 1 sust. I1 = 12 ∫ = Ln( z ) + k = Ln(1 + x 2 ) + k ⇒ ∫ Arctgx dx = xArctgx − Ln (1 + x 2 ) + k z 2. ∫ Arctgx dx = x Arctgx − ∫ 1 + x. 2. dx ⇒ Cambio deVariable : z = 1 + x 2 ⇒. 11) ∫ x 2 e x dx ⇒ Selección : u = x 2 ⇒ du = 2 x dx; dv = e x dx ⇒ v = ∫ e x dx ⇒ v = e x + k. ∫ x e dx = x e − ∫ 2 x e dx ⇒ I = ∫ 2 x e dx ⇒ selección : u = 2 x ⇒ du = 2dx; dv = e dx ⇒ v = e + k ∫ x e dx = x e − ( 2 x e − ∫ 2e dx) ⇒ ∫ x e dx = x e − 2 x e + 2e + k ∫ x e dx = ( x − 2 x + 2 ) e + k 12) ∫ e sen x dx ⇒ Selección : u = e ⇒ du = e dx; dv = senxdx ⇒ v = ∫ senxdx ⇒ v = − cos x + k ∫ e sen x dx = − e cos x + ∫ e cos x dx I = ∫ e cos x dx ⇒ Selección : u = e ⇒ du = e dx; dv = cos x dx ⇒ v = sen x + k ∫ e sen x dx = − e cos x + e sen x − ∫ e sen x dx ⇒ 2 ∫ e senx dx = − e cos x + e sen x + k 2 x. 2 x. x. x. x. x. 1. 2 x. 2 x. 2 x. 2. x. 2 x. x. x. x. x. x. x. x. 2 x. x. x. x. x. x. x. 1. x. x ∫ e sen x dx =. x. x. x. x. x. x. − e x cos x + e x sen x +k 2 23. http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(4) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 13) ∫ a 2 − x 2 dx ⇒ Selección : u = a 2 − x 2 ⇒ du =. ∫. a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + ∫. I1 =. x 2 dx. ∫. a2 − x2. =. ∫. − x dx a2 − x2. ; dv = dx ⇒ v = x + k. x 2 dx a2 − x2. a2 − ( a2 − x2 ) a2 − x2. dx =. ∫. a2 a2 − x2. dx −. ∫. a2 − x2 a2 − x2. dx. a2. Para : ∫. x dx =a 2 arcsen + k (ver tabla). a a −x. Para : ∫. a2 − x2. a2 − x2. a2 − x2. a2 − x2. 2. 2. dx ⇒ ∫. (a 2 − x 2 ) a 2 − x 2 dx ⇒ ∫ a 2 − x 2 dx (a 2 − x 2 ). x I1 = a 2 arcsen ( ) − ∫ a 2 − x 2 dx a x a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + a 2 arcsen( ) − ∫ a 2 − x 2 dx a x x 2 2 a2 x a − x + arcsen ( ) + k 2 ∫ a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + a 2 arcsen ( ) + k ⇒ ∫ a 2 − x 2 dx = a a 2 2. ∫. 