Sucesiones y series en R Sucesiones y series en R. Criterios de convergencia. Límites de funciones reales de variable real: Límites trigonométricos. Límites infinitos y asíntotas. Continuidad de funciones reales de variable real

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

SUCESIONES Y SERIES EN R

Sucesiones y Series en R. Criterios de convergencia. Límites de

funciones reales de variable real: Límites trigonométricos. Límites

infinitos y asíntotas. Continuidad de funciones reales de variable real.

Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 1244-2018-FAC

Walter Valentin OCHOA QUISPE

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e Informática

Lima, Perú

2018

MONOGRAFÍA

SUCESIONES Y SERIES EN R

Sucesiones y Series en R. Criterios de convergencia. Límites de

funciones reales de variable real: Límites trigonométricos. Límites

infinitos y asíntotas. Continuidad de funciones reales de variable real.

Designación de Jurado Resolución Nº 1244-2018-FAC

__________________________________

Mg. Aurelio Julián GÁMEZ TORRES

Presidente

_______________________________________

Lic. Faustino Fortunato CUENCA CERVANTES

Secretario

__________________________________

Lic. Leonidas TORRES ANAYA

Vocal

Dedicatoria:

Agradecimiento:

Contenido

Portada i

Designación de jurado ii

Dedicatoria iii

Agradecimiento iv

Contenido v

Índice de figuras………...………..vii

Introducción……….………...…………..……viii

Capítulo 1: Límites y continuidad de funciones reales de variable real 1.1. Funciones reales de variable real ……….………...…………...…...10

1.1.1 Definición……….………...………..…..…....…10

1.1.2 Operaciones con funciones…..……….….…...……..……….10

1.1.3 Funciones Especiales……….………..…....11

1.2. Límites de funciones reales de variable real……….16

1.2.1. Introducción……….……….………..………....16

1.2.2. Definiciones y teoremas……….………..………..…..……....…19

1.2.3. Límites unilaterales……….……….………..………..………....…25

1.2.4. Límite al infinito ….………...………….………....……...28

1.2.5. Límites infinitos……….………...………..…..………...33

1.2.6. Asíntotas horizontales y verticales……….……….……….…..….…...…37

1.2.7. Límites trigonométricos……….…….………….………...………...…40

Capítulo 2: Sucesiones reales de variable real

2.1. Sucesiones ……….…...………..…46

2.2. Límite de una sucesión ...……….48

2.3.Sucesiones monótonas y acotadas...……….………....…………..52

2.4. Criterios de convergencias de sucesiones….………...…..……56

Capítulo 3: Series infinitas 3.1 Definiciones……..….…...….……..…60

3.3 Series notables……..….…...……….….……..…..65

3.4 Teoremas (propiedades) ……..….…...…..68

3.5 Criterios de convergencia……..….…...……….70

Aplicación didáctica………...……….………….………….76

Plan de clase modelo………..…………...77

Síntesis……….………...……….…...83

Conclusiones……….….………85

Apreciación crítica y sugerencias……….………..…….…….………..86

Referencias………..………..……….………89

Apéndices………..…….………..……..90

A: Glosario……….90

B: Progresiones………...94

Índice de figuras

Figura 1: Función identidad………....………...………...11

Figura 2: Función constante………….………....………..………….12

Figura 3: Función valor absoluto…....………....………...…………..13

Figura 4: Valor absoluto…....………..………....………...………..14

Figura 5: Función lineal…....………..………....………...……...………..14

Figura 6: Función cuadrática……..………..………....………....………..16

Figura 7: Rango de _{, } cercano a 5 y 2 respectivamente…...…………....….…..…18

Figura 8: Región donde esta _{, } …...………...……….…..…19

Figura 9: Límites por derecha e izquierda a 3………..….…..…27

Figura 10: Límites por derecha e izquierda a 1……….……..……….….…..…28

Figura 11: Asíntotas verticales y horizontales………..…...….…..…38

Figura 12: Asíntotas verticales y horizontales………..……...….…..…40

Figura 13: Discontinuidad en _x₃………....….…..…44

Introducción

La presente monografía titulada Sucesiones y series en R tiene como objetivo la presentación de las sucesiones y series de números reales, para ello se presenta el conocimiento previo de funciones reales de variable real, operaciones con funciones y tipos de funciones. Seguidamente se enfoca en la teoría de límites, límites infinitos, asíntotas, límites trigonométricos y continuidad.

Se presenta una sucesión como una función que tiene de dominio el conjunto de los números naturales o subconjunto de ellos y cuyo rango es el conjunto de números reales o parte de él. Asimismo se trata los límites de una sucesión, sucesiones monótonas y acotadas, criterios de convergencia.

Se expone una serie infinita a partir de una sucesión, se formula la sucesión de suma parcial, convergencia de series, series notables y criterios de convergencia.

El propósito principal de este trabajo es mostrar cómo se puede usar las series y sucesiones en matemáticas. Es común encontrarse con un conjunto de números dispuestos en algún orden, que se puede conocer de antemano o hay que descubrir la ley que los determina a partir de los datos.

