Simulador electromagnético basado en FDTD

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN. TRABAJO FIN DE MASTER Máster Universitario en Tecnologías y Sistemas de Comunicación. AÑO 2011/2012. SIMULADOR ELECTROMAGNETICO BASADO EN FDTD. AUTOR: José Manuel Inclán Alonso TUTOR: Manuel Sierra Pérez.

(2) TRABAJO FIN DE MÁSTER. TÍTULO: “Simulador electromagnético basado en FDTD”. AUTOR:. José Manuel Inclán Alonso. TUTOR:. Manuel Sierra Pérez. UNIVERSIDAD:. Universidad Politécnica de Madrid. DEPARTAMENTO:. Señales, Sistemas y Radiocomunicaciones. GRUPO:. Grupo de Radiación. MIEMBROS DEL TRIBUNAL: PRESIDENTE:. Pr. Dr. Manuel Sierra Pérez. VOCAL:. Pr. Dr. Juan Enrique Page de la Vega. SECRETARIO:. Pr. Dr. Belén Galocha Iragüen. SUPLENTE:. Pr. Dr. Mariano Barba Gea. FECHA DE LECTURA: CALIFICACIÓN:. 2.

(3) 1 Indice 1.. Introducción .................................................................................................................. 6. 2.. Conceptos del FDTD ...................................................................................................... 7 2.1.. Algoritmo de Yee ................................................................................................... 7. 2.2.. Dispersión y estabilidad ........................................................................................ 8. 2.3.. Forma de mallar .................................................................................................... 9. 2.4.. Condiciones open space ...................................................................................... 12. 2.4.1.. Condiciones ABC.......................................................................................... 13. 2.4.2.. PML (Perfect Matching Layer) ..................................................................... 14. 2.5.. 2.5.1.. Fuentes ........................................................................................................ 19. 2.5.2.. Puertos discretos ......................................................................................... 20. 2.6.. 4.. Puertos en guía.................................................................................................... 22. 2.6.1.. Onda plana .................................................................................................. 22. 2.6.2.. Bootstraping ................................................................................................ 23. 2.6.3.. Scattered Field – Total Field ........................................................................ 24. 2.7. 3.. Inserción señal..................................................................................................... 18. Diagrama de radiación ........................................................................................ 25. Ejemplo de simulación de un dipolo λ/2 ..................................................................... 28 3.1.. Modelo del dipolo ............................................................................................... 28. 3.2.. Campo eléctrico total en el tiempo ..................................................................... 28. 3.3.. Campo magnético ............................................................................................... 30. 3.4.. Campo eléctrico .................................................................................................. 32. 3.5.. Señal incidente e impedancia vista ..................................................................... 34. 3.6.. Resistencia en función del mallado ..................................................................... 36. 3.7.. Comparación con software comercial................................................................. 38. 3.8.. Resonancia en función de la señal de entrada.................................................... 40. 3.9.. Campo lejano....................................................................................................... 40. Ejemplo antena de ranuras ......................................................................................... 42 4.1.. Alimentación de la guía ....................................................................................... 42. 4.1.1.. Bootstraping ................................................................................................ 42. 4.1.2.. Scattered Field – Total Field ........................................................................ 44. 4.1.3.. Método simplificado de alimentación empleado ....................................... 45. 4.2.. Señales temporales obtenidas ............................................................................ 46. 4.3.. Parámetros S ....................................................................................................... 49 3.

(4) 5. 6. 4.4.. Señales cortes 2D ................................................................................................ 52. 4.5.. Campo radiado por la ranura .............................................................................. 55. 4.6.. Guía con 4 ranuras .............................................................................................. 58. 4.7.. Señales en los puertos......................................................................................... 58. 4.8.. Parámetros S guía ranurada ................................................................................ 59. 4.9.. Campos en 2D en la guía ranurada ..................................................................... 60. 4.10.. Diagramas radiación guía ranurada .................................................................... 61. 4.11.. Array con cuatro guías......................................................................................... 63. 4.12.. Cortes campos de cuatro guías ranuradas .......................................................... 64. 4.13.. Señales en los puertos para array de cuatro guías ............................................. 64. 4.14.. Parámetros S array de cuatro guías .................................................................... 65. 4.15.. Diagramas de radiación array 4x4 ....................................................................... 67. Acoplador en guía ....................................................................................................... 70 5.1. Simulación ........................................................................................................... 70. 5.2. Señales temporales ............................................................................................. 71. 5.3. Parámetros S ....................................................................................................... 72. 5.4. Cortes 2D de señales ........................................................................................... 73. Esquema de simulación ............................................................................................... 75 6.1. Explicación de cada clase .................................................................................... 77. 6.1.1. FDTD.java..................................................................................................... 77. 6.1.2. PML.java ...................................................................................................... 77. 6.1.3. Complex.java ............................................................................................... 77. 6.1.4. Constants.java ............................................................................................. 77. 6.1.5. FFT.java........................................................................................................ 77. 6.1.6. NFTFF.java ................................................................................................... 78. 6.1.7. NFTFF3.java ................................................................................................. 78. 6.1.8. 2DPlot.java .................................................................................................. 78. 6.1.9. Record1D.java ............................................................................................. 78. 6.1.10. Mesh.java .................................................................................................... 78. 6.1.11. SParameters.java ......................................................................................... 79. 6.1.12. Source.java .................................................................................................. 79. 6.1.13. Launcer.java ................................................................................................ 79. 6.1.14. LauncerIni.java ............................................................................................ 79. 6.1.15. Optimizer.java ............................................................................................. 79 4.

(5) 6.2. Líneas de código por clases ................................................................................. 79. 7. Bibliografía .................................................................................................................. 81. 5.. Indice de figuras .......................................................................................................... 82. 6.. Indice de tablas ........................................................................................................... 85. 5.

(6) 1. Introducción El presenta trabajo fin de master tiene como objetivo el desarrollo de un simulador FDTD. El método FDTD fue propuesto por Yee y se basa en resolver las ecuaciones de Maxwell aproximando sus derivadas. El primer problema que presento el método es como establecer unas condiciones de contorno abiertas. En el TFM se han estudiado tanto condiciones de absorción analíticas (más sencillas) así como el PML de Berenguer. También es un método bastante problemático en la inserción de fuente y en la extracción de señales reflejadas, habiendo múltiples técnicas y maneras de resolver estos problemas relacionados con la inserción de fuente. En el trabajo TFM se comentan varias técnicas usadas en software comercial mostrando ejemplos propios y finalmente se establece una forma de inserción propia. Por último otro punto importante es el relacionado con la obtención del diagrama de radiación. En el caso del FDTD estaremos trabajando en el dominio temporal por lo que las asunciones que se hacen en el caso de estar en un régimen monocromático en frecuencia no son aplicables. Por ello hay que estudiar algoritmos eficientes que permitan obtener el campo lejano a partir del campo cercano en el dominio temporal. En un primer apartado se hará una introducción teórica explicando los conceptos sin entrar en mucho detalle en las ecuaciones, ya que para eso ya están las referencias, y poniendo siempre ejemplos de simulaciones sencillas donde se comprueben los fundamentos. A continuación se utilizará el método para hacer dos simulaciones de antenas, un dipolo y un slotted waveguide array. Las simulaciones van mejorando conforme se avanza en el TFM ya que se van corrigiendo errores y se van añadiendo nuevos elementos que mejoran el método. Finalmente se describirá el diagrama de clases utilizados y se expondrá la necesidad de utilizar lenguajes de programación compilados debido a la carga computacional.. 6.