14) ∫ x sec2 xdx ⇒ Selección :u = x ⇒ du = dx; v = ∫ sec2 xdx ⇒ v = tgx + k. ∫ x sec. 2. x dx = xtgx − ∫ tgx dx ⇒ ∫ x sec 2 x dx = x tgx − Ln sec x + k. 15) ∫ ( x + 3) e − x dx ⇒ Selección : u = x + 3 ⇒ du = dx ; dv = e− x dx ⇒ v = ∫ e− x dx z = − x ⇒ −dz = dx ⇒ v = ∫ e z dz ⇒ v = −e − x + k. ∫ ( x + 3) e. 1+ x. v=∫. ∫. dx = ( x + 3) (−e− x ) + ∫ e− x dx ⇒ ∫ ( x + 3) e− x dx = − ( x + 3) (e− x ) − e− x + k. Ln ( x + 1). 16) ∫. ∫. −x. dx ⇒ Selección : u = Ln ( x + 1) ⇒ du =. dx dx dv = ( x +1) 1+ x. −1 dx ⇒ Cambio de Variable : z =1 + x ⇒ dz = dx ⇒ v = ∫ z 2 dz ⇒ v = 2 1 + x + k 1+ x. Ln ( x + 1) 1+ x Ln ( x + 1) 1+ x. dx =2 1 + xLn ( x + 1) − 2∫. Ln ( x + 1) 1+ x dx dx ⇒ ∫ dx = 2 1 + xLn ( x + 1) − 2∫ ( x +1) 1+ x 1+ x. dx =2 1 + xLn ( x + 1) − 4 1 + x + k. 24 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(5) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. −1. du ( x +1) 2 dx ⇒ du = x +1 Ln x +1 dx ⇒ Selección : u = Ln x +1 ⇒ = dx 2 x +1 2 ( x +1). 17)∫. dv = x +1 dx ⇒ v = ∫ x +1 dx ⇒ Cambio de Variable : z = x +1 ⇒ dz = dx v = ∫ zdz ⇒ v = 23 ( x +1)3 + k ( x +1)3 dx 2 ( x +1). ∫. x +1 Ln x +1 dx = 23 ( x +1)3 Ln x +1 − 23 ∫. ∫ ∫. x +1 Ln x +1 dx = 23 ( x +1)3 Ln x +1 − 13 ∫ x +1 dx. ∫. x +1 Ln x +1 dx =. x +1 Ln x +1 dx = 23 ( x +1)3 Ln x +1 − 13 ( 23 ( x +1)3 ) + k. (. 2 3. ( ). 3 2⎤ ⎡ x +1 ⎢ Ln x +1 − ⎥ + k 3⎦ ⎣. ). (. −1. ). x 2 dx dx 18)∫ Ln 1+ 2 x dx ⇒ selección :u = Ln 1+ 2 x ⇒ du = ⇒ du = (1+ 2 x ) 1+ 2 x. ∫ Ln (1+ 2 x ) dx = ⎡⎣xLn (1+ 2 x )⎤⎦ − ∫. (. xdx. ∫x ∫x. dx +2. dx −1 2. +2. dx −1 2. (. ). x. xdx ⇒ x +2x. ∫ Ln (1+ 2 x ) dx = ⎡⎣ xLn (1+ 2 x )⎤⎦ − ∫ x(x −1 2. ). dx ; dv = dx ⇒ ∫ dv = ∫ dx ⇒ V = x + k x +2x. du =. ∫x. (. +2. −1 2. −1. ⇒ Cambio de Variable : w = x 2 + 2 ⇒ =∫. ). dx ⇒ ∫ Ln 1+ 2 x dx = ⎡ xLn 1+ 2 x ⎤ − ∫ −1 ⎣ ⎦ ( x 2 + 2) + 2) −1 −2 dw = dx; pero : x 2 = w − 2 ⇒ −2 ( w − 2) dw = dx x. −2 ( w − 2) dw 2 dw ⎤ w− 2 dw⎤ ⎡ w ⎡ = −2∫ =− 2 ⎢∫ dw − 2 ∫ ⎥ dw =− 2 ⎢∫ dw − ∫ ⎥ w w w ⎦ w⎦ ⎣ w ⎣ −1. −1. = − 2w + 4 Lnw + k = −2( x 2 + 2) + 4Ln( x 2 + 2) + k. ∫ Ln (1+ 2 x ) dx = ⎡⎣xLn (1+ 2 x )⎤⎦ − ⎡⎣−2(x. −1 2. + 2) + 4Ln( x 2 + 2)⎤ + k ⎦ −1. 