La idea ha sido recopilar información bibliográfica de análisis matemático, procesarla cognitivamente y poner por escrito lo entendido.

Entender, aplicar y enseñar conocimientos matemáticos para satisfacer necesidades, resolver problemas y tomar decisiones que sean conformes con la propia conciencia implica una preparación que englobe todas las dimensiones de nuestro humano funcionamiento.

fin de hacer predicciones de la evolución futura de los mismos por medio de expresiones algebraicas y geométricas.

El aprendizaje de sucesiones y series en R debe desarrollarse en el nivel secundaria, ciclo VII y a partir del tercer grado de dicho nivel de la educación básica, considerando el grado de complejidad de dichos conceptos, en un contexto de resolución de problemas planteados a fin de desarrollar en los alumnos la competencia prevista en el Currículo Nacional de la Educación Básica de la República del Perú en materia de resolución de problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Me complazco en presentar esta monografía, esperando las críticas pertinentes que me servirán para mejorarla y agradeciendo a la profesora Ing. Herminia Huaringa Flores cuya asesoría me ha permitido entender el temario de la investigación para elaborar el presente documento y desarrollar mi examen de suficiencia profesional con clase magistral, en presencia de los señores miembros del jurado académico, con miras a obtener mi título profesional de licenciado en educación.

La presente investigación monográfica está estructura en tres capítulos: el capítulo 1, trata sobre los límites y continuidad de funciones reales de variable real; el capítulo 2,

desarrolla aspectos sobre las sucesiones reales de variable real; el capítulo 3, explica sobre las series infinitas. Finalmente, se presenta la aplicación didáctica a través de un

Capítulo 1

Límites y continuidad de funciones reales de variable real

1.1. Funciones reales de variable real

1.1.1 Definición

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

R B R A

f :    ) (x f x

Se puede escribir de la forma:

Dicho de otra manera: “Una aplicación es una correspondencia tal que cada elemento del conjunto origen A tiene una sola imagen en B. En matemáticas son particularmente importantes las funciones, que son aplicaciones establecidas entre conjuntos de números” (Enciclopedia Estudiantil Lexus, 1999, p.782).

1.1.2 Operaciones con funciones

Dadas las funciones de .

i) Su suma, denotada por , es una función definida por:

ii) Su diferencia, denotada por , es una función definida por





 



x y R R y f x



f  ,   

R R g f, : 



f g





f g

 

x  f

 

x g

 

x



f g



iii)Su producto, denotado por , es una función definida por

iv)Su cociente denotado por , es una función definida por ,

En cada caso el dominio de la función resultante es , con la excepción de iv) los valores de x para los cuales se excluyen.

1.1.3 Funciones especiales

Función identidad: Es aquella función que tiene a como dominio y como regla de

correspondencia: . Simbólicamente se escribe:

,

0 1 2 -1 -2 0.8 ...

0 1 2 -1 -2 0.8 ...

Figura 1: Función identidad, elaboración propia.



f g





f g

 

x  f

   

x g x



f /g





f /g

 

x  f

   

x /g x g

 

x 0



D

f



D

g



 

x 0 g



 

x x

f 







x y y x



f  ,  





f

D

R

_f





x

Función constante: A la función , le llamaremos función constante, si su regla de correspondencia es:

Simbólicamente se escribe:

,

Así para tenemos:

0 1 3 -1 -3 ...

2 2 2 2 2 ...

Figura 2: Función constante, elaboración propia

Función valor absoluto: Es aquella función con dominio y cuya regla de

correspondencia es:

Simbólicamente se expresa:

,

Gráficamente:

f

 

x c

f 







x y y c



f  ,  





f

D

R

_f



c

 

x 2 f

x

 

x f



 

  

 

 



0 ,

0 ,

x x

x x x x f

 



x y y x



f  ,  





f

0 -2 3 -1 2 ...

0 2 3 1 2 ...

Figura 3: Función Valor absoluto, elaboración propia.

Función raíz cuadrada: A la función , le llamaremos función raíz cuadrada, si su

regla de correspondencia es .

Simbólicamente se expresa así:

,

Su gráfica es como sigue:

0 1 2 3 4 ...

0 1 1.41 1.73 2 ...

x

x

f

 

x

x

f



 



x

y

y

x



f



,













 

f

D Rf 

x

Figura 4: Valor absoluto, elaboración propia.

Función lineal: Es aquella función con dominio y cuya regla de correspondencia es

donde y son constantes, . Simbólicamente se expresa así:

,

Su gráfica es una recta cuya pendiente es y su ordenada en el origen es . Así para

0 1 2 3 -1 -2

3 1 -1 -3 5 7

Figura 5: Función lineal, elaboración propia. 

 

x mx b

f   _{m b m}₀







x y y mx b



f  ,   





f

D

R

_f





m b

 

x 2x3 f

x

Función Cuadrática: Es aquella función con dominio y definida por la regla de

correspondencia donde , y son constantes y .

