SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

(1)

Partiendo de las condiciones expresadas en la ilustración y teniendo en cuenta el resultado anterior, ¿cómo equilibrarías esta balanza?

Sabíamos del principio que:

Y hemos averiguado que:

Por tanto, podemos sustituir por y queda:

(2)

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1

Representa estas rectas: a) y= 5x+ 1 b) y= 3 – 3x c) y= x– 3

a) b)

c)

2

Utiliza estas propiedades para resolver los siguientes problemas:

a) EN EL MERCADO ARMENIO. ¿Cuántos denarios vale cada moneda?

b) TRUEQUES. Un ganadero y un agricultor intercambian sus productos.

¿Cuántos kilos de trigo cuesta un pollo? ¿Y un cordero?

c) EN LA HAMBURGUESERÍA. ¿Cuánto cuesta una hamburguesa? ¿Y un refresco?

1 3 6 € ₈€ = 12 denarios = 9 denarios = ? = ? 60 kg 60 kg 60 kg 60 kg 60 kg 60 kg 60 kg 60 kg 60 kg (1, 6) (0, 1) (3, –2) (0, –3) (1, 0) (0, 3) x y 0 1 1 6 x y 0 –3 3 –2 x y 0 3 1 0

(3)

1 grande = 5 denarios → 1 pequeña = 2 denarios

b) Trueques:

3 pollos = 60 kg trigo → 1 pollo = 20 kg trigo

1 cordero = 180 kg trigo – 2 pollos = 180 – 40 = 140 kg trigo →

→ 1 cordero = 140 kg trigo

c) En la hamburguesería:

2 refrescos = 2,5 € → 1 refresco = 1,25 €

1 hamburguesa = 3,5 – 1,25 = 2,25 € → 1 hamburguesa = 2,25 €

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1

Representa las rectas correspondientes a estas ecuaciones: a) 2x– y= 3 b) –x+ y= 1

¿Cuál es la solución común a ambas ecuaciones?

a) y= 2x– 3 → Pasa por (2, 1) y (4, 5) b) y= x+ 1 → Pasa por (2, 3) y (4, 5)

La solución común a ambas ecuaciones es:

x= 4, y= 5

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1

Tenemos 76 céntimos de euro en veinte monedas de dos y de cinco céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase tenemos?

x= 8 y= 12    x+ y= 20 2x+ 5y= 76    x: nº- de monedas de 2 céntimos y: nº- de monedas de 5 céntimos 4 hamburguesas + 4 refrescos = 14 € → →1 hamburguesa + 1 refresco = 3,5 €    1 hamburguesa + 3 refrescos = 6 € 3 hamburguesas + 1 refresco = 8 €

6 pollos + 3 corderos = 540 kg trigo →

→2 pollos + 1 cordero = 180 kg trigo

  

1 pollo + 2 corderos = 300 kg trigo 5 pollos + 1 cordero = 240 kg trigo

3 grandes + 3 pequeñas = 21 denarios →

→1 grande + 1 pequeña = 7 denarios

  

2 grandes + 1 pequeña = 12 denarios 1 grande + 2 pequeñas = 9 denarios

–4 –6 –2 –2 2 4 6 –4 2 4 6 (4, 5) a) b)

(4)

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1

Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos:

→ →

2

Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equi-valentes:

a) b)

No son equivalentes.

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1

Fijándote bien en las ecuaciones que los forman, di cuál de los siguientes siste-mas tiene una solución, cuál es incompatible y cuál indeterminado. Comprué-balo representando las rectas:

a) b) c) d) x+ y= 5 x– y= 1    x + y= 5 2x+ 2y = 10    x + y= 5 –2x+ 5y= 10    x+ y= 5 x+ y= 0    3x– 5y= 0 2x+ 4y= 0    3x– 5y= 17 2x+ 4y= 4    x= 6 y= 1    x+ y = 7 2x = 12    x+ y= 7 x– y= 5    –2 –2 –4 –6 2 4 2 4 6 8 (6, 1) x + y = 7 x – y = 5 –2 –4 –6 2 4 2 4 8 (6, 1) x + y = 7 2x = 12 x = 6 –2 –4 –6 2 4 2 4 6 8 (6, 1) y = 1 6 –2 –2 –4 –6 2 4 2 4 6 8 10 (4, –1) 2x + 4y = 4 3x – 5y = 17 a) –2 –2 –4 –6 2 4 2 4 6 8 10 (0, 0) 2x + 4y = 0 3x – 5y = 0 b)

(5)

2

Completa los siguientes sistemas para que el primero tenga la solución x= 5,

y= 3, el segundo sea incompatible, el tercero sea indeterminado y el cuarto, también: a) b) c) d) a) b) c) d) 5x+ 11y= 3 15x+ 33y= 9    2x+ y= 4 4x+ 2y= 8    2x+ y= 4 4x+ 2y= 7    x– 4y= –7 2x+ y= 13    5x + 11y= … … + 33y= 9    2x + y= 4 4x … = …    2x + y= 4 4x+ 2y= …    x – 4y= … 2x … = 13    Una solución. Rectas secantes. d) Indeterminado. Rectas coincidentes. c) x + y = 0 x + y = 5 –1 –2 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 x + y = 5 –2x + 5y = 10 –1 –2 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2x + 2y = 10 x + y = 5 x + y = 5 x – y = 1 –1 –2 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 –3 –2 –1 –2 –1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6

(6)

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1

Resuelve, por el método de sustitución, los siguientes sistemas:

a) b) c) d) → Solución: x= ; y= Solución: x= ; y= Solución: x= ; y= Solución: x= 7, y= –5 Página 130

1

Resuelve, por el método de igualación, los siguientes sistemas:

a) b) c) d) 5x– 3y= 50 4x+ y= 23    3x+ 10y = 6 x+ 2y= 1    5x+ y= 8 3x– y= 11    x+ 5y= 7 3x– 5y= 11    5x– 69 + 12x= 50 →17x= 119 119 x= –– = 7 → y= 23 – 4x= –5 17      y= 23 – 4x 5x– 3(23 – 4x) = 50      5x– 3y= 50 4x+ y= 23 d) 3 4 –1 2 3 3 – 6y+ 10y= 6 → 4y= 3 → y= –– 4 –1 x= 1 – 2y= — 2      x= 1 – 2y 3(1 – 2y) + 10y= 6      3x+ 10y= 6 x+ 2y= 1 c) –31 8 19 8 19 3x– 8 + 5x= 11 → 8x= 19 → x= — 8 –31 y= 8 – 5x= — 8      y= 8 – 5x 3x– (8 – 5x) = 11      5x+ y= 8 3x– y= 11 b) 1 2 9 2 → 21 – 15y– 5y= 11 → –15y– 5y= 11 – 21 → –10 1 9 → –20y= –10 → y= –– = –– → x= 7 – 5y= –– –20 2 2    x= 7 – 5y 3(7 – 5y) – 5y= 11    x+ 5y= 7 3x– 5y= 11 a) 5x – 3y= 50 4x+ y= 23    3x + 10y= 6 x+ 2y= 1    5x + y= 8 3x– y= 11    x + 5y= 7 3x– 5y= 11   

(7)

→ Solución: x= ; y= Solución: x= ; y= Solución: x= ; y= → Solución: x= 7; y= –5 Página 131

1

Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas:

a) b) c) d) 5x– 3y= 50 4x+ y= 23    5x+ 2y= 25 11x– 5y= 102    3x– 5y= –26 4x+ 10y= 32    x+ 5y= 7 3x– 5y= 11    5x– 50 → — = 23 – 4x → 5x– 50 = 69 – 12x → 3 119 →17x = 119 → x = — = 7 → y = 23 – 4x= –5 17      5x– 50 y= ——— 3 y= 23 – 4x      5x– 3y= 50 4x+ y= 23 d) 3 4 –1 2 6 – 10y →— = 1 – 2y → 6 – 10y= 3 – 6y → 3 3 –1 →3= 4y → y= –– → x= 1 – 2y= –– 4 2      6 – 10y x= ——— 3 x= 1 – 2y      3x+ 10y= 6 x+ 2y= 1 c) –31 8 19 8 19 8 – 5x = 3x– 11 → 19 = 8x → x= –– 8 –31 y= 8 – 5x= —– 8      y= 8 – 5x y= 3x– 11      5x+y= 8 3x– y= 11 b) 1 2 9 2 7 – x 3x– 11 → —– = —– → 7 – x= 3x– 11 → 18 = 4x → 5 5 18 9 7 – x 1 → x= –– = –– → y= —– = –– 4 2 5 2    3x– 11 y= —– 5    3x– 5y= 11

(8)

Sumando: 4x = 18 → x= = ; y= = Solución: x= ; y= Sumando: 10x = –20 → x= = –2 y= = 4. Solución: x= –2; y= 4 Sumando: 47x = 329 → x= = 7 y= = –5. Solución: x= 7; y= –5 Sumando: 17x = 119 → x= = 7 y= 23 – 4x= –5. Solución: x = 7; y= –5 Página 132

1

Resuelve simplificando previamente:

Solución: x= 4; y= –3 3x+ 38 – 8x= 18 → →–5x= –20 → x= 4 → y= –3    y= –19 + 4x 3x– 2 (–19 + 4x) = 18    –4x+ y= –19 3x– 2y= 18      2x– 2 + 3y+ 12 = 6x+ 2y– 9 3x– 2y= 18      2 (x– 1) + 3 (y+ 4) = 2 (3x+ y) – 9 x y –– – –– = 3 2 3 2 (x– 1) + 3 (y+ 4) = 2 (3x+y) – 9 x y — – — = 3 2 3      119 17 5x– 3y= 50 12x+ 3y= 69 → · 3 →    5x– 3y= 50 4x+ y= 23 d) 25 – 5x 2 329 47 25x+ 10y= 125 22x– 10y= 204 · 5 → · 2 →    5x+ 2y= 25 11x– 5y= 102 c) 3x+ 26 5 –20 10 6x– 10y= –52 4x+ 10y= 32 · 2 → →    3x– 5y= –26 4x+ 10y= 32 b) 1 2 9 2 1 2 7 – x 5 9 2 18 4    x+ 5y= 7 3x– 5y= 11 a)

(9)

Sumando: 347x = 1 812 → x=

Sumando: 347y= 4 479 → y=

Solución: x= ; y=

Página 133

1

Dos poblaciones están a 50 km. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 5 km/h y un ciclista de B hacia A a 20 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿Qué distancia recorre el peatón?

Solución: Tardan 2 horas en encontrarse. El peatón recorre 10 km.

2

La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 300 km. Un autobús sale de A hacia B a 105 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A una moto a 120 km/h. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta el momento del encuentro.

4 300 – 105t= 120t→300 = 225t→t= — h = 1 h 20 min 3 4 x= 105t= 105 · — = 140 km →300 – x= 300 – 140 = 160 km 3      x= 105t 300 – x= 120t 50 50 – 5t= 20t → 50 = 25t → t= –– = 2 horas 25 x= 5t= 5 · 2 = 10 km      x= 5t 50 – x= 20t 4 479 347 1 812 347 4 479 347 –315x+ 77y= –651 315x+ 270y= 5 130 (1-ª) · (–7) (2-ª) · 45 1 812 347 270x– 66y= 558 77x+ 66y= 1 254    (1-ª) · 6 (2-ª) · 11    45x– 11y= 93 7x+ 6y= 114 45x– 11y = 93 7x+ 6y= 114  

DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD

PEATÓN x t 5 km/h CICLISTA 50 – x t 20 km/h 5 km/h 50 – x x A B 20 km/h

DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD

AUTOBÚS x t 105 km/h MOTO 300 – x t 120 km/h 105 km/h 300 – x x A B 120 km/h