19)∫ xex dx ⇒ Selección : u = x ⇒ du = dx; dv = ex dx ⇒ v = ∫ ex dx ⇒ v = ex + k. ∫ xe dx = xe − ∫ e dx ⇒ ∫ xe dx = xe x. x. x. x. x. − ex + k ⇒ ∫ xex dx = ex (−1) + k. 25 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(6) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 20)∫ ( 2 x +1) Ln x dx ⇒ Selección :u = Ln x ⇒ du = v = ∫ ( 2 x +1) dx ⇒ v = x ( x +1) + k. ∫ ( 2 x +1) Ln xdx = ( Lnx ) ⎡⎣ x ( x +1)⎤⎦ − ∫. dx ; dv = ( 2 x +1) dx ⇒ x. x ( x +1) dx ⇒ ∫ ( 2 x +1) Ln xdx = ( Lnx ) ⎡⎣ x ( x +1) ⎤⎦ − ∫ ( x +1) dx x. x2 − x+k 2 x3 dx 21)∫ x2 Lnx dx ⇒ Selección : u = Ln x ⇒ du = ; dv = x2 dx ⇒ v = + k 3 x 3 3 3 x x x x3 2 2 2 2 ∫ x Ln xdx = 3 Ln x − ∫ x dx ⇒ ∫ x Ln xdx = 3 Ln x − ∫ x dx ⇒ ∫ x Ln xdx = 3 (Ln x − 13 ) + k. ∫ ( 2 x +1) Ln xdx = ( Lnx ) ⎡⎣ x ( x +1)⎤⎦ −. Ln ( Cosx ) −Sen( x) dx ⇒ Selección : u = Ln [Cos( x)] ⇒ du = dx 2 Cos x Cos( x) dx dv = ∫ ⇒ ∫ dv = ∫ Sec2 ( x) dx ⇒ v = tg ( x) + k ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu 2 Cos ( x) 22)∫. Ln ( Cos( x) ) dx ⎛ Senx ⎞ ∫ Cos2 x = Ln [Cos( x)][tg ( x)] + ∫ tg ( x) ⎜⎝ Cosx ⎟⎠ dx (I1 )∫. Sen2 ( x) dx = Cos2 ( x). ⎡ 1 − Cos2 x dx Cos 2 x ⎤ dx = − ⎢∫ 2 ∫ Cos2 x ∫ 2 dx⎥ ⎣ Cos ( x ) Cos x ⎦. (I1 ) = ∫ Sec2 ( x ) dx − ∫ dx = tg ( x) − x + k. ∫. Ln ( Cos( x) ) dx = Ln [Cos( x)][tg ( x)] + tg ( x) − x + k Cos 2 x. 23)∫ xSenxCosxdx ⇒ Selección :u = x ⇒ du = dx;. ∫ dv = ∫ SenxCosx dx. ⇒ v = ∫ SenxCosx dx. z2 Sen2 x Cambio de Variable : z = Senx ⇒ dz = Cosxdx ⇒ v = ∫ z dz = + k ⇒ v = +k 2 2 x Sen2 x 1 xSenxCosxdx = − ∫ Sen2 x dx ∫ 2 2 (1 − Cos2x ) dx (Id. Trig.) ⇒ I = 1 ⎡ dx − Cos2x dx⎤ = 1 x − 1 Sen2x + k I1 = ∫ Sen2 xdx = ∫ 1 ∫ ⎦ 2 4 2 2 ⎣∫ 2 1 x Sen x 1 ∫ xSenxCosx dx = 2 − 4 x + 8 Sen2x + k 1 Otra Forma : ∫ xSenxCosx dx = ∫ x Sen ( 2 x ) dx 2. 26 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(7) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 1 Selección : u = x ⇒ du = dx; ∫ dv = ∫ Sen ( 2 x ) dx ⇒ v = − Cos ( 2 x ) + k 2 3 2 x dx x xdx xdx ⇒∫ ⇒ Selección : u = x 2 ⇒ du = 2 xdx; dv = 24) ∫ 1 − x2 1 − x2 1 − x2 xdx. ∫ dv = ∫ v=−. ∫. 