Simbólicamente se expresa así:

Su gráfica es una parábola simétrica respecto a una recta vertical, llamada eje de simetría, abierta hacia arriba si y hacia abajo si . El vértice de la parábola se

puede encontrar transformando la función a la forma mediante el artificio de completar cuadrados.

Ejemplo: Graficar

Solución:

Hallamos el vértice:

,

Luego es el vértice.

0 1 2 3 1.5

13 4 1 4 1.75



 

x

ax

bx

c

f



2





_{a b c a0}

 



,









2





;

,

,





,



0





x

y



y

ax

bx

c

a

b

c

a

f

0 

a a0





2

h

x

a

k

y







13

12

3

2







x

x

y



4



13

3



4

4

4



13

3

2







2











x

x

x

x

y



4

4



12

13

3

2











x

x

y



2



1

3



2





x

y

y



1



3



x



2



2

   

h,k  2,1

x

Figura 6: Función cuadrática, elaboración propia.

1.2. Límites de funciones reales de variable real

1.2.1 Introducción

Sea la función

  





2

2 1 2

   

x x x x

f

El dominio de f es 

 

2 , si hacemos x20 entonces f

 

x 2x1

Analicemos los valores de la función cercana a 2 pero no igual Para valores mayores que 2 (derecha) tenemos

x 2.20 2.10 2.05 2.01 2.001 2.00001

 

x

f 5.40 5.20 5.10 5.02 5.002 5.00002

Observamos que para valores mayores que 2 pero tan cerca como queramos,

 

x

f se acerca a 5.

Para valores menores que 2 (izquierda) tenemos

x 1.80 1.90 1.99 1.999 1.9999 1.99999

 

x

Observamos que para valores menores que 2 pero tan cerca como se quiera, f

 

x

se acerca a 5.

Observando ambas tablas tenemos que mientras x se acerca a 2, f

 

x se acerca

cada vez a 5.

Por otro lado mientras más cercana este x de 2, f

 

x está más cercana a 5.

Así por ejemplo por la derecha: x2.01 f

 

x 5.02

La diferencia con respecto a 2 y a 5 respectivamente es: 0.010.02

Cuando x2.0001 f

 

x 5.0002

La diferencia con respecto a 2 y a 5 respectivamente es: 0.00010.0002 Mientras que por la izquierda tenemos: x1.99 f

 

x 4.98

La diferencia con respecto a 2 y a 5 respectivamente es:0.010.02 Cuando x1.9999 f

 

x 4.9998

La diferencia con respecto a 2 y a 5 respectivamente es:0.00010.0002

Por lo anterior podemos decir cuando x difiere de 2 en 0.0001, f

 

x difiere de

5 en 0.0002. En otras palabras, podemos decir cuando el valor absoluto de la diferencia entre f

 

x y 5 es tan pequeña como queramos, haciendo que el valor absoluto de la

diferencia entre x y 2 sea suficientemente pequeño.

Esto es f

 

x 5 se puede ser tan pequeño como queramos haciendo x2 suficientemente pequeño.

En forma precisa, usando símbolos para esta diferencia tales como  y  decimos.



 5 ) (x

Así por ejemplo:

02 . 0 5 ) (x  

f cuando x2 0.01, así  0.02, 0.01

002 . 0 5 ) (x  

f cuando x2 0.001, así  0.002, 0.001

Podemos así continuar buscando  y .

Así para cualquier  0 podemos encontrar  0 tal que f(x)5 



siempre



 

 2

0 x entonces decimos que: lim ( ) 5

2 

 f x x

Geométricamente

Figura 7: Rango de _{, } cercano a 5 y 2 respectivamente, elaboración propia.

Asimismo, la RAE define un límite inferior, en un conjunto de magnitudes, como magnitud máxima que es inferior a todas las del conjunto. Y límite superior, en un conjunto de magnitudes, como magnitud mínima que es superior a todas las del conjunto.

1.2.2. Definiciones y teoremas

Definición: Sea f :RR definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a “a”, excepto posiblemente en el número a mismo, se dice que el número

L es el límite de f(x) cuando x se aproxime a a, se denota como f x L

a

x ( )

lim , si para

todo  0, no importa que tan pequeño, existe un  0 tal que f

 

x L 



Siempre

que 0 xa 



Observación

La definición es equivalente a L

x f

a

x ( )

lim ,







0,



0  xDf 0 xa 



|



   f(x) L

Interpretación geométrica

Localizase en el punto



a,L



para un numero  0 dado, dibújense las dos rectas

horizontales yL, y L . La definición de f x L

a

x ( )

lim requiere que dado  0 podemos escoger  0 tal que aquellos puntos



x,f(x)



sobre la gráfica de f(x) (xa) que se encuentre entre las rectas verticales xa, xa se encuentran también entre las rectas horizontales yL,. yL

Ejemplo 1:

Demostrar que lim



3 4



19

5  



 x

x

Demostración

Dado un



0,



0 f(x)L 



siempre que 0 xa 



En efecto.