(7) 2. Conceptos del FDTD 2.1. Algoritmo de Yee El algoritmo inicial de Yee se puede encontrar en (1). El algoritmo calcula el campo electromagnético en una serie de puntos y tiempos aproximando las derivadas espaciales y temporales en las leyes de Faraday y Ampère generalizas que se muestran a continuación. ⃗. ⃗ ⃗. ( ⃗⃗. ⃗. {. (. ⃗). ⃗). Estas dos ecuaciones dan a su vez lugar a seis ecuaciones, una por cada componente. El quid del algoritmo se basa en la elección de la distribución espacial donde se calculan los campos como se muestra en la Figura 1 así como el entrelazado temporal entre el campo magnético y eléctrico.. Figura 1 Algoritmo de Yee A partir de la distribución de campo de la Figura 1 se pueden calcular las derivadas como: (. ). (. (. ). (. ). ). Desarrollando las ecuaciones de Maxwell al final se comprueba como para calcular el campo eléctrico en cada punto solo es necesario el campo en ese punto en instantes anteriores así como las derivadas del campo magnético de las otras dos componentes. Otra cosa interesante que se muestra en las ecuaciones anteriores y que es fácilmente demostrable. 7.

(8) mediante el desarrollo en serie de Taylor, es que el error cometido es del orden del cuadrado de la distancia entre campos.. 2.2.. Dispersión y estabilidad. Uno de los primeros problemas que se detectó en el algoritmo es la estabilidad numérica. El algoritmo es estable o no en función de la discretización temporal que escojamos, todo ello está probado en (2). La clave fundamental es que el periodo de muestreo debe ser igual o inferior en teoría a la relación que se expresa abajo, en la práctica es conveniente que sea inferior debido al error numérico.. √ Otro punto importante tratado en (2) es el tema de la dispersión. Uno de los problemas del FDTD es el hecho de que hay una diferencia entre la velocidad de fase real y la calculada. Esta diferencia está ligada a la relación entre la distancia espacial entre campos muestreados con la longitud de onda de la señal que hacemos incidir y al utilizado. Además esta velocidad de fase cambia ligeramente según la dirección de propagación de la onda. Es lo que se ha denominado anisotropía numérica, ya que dependiendo de la dirección de la onda incidente la malla se comportará de distinta forma. Un ejemplo sacado de (2) se muestra a continuación donde se ve la variación de la velocidad de fase en función de la incidencia y del mallado utilizado.. Figura 2 Dispersión en función de incidencia y mallado Existe un valor exacto de denominado magic step para el cual la velocidad de fase real y la calculada son iguales. Sin embargo este valor solo dispersión nula cuando trabajamos en una 8.

(9) sola dimensión, ya que en 2D y 3D, el magic step solo hace que no tengamos dispersión numérica para propagación en diagonal (pero aun así es el valor que da la mínima dispersión). Taflove y otros autores recomiendan como solución de compromiso utilizar λ0/20 como mallado para evitar problemas de precisión asociados a la dispersión numérica. En la Figura 3 se muestra un pequeño ejemplo de simulación en 1D donde se hace incidir una señal sobre un conductor perfecto, por lo que vemos la señal incidente original y la reflejada un tiempo después. La línea azul utilizada el magic step y no tenemos nada de dispersión. Si cambiamos el periodo de muestreo temporal a la mitad pero manteniendo un mallado alto, vemos como se aprecia ligeramente que la señal está un poco más retardada (señal roja) pero manteniendo un error bajo. Si ahora reducimos el mallado (línea negra) vemos que los errores de dispersión aumentan más, estos errores no solo hacen que la señal se retarde si no que al propagarse cada componente de frecuencia a distinta velocidad también modifica la forma de onda, como se aprecia en la segunda réplica de la señal en negro (dura más en tiempo). 1. z=0/20  t= z/c. 0.8. z=0/20  t=0.5· z/c z=0/5 t=0.5· z/c. 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1. 0. 5. 10. 15. 20. 25. ns. Figura 3 Dispersión causada por mallado y discretización temporal Debido a los problemas de anisotropía causados por las diferentes velocidades de fase según la dirección de propagación se propusieron celdas hexagonales y dodecaedros en (3). Sin embargo, a pesar de sus mejores características en cuanto a dispersión se refiere, tienen el inconveniente de que es más difícil establecer un mallado real con ellas y de que la carga computacional resultante es mayor.. 2.3.. Forma de mallar. La forma de mallar o mejor dicho la forma de definir cuerpos en el FDTD no es tan sencilla como pueda parecer en un principio. Dados que fundamentalmente trabajaremos con materiales con permeabilidad igual a uno, la información del material residirá en las. 9.

(10) constantes de actualización del campo eléctrico así como la conductividad en caso de tratarse de materiales metálicos. Muchos autores proponen celdas como las de la Figura 4, estas celdas representan correctamente superficies metálicas, sin embargo tienen el problema de que no se comportan igual según por donde incida la onda. En la figura cada color representa una componente del campo eléctrico con el mismo material.. Figura 4 Forma de mallar I Otra forma de mallar es la de la Figura 5, en este caso al ser la estructura completamente simétrica, la celda se comportará igual, independientemente de por dónde incida la onda.. Figura 5 Forma de mallar II Otro dato interesante consiste en como mallar un metal. En la superficie de un PEC el campo eléctrico tangencial debe ser nulo. Por ello a la hora de mallar una superficie metálica hay que hacerlo de tal forma que el último campo no nulo sea normal a la superficie, dicho de otra forma los primeros campos que deben estar asignados a PEC deben ser los tangenciales como se muestra en la Figura 6.. 10.

(11) Figura 6 Mallado de superficie PEC En la Figura 7 se muestran los campos para un modo TE10 en el caso de que las paredes PEC de la guía se han mallado mal, los primeros campos asignados al PEC son normales en vez de tangenciales. El modo TE10 solo debería tener componente en Z, se comprueba como existe componente en X e en Y debido al error en el mallado. Además también se comprueba como la distribución del modo principal (Ez) no es la ideal ya que el valor de campo es más alto en los extremos que en el centro. E Field At Time Step = 1000. E Field At Time Step = 1000. 0.06. 2. 2. 0.02. 0.04. 4. 4. 0.01 0. X. 0.02 6 8. 8 10 12 5. 10. 15 Y. 20. 0. X. 6. -0.02. -0.01. 10. -0.02. 12. -0.04 -0.06 5. 25. 10. 15 Y. Ex. 20. 25. Ey. E Field At Time Step = 1000 2. 0.2. 4 0.15. X. 6 0.1. 8 10. 0.05. 12 5. 10. 15 Y. 20. 25. 0. Ez. Figura 7 Campos TE10 mallando mal superficie PEC. En la Figura 8 se muestra un modo TE10 de una guía rectangular en las que sus paredes han sido malladas correctamente. En este caso los valores de Ex y Ey son tres ordenes de magnitud inferiores al valor el capo principal. En este caso el modo TE10 (Ez) es mucho más uniforme y no existen las diferencias antes citadas.. 11.

(12) -3. E Field At Time Step = 1000 2. 6. 0. 6. 8. -1. X. 4. 2 1. 8 10. 10. 0. -2 5. 10. 15 Y. 20. 25. 5. 30. 10. Ex. 15 Y. 20. 25. 30. Ey. E Field At Time Step = 1000 0 2 -0.5. 4. X. X. x 10. 2. 1. 4. -3. E Field At Time Step = 1000. x 10 2. -1. 6 8. -1.5. 10 -2 5. 10. 15 Y. 20. 25. 30. Ez. Figura 8 Campos TE10 mallando bien superficie PEC. 2.4.. Condiciones open space. Uno de los máximos retos que se planteó después de que Yee diera a conocer su algoritmo fue como establecer condiciones de contorno abiertas. Dado que para actualizar el valor de una celda necesitamos campo antes y después, el último punto de la simulación no tendrá campo después, por lo que no se puede actualizar y permanece con un valor fijo, lo que representa un plano eléctrico haciendo que cualquier onda que incida salga rebotada. Lo deseable sería disponer de mecanismos para que una onda se atenúe o se extinga dando la impresión de que se propaga hacia el espacio libre o que es absorbida por una supuesta carga que representa al puerto en guía. Para ello en primer lugar surgieron las condiciones analíticas ABC. Estas condiciones son muy sencillas de implementar ya que se basan en una corrección del campo en las fronteras. El problema que tienen es que son capaces de absorber solo un determinado tipo de ondas (polarización e incidencia determinadas), degradándose mucho el comportamiento fuera de lo prestablecido. Más tarde surgió el PML de Berenger que a diferencia de las condiciones analíticas es independiente de la polarización de la onda y es capaz de absorber ondas con cualquier incidencia (a excepción de ondas con incidencia paralelas). El PML consiste en añadir a la simulación unas celdas más en el extremo de tal forma que la señal se atenúe al incidir en ellas sin que se refleje nada de la señal en la interfase. La pega es que es mucho más complejo de implementar y tiene una carga computacional enorme, dándose el caso de que se tarda más en actualizar las regiones PML que en hacer la propia simulación dentro de la región del FDTD.. 12.