1 2. 1 − x2. 1 dz ⇒v = − 2 z. ∫. x 3 dx. xdx. ⇒ v=∫. 1 − x2. dz = xdx 2. 2 ∫ z 2 dz ⇒ v = − z 2 + k ⇒ v = − (1− x ) + k −1. = − x 2 (1 − x 2 ) + 1 2. 1 − x2. ⇒ Cambio de Variable : z = 1 − x 2 ⇒ − 1 2. 1. ∫ (1 − x ) 2. 1 2. 2 xdx. I1 = ∫ (1 − x 2 ) 2 2 xdx ⇒ Cambio deVariable ⇒ w = 1 − x 2 ⇒ dw = − 2 xdx ⇒ − dw = 2 xdx 1. I1 = ∫ (1 − x 2 ) 2 xdx = − ∫ w1/ 2 dw = I1 = − 1 2. ∫. x 3 dx. = − x 2 (1 − x 2 ) − 1 2. 1 − x2. 3 2 (1 − x 2 ) 2 + k 3. 3 2 (1 − x 2 ) 2 + k 3. 25) ∫ x 3 ( Lnx ) dx ⇒ Cambio deVariable : u = ( Lnx) 2 ⇒ u = 2 Lnx ⇒ du = 2. 2dx x. x4 +k dv = x dx ⇒ v = ∫ x dx ⇒ v = 4 2 x 4 Ln( x) 1 2/ x 4/ dx 2 x 4 Ln( x) 1 3 2 2 3 3 = − ⇒ = − ∫ x dx x Lnx dx x Lnx dx ( ) ( ) ∫ ∫ 4 4/ ∫ x/ 4 2 3. 3. 3 ∫ x ( Lnx ) dx = 2. 2 x 4 Ln( x) x 4 x4 2 − + k ⇒ ∫ x 3 ( Lnx ) dx = [ Lnx − 14 ] + k 4 8 2. 26) ∫ x 2 e3 x dx ⇒ Selección : u = x 2 ⇒ du = 2 xdx; 3. 2 3x ∫ x e dx =. 3x ∫ dv = ∫ e dx ⇒ v =. e3 x +k 3. x 2 e3 x 2 3 x − ∫ e x dx 3 3. e3 x +k I1 = ∫ e x dx ⇒ Selección : u = x ⇒ du = dx; v = ∫ e dx ⇒ v = 3 x 2 e3 x 2 ⎡ x e3 x 1 3x ⎤ x 2 e 3 x 2 x e3 x 2 3x 2 3x 2 3x x e dx e dx x e dx e +k = − − ⇒ = − + ⎢ ⎥ ∫ ∫ ∫ 3 3 ⎣ 3 3 3 9 27 ⎦ e3 x ⎡ 2 2 x 2 ⎤ 2 3x ∫ x e dx = 3 ⎢⎣ x − 3 + 9 ⎥⎦ + k 3x. 3x. 27 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(8) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 27) ∫ x 16 − x dx ⇒ Selección : u = x ⇒ du = dx; dv = 16 − x dx ⇒ v = ∫ 16 − x dx 3. −2 z 2 + k ⇒ ∫ udv = uv − ∫ v du Cambio deVariable : z =16 − x ⇒ dz = − dx ⇒ v = 3 −2 x 2 3 3 ∫ x 16 − x dx = 3 (16 − x) + 3 ∫ (16 − x) dx 2 I1 = ∫ (16 − x)3 dx ⇒ Cambio de Variable : t =16 − x ⇒ − dt = dx 3 −4 (16 − x)5 4 (16 − x)5 −2 32 −2 x 3 I1 = t dt ⇒ I1 = ⇒ ∫ x 16 − x dx = +k (16 − x) − 3 ∫ 15 3 15 x 2 dx dx dx ⇒ Selección : u = x 2 ⇒ du = 2 x dx ; dv = ⇒v=∫ 28) ∫ x+6 x+6 x+6 Cambio de Variable : z = x + 6 ⇒ dz = dx ⇒ v = 2 x + 6 + k. ∫. x 2 dx = 2 x 2 x + 6 − 4 ∫ x + 6 x dx x+6. I1 = ∫ x + 6 x dx ⇒ Cambio de Variable : t = x + 6 ⇒ x = t − 6 ⇒ dt = dx 5. I1 = ∫. 