5 3 15 3 19 4 3 )

(x L  x   x  x

f 3x(5)



  ( 5)

3x siempre que 0 x(5) 



3 ) 5 (  

x siempre que 0 x(5) 



Por lo tanto   3

En particular  1 , 3 1 



Ejemplo 2:

Demostrar que lim(8 ) 3

5  

 x

x

Dado que  0, 



0 8x3 



siempre que x5 





 x

5 Siempre que x5 





 

(x 5) Siempre que x5 





 

1x 5 Siempre que x5 





 5

x Siempre que x5 



Luego  

Por lo que lim(8 ) 3

5  

 x

x

Teoremas (propiedades)

1. Si limf(x) L1

a

x  y limxa f(x)L2 L1 L2

2. Si m y b son constantes cualesquiera b

ma b mx

a

x (  ) 

lim

3. Si C es una constante, entonces para cualquier número a C

C

a x 

lim

4. x a

a x 

lim

5. Si f x L

a

x ( )

lim , g x M

a x ( )

lim entonces M

L x g x f

a

x ( ( ) ( )) 

lim

6. lim f(x) L1

a

x  , limxa f2(x) L2,... limxa fn(x)Ln entonces



n



n

a

x f (x) f (x)... f (x) L L ...L

lim _{1 2 1 2}

7. Si f x L

a

x ( )

lim , g x M

a x ( )

lim entonces

LM x g x f a

x ( ) ( )

lim

8. lim f₁(x) L₁

a

x  , limxa f2(x) L2,... limxa fn(x)Ln entonces



n



n

a

x f (x)f (x)...f (x) LL ...L

lim_ 1 2  1 2

9. Si f x L

a

x ( )

lim , nZ entonces





n n a

x f(x) L

lim

10.Si f x L

a

x ( )

lim , g x M

a x ( )

lim , M 0entonces

M L x g x f a

x _{( )} 

) (

lim

11.Si f x L

a

x ( )

lim entonces n n

a

x f(x)  L

lim

Si L0 y nZ, si L0 y n entero impar positivo.

Ejemplo 1

Demostrar 5

1 1

1 0, 0 ( )

) (

lim         

a f x L dado f x L

x siempre que 0 1



 

 x a

2 2

2 0, 0 ( )

) (

lim         

ag x M dado g x M

x siempre que0 xa 



2

Queremos demostrar que



f x g x



L M

a

x ( ( ) ( )  

lim

Dado  0 ,  0/| f(x)g(x)LM| siempre que 0 xa 



M x g L x f M L x g x

f( ) ( )  | ( )  ( )

2 1 )

( | | ) ( | ) ( )

(

| f x Lg x M  f x L  g x M 







Tomando 12  /2 tenemos

  

    



2 2 | ) ( )

(

| f x L g x M siempre que 0 xa 



con  min(₁,₂)

Por tanto



f x g x



L M

a

x ( ) ( )  

lim

Ejemplo 2:

Demostrar mx b ma b

a

x (  ) 

lim

Dado que  0, 



0 mxbmab 



siempre que xa 





 ma

mx Siempre que xa 





 a x

m siempre que xa 



m a

x   Siempre que xa 



Luego m

  

Por lo tanto, mx b ma b

a

x (  ) 

lim

Ejemplo 3:

Hallar lim(2 2 8)

3 

Solución: ) 8 ( lim ) 2 ( lim ) 8 2 ( lim 3 2 3 2

3  

   x x

x x x

10

8

)

3

(

2

2







Ejemplo 4:

Hallar: )

2 4 ( lim 2 2    _x x x Solución: 4 ) 2 ( lim 2 ) 2 )( 2 ( lim ) 2 2 ( lim 2 2 2 2

2   

          

 _x x

x x x x x x

x , x2

Ejemplo 5: Hallar 2 8 lim 3 2    _x x x Solución:











2



2 4

4 2 2 2 8 2 2 3           x x x x x x x x

, x2

2 8 lim 3 2    _x x

x =

lim



2

4



2

2

(

2

)

4

12

2

2

2















x

x

Solución:

x

x2 2

=

) 2 2 (

) 2 2 )( 2 2 (

 

  



x x

x x

2 2 1 )

2 2 (

2 2

    

  

x x

x x

x x

x

2 2 lim

0

 

 = _{2 2}

1

2 2

1 lim

0   

 _x

x

1.2.3. Limites unilaterales

Introducción

Sea

f

(

x

)



x



2

, f(x) está definida en x2 es decir f(x) no está definida en cualquier intervalo abierto que contenga a -2 por lo que no podemos considerar lim 2

2  

 x

x

Sin embargo x está restringido a valores mayores que -2, el valor de

x



2

se puede hacer tan cercano a cero como queramos tomando x suficientemente cercana a -2 pero mayor que -2.

Es decir nos estamos aproximando a -2 por la derecha, el cual llamamos el límite unilateral por la derecha.

Definición: Sea f una función que está definida en todos los números de algún intervalo abierto (a,c). Entonces el límite de f(x) cuando x se aproxime a a por la derecha es L y se denota f x L

a

x  

Si para cualquier  0, 0 tal que | f(x)L| siempre que 0xa

Definición: Sea f una función que está definida en todos los números de algún intervalo abierto (d,a). Entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se denota f x L

a x    ( ) lim

Si para cualquier  0, no importando que tan pequeño, existe un  0 tal que



  | ) (

| f x L siempre que  xa0

Teorema

Si lim f(x)

a

x existe y es igual a L si y solo sixlima f(x)

, lim f(x)

a x 

existen y son iguales a L. Ejemplo 1 Sea         x si x x si x x f 3 10 3 , 1 2 ) (

Hallarlim ( ) 3

x f

x

, lim ( ) 3

x f

x

, graficar f(x)

Solución 7 1 ) 3 ( 2 ) 1 2 ( lim ) ( lim 3

3      

 f x x x

x , 7 3 10 ) 10 ( lim ) ( lim 3

3      

 f x x x

x

   _

 _

 ( ) lim ( ) 7

lim

3

3 f x x f x

Figura 9: Limites por derecha e izquierda a 3, elaboración propia.

Ejemplo 2:

Sea

  

 

 



1 1

1 ,

3 )

(

2

x si x

x si x

x

f Hallarlim ( )

1 f x

x , graficar f(x)

Solución:

4 3 1 ) 3 ( lim ) (

lim 2

1

1        f x x x

x

, lim ( ) lim( 1) 1 1 2 1

1      

 f x x x

x

Como lim ( ) lim ( ) 1

1 f x x f x

x   , Entonces limx1 f(x) no existe

2 4 6 8

6 4 2

f(x)=10-x

Figura 10: Limites por derecha e izquierda a 1, elaboración propia.

1.2.4 Límite al infinito

Introducción

Sea

5 4 )

( ₂

 

x x f

Si hacemos crecer x tan grande como se quiera tenemos.

x 0 3 5 10 100 1000

) (x

f 0.80 0.29 0.13 0.04 0.0004 0.00004

Podemos hacer | f(x)0| tan pequeño para x grande, es decir para  0 podemos encontrar N0/| f(x)0| siempre que xN.

x 0 -3 -5 -10 -100 -1000

) (x

f 0.80 0.29 0.13 0.04 0.0004 0.00004

Podemos hacer | f(x)0| tan pequeño para x que decrece sin límite, es decir para  0 podemos encontrar un N 0/| f(x)0| siempre que xN.

Definición: Sea f una función que está definida en todos los números de algún intervalo



a, 



. El límite de f(x) cuando x crece sin límite es L y se denota por

 

x L f

xlim 

Si para cualquier  0 no importando que tan pequeño, existe un N 0 tal



  | ) (

| f x L siempre que xN

Definición: Sea f una función que está definida en todos los números de algún intervalo abierto



, a



. El límite de f(x) cuando x decrece sin límite es L y se denota

 

x L f

xlim 

Si para cualquier  0 no importando que tan pequeña, existe un N0 tal que



  | ) (

| f x L siempre que xN

Teorema. Si r es cualquier entero positivo, entonces

i) lim 1 0

    



 r

x _x ii) 0

1 lim 

    



 r

x _x

Demostración

i) Dado



0, 0 1_r 0 



x

   _r r x x 1 1

siempre que xN

r

x





1

siempre que xN

x r        1/

1

 siempre que xN

r N / 1 1         

ii) lim 1 0

       r x _x

Dado



0, 0 1_r 0 



x

N  xN

   _r r x x 1 1

, xN

x

 



1 _,

N x x0, 

x r         1/

1

 , x0,xN

N x x x r          

 1 , 0, / 1  N x N r          

 1 ,

/ 1



Ejemplo 1:

Demostrar que lim( 3₂) 0

00   _x x

Dado que  0,  0 3₂ 0 



x

N siempre que x N





2 3

x Siempre que x N

 

2

3

x

Siempre que x N





2

3

x Siempre que x N

2

3

x



 Siempre que x N

2 3

x 



Siempre que x N

Entonces:



3

 N

Por lo tanto lim( 3₂) 0

00   _x x

Ejemplo 2:

Hallar: )

Ejemplo 3:

Hallar: _

       

 _{6 1}

3 10 lim ₂ 2 x x x Solución: 2 1 6 3 0 6 3 0 1 6 3 10 lim 1 6 3 10 lim 2 2 2 2 2 2                                         x x x x x x x x

Ejemplo 4: Demostrar que 1

5 2

3 2

lim 

         _x x x Demostración:

Dado  0,  



   1 5 2 3 2 0 x x

N , x  N

, | 5 2 | 8    

x cuando x0,xN

, 5 2

8 _ 

x cuando x0,xN

, 5 8 2 1 x        



xN

       

 8 5

2 1



N

1.2.5 Límites infinitos

Definición: Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo abierto

I

que contenga a a, excepto posiblemente en el número a. A medida

que x se aproxime a a, f(x) crece sin límite, lo cual se denota

 

 a f x x

lim

Si para cualquier N 0,  0 f(x)N siempre que 0 xa 



Observación

 

 a f x x

lim , significa que el límite no existe, pero  indica el comportamiento de los valores de la función f(x) a medida que x se acerca cada vez más a a.