(13) 2.4.1.. Condiciones ABC. El operador analítico o ABC (Absorbing Boundary Conditions) más utilizado es el que desarrollo Mur en (4). Básicamente se fuerza la ecuación escalar de onda en los extremos de la simulación.. Las derivadas se aproximan de una forma similar a lo que se haría con el FDTD, solo que en este caso las expresiones son más largas ya que tenemos derivadas dobles y derivadas en espacio y tiempo. El problema viene cuando discretizamos esa ecuación, la ecuación de onda como tal está en coordenadas esféricas, y nosotros para aproximar las derivadas en una superficie la transformamos a coordenadas cartesianas y suponemos intrínsecamente una incidencia quasinormal. Por ello estos operadores analíticos funcionan relativamente bien cuando la onda incide perpendicularmente y con una polarización determinada, mientras que su comportamiento se degrada bastante cuando estos supuestos no se cumplen. En la Figura 9 se muestra una pequeña simulación en 1D de una onda que incide en una frontera ABC de Mur. Vemos como a pesar de que tenemos una incidencia perfectamente ortogonal y con la polarización perfecta, tenemos algo de señal rebotada, aunque de un nivel mucho menor. 1. -4. 4. x 10. 0.8 3. 0.6 0.4. 2. 0.2. 1. 0 0. -0.2 -1. -0.4 -0.6. -2. -0.8. -3. -1. 0. 20. 40. 60. 80. 100 z. (a). 120. 140. 160. 180. 200. -4 0. 20. 40. 60. 80. 100 z. 120. 140. 160. 180. 200. (b). Figura 9 Señal incidente (a) y reflejada de una frontera ABC de Mur. Por lo expuesto anteriormente estos operadores no se usan mucho para absorber ondas, aun cuando son mucho más simples y con mucha menos carga computacional que el PML ya que solo hay que hacer una corrección en la frontera. Sí que son utilizados en puertos en guía ya que en ese caso sí que podemos saber las características de la onda incidente y nos permite situar un puerto en mitad del espacio de simulación sin necesidad de utilizar PML en medio.. 13.

(14) Para mejorar estos operadores existen multitud de publicaciones que proponen cosas nuevas, en la mayoría de los casos se basan en las elecciones de funciones W que resuelvan la ecuación de onda con una serie de suposiciones determinadas. Entre otras cabe destacar las basadas en aproximaciones de Taylor, Trefethen- Halpern, extrapolación de Liao y el operador de Ramahi.. 2.4.2.. PML (Perfect Matching Layer). El PML fue originalmente propuesto por Berenguer en (5). A partir del artículo original se han propuesto múltiples alternativas que en muchos casos no son más que revisiones del artículo original pero expresando el splitted-field de Berenguer con otra formulación y demostrando que al final se llegan a las mismas soluciones en el campo en el dominio temporal a las que llegó Berenguer. También se ha ido resolviendo una serie de problemas del PML original como la frecuencia de corte inferior, o el efecto de la discretización del espacio continuo que produce reflexiones. A la hora de implementar el PML resulta bastante conveniente ir siguiendo los desarrollos que se han ido haciendo sobre el PML a lo largo del tiempo para saber cómo se han ido resolviendo los problemas. De esta forma se podrá optimizar lo máximo posible las fronteras PML y será más fácil detectar problemas que aún persisten en el PML. La idea original de Berenguer es situar un material entre el lattice y la caja PEC que absorba o atenúe las señales incidentes. El problema es que para que las ondas incidentes se atenúen hay que dotar al material de una conductividad, pero si suponemos espacio libre en el interior del lattice una onda que se propagara por él e incidiera sobre un conductor real se reflejaría en su mayoría. Por ello además de una conductividad eléctrica hay que añadir una magnética. La idea innovadora que tuvo Berenguer fue dividir una componente del campo en dos en el caso de un modo TM en 2D, por lo que tendríamos Ex, Ey, Hzx y Hzy . Para poder hacer esto hay que tener en cuenta que el material dentro del PML tiene una conductividad σx que valdrá para Ey y una conductividad magnética σx* que multiplicará a Hzx, y viceversa con σy y σy*. Las ecuaciones 3ª y 4ª de Maxwell (Faraday y Ampere) es su forma dual para el caso de un modo TM en 2D dan lugar a las siguientes ecuaciones (igualando componentes): (. ). (. ). 14.

(15) En (5) se desarrollan estas ecuaciones para una interfase entre vacío y un región PML. Finalmente se llegan a unas expresiones para el campo transmitido e incidente a la región PML en función del coeficiente de reflexión, se despeja este coeficiente forzando la continuidad de campo en la interfase, se iguala a cero y con ello se sacan las siguientes conclusiones: La conductividad eléctrica y magnética en la dirección paralela a la interfase deben ser iguales a cero en el caso del vacío o un medio dieléctrico en el interior del lattice (debido a la continuidad del campo eléctrico). La relación entre conductividad eléctrica y magnética debe ser igual a la impedancia del medio del interior del lattice para una reflexión nula. El PML absorberá ondas independientemente de su polarización, atenuando por igual todas las componentes. La atenuación que sufre la onda depende del ángulo de incidencia, siendo máxima para incidencia normal y nula para incidencia paralela. El PML de Berenguer recibe el nombre de splitted-field en la bibliografía debido a la división de campo ficticia que hace en sus formulaciones. En el caso de 2D TM tenemos 4 componentes (1 más), pero en el caso general 3D (6) tenemos 12 componentes en lugar de 6 con sus consiguientes actualizaciones temporales por lo que no resulta muy eficiente computacionalmente. En Figura 10 se puede ver el modelo de las fronteras PML con las conductividades en cada región, dos componentes no nulas en las aristas y las tres componentes no nulas en los vértices.. Figura 10: PML Bérenger en 3D (6). 15.

(16) Uno de los primeros problemas que se detectaron ya en (5) y (6), y que se trata más detenidamente en (7) es el efecto de la discretización. El PML funciona correctamente con las ecuaciones de Maxwell cuando tenemos un espacio continuo, pero en el lattice del FDTD tenemos el campo eléctrico muestreado en puntos distintos según la componente y en instantes distintos del campo magnético, por lo que se producirán reflexiones parciales en la frontera. Para mitigar este efecto Bérenger y otros autores proponen incrementar la conductividad gradualmente en el PML, empezando con un valor bajo y terminando en un valor máximo. Hay que buscar un compromiso entre una conductividad máxima elevada que haría que las ondas se atenuaran más en el PML pero hubiera más reflexión en la interfase inicial y una conductividad máxima baja que haría que no hubiera mucha reflexión en la interfase pero que causaría que la onda no se atenuase mucho y volviera rebotada de la frontera PEC final. Un ejemplo de función de degradado se muestra a continuación: ( ) ( ). ( ⁄ ) (. ) (. ). Otro de los efectos comentados en (2) y (7), es el efecto de la frecuencia de corte inferior. En las formulaciones que se utilizan en los artículos se ve que las expresiones tienen un polo a la frecuencia cero, por lo que si incide una onda a frecuencias bajas se reflejará casi en su totalidad. Este problema se resolverá con el Coarse-PML que se explicará más tarde. El PML propuesto por Bérenguer es un medio irreal y un tanto extraño, ya que dividir las componentes del campo en dos no resulta muy útil. Por ello varios autores intentaron establecer una formulación más parecida a las ecuaciones de Maxwell originales, entre ellos destaca el Stretched-coordinate formulation (8). Con este método se propone un mapping como se muestra a continuación. ̃. ( ). ∫. Con ello se define el operador nabla equivalente ̃. ̂. ̂. ̂. Y podemos reescribir las ecuaciones de Maxwell para el medio propuesto por Berenger en su forma habitual, como por ejemplo: ̆. ̃. ̆. De esta forma en el nuevo espacio transformado tenemos las mismas ecuaciones de Maxwell sin necesidad de dividir cada componente del campo. El problema está en que cuando trasladamos estas ecuaciones al dominio temporal aparecen convoluciones de los sx con campos. 16.

(17) El stretched coordinates y el splitted-field son ambos medios basados en modelos matemáticos que no se corresponden con algo real. Si existiera un material parecido sería un material anisótropo, y más concretamente un material uniaxial, es decir, un material que funcionara de igual manera cuando se gira sobre su normal (9). Por ello se definen tensores. ̿. [. ][. ][. ]. Sw tendrá un valor distinto de la unidad según las conductividades descritas en las fronteras PML, es decir en las esquinas tendremos las tres sw distintas de uno, mientras que en las aristas tendremos solo dos y en el resto de las regiones PML solo una distinta de uno. A partir de los tensores basta con aplicar las ecuaciones de Maxwell (Faraday y Ámpere) con el mapping propuesto anteriormente. ̿̆ ̿̆. ̆ ̆. Las variables sw deben ser constantes en la dirección transversal y además deben cumplir otra relación entre σ y ε debido a que con el maping que se ha establecido la ley de Gauss no es equivalente a la original lo que lleva a que aparezcan cargas en las fronteras PML si ε no es igual en la frontera. Por ello finalmente la expresión usada para las sw es:. Donde la kappa y la sigma varían en la dirección longitudinal del PML. Si calculamos la expresión de la reflexión en la interfase en función de coeficientes sw y de la frecuencia vemos que existe una frecuencia de corte inferior a partir de la cual el PML no absorbe las ondas, este problema se agrava cuando hay superficies metálicas cercanas o cuando la incidencia de la onda no es normal. Por ello surge el CPML, la idea es modificar los coeficientes sw añadiendo un término real al denominador.. Con ello lo que se consigue es quitar el polo de baja frecuencia de tal forma que a baja frecuencia la reflexión estará controlada por ax y a frecuencias superiores tendrá el funcionamiento normal. En (10) se propone una forma eficiente de calcular las convoluciones necesarias en el CPML para un medio arbitrario en general.. 17.

(18) A modo de resumen se presentan los parámetros fundamentales del PML en la Tabla 1.. ε m σmax Κmax amax ma. Permitividad de las regiones PML, en caso de que una línea de transmisión penetre en la frontera debe ser igual a la épsilon efectiva del modo que se propague por la línea de transmisión. Orden del degradado para σ y κ (Normalmente 3). Conductividad máxima al final de la frontera PML Parte real de los sx, >=1 para absorber los modos evanescentes y los de baja frecuencia Parte real del denominados de los sx >=0, igual para kappa Parámetro de degradado de a Tabla 1 Parámetros del PML. En la Figura 11 se presenta una comparación de dos simulaciones hechas para hallar la señal que vuelve al incidir una onda plana sobre un objeto. Aparte de que en (b) se aplica una técnica conocida como Scattered Field – Total Field que se explicará más adelante, se ve claramente, sobre todo en la componente Ex, como si no se usa PML la señal empieza a rebotar como si fuera una cámara reverberante y lo que tenemos en un conjunto de reflexiones que impiden ver el comportamiento que tendría de verdad el objeto. Ex en  t =318. Ex en  t =300. Ey en  t =318. Ey en  t =300. Hz en  t =318. Hz en  t =300. (a). (b) Figura 11 Scattering sin PML(a) y con PML(b). 2.5.. Inserción señal. Alimentar la estructura con FDTD puede parecer sencillo en un principio, sin embargo, surgen múltiples problemas. El primero de ellos es que tipo de variación o señal temporal utilizar y cómo afectará a los resultados una u otra señal. El segundo problema es cómo alimentar de tal forma que se sea capaz de distinguir entre señal original y señal reflejada. 18.

(19) Así mismo existen básicamente dos maneras de alimentar la simulación, la primera consiste en un puerto discreto, es decir, alimentaremos la simulación en un punto o a lo largo de una línea y la segunda es los llamados puertos en guía donde alimentaremos la simulación en una superficie.. 2.5.1.. Fuentes. Normalmente la señal utilizada en las simulaciones FDTD es una campana de Gauss pulsada o sin pulsar, si no la pulsamos tendrá entonces componente continua. Normalmente los parámetros más importantes a la hora de elegir una u otra señal es la frecuencia del pulso, es decir la frecuencia del seno que multiplica a la campana de Gauss y la σ del pulso gaussiano. Cuanto más grande sea la σ más tiempo durará la señal y más suave será la variación de envolvente, en otras palabras, menos contenido espectral o más estrecha en frecuencia. Por el contrario si la σ es muy pequeña la campana de Gauss será más estrecha, menos tiempo ocupará la señal y más componentes espectrales habrá. Podemos pensar entonces que lo mejor es usar señales con una σ pequeña, pero en muchas ocasiones, sobre todo en líneas de transmisión que soporten varios modos las variaciones muy rápidas de la señal de entrada pueden conllevar transitorios muy grandes hasta que la señal decae a cero. Estos problemas se los encuentra muchas veces el usuario de software comercial, cuando simula algo con vías o demasiado pequeño verá que llegado a un punto la simulación se pará y vuelve a empezar, en muchos casos será porque ha detectado que la señal de entrada no es la más adecuada y la intentará refinar. En la Figura 12 se muestra el ejemplo de meter una señal con una σ grande (a) y otra con una σ pequeña (b). Vemos como en la primera la señal incidente no sufre ningún tipo de dispersión ni transitorio, mientras que en la segunda sí que tenemos un transitorio bastante largo en la puerta de entrada debido a reflexiones fuera de banda. Debido a esto, a pesar de que la estructura analizada en ambos casos es la misma las señales reflejadas son distintas en forma debido al distinto contenido espectral de las fuentes. Z component 3000. 3000. signal 1 signal 3. Incident signal Reflected signal 2000. 2000. 1000. 1000. 0. 0. -1000. -1000. -2000. -2000. -3000. 0. 500. 1000 1500 Samples ( t). (a). 2000. -3000 0 2500. 500. 1000 1500 Samples ( t). 2000. 2500. (b) Figura 12 Ejemplo de campana de Gauss pulsada. 19.

(20) Muchas veces es deseable ver qué pasa cuando la antena o dispositivo está transmitiendo un flujo de potencia constante, para lo cual tenemos que inyectar un seno. Sin embargo no podemos inyectar un seno sin más ya que si la transición es muy brusca se pueden generar componentes en frecuencias superiores y por tanto generar otros modos. Por ello hay que hacer una transición suave del seno como se muestra en la Figura 13 (a). Si este seno se para de golpe sin volver a realizar la misma transición suave se generan componentes en frecuencias superiores como se muestra en la Figura 13 (b).. (a). (b). Figura 13 Seno en tiempo (a) y en frecuencia (b). 2.5.2.. Puertos discretos. La idea de un puertos discreto es asignar en un punto un valor de campo con una determinada dirección. El símil con el mundo de los circuitos sería una fuente de tensión en principio sin una Resistencia o parte reactiva asociada. La resistencia se puede incluir simplemente añadiendo un material de una cierta conductividad en una celda pegada a la que se pincha el campo. Para simular el efecto de una fuente de tensión entre un vivo y una masa bastaría con forzar el campo a un determinado valor en cada instante de tiempo en el gap entre vivo y masa. Obviamente la dirección de este campo debe ser perpendicular a ambas superficies, por lo que lo mejor es que la superficie del vivo y la de la masa sean paralelas.. Figura 14 Esquema de puertos discretos Para una distancia d entre la masa y el vivo del dipolo tenemos un voltaje aplicado en función de la distancia de:. 20.

(21) ∫⃗ Dado que la dirección de integración y la del campo eléctrico son iguales, y además el campo eléctrico es constante tenemos:. Traducido a celdas tenemos:. Para hallar la corriente que circula por el puerto aplicamos la ley de Ámpere alrededor de un contorno del puerto o del dipolo como e muestra en la Figura 15. Lógicamente dado que las celdas son hexaedros el contorno de integración será un cuadrado.. Figura 15 Aplicación Ley de Ámpere ∮⃗ Aplicándolo al esquema de mallado seguido e integrando según Figura 16 la tenemos: ∑. (. ∑. ). (. ∑. (. ). ∑. (. ). ). Figura 16 Esquema de integración para la ley de Ámpere. 21.

(22) Con esto obtenemos el voltaje y la corriente en el tiempo, pero para hallar los parámetros S o la impedancia nos interesa más tenerlo en el dominio de la frecuencia. Por ello a cada una de las señales hay que aplicarle una FFT. Unos de los problemas al hacer la FFT es que la señal está muy muestreada ya que el periodo de muestreo viene impuesto por la estabilidad del propio método por lo que los puntos en la banda de interés serán pocos (para un número de puntos de la FFT similar al número de muestras). Por ello se suele interpolar la señal en frecuencia mediante la técnica zero padding. Esto también puede llevar a error sobre todo cuando hay resonancias muy pronunciadas ya que dependiendo donde se encuentre esa resonancia nos aparecerá con un nivel u otro, es decir, nos dará un resultado de simulación muy bueno si justo la frecuencia de resonancia coincide con uno de los puntos de la FFT, mientras que si la frecuencia coincide con unos de los puntos interpolados, lógicamente el resultado es menos preciso. Esta, entre otras, es una de las razones por las que el método FDTD no es muy apropiado para estudiar elementos muy resonantes o de banda muy estrecha. En algunos casos puede resultar de utilidad dotar al puerto con una resistencia o reactancia. Las ecuaciones para una reactancia, ya sea condensador o simple bobina, son difíciles de conseguir, pero en el caso de resistor simplemente basta con forzar una celda en el gap a una determinada conductividad, como muestran las ecuaciones de abajo.. 2.6.. Puertos en guía. Muchas veces no nos bastará con un puerto discreto ya sea porque queremos simular el comportamiento de una estructura cuando un modo se propaga o cuando incide una onda en él, o simplemente porque el medio a simular no tiene onda de corriente o voltaje.. 2.6.1.. Onda plana. Los puertos en guía consisten en pichar el campo a lo largo de una determinada superficie. En un primer momento si pinchamos el campo con el mismo valor en todos los puntos estaremos creando una onda plana, en función de si estemos en espacio libre o no, esta onda plana se “reconfigurará” en un modo determinado en el caso de una línea de transmisión o continuará como onda plana. En la Figura 17 se presenta el resultado de una pequeña simulación en la cual se quiere ver lo que pasa al incidir una onda plana sobre una pieza metálica de sección cuadrada. Como fuente pinchamos Ey a lo largo de una superficie un valor constante espacialmente y que temporalmente tiene la forma de una campana de Gauss multiplicada por un seno. Vemos como automáticamente se genera la componente en Hz (la dirección longitudinal es x) creando una onda plana. No aparece componente Ex hasta que la onda “impacta” con la superficie metálica, momento en el cual las aristas se comportan como generadores de difracción. 22.

(23) Finalmente se ve el resultado pasado un cierto periodo. Al no haber PML ni nada que absorba las ondas lo que tenemos es el resultado de múltiples reflexiones entre sí, como si fuera una cámara reverberante. Ex en  t =80. Ex en  t =167. Ex en  t =318. Ey en  t =80. Ey en  t =167. Ey en  t =318. Hz en  t =80. Hz en  t =167. Hz en  t =318. Figura 17 Simulación onda plana. 2.6.2.. Bootstraping. El simular una onda plana tiene múltiples aplicaciones como hallar secciones radar, ver la interacción de ondas electromagnéticas con cuerpos vivos… sin embargo en la mayoría de problemas en microondas lo que realmente nos interesa simular son líneas de transmisión que soportan una serie de modos que no se corresponden con una onda plana. El problema es que a priori no conocemos la distribución espacial de esos modos y aun cuando la conociéramos (como es el caso de una guía) habría que tener cuidado a la hora de pincharlos ya que hay que tener en cuenta que los campos no están muestreados en el mismo punto del espacio y hay una diferencia temporal entre el muestreo del campo eléctrico y magnético. Por todo ello Taflove y otros autores proponen el uso de bootstraping. Esto consiste en inyectar una onda plana sin más al inicio de una línea de transmisión que se vaya a usar como línea de entrada, propagar esa onda plana y ver la distribución espacial que tendremos a una distancia de la inserción. A continuación podemos reinyectar esos modos al inicio de la línea de transmisión y repetir el proceso en busca de una mayor convergencia, aunque en la mayoría de los casos con un par de pasadas suele ser suficiente. Una vez obtenida la configuración espacial del modo, cada vez que hagamos una simulación con ese tipo de línea podemos reinyectar directamente la configuración obtenida. 23.

(24) En el ejemplo de la simulación de una ranura se mostrará más en detalle el uso de esta técnica.. Figura 18 Esquema bootstrapping En la Figura 18 se presenta un esquema de uso de bootstraping. En la inserción vemos un campo constante, a λ/10 vemos como la distribución de campos ha cambiado un poco y a λ/4 ya tenemos la distribución espacial del modo (TE10 de una guía rectangular).. 2.6.3.. Scattered Field – Total Field. Con los puertos en guía surge un problema añadido. Normalmente queremos dotar a la señal del puerto con un sentido. Si pinchamos el campo sin más lo que provocaremos es que la onda se propague en los dos sentidos, cuando únicamente queremos que lo haga en uno. Para solucionar este problema surge la técnica total-field/scattered-field. Esta técnica se describe en detalle en (11). Se basa en dividir el campo en dos, campo incidente y campo reflejado. El espacio de simulación también se divide en dos zonas como se muestra en la Figura 19.. Figura 19 Scattered Field / Total Field En las fronteras se hacen correcciones para eliminar la parte de campo correspondiente al incidente. El quid de la cuestión es saber el valor del campo incidente en cada una de las fronteras. En el caso de una onda plana y para cualquier tipo de incidencia se consigue de una 24.

(25) forma fácil y sin mucho coste computacional generando una “lookup table”, que no es más que un vector en una dimensión con la variación temporal a partir del cual se extrapolan los valores de campo en otros puntos del espacio. En la Figura 20 se muestra un ejemplo de uso de la técnica. La primera imagen se corresponde a una simulación en la cual se inyecta la onda a una distancia del origen y por tanto la onda se propaga en ambas direcciones. En el segundo caso haciendo las correcciones necesarias en la frontera se consigue dotar a la onda de un único sentido. De esta forma podemos saber exactamente cual es la onda reflejada por el sólido que hay en el centro ya que basta con muestrearla a la izquierda de la frontera.. Figura 20 Ejemplo Scattered Fields – Total Field Esto funciona bien cuando hablamos sobre ondas planas y medios abiertos, pero no cuando queremos analizar líneas de transmisión y en especial aquellas que son dispersivas, ya que a priori no conocemos la variación temporal de la señal (dependerá de la constante de fase, de las componentes frecuenciales de la señal de entrada…). Para solucionar este problema existen métodos como el Matched Numerical Dispersion Technique (12) o Analytical Field Propagation (2). El problema de estos métodos es que incrementan notablemente la complejidad y la carga computacional ya que requieren hacer cambios del dominio temporal al de la frecuencia y viceversa continuamente.. 2.7.. Diagrama de radiación. Se aplican los principios de equivalencia, que nos dicen básicamente que la radiación de la estructura bajo estudio será la misma que la de una supuesta caja que rodeara a la estructura recorrida por corrientes magnéticas y eléctricas tales que estas corrientes produjeran el mismo campo en el exterior que el que produciría la antena bajo estudio. Estás corrientes se calculan a partir de su propia definición y suponiendo que los campos en el interior de la caja son nulos (en la equivalencia). En la Figura 21 se puede ver una descripción gráfica de la aplicación de este principio. Las corrientes que recorren la caja serán por tanto la multiplicación vectorial de la normal por el campo (con un signo – en el caso de corriente magnética). El campo perpendicular a la caja no contará por tanto para el campo lejano (el producto vectorial da cero).. 25.

(26) Figura 21 Aplicación principio de equivalencia Los campos en campo lejano se pueden definir a partir de los potenciales vectores, normalmente se usan los potenciales vectores A y F, en este caso, se sustituyen estos por los W y U, que son más propicios para integrar en el tiempo. A partir de estos potenciales vectores se calcularía el campo según las siguientes expresiones: ̌. (. ). (. ). ̌. (. ). (. ). Los potenciales en el dominio del tiempo se definen como: (. (. ). ). [∬. [∬. (. (. ̂. ). ̂. ). ]. ]. Para calcular las integrales habrá que sumir contribuciones espaciales, las corrientes se calculan a partir de los campos en la caja de radiación (rotacional por la normal) y su derivada temporal de la misma forma en la que se haría con el FDTD. De esta forma en cada paso de tiempo de la simulación tendremos que integrar los campos en la caja, restarles los campos en el instante anterior y calcular para cada celda su posición temporal en campo lejano en relación a Theta y Phi. Al calcular la posición temporal lo más normal es que no salga un número entero, es decir, puede ser que el campo lejano debido a una celda en una dirección dada haya que sumarlo en 124,3·Δt. Para ello se hace una ponderación, se sumaría esa contribución multiplicada por 0.7 en 124·Δt y multiplicada por 0.3 en 125·Δt. Otro punto a tratar es que para sumar las contribuciones de los campos en cada dirección resulta mucho más fácil hacerlo en coordenadas cartesianas, por ellos se calculan los W x,y,z y luego una vez que termina la simulación se pasa a coordenadas esféricas. Finalmente una vez terminada la simulación hay que calcular la TF de los campos y quedarse con las frecuencias que interesen. 26.

(27) El método usado requiere un par de arrays (W y U) por cada dirección (θ,φ) que se quiera por lo que puede requerir una memoria dinámica alta (lo cual hoy en día no es mucho problema). Un punto a favor del método es que mediante una única simulación/transformación somos capaces de hallar el campo en todas las frecuencias que queramos (siempre que nuestra señal de entrada tenga componente espectral en esas frecuencias). A la hora de calcular la TF discreta en un primer momento puede parecer la mejor idea utilizar la FFT, sin embargo no es la mejor de las formas. Dado que en la mayoría de los casos a la hora de calcular el diagrama de radiación, nos interesa el campo en un número reducido de frecuencias, a lo sumo tres, es ilógico utilizar un algoritmo que es muy rápido calculando TODO el espectro. En vez de eso resulta mucho más eficiente aplicar la definición de la DFT en sí misma y hacer un único cálculo por frecuencia, la complejidad de calcular la DFT a una frecuencia es O(N) mientras que la de la FFT es O(N·log2(N)). Es decir la FFt sería beneficiosa si quisiéramos calcular todo el espectro pero resta eficiencia si solo nos interesa una única de las frecuencias.. 27.

(28) 3. Ejemplo de simulación de un dipolo λ/2 A continuación se presentará la simulación de un dipolo λ/2. Este tipo de antenas tienen un diagrama de radiación uniforme en φ y con nulos en las direcciones longitudinales del dipolo. Dado que el dipolo fue la primera antena que se simulo no incluye el mallado no uniforme que se incluyó más tarde.. 3.1.. Modelo del dipolo. Por simplicidad y dado que en FDTD la celda estándar es cúbica se analizará un dipolo de sección cuadrada con un grosor de 3 celdas. FDTD no es un método muy recomendable para analizar este tipo de antenas debido a que para mallar con precisión hilos delgados necesitamos reducir mucho el tamaño de la celda. Como condiciones de contorno se ha empleado el CPML, en este caso dado que la inserción de fuente se hace mediante un puerto discreto en el centro del dipolo, todas las fronteras CPML son iguales. Los parámetros generales utilizados en la simulación son los especificados en la Tabla 2.. CPML. Parámetros generales. Fuente. Celdas ε m ma R (coef. Réflex) α κ Celda cúbica εmedio µmedio Tipo Modo f0 τc σ. 5 1.0 3 1 0.0001 0.24 15 0.25/0.5 mm 1.0 1.0 Gaussiana pulsada Puerto discreto 5-7 GHz 3/ f0 2e-10 (Hz). Tabla 2 Parámetros comunes de simulación del dipolo. 3.2.. Campo eléctrico total en el tiempo. En la Figura 22 se recogen una serie de capturas del campo eléctrico total en el plano longitudinal del dipolo en distintos instantes de tiempo. Todas las gráficas tienen la misma escala de color y en ellas se ve cómo va fluctuando el campo conforme se va inyectando la gaussiana. En la Figura 23 se muestra la señal gaussiana de entrada aplicada mediante soft source en el espacio que hay que hay entre las dos mitades del dipolo. En la Figura 23 también se muestra los instantes de tiempo en los que se han hecho las capturas de la Figura 22.. 28.

(29) Figura 22 Campo eléctrico de un dipolo λ/2 en el tiempo. 29.

(30) Una cosa que puede llamar la atención en las figuras es que existe campo en la dirección longitudinal del dipolo cuando sabemos de antemano que un dipolo λ/2 no radia en esa dirección. Como se verá luego ese campo no va a contribuir nada al campo lejano ya que es perpendicular a la superficie en la que se integra el campo (es de componente radial).. Figura 23 Instantes de tiempo de las capturas de la Figura 22. 3.3.. Campo magnético. En la Figura 25 se muestran las componentes del campo magnético en un instante de tiempo según el corte de la Figura 24.. Figura 24 Corte para representación campo magnético. 30.

(31) Figura 25 Campo magnético corte longitudinal Las corrientes en el dipolo van longitudinalmente y para que esto sea así el campo magnético tiene que ser transversal (ley de Ampère), por ello solo hay componente en x y en z. Al estar tomada la captura en una de la caras, se ve como en esa cara tenemos un campo más o menos uniforme de componente x y también podemos observar el campo de componente z correspondiente a las otras dos caras, el campo en estas dos caras tiene sentido contrario, por lo que el valor del campo en una es positivo y en la otra negativo. En Figura 26 se representa un esquema del campo magnético en la sección transversal. Por otro lado el campo magnético de componente y es nulo salvo en el centro ya que en el centro sí que hay corrientes en la sección transversal (corrientes que nacen el centro de la sección transversal y fluyen hacia los bordes).. Figura 26 Esquema del campo magnético alrededor del dipolo Finalmente se presentan en la Figura 27 los resultados del campo magnético en la sección transversal para comprobar cómo la distribución es la descrita anteriormente.. 31.

(32) Figura 27 Campo magnético en el plano transversal. 3.4.. Campo eléctrico. En la Figura 29 se muestran las componentes del campo eléctrico correspondientes al corte de la Figura 28. Se presentan las componentes en dos instantes de tiempo correspondientes a un desfase aproximado de π para poder ver como fluctúa cada componente en el tiempo.. Figura 28 Corte longitudinal del dipolo para representación del campo eléctrico. 32.