3 2( x + 6) 2 − 4( x + 6) 2 + k x + 6 x dx = ∫ t ( t − 6 ) dt = ∫ (t − 6t ) dt ⇒ I1 = 5 3 2. 1 2. 1 2. 5. ∫. 3 x 2 dx 8( x + 6) 2 = 2 x2 x + 6 − − 16( x + 6) 2 + k 5 x+6. 29) ∫ x3e x dx ⇒ ∫ x 2 e x xdx ⇒ Seleccion : u = x 2 ⇒ du = 2 x dx; 2. 2. x x ∫ dv = ∫ e xdx ⇒ v = ∫ e xdx 2. 2. 2. 1 dz ex +k Cambio de Variable : z = x ⇒ = x dxv = ∫ e z dz ⇒ v = 2 2 2 2. 2 x2 x2e ∫ x e xdx = 2. x2. 2 2 2 − ∫ e x xdx ⇒ ∫ x 2 e x xdx = x e 2. x2. 2. −. 2. 2 ex ex 2 + k ⇒ ∫ x 2 e x xdx = ( x − 1) + k 2 2. 30) ∫ x 2 6 − xdx ⇒ Selección : u = x 2 ⇒ du = 2 x dx; dv = 6 − x dx ⇒ v = ∫ 6 − x dx 3. Cambio de Variable : z = 6 − x ⇒ − dz = dx ⇒ v = ∫. 2(6 − x) 2 +k zdz ⇒ v = 3. 3. ∫x. 2. 3 2 x 2 (6 − x) 2 4 − ∫ (6 − x) 2 x dx 6 − x dx = 3 3. I1 = ∫ (6 − x) 2 x dx ⇒ Cambio de Variable : w = 6 − x ⇒ x = 6 − w; − dw = dx 3. 28 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(9) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 5. 7. 12(6 − x) 2 2(6 − x) 2 I1 = −∫ w (6 − w)dw = −∫ (6w − w )dw ⇒ I1 = + +k 5 7 3 5 7 2 x2 (6 − x) 2 4 ⎡12(6 − x) 2 2(6 − x) 2 ⎤ 2 ∫ x 6 − x dx = 3 − 3 ⎢⎢ 5 + 7 ⎥⎥ + k ⎣ ⎦ 3 2. 3 2. 5 2. 3 ⎡11 2 288 ⎤ 2 408 2 2 x x dx x x− 6 − = (6 − ) − +k x ∫ ⎢ 3 35 35 ⎥⎦ ⎣7. 2 dx x ; ∫ dv = ∫ x dx ⇒ v = + k x 2 2 2/ 2 x x Ln(3x) x dx x Ln(3x) ∫ xLn(3x)dx = 2 − ∫ 2 x/ ⇒ ∫ xLn(3x)dx = 2 − ∫ 2 dx 2 2 x Ln(3x) x xLn x dx = − +k (3 ) ∫ 2 4. 31) ∫ xLn(3x) dx ⇒ Selección : u = Ln(3x) ⇒ du =. 32)∫ Sen2 xdx ⇒ ∫ senx senxdx ⇒ Selección : u = senx ⇒ du = cos xdx; v = ∫ senxdx ⇒ v = − cos x + k ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu ∫ ∫. ∫ sen xdx = −senx cos x + ∫ cos xdx ⇒ ∫ sen xdx = −senx cos x + ∫ (1 − sen x)dx ∫ sen xdx = −senx cos x + ∫ dx − ∫ sen xdx ⇒ 2∫ sen xdx = −senx cos x + x + k 2. 2. 2. 2. 2. ∫ sen xdx = 2. 2. −senx cos x + x +k 2. 33)∫ Arcsenxdx ⇒ Selección : u = Arcsenx ⇒ du =. ∫ Arcsenxdx = xArcsenx − ∫ I1 = ∫. 2. xdx 1 − x2. 1 − x2. ; dv = dx ⇒ v = x + k. xdx 1 − x2. ⇒ Cambio de Variable : z = 1 − x2 ⇒. ∫ Arcsenxdx = xArcsenx +. dx. −1 −dz = xdx ⇒ I1 = −21 ∫ z 2 dz ⇒ I1 = − 1 − x2 + k 2. 1 − x2 + k. 34)∫ e x cos(2 x)dx ⇒ Selección :u = cos(2 x) ⇒ du = −2sen(2 x)dx; v = ∫ e x dx ⇒ v = e x + k. ∫e. x. cos(2 x)dx = e x cos(2 x) + 2∫ e x sen(2 x)dx. I1 = ∫ e x sen(2 x)dx ⇒ Selección :u = sen(2 x) ⇒ du = 2cos(2 x)dx; v = ∫ e x dx ⇒ v = e x + k. ∫e. x. cos(2 x)dx = e x cos(2 x) + 2(e x sen(2 x) − 2∫ e x cos(2 x)dx). 29 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(10) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. ∫ e cos(2x)dx = e cos(2x) + 2(e sen(2x)) − 4∫ e 5∫ e cos(2x)dx = e cos(2x) + 2(e sen(2x)) + k x. x. x. x. x. x. cos(2x)dx. x. ex cos(2x) + 2(ex sen(2x)) +k 5. x ∫ e cos(2x)dx =. 35)∫ x2 sen xdx ⇒ Selección :u = x2 ⇒ du = 2xdx; dv = sen x dx ⇒ ∫ dv = ∫ sen x dx ⇒ v =− cos x + k. ∫ x senxdx =− x cos x + 2∫ x cos x dx (I ) I = ∫ x cos xdx ⇒ Selección :u = x ⇒ du = dx; dv = cos x dx ⇒ ∫ dv = ∫ cos xdx ⇒ v = senx + k ∫ x Cosxdx =− x cos x + 2 ⎡⎣ x senx − ∫ senx dx⎤⎦ ⇒ ∫ x senxdx = (2 − x )Cosx + 2x Senx + k 2. 2. 1. 1. 2. 2. 2. 2. xex dx ⇒ Selección : u = xex ⇒ du = (ex + xex )dx ⇒ du = ex (1+ x)dx 2 ( x +1) dx −1 v=∫ ⇒ Cambio de Variable : z = x +1 ⇒ dz = dx ⇒ v = ∫ z −1dz ⇒ v = +k 2 ( x +1) x +1. 36)∫. xex dx −xex ex (1+ x)dx xex dx − xex xex dx −xex x x = + ⇒ = + e dx ⇒ ∫ (x +1)2 x +1 ∫ x +1 ∫ (x +1)2 x +1 ∫ ∫ (x +1)2 = x +1 + e + k −x. 37)∫ x3e 3 dx ⇒ Seleccion :u = x3 ⇒ du = 3x2 dx; Cambio de Variable : z = −x. −x. ∫ dv = ∫ e. −x 3. −x. dx ⇒ v = ∫ e 3 dx. −x −x ⇒− 3dz = dx ⇒ v =− 3 ∫ ez dz ⇒ v =− 3e 3 + k 3 −x. 3 3 2 ∫ x e 3 dx =− 3x e 3 + 9 ∫ x e 3 dx −x. −x. −x. I1 = ∫ x2e 3 dx ⇒ Seleccion :u = x2 ⇒ du = 2x dx; v = ∫ e 3 dx ⇒ v =− 3e 3 + k −x 3. −x 3. −x 3. −x 3. −x 3. −x 3. ∫ x e dx =− 3x e + 9(−3x e + 6∫ xe dx) ⇒ ∫ x e dx = − 3x e I = ∫ xe dx ⇒ Seleccion :u = x ⇒ du = dx; v = ∫ e dx ⇒ v =− 3e ∫ x e dx =− 3x e − 27x e + 54(−3xe − 3∫ e dx) ∫ x e dx =− 3x e − 27x e −162xe −162(−3e ) + k ∫ x e dx =− 3x e − 27x e −162xe + 486e + k 3. 3. 2. 3. −x 3. 3. −x 3. 2. 3. −x 3. 3. −x 3. 2. −x 3. −x 3. 3. −x 3. 3. −x 3. 2. −x 3. −x 3. 3. −x 3. 3. −x 3. 2. −x 3. −x 3. 2. 2. −x. −x 3. +k. −x 3. −x 3. −x 3. 38) ∫ ( Ln2 x )dx ⇒CambiodeVariable : u = (Ln2 x) ⇒ du =. ∫ ( Ln x)dx = xLn x − 2∫. −x. − 27 x2e 3 + 54∫ xe 3 dx). 2Ln( x)dx ; dv = dx ⇒ v = x + k x. xLn( x)dx ⇒ ∫ ( Ln2 x )dx = xLn2 x − 2∫ Ln( x)dx x. 30 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(11) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. I1 = ∫ Ln( x)dx ⇒ Selección : u = Ln( x) ⇒ du = ⎡. ∫ ( Ln x )dx = xLn x − 2 ⎢⎣ xLn( x) − ∫ 2. 2. dx ; dv = dx ⇒ v = x + k x. xdx ⎤ ⇒ ∫ ( Ln 2 x )dx = xLn 2 x − 2 [ xLn( x) − x ] + k ⎥ x ⎦. 39) ∫ ( 3x Cos ( x) ) dx ⇒ Selección : u = cos( x) ⇒ du = − sen( x) dx; dv = 3x dx ⇒ v =. ∫ (3. x. cos( x) ) dx =. 3x cos( x) 1 + 3x sen( x)dx ln( x) ln ( 3) ∫. I1 = ∫ 3x sen( x) dx ⇒ Selección : u = sen( x) ⇒ du = cos( x)dx ⇒ dv = 3x dx ⇒ v =. ∫ (3. x. cos( x) ) dx =. 3x +k ln(3). 3x +k ln( x). ⎤ 3x cos( x) 1 ⎡ 3x sen( x) 1 + − 3x cos( x) ) dx ⎥ ( ⎢ ∫ ln( x) ln ( 3) ⎣ ln( x) ln ( 3) ⎦. 3x cos( x) 3x sen( x) 1 x ∫ ( 3 .cos ( x ) ) dx = ln( x) + ln 2 (3) − ln 2 (3) ∫ ( 3 cos( x) ) dx x. x ∫ ( 3 cos( x) ) dx +. sen( x) 1 3x ⎛ x = x dx 3 cos( ) ( ) ⎜⎜ cos( x) + 2 ∫ ln (3) ln ( 3) ⎝ ln ( 3). ⎛ sen( x) 1 ⎞ 3x ⎛ x + = x dx 1 3 cos( ) ( ) ⎜ ⎟∫ ⎜ cos( x) + 2 ln( x) ⎝ ln( x) ⎝ ln (3) ⎠ 3x sen( x) + ln(3) cos( x) x = +k x dx 3 cos( ) ) ∫( 1 + ln 2 (3). ⎞ ⎟⎟ + k ⎠. ⎞ ⎟+k ⎠. ⎛ x cos( x) ⎞ cos( x) 1 ⇒v= − +k 40) ∫ ⎜ ⎟ dx ⇒ Selección : u = x ⇒ du = dx; dv = 2 2 sen ( x) sen( x) ⎝ sen ( x) ⎠ ⎛ x cos( x) ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x cos( x) ⎞ x x ∫ ⎜⎝ sen2 ( x) ⎟⎠ dx = − sen( x) + ∫ ⎜⎝ sen( x) ⎟⎠ dx ⇒ ∫ ⎜⎝ sen2 ( x) ⎟⎠ dx = − sen( x) + Ln tg ( 2x ) + k 41) ∫. Ln( x)dx dx dx ⇒ Selección : u = Ln( x) ⇒ du = ; dv = ⇒v=2 x+k x x x. Ln( x)dx xdx Ln( x)dx dx = 2 xLn( x) − 2 ∫ ⇒∫ = 2 xLn( x) − 2 ∫ x x x x Ln( x )dx Ln( x)dx ∫ x = 2 xLn( x) − 2(2 x ) + k ⇒ ∫ x = 2 x ( Ln( x) − 2) + k. ∫. 31 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
(12) [. UNIVERSIDAD POLITÉCTICA TERRITORIAL JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI INGENIERÍA. 42)∫ eax sen (bx) dx ⇒ Selección :u = sen(bx) ⇒ du = b cos (bx) dx; v = ∫ eax dx ⇒ v = 1a eax + k ax ∫ e sen (bx) dx =. eax sen(bx) b ax − ∫ e cos (bx) dx a a. I1 = ∫ eax cos(bx) dx ⇒ Selección : u = cos(bx) ⇒ du = − bsen(bx) dx; v = ∫ eax dx ⇒ v = 1a eax + k ax ∫ e sen (bx) dx =. ⎤ eax sen(bx) b ⎡ eax cos(bx) b ax − ⎢ + ∫ e sen (bx) dx ⎥ a a⎣ a a ⎦. eax sen(bx) b eax cos(bx) b2 − − ( 2 )∫ eax sen (bx) dx a a a a 2 ax b e sen(bx) beax cos(bx) ax ax e sen bx dx + e sen bx dx = − +k ( ) ( ) ( ) ∫ a2 ∫ a a2 eax sen(bx) beax cos(bx) − 2 eax [ asen(bx) − b cos(bx)] ax ax a a ⇒ ∫ e sen (bx) dx = +k 2 ∫ e sen (bx) dx = a 2 + b2 1 + ba2 ax ∫ e sen (bx) dx =. Como observaron las integrales que comúnmente se resuelven por el método de integración por partes, son las siguientes:. 1) ∫ x n e ax dx ⇒ Selección recomenda : u = x n ⇒. dv = ∫ e ax dx. 2) ∫ x n sen( ax ) dx ⇒ Selección recomenda : u = x n ⇒. dv = ∫ sen( ax ) dx. 3) ∫ x n cos( ax ) dx ⇒ Selección recomenda : u = x n ⇒. dv = ∫ cos( ax ) dx. 4) ∫ x n Arcsen( ax ) dx ⇒ Selección recomenda : u = Arcsen( ax ) ⇒ 5) ∫ x n Arctg ( ax) dx ⇒ Selección recomenda : u = Arctg ( ax ) ⇒ 6) ∫ e ax sen(bx ) dx ⇒ Selección recomenda : u = sen(bx ) x n ⇒ 7) ∫ e ax cos(bx ) dx ⇒ Selección recomenda : u = cos(bx ) ⇒ 8) ∫ x n Ln( ax ) dx ⇒ Selección recomenda : u = Ln( ax ) ⇒. dv = ∫ x n dx dv = ∫ x n dx. dv = ∫ e ax dx dv = ∫ e ax dx. dv = ∫ x n dx. 32 http://damasorojas.jimdo.com. Dr. DÁMASO ROJAS.
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