Definición: Sea f una función que está definida en todo número de algún intervalo

abierto

I

que contenga a a, excepto posiblemente en a mismo. A medida que x se

aproxime a a, f(x) decrece sin cota, lo cual se denota

 

 a f x x

lim

Si para cualquier N0,  0 f(x)N siempre que 0 xa 



.

Teorema. Si r es cualquier entero positivo:

i) _ 



 r

x _x

1 lim

0

ii)

  

 

  

 

 _{si r es par}

impar es

r si xr

x ,,

, 1

lim

0

Demostración:

i) _ 



 r

x _x

1 lim

0

Si dado N 0,  0 f(x)N siempre que0 xa 



N xr 

1

, siempre que 0|x|

r

x N 

1

, siempre que 0x

x N

r 1  _{, siempre que 0}_x

  r

N

1

ii). a) _  

 ( )

lim 0 f x

x , si

r es impar

Si dado N

x

N 0,  0 1_r 

N xr 

1 _{, siempre que  x00}

r x N

    1

, siempre que  x0

Como res impar, x es negativo x

N

r        1/

1

 

  r r

N N

/ 1 /

1

1 ,

1

        

   

 _

b) 

 

lim₀ 1 f(x)

x

, r es par

Teorema. Si a es cualquier número real y si lim

 

0

a f x

x y limxag

 

x c c

constante no cero entonces

i. Si c0,f(x)0 a través de valores positivos de f(x)

 

_{ }



 _{f x}

x g a x

lim

ii. Si c0, f(x)0 a través de valores negativos de f(x)

 

_{ }



 _{f x}

x g

a x

lim

iii. Si c0, y f(x)0 a través de valores positivos de f(x):

 

_{ }



 _{f x}

x g

a x

lim

iv. Si c0, y f(x)0a través de valores negativos de f(x)

 

_{ }



 _{f x}

x g

a x

lim

Ejemplo 1:

Hallar: 

    





 ₄

9 lim

4 x

Solución:                      _  ₀ 9 4 1 lim 9 4 9 lim 4

4 x x x

x

Ejemplo 2:

Hallar: 

          ₁ 1 2 lim 1 x x x Solución:                 ₀ 3 1 1 2 lim 1 x x x

Ejemplo 3: Hallar

3 4 2 lim 3 3      _x x x Solución:







3



lim 4 2 lim 3 4 2 lim 3 3 3 3 3               _x x x x x x x

 

       ₀ 4 54 lim 3 x f x

Ejemplo 4: Hallar

Solución:







3



lim 4 2 lim 3 4 2 lim 3 3 3 3 3               _x x x x x x x

 

       ₀ 4 54 lim

3 f x

x

Ejemplo 5: Calcular

5 3 2 lim 2      _x x x x Solución: 2 5 3 1 2 ) ( x x x x f           ₀ 2 ) ( lim f x

x

1.2.6. Asíntotas horizontales y verticales

Definición: Decimos que la recta xa es una asíntota vertical de la gráfica de la

función f , si al menos una de las siguientes proposiciones es cierta:

i. _ 

 ( )

lim f x

a x

ii. _ 

 ( )

lim f x

a x

iii. _ 

 ( )

lim f x

a x

iv. _ 

 ( )

lim f x

a x

Definición: Decimos que la recta ybes una asíntota horizontal de la gráfica de la función f , si al menos una de las siguientes proposiciones es cierta:

i. f x b

ii. f x b

xlim ( )

Ejemplo 1:

Encontrar las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica

5 4 ) (

 

x x f

Solución:

Asíntotas verticales   



 ₅

4 lim

5 _x

x

  



 ₅

4 lim

5 _x

x

La recta x5 es una Asíntota vertical

Asíntotas horizontales

0

5 4

lim 



  _x x

0

5 4

lim 



  _x x

La rectay0 es una Asíntota horizontal

Figura 11: Asíntotas verticales y horizontales, elaboración propia.

x 6 8 4 0

) (x

Ejemplo 2:

Encontrar las asíntotas horizontales verticales de la gráfica

 

x x

f 11

Solución:

Asíntotas verticales

 

x x x x

f 11  1

        



 _x

x

x

1 lim

0

        



 _x

x

x

1 lim

0

Luego la recta x0, es una asíntota vertical

Asíntotas horizontales

1 1 1 lim 

     



 _x

x

1 1 1 lim 

     



 _x

x

Figura 12: Asíntotas verticales y horizontales, elaboración propia.

1.2.7. Límites trigonométricos

Teorema:

i. lim 1

0 

 _x

senx

x

ii. limtan 1

0 

 _x

x

x

iii. senx sena

a

x 

lim

iv. x a

x cos cos

lim 



v. lim1 cos 0

0    _x x x Ejemplo 1:

Hallar 

      _x x sen x 6 lim 0 Solución: 6 ) 1 ( 6 lim 6 6 6 lim 6 6 6 6 lim 6 lim 0 0 0

0  

Observación:

x t x

x0,6 0, 6

Ejemplo 2:

Calcular 

       _x x x 4 cos 1 lim 0 Solución: 0 0 * 4 4 4 cos 1 lim 4 4 ) 4 cos 1 ( 4 lim 4 cos 1 lim 0 0

0  

                        _x x x x x x x x x Ejemplo 3.

Calcular 

       _x senx x x tan lim 0 Solución: 2 1 1 lim tan lim tan lim 0 0

0   

                      _x senx x x x senx x x x x Ejemplo 4:

Calcular _

       senx x x 2 1 cos lim 4  Solución: ) 2 2 ( 4 2 ) 2 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 2 1 4 cos 2 1 cos lim 2 4                        sen senx x x

Ejemplo 5: Calcular

Solución:

x x sen

x x sen

x sen

x sen

8 8 3

3 3 8 8 3 _

, Si x0, 8x0, t3x

f

 

x

x 0 lim

 = ₈

3 lim

0 



t sent

t sent

t

1.2.8. Continuidad de funciones reales de variable real

Definición: Se dice que la función f es continua en el número a sí y solo si las tres

condiciones siguientes se cumplen: i. f(a) existe

ii. lim f(x)

a

x existe

iii. lim f(x)

a

x = f(a)

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen para a, se dice que la función f

es discontinua en a.

Ejemplo 1:

Sea f(x)definida por f(x) x4 analizar la continuidad en x4

Solución:

  

  



  



x si

x

x si

x x f

4 4

4 ,

4 )

(

ii. lim ( 4) 0

4  



 x

x

lim ( 4) 4 4 0

4     



 x

x

 lim( ) 0

4 



 x

x

iii. f(4) lim ( ) 0

4 

  f x x

 f(x) es continua en x4

Ejemplo 2: Sea g

 

x definida por

 

  

 

 



3 ,

2

3 , 2

x x

x x

x g

Analizar la continuidad en x3

Solución:

i. g

 

3 235

ii. lim



2



5

3  

 x

x , xlim3



2x



1 )

( lim ) ( lim

3

3 g x x g x

x  

Entonces

 

  g x x 3 lim

iii. lim

   

3

3g x g

Figura 13: discontinuidad en _x₃, elaboración propia.

Definición: se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y solo si es continua en todo número del intervalo abierto.

Teorema: si f , g son dos funciones que son continúas en el número a, entonces:

i. f g es continua en a

ii. f g es continua en a

iii. f g es continua en a

iv. f g es continua en a, g

 

a 0

En efecto i

 f

 

x f

 

a

a

x 

lim , g

 

x g

 

a

a

x 

lim





f

   

x g x



f

 

x g

 

x

a x a

x a

x  lim lim

lim

Definición: se dice que la función f es continua en un número a, si f está definida en

algún intervalo abierto que contiene a a y si para cualquier  0,

   





  

Capítulo 2

Sucesiones reales de variable real

2.1.- Sucesiones

Definición.- una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.

Los números en el rango de la sucesión, los cuales se llaman los elementos de la sucesión son los números reales.

En otros términos: “Una sucesión de números reales es una aplicación X: N+ _R

n xn

Tal que a cada número n ͼ N+ corresponde un solo número real xn.”(Lázaro, 2009,

p. 12).

Para enriquecer el aporte cognitivo sobre la definición de una sucesión de números reales cito a Haaser, La Salle, Sullivan (1975, pp. 452-453):

Una sucesión de puntos en Rm es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de puntos en Rm_.

Así pues, una sucesión de puntos s es una correspondencia del conjunto de los enteros positivos a un conjunto de puntos., es decir, para cada entero positivo n hay un punto s(n) que le corresponde. Es más común escribir Sn que s(n) y denotar la sucesión

Observación:

Si el dominio es un subconjunto de N, se llama sucesión finita.

Notación:

Una sucesión es una correspondencia del conjunto a un conjunto de puntos, así para cada hay un que le corresponde:

n

a

n

a

n

f

(

)



(

)



= Sn



f(n)



 

a

n

Ejemplo 1:

 

1 1,: 1,12,13,... )

(

n n n

f  

La sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma

),... 3 / 1 , 3 ( ), 2 / 1 , 2 ( ), 1 , 1 ( : )), ( ,

(n f n así

Ejemplo 2:

,

Ejemplo 3:

2 ) (n  f

N

,

N

n f(n)

) (n S

n n n

f( ) 1 n0

,... 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 , 0 

n

,...

2

,

2

,

2

,

2

,

2



n

a

Ejemplo 4. Representación Gráfica de una sucesión R

1 3 ) (

 

n n n

f

Figura 14: grafica de la sucesión, elaboración propia.