(33) Figura 29 Componentes campo eléctrico corte longitudinal Vemos como en el extremo del dipolo solo hay componente de campo Y (en el eje Y), es decir tiene componente radial, por lo que su contribución al campo lejano es nula, como cabría esperar ya que el dipolo no radia en su dirección longitudinal (en este caso en Y). Esto se comprobará cuando se presenten los diagramas de radiación obtenidos mediante la transformación descrita en secciones anteriores. Por otro lado la componente de campo Z es casi nula, solo hay un poco en los extremos. Finalmente en la Figura 30 se presentan los cortes transversales de cada componente del campo eléctrico a una distancia de cinco celdas del centro del dipolo. La distribución de las componentes aunque parezca extraña es la necesaria para que el dipolo tenga un campo con polarización lineal en la dirección de theta.. 33.

(34) Figura 30 Componentes del campo eléctrico en corte transversal. 3.5.. Señal incidente e impedancia vista. En la Figura 31 se muestra la señal introducida como fuente. Se comprueba como la señal tiene componentes espectrales entre 4 y 7 GHz, por lo que el margen de validez de los resultados será ese.. Figura 31 Señal incidente en el tiempo y en la frecuencia 34.

(35) La señal se introduce fijando el campo en el gap en el centro del dipolo al valor de la fuente, es decir con un lumped port con excitación hard source. Para hallar la corriente que circula por el puerto discreto basta con aplicar la ley de Ampère alrededor de ese puerto integrando el valor del campo magnético alrededor de una curva. Esta curva obviamente será un cuadrado, por lo que bastará sumar las contribuciones del campo magnético multiplicadas por el ancho de la celda en cada dirección, dado que el diferencial de longitud de la curva coincide con una de las componentes del campo en coordenadas cartesianas y es perpendicular a las demás solo se necesita sumar una de las componentes en cada lado del cuadrado. Para obtener la resistencia que se ve, basta con dividir la DFT del voltaje aplicado entre la DFT de la corriente generada. El voltaje se obtiene a partir de su función integrando el valor del campo aplicado a lo largo de la longitud en la que se aplica, que en este caso es multiplicar directamente ya que la dirección del campo es la misma que la del diferencial de longitud.. Figura 32 Corriente generada en el puerto Normalmente los lumped ports tienen asociada un resistencia, bobina o condensador al puerto. De esta forma la celda donde se aplica el campo se correspondería con una fuente de tensión y en una celda contigua se cambiaría el material por uno de conductividad tal que su conductividad multiplicada por el tamaño de la celda sea igual a la resistencia deseada. Al añadir esta resistencia modificamos el valor de la corriente que circula por el puerto, lo cual tampoco es demasiado problemático porque conociendo el valor de esa R y de la corriente podemos hallar el valor de la impedancia del dipolo. Si no añadimos esa R lo que va a pasar es que aparecerá algo de carga estática que se quedará entre el gap del dipolo, debido a que estamos empleando una hard source. Cuando introducimos esta R esa carga no existe porque se consume en la R al generarse una corriente asociada a esa carga. En la Figura 33 se presenta el campo en el gap en el caso de añadir una resistencia de 60 Ω y sin añadirlo. Vemos como el campo total varía algo debido a la presencia de esa resistencia y como al final cuando ya se ha apagado la fuente en el caso con resistencia el campo es cero 35.

(36) mientras que en el caso sin resistencia aparece un valor de campo estático generado por la carga antes mencionada.. Figura 33 Campo total en el gap Los paquetes de software comerciales siempre incluyen la resistencia por defecto pero en este caso no es necesario del todo ya que sabiendo el funcionamiento del sistema en el caso de no incluir la resistencia obtendremos directamente el valor de la impedancia vista por el puerto y lo único que habrá que hacer será eliminar el valor de señal en instantes posteriores a cuando se apaga la fuente, o simplemente despreciar el termino de componente continua a la hora de transformar a frecuencia la señal.. 3.6.. Resistencia en función del mallado. A continuación se estudiará cómo cambia la impedancia calculada en función del tamaño de celda. En la Tabla 4 se resumen los parámetros de simulación así como el tiempo que ha tardado. Los parámetros base del dipolo se detallan en. Longitud Ancho Gap central. Datos físicos del dipolo 15.5 mm + celda 1.5 mm 0.5 mm. Tabla 3 parámetros geométricos del dipolo Cabe destacar que el mallado es uniforme, por lo que no es lo más óptimo posible ya que mallamos el PML y las zonas próximas igual que el propio dipolo. Cabe destacar que excepto en el último paso el número de celdas se multiplica por 2, mientras que el tiempo se incrementa de forma exponencial. Esto es así porque la carga computacional del PML aumenta de esa forma, lo cual corrobora que en el FDTD la mitad del tiempo o más de la simulación se gasta en actualizar los códigos convolucionales del PML. En la última simulación aparece un problema añadido. Estamos casi en 2 millones de celdas de las cuales casi un cuarto de millón corresponde al PML, por lo que no es de extrañar 36.

(37) que tarde 3 horas y pico. Además dado que hemos ido reduciendo el tamaño de las celdas aumentando solo el número de celdas en la dirección longitudinal del dipolo y no es las transversales, llega un momento en que la distancia entre el dipolo y las fronteras PML se reduce, por lo que sería necesario incrementar esta distancia ya que como se aprecia en las simulaciones la proximidad de las fronteras PML está influyendo en la simulación. Δx= Δy= Δz (mm) 0.5 0.25 0.125 0.0625. Cells 126K 252K 504K 1.792M. PML cells 32,760 62,160 120,960 238,560. Steps 2000 4500 8000 10000. Time (sg) 46 3:45 20:30 3:40:00. Tabla 4 Resumen simulaciones cambiando mallado Otro dato a tener en cuenta es que debido a la forma en la que se malla el dipolo tiene una longitud fija de 15.5 mm más media celda extra por cada lado, es decir cada vez que reducimos el tamaño de celda reducimos un poco el tamaño del dipolo, por lo que cabe esperar que según aumentamos el mallado, la frecuencia de resonancia se desplace hacia arriba un poco. En la Figura 34 y la Figura 35 se muestran la impedancia simulada. Se comprueba como para los tres primeros mallados la similitud es bastante grande mientras que para el mallado máximo se observan los problemas descritos anteriormente debido a la proximidad de las fronteras PML. También se comprueba como la frecuencia de resonancia va variando según reducimos el tamaño de malla en parte porque el dipolo es más pequeño como se comentó en el párrafo anterior y en parte porque el mallado es más denso por lo que los resultados son más exactos.. Figura 34 Resistencia del dipolo para distintos tamaños de celda. 37.

(38) Figura 35 Reactancia del dipolo para distintos tamaños de celda. 3.7.. Comparación con software comercial. Para corroborar los resultados se comprueban con los obtenidos por el software comercial CST. Este software no usa exactamente FDTD sino que usa FIT, el método es muy parecido, ya que trabaja en el tiempo, usa PML, los mismos métodos de inserción de campo… solo que en el caso de FIT se aproximan integrales en vez de derivadas como en el FDTD. Lo primero que hay que decir es que el software comercial evidentemente tiene métodos para refinar el mallado lo máximo posible. En la Figura 36 se representa la forma que tiene de mallar el dipolo el CST, como podemos comprobar el mallado en el dipolo es mucho más denso que en las zonas de aire. El tiempo utilizado para la simulación fue de 2 minutos y 35 segundos para 1400K celdas. El ratio entre el tiempo de simulación de CST y del propio simulador es de 370%. Obviamente para el mismo número de celdas el software comercial va a ser más preciso porque hará un mallado mejor, pero si se tuviera que hacer una optimización más larga se podría perfeccionar el mallado con un mallado no uniforme en el simulador, haciendo que el tiempo de simulación fuera la tercera parte del CST en este caso.. 38.

(39) Figura 36 Detalles del mallado con CST. Figura 37 Comparación de impedancia con CST 39.

(40) En las gráficas que comparan las impedancias obtenidas con CST y el simulador se comprueba como la coherencia entre ambas es bastante grande sobre todo en la zona de interés (zona de resonancia).. 3.8.. Resonancia en función de la señal de entrada. Una comprobación necesaria del simulador es ver cómo cambian los resultados según cambia la señal de entrada. Los resultados no deberían variar según cambie la señal de entrada siempre y cuando la señal de entrada tenga contenido espectral suficiente en la banda de interés (superior al ruido numérico).. Figura 38 Resonancia frene a señal de entrada En la Figura 38 se muestra la reactancia simulada en función de diversas señales de entrada de frecuencias diferentes. Se comprueba como efectivamente variando la frecuencia de entrada la resonancia no se mueve.. 3.9.. Campo lejano. En la Figura 39 se muestra el diagrama de radiación en 3D sin normalizar para la frecuencia de resonancia (4.1 GHz), se comprueba como el diagrama de radiación se corresponde al clásico de un dipolo con un nulo en la dirección longitudinal del dipolo.. 40.

(41) 20 15 10. Z axis. 5 0 -5 -10 -15 -20 20. 10. 0. -10 X axis. -20. 20. 0. 10. -10. -20. Y axis. Figura 39 Diagrama de radiación del dipolo en 3D En la Figura 40 se muestra el diagrama de radiación en el corte longitudinal comparado con CST. Comprobamos como el parecido es bastante grande.. Figura 40 Corte longitudinal vs CST. 41.

(42) 4. Ejemplo antena de ranuras A continuación se presentaran las simulaciones hechas para antenas de ranuras en guía onda rectangular. En un primer momento se explicara la forma de alimentar y de hallar parámetros S para después mostrar los resultados de simulación para una única ranura y un array de 8x8 ranuras.. 4.1.. Alimentación de la guía. Lo primero antes de nada es hacer el setup del puerto en guía. En este caso surgen varios problemas. El primero es que tenemos que hallar la distribución espacial del modo que se propaga (suponiendo que únicamente tengamos un modo), para ello se aplica la técnica bootstraping descrita anteriormente. El segundo problema viene a la hora de poder extraer el campo reflejado para el cálculo de los parámetros S. Aplicando un hard source es imposible obtenerlo porque estaremos creando una pared eléctrica, por ello hay que aplicar técnicas del tipo Scattered-Total Field (SFTF). El problema de las técnicas SFTF es que no son de fácil implementación cuando no estamos en el vacío ya que es mucho más difícil determinar la constante de propagación. Aun cuando exista una expresión analítica para esta constante de propagación (como es en el caso del TE01), estás expresiones son en función de la frecuencia y trasladarlas al tiempo no es fácil, además de conllevar una carga computacional excesiva. Existen técnicas como la Matched Numerical Dispersion Technique o Analytical Field Propagation que resuelven este problema pero a costa de transformar varias veces de un dominio a otro. La precisión es muy buena pero obviamente la complejidad y tiempo de cálculo hacen que no sean tan atractivas. Por ello en esta primera parte, se detallará como se ha hecho el bootstraping, a continuación se detallará la solución adoptada para el SFTF y se simulara una ranura para comparar resultados con software comercial.. 4.1.1.. Bootstraping. La primera idea es inyectar una onda plana en una sección transversal de la guía. Obviamente es un poco extraño inyectar una onda plana en una guía ya que estaremos excitando campo en superficies metálicas con componente no normal. Lo que va a pasar es que el campo cambiará en unas cuantas líneas de la distribución que nosotros le hayamos metido a la distribución que realmente soportaría la guía (ya sea la de un único modo o la de la combinación de muchos). En la Figura 41 se muestra el corte transversal a una longitud de onda de la excitación de una guía en función de la frecuencia y modo en el que se excita la onda plana.. 42.

(43) (a). (b). (d). (c). (e). (f) Figura 41 Modos en guía En el primer caso (a) se excita una onda plana con campo eléctrico en sentido horizontal y a una frecuencia a la que la guía es monomodo por lo que el modo resultante es un TE10, en el segundo caso (b) se hace lo mismo pero subiendo en frecuencia y vemos como en este caso lo primero que veríamos sería la distribución de un modo TE20. En la figura (c) se excita el campo eléctrico vertical y en este caso vemos un modo TE03. En el caso de (d) excitamos ambas componentes del campo eléctrico (horizontal y vertical) y lo que vemos es un modo TE11. En el siguiente caso (e) vemos lo que realmente pasa al excitar la guía a una frecuencia donde la guía soporta varios modos, tenemos una mezcal el modo TE01, TE10 y TE11 que va variando con el tiempo, esta variación también se observa en el perfil longitudinal ya que cada modo tendrá una constante de propagación diferente y por lo tanto no es fácil distinguir cada longitud de onda como en el caso monomodo. Finalmente en (f) vemos lo que pasa al excitar una frecuencia en la que los modos está al corte, vemos como la mallaría de la potencia se extingue debido a que se excitan modos evanescentes y únicamente se excita algo de potencia, que será la correspondiente a las componentes espectrales de más alta frecuencia y que si que soporta la guía.. 43.

(44) 4.1.2.. Scattered Field – Total Field. Una vez hecho el bootstraping surge otro problema ya comentado en capítulos anteriores. Si alimentamos la guía sin hacer ninguna corrección lógicamente estaremos excitando señal en ambos sentidos como se aprecia en la primera parte de la Figura 42. Para solucionar este problema se puede emplear la técnica Scattered Field – Total field, con la que si dotamos de un sentido a la señal y es posible detectar la señal reflejada (ya que iría en sentido contrario). El problema de esta técnica es que la formulación que se suele emplear tiene en cuenta que se trata de una onda plana, en el momento en que esto no es así la cosa se complica ya que la constante de propagación puede variar con la frecuencia y es imposible saber de antemano la variación que va a haber en la señal dentro de la guía. Para solucionar este problema hay técnicas ya comentadas anteriormente que se basan en cambios de dominio espectrales, pero ello conlleva una carga computacional bastante grande. En lugar de eso lo que se hace en esta simulación es correr una primera simulación en donde se guardan los cortes del campo en el puerto y luego en posteriores simulaciones se emplean esos cortes para hacer la corrección. Esta presimulación del puerto puede ser solo de unas pocas celdas en la dirección longitudinal ya que solo nos interesan los campos una celda antes y después del puerto. El problema añadido es que puede que tenga menos carga computacional hacerlo de esta manera pero sigue teniendo una carga computacional alta debido a que en cada iteración hay que leer de un fichero como era la distribución del campo en el puerto en la presimulación. Como mejora se podría estudiar hallar la variación temporal del puerto y establecer un array lineal que permitiera establecer la forma de los campos antes y después del puerto. EFieldzXY At Time Step = 244 40. 0.25. 35. 0.2. 30. 0.15. 25 0.1 20 0.05 15 0. 10. -0.05. 5 10. 20. 30. 40. 50. 44.

(45) EFieldzXY At Time Step = 244 40. 0.25. 35. 0.2. 30. 0.15. 25 0.1 20 0.05 15 0. 10 5. 4.1.3.. -0.05. Figura 42 Excitación de guía normal y con SF/TF Technique 10. 20. 30. 40. 50. Método simplificado de alimentación empleado. En la Figura 43 se presenta el esquema del método seguido para hallar los parámetros S. Es un método que busca el compromiso entre exactitud, tiempo de cálculo y memoria dinámica usada en el proceso.. Figura 43 Vista guía con ranura para hallar reflexión La idea principal es mantener la inserción de onda tan simple como se pueda. Para hallar la reflexión lo que se hace es hacer una primera simulación de la línea de transmisión utilizada y luego comparar con la simulación real. Puede parecer costoso en tiempo el tener que hacer dos simulaciones, pero en realidad la primera simulación basta con hacerla para un trozo corto de línea y solo hay que hacerla una vez ya que se reutilizan los resultados para el resto de optimizaciones siempre y cuando no cambiemos el puerto de entrada. El primer paso es hacer una simulación de una línea de transmisión igual a la utilizada en el puerto de entrada, en este caso una guía, y con PML en los dos extremos para que absorba la onda. La inyección de campo se hace mediante una onda plana, es decir, pinchando el campo en una determinada componente y con el mismo valor en la sección transversal. Esta 45.