FORMULA GENERAL PARA CONOCER LA CANTIDAD DE PRIMOS ENTRE
DOS NÚMEROS CUADRADOS DIFERENTES
POR: JOSÉ WILLIAM PORRAS FERREIRA
Sea
la cantidad de números primos contenidos entre los dos cuadrados
y
, siendo n,
a
es decir:
(1)
Donde
p(
y p
representan la cantidad de números primos
contenidos en
y
respectivamente.
Prueba:
El teorema de los números primos establece que la cantidad de números
primos menores a
x para x muy grandes es:
p(x)
(2)
Por lo tanto:
p(
)
y p(
)
p(
que puede ser reducida a:
Aplicando límites a ambas funciones podemos determinar lo siguiente:
(
)
Como:
(
) nos quedaría:
(
)
Siendo
también una función creciente, continua y divergente al no tener
límites.
Por lo anterior podemos hacer:
Las siguientes tablas y gráficos nos muestra una verificación de esta función
con relación a los cálculos reales hechos de la cantidad de primos entre
y
para
a=1,2,3,4,5….
n a (n+a)² p(n²) p((n+a)²) real calculada
1 1 1 4 0 2 2 2 2 4 9 2 4 2 2 3 9 16 4 6 2 3 4 16 25 6 9 3 3 5 25 36 9 11 2 3 6 36 49 11 15 4 3 7 49 64 15 18 3 4 8 64 81 18 22 4 4 9 81 100 22 25 3 4 10 100 121 25 30 5 4 15 225 256 48 54 6 6 20 400 441 78 85 7 7 25 625 676 114 122 8 8 30 900 961 154 162 8 9 40 1600 1681 251 263 12 11 50 2500 2601 367 378 11 13 60 3600 3721 503 519 16 15 70 4900 5041 654 668 14 17 90 8100 8281 1018 1038 20 20 99 9801 10000 1208 1229 21 22
Tabla No. 1. Comparacion de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3 y
a=1.
Gráfico No. 1. Comparación de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
n a n² (n+a)² p(n²) p((n+a)²) p(n1) real calculada (n) 3 2 9 25 4 9 5 5 4 16 36 6 11 5 6 5 25 49 9 15 6 6 6 36 64 11 18 7 7 7 49 81 15 22 7 7 8 64 100 18 25 7 8 9 81 121 22 30 8 8 10 100 144 25 34 9 9 11 121 169 30 39 9 9 12 144 196 34 44 10 10 13 169 225 39 48 9 10 14 196 256 44 54 10 11 15 225 289 48 61 13 11 20 400 484 78 92 14 14 30 900 1024 154 172 18 18 40 1600 1764 251 275 24 22 50 2500 2704 367 393 26 26 60 3600 3844 503 532 29 30 70 4900 5184 654 690 36 33 80 6400 6724 834 867 33 37 90 8100 8464 1018 1058 40 40 98 9604 10000 1185 1229 44 43
Tabla No 2. Comparacion de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3 y
a=2.
Gráfico No 2. Comparación de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
n a n² (n+a)² p(n²) P((n+a)²) (n) real (n) calculada 1 3 1 16 0 6 6 5 2 4 25 2 9 7 7 3 9 36 4 11 7 8 4 16 49 6 15 9 8 5 25 64 9 18 9 9 6 36 81 11 22 11 10 7 49 100 15 25 10 11 8 64 121 18 30 12 12 9 81 144 22 34 12 13 10 100 169 25 39 14 13 11 121 196 30 44 14 14 12 144 225 34 48 14 15 13 169 256 39 54 15 16 14 196 289 44 61 17 16 15 225 324 48 66 18 17 20 400 529 78 99 21 21 25 625 784 114 134 20 24 30 900 1089 154 181 27 27 35 1225 1444 200 228 28 30 40 1600 1849 251 283 32 33 45 2025 2304 306 342 36 36 50 2500 2809 367 409 42 39 60 3600 3969 503 549 46 45 70 4900 5329 654 705 51 50 80 6400 6889 834 886 52 55 90 8100 8649 1018 1077 59 61 97 9409 10000 1163 1229 66 64 105 11025 11664 1335 1398 63 68 110 12100 12769 1444 1519 75 71 115 13225 13924 1567 1640 73 73
Tabla No. 3. Comparacion de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3 y
a=3.