Intuitivamente observamos que el elemento estará tan cerca de 1/3 como queramos tomando el número del elemento suficientemente grande. Expresando de otra manera tenemos que: 1/3 

1 3n 

n _{tomando un n bastante grande, por lo que establecemos que}

3 1 1 3

lim 

  

 





 _n

n

n

2.2.- Límite de una sucesión

Definición.- Una sucesión

 

a

_n se dice que tiene el límite L si para todo0 existe un número N0 tal que an L 



para todo enteron  N y escribimos:

 

an L

nlim 

0.25 1/3 0.37

0.50

5 4

3 1 2

f (n)

n (4, 4/13)

(3, 3/10) (2, 2/7)

(1, 1/4)

.

.

.

Ejemplo 1: Demostrar 13 1 3

lim 

  

 





 _n

n

n

Solución:

Debemos demostrar que para cualquier  0 existe un número N0, tal que:

 

1 1/3 3n

n _, _n_N

Por lo tanto debemos encontrar un N0, tal que:



 3 9

1

n , n N

Pero  3 9

1

n es equivalente a n



 

9 3 1

Así se sigue que

   1 1/3 3n

n _,

 

9 3 1  n

Por lo tanto:

 

9 3 1 

N

Ejemplo 2. Demostrar 0

1 3 lim 

    





 _n

n

Solución:

Debemos demostrar que para cualquier  0, N0/



  1 0 3



 1 3

n Siempre que n N

Pero  1 3

n es equivalente a 1n 3

 3/ + 1  n.

Así se sigue que  



1 0 3

n , 1

3     n

Por lo tanto

1 3    N

Teorema.- Si r es cualquier entero positivo entonces:

i) lim1/ 0

 

r

x x

, ii) lim1/ 0

 

r

x x

Ejemplo 1: Hallar 

      

 _{3 1}

lim

n n

n

Solución:

Aplicando el teorema tenemos:

       

 _{3 1}

lim

n n

n = 

     

 _{n n n}

n n

n _{3 / 1/}

/

lim = 

        _n

n _{3 1/}

1

lim = 1/3

Ejemplo 2: Hallar _

       

 _{n n}

n n 2 2 3 1 2 lim Solución:         

 _{n n}

n n 2 2 3 1 2

lim = _

       

 2 2 2

2 2 2 / / 3 / 1 / 2 lim n n n n n n n n = _          _n n

n _{3 1/}

/ 1 2 lim

2

= 2/3

Definición.- Si una sucesión

 

S

_n tiene un límite, se dice que la sucesión es convergente

Si la sucesión no es convergente, se dice que es divergente.

Ejemplo 1: Demostrar que si r 1|, la sucesión

 

r

n es convergente a cero.

Demostración:

i) si r 0 lim 00

  n

ii) si 0 r 1

Debemos demostrar que dada  0 ,



 x 

r

N 0/ , x N 

 x

r es equivalente a xlnr ln



r xln



/ln Así se sigue que



 0

x

r , xln



/lnr

Por lo tanto N ln



/lnr  lim 0

 

n n x

Ejemplo 2. Determine si la sucesión 3 2 8  n n

es convergente o divergente.

Solución: 4 2 8 3 2 8 lim 3 2 8 lim 3 2 8

lim  

                                       n n n n n n n n n

n es convergente

Ejemplo 3. Determinar si la sucesión

       n n2 1

es convergente o divergente.

Solución:                              

 _n n _n n _n

Es divergente.

Teorema.- Si

 

a

_n ,

 

b

_n son sucesiones convergentes y c es una constante entonces

i) La sucesión constante

 

c tiene a c como su límite, c c

nlim 

ii) _n

n n

nlimca c lima

iii) _n

n n n n n

nlim(a b ) lima  limb

iv) _n

n n n n n

nlim(a b ) lima  lim00b

v) _n

n n n n n

nlim(a /b ) lima / lim00b , nlimbn 0

Ejemplo:

Determinar si la sucesión 

           

 2 1

1 1 4 n n n es convergente Solución:                                

 _{2 1}

1 lim 1 4 lim 1 2 1 1 4 lim n n n n n n n n n                       

 _{2 1}

1 lim 2 1 4 lim n n n n n 0 ) 0 )( 4

(  es convergente

2.3.-Sucesiones monótonas y acotadas

Definición.- Una sucesión  

a

_n , se dice que es:

i) creciente si

a

_n



a

_n1, n

Si una sucesión es creciente o decreciente se llama monótona. iii) Si

a

_n



a

_n1sucesión estrictamente creciente.

iv) Si

a

_n1



a

_n sucesión estrictamente decreciente.

Ejemplo 1. La sucesión

(



1

)

n es no monótona. En efecto:

n

)

1

(



:1,

1

, 1,

1

, 1, ...

Ejemplo 2. La sucesión

a

_n



n

2 es monótona

Solución

..

,...

36

,

25

,

16

,

8

,

4

,

1

:

n

a

Para que sea creciente debe cumplir

1





_n

n

a

a

2 2

)

1

(





n

n

n2 n2 2n1 02n1, n0

La sucesión es creciente por lo tanto es monótona

Ejemplo 3. La sucesión

     

n

2 1

es monótona

Solución:

a

n

:

1

,

1

2

,

1

/

4

,

1

/

8

,

,

1

/

16

,...