Gráfico No 3. Comparación de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
n a n² (n+a)² p(n²) P((n+a)²) (n) real (n) calculada 1 4 1 25 0 9 9 7 2 4 36 2 11 9 9 3 9 49 4 15 11 10 4 16 64 6 18 12 12 5 25 81 9 22 13 13 6 36 100 11 25 14 14 7 49 121 15 30 15 15 8 64 144 18 34 16 16 9 81 169 22 39 17 17 10 100 196 25 44 19 18 11 121 225 30 48 18 19 12 144 256 34 54 20 20 13 169 289 39 61 22 21 14 196 324 44 66 22 22 15 225 361 48 73 25 23 20 400 576 78 105 27 28 25 625 841 114 146 32 32 30 900 1156 154 191 37 36 35 1225 1521 200 240 40 40 40 1600 1936 251 295 44 44 45 2025 2401 306 357 51 48 50 2500 2916 367 421 54 52 60 3600 4096 503 564 61 60 70 4900 5476 654 722 68 67 80 6400 7056 834 906 72 74 90 8100 8836 1018 1100 82 81 96 9216 10000 1142 1229 87 85 105 11025 11881 1335 1421 86 91 110 12100 12996 1444 1543 99 95 115 13225 14161 1567 1661 94 98
Tabla No. 4. Comparacion de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
y
a=4.Gráfico No 4. Comparación de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
n a n² (n+a)² p(n²) p(n+a)² (n) real (n) calculada 1 5 1 36 0 11 11 10 2 4 49 2 15 13 12 3 9 64 4 18 14 13 4 16 81 6 22 16 15 5 25 100 9 25 16 16 6 36 121 11 30 19 18 7 49 144 15 34 19 19 8 64 169 18 39 21 20 9 81 196 22 44 22 22 10 100 225 25 48 23 23 11 121 256 30 54 24 24 12 144 289 34 61 27 26 13 169 324 39 66 27 27 14 196 361 44 73 29 28 15 225 400 48 78 30 29 20 400 625 78 114 36 35 25 625 900 114 154 40 40 30 900 1225 154 200 46 46 35 1225 1600 200 251 51 51 40 1600 2025 251 306 55 56 45 2025 2500 306 367 61 61 50 2500 3025 367 434 67 66 60 3600 4225 503 578 75 75 70 4900 5625 654 739 85 84 80 6400 7225 834 923 89 93 90 8100 9025 1018 1121 103 102 96 9216 10201 1142 1252 110 107 100 10000 11025 1229 1336 107 110 105 11025 12100 1336 1447 111 114 110 12100 13225 1447 1572 125 119 115 13225 14400 1572 1686 114 123 120 14400 15625 1686 1821 135 127 125 15625 16900 1821 1948 127 131
Tabla No. 5. Comparacion de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3 y
Gráfico No 5. Comparación de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
y
a=5. Datos tomados de la tabla No. 5.El siguiente gráfico nos muestra una comparación simultánea de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3 y
a=3,4 y 5. Datos tomados de las tablas
Nos. 3,4 y 5.
Gráfico No 6. Comparación de
real Vs.
calculada
con la ecuación 3
Teniendo en cuenta que en 1852 Schebychef
1publicó en su obra “Mémoire sur
les nombres premiers” la demostración que p(x)/(x/ln x) para x grande estaba
en:
0,92129
(4)
Y en 1892 Sylvester
2mejoró la demostración anterior demostrando que el
límite establecido por Schebychef para
p(x)/(x/ln x) estaba en:
0,956
(5)
Cuando aplicamos la ecuación 2 es necesario tener en cuenta estos límites por
lo tanto:
0,956
(6)
Si invertimos la anterior desigualdad nos quedaría:
1,046025
para x grande (7)
El siguiente gráfico nos muestra la ecuación 7 con relación a la ecuación 3.
Gráfico No. 7. Comparación ecuaciones 3 y 7.
De esta forma terminamos la prueba, quedando demostrada la valides de la
ecuación 3.
Existe una razón matemática para que
(n) tenga más primos con el
crecimiento de (
n+a)²-n² al irse incrementando n, tal como se demostró
1 José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números primos” Revista de investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011 p 15-16
2
J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised within given limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
cuando se solucionó la conjetura de Goldbach
3y es que si bien los números
primos son aleatorios dentro de
n, el incremento de separación promedio de los
números primos es menor con relación al incremento de pasar de
n² a (n+a)²,
por lo tanto tendríamos más primos en
(n) cuando (n+a)²-n² se va
incrementando.
Este procedimiento me permitió demostrar las conjeturas de Legendre y de
Brocard que se consideraban inabordables.
Comprobación adicional de la validez de la ecuación 3.
Retomemos la ecuación 3 donde se demostró que:
siendo
la cantidad de números primos entre n² y
(n+a)².
Si fijamos a n=1 y hacemos crecer
a esta ecuación quedaría:
y haciendo
x=a² quedaría:
√
√
(11)
La ecuación 11 no solo tiene el mismo comportamiento de la ecuación 2, sino
que nos da una mejor estimación de
p(x). La siguiente tabla nos muestra este
comportamiento.
a x p(x)real (2a+a²)/ln (1+a)² x/lnx
2 4 2 4 3 3 9 4 5 4 4 16 6 7 6 5 25 9 10 8 6 36 11 12 10 7 49 15 15 13 8 64 18 18 15 9 81 22 21 18 10 100 25 25 22 15 225 48 46 42 20 400 78 72 67 25 625 114 104 97 30 900 154 140 132 35 1.225 200 181 172 40 1.600 251 226 217 45 2.025 306 276 266 50 2.500 367 331 320 60 3.600 503 452 440 70 4.900 654 591 577 80 6.400 834 746 730 90 8.100 1.018 918 900 100 10.000 1.229 1.105 1.086 316,23 100.000 9.592 8.736 8.686 3
1.000,00 1.000.000 78.498 72.517 72.382
3.162,28 10.000.000 664.579 620.789 620.421
10.000 100.000.000 5.761.455 5.429.708 5.428.681
31.622,78 1.000.000.000 50.847.534 48.257.847 48.254.942 100.000 10.000.000.000 455.025.509 434.302.791 434.294.482
Tabla No. 6. Comparacion de
real Vs.
calculada
con las ecuaciones
11 y
2
.
Los siguientes dos gráficos nos muestran las curvas respectivas de
real
Vs. calculada
con las ecuaciones 11 y
2
.
Gráfico No. 8. Comparación de
las curvas respectivas de
real Vs.
calculada
con las ecuaciones 11 y
2
.
.
José William Porras Ferreira
Email:
jwporras@balzola.org
BIBLIOGRAFĺA
1. José Manuel Sánchez Muñoz “Historia de Matemáticas Riemann y los números primos” Revista de investigación pensamiento matemático. 1 de octubre de 2011. 2. José William Porras Ferreira. http://www.portalplanetasedna.com.ar/goldbach.htm
3. J.J. Sylvester, On Tchebycheff ’s theorem of the totality of prime numbers comprised within given limits, Amer. J. Math. 4 (1881), 230–247.
4. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Fermat's_last_theorem.html 5. http://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre
