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VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS
Volumen y Área de un Ortoedro Consideremos el siguiente ortoedro:
Arista: Línea formada por la unión de dos caras.
Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro.
Desarmando la figura:
h
b
a
V
………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro.total área el calcular permite que Expresión ab b a h B A A ab B entonces bases dos tiene Como base la de Área ab B lateral área el calcular permite que Expresión b a h bh ah A b a h bh ah bh bh ah ah A L T L L ... 2 ) ( 2 2 2 2 : , .... . )... ( 2 2 2 ) ( 2 2 2
Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo.
Área Lateral: Es el área de las caras laterales de un poliedro. Área de la Base: Es el área sobre la cual descansa la figura. Área Total: Es la suma del área lateral más el área de las bases.
Todas las caras son rectángulos, hay 2 caras que sirven de base, y 4 que son caras laterales a b h h h a b Base Base base la de área B atotal áre A lateral área A volumen V T L Diagonal h b a d 2 2 2. a b h Cara Arista 2 2 b a
El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones: largo x ancho x alto (abh) h b a V El volumen se expresa en unidades al cubo, o sea, exponente tres (3): ... , , 3 3 3 km cm m
2 EJEMPLO 1.
Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.
Solución:
Calculando el área de la base:
2 cm 40 5 8 cm cm BCalculando el área total:
2 2 2 2 2 132cm cm 52cm cm 52cm A 2B 2(40 ) 80 AT L
Calculando diagonal:
9,64cm a2 b2 h2 82 52 22 64 25 4 93 d
Otra forma para calcular el área total
: se halla el área de cada cara y
se suma
El área total es: 2
T 132cm
A 40cm240cm210cm2 10cm216cm2 16cm2 2
10cm
Para la cara lateral derecha, que
es igual a la izquierda, el área es:2
10 2
5cm cm cm
Para la cara base, que es igual a la
superior, el área es: 240 5
8cm cm cm
Para la cara lateral del frente, que
es igual a la del fondo, el área es:2 16 2 8cm cm cm 8cm 5cm 2cm 8cm 5cm 2cm 5cm 8cm 2 40cm 2 16cm 8cm 5cm 2cm
Calculando el volumen:
3 80cm cm cm cm abh V cm h cm b cm a 2 5 8 2 . 5 . 8Calculando el área lateral:
2 52cm cm cm A cm cm cm b a h A L L 13 4 5 8 2 2 23 EJEMPLO 2.
La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una comunidad
Solución:
a) El volumen del depósito se halla multiplicando las tres dimensiones: 3 3 000 . 400 . 102 ´ 10 4 , 10102 ) 16 )( 5 , 20 )( 8 , 30 ( m m m m cm V
b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:
litros x donde De x cm Litros 400 . 102 . 10 1000 000 . 400 . 102 ´ 10 1 : 000 . 400 . 102 ´ 10 1000 1 3
Vendiendo los 10´102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:
800 . 484 ´ 146 $ ) 400 . 102 ´ 10 ( 5 , 14 Recaudo
c) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas consumen en un día: 135(99,5)13432,5 litros
Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:
días x donde De x días Litros 08 , 752 5 , 13432 400 . 102 ´ 10 : 400 . 102 ´ 10 1 5 , 13432
d) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15 miembros y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más. Entonces:
30,8m 20,5m
16m
a) Hallemos el volumen aproximado del depósito b) ¿Cuántos litros de agua puede contener
c) Si un litro de agua se vende a $14,5. ¿Cuánto dinero se recauda?
d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una consume en promedio 99,5 litros de agua cada día, ¿para cuántos días alcanza el agua?
e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el depósito en 30 días, ¿en cuántos días lo consumirá otra familia que tiene 5 miembros más…?
3 3 3 1000000 1000 1 1 : Re cm m cm litro que cuerde
4
días
x
x
donde
De
x
días
Personas
5
,
22
20
15
30
15
20
30
:
20
30
15
EJERCICIOS1. Para cada figura, calcule el volumen, el área total y la diagonal:
2. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m.
a) ¿Cuánto cartón se debe comprar para construir el paralelepípedo sin tapa y cuánto, con tapa? Sugerencia: Halle el área de las caras.
b) Si el m2 de cartón cuesta $ 46.9, ¿con cuánto dinero se pueden construir los paralelepípedos?
3. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 3m y 2m. Si la dimensión de cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el número de libros que se puede guardar en esa bodega.
4. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 10m x 7m x 3m. a) Halle el volumen de la piscina
b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas caben en la piscina?
c) Si el litro de agua cuesta $25, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?
d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?
Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación. 5m 6m 9m 8cm 7cm 4cm 4cm 6cm V = 192cm3 d = ? a = ? h b V a Ayuda :
5 Volumen y Área de un Cubo o Hexaedro
Para calcular la arista:
k
3V
El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.
Desarmando la figura:
EJEMPLO 1.
Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.
Solución:
Todas las caras son cuadrados y dos de ellas sirven de base
K K K K K K K K K K K m m k d m m m k A m m k V m k T 35 , 7 ) 25 , 4 ( 73 , 1 3 . 37 , 108 ) 062 , 18 ( 6 ) 25 , 4 ( 6 6 76 , 76 ) 25 , 4 ( . 25 , 4 2 2 2 2 3 3 3 4,25m
Todas Las caras son cuadrados
73 , 1 3 k k k Arista
k
d
3
Volumen: 3 3 k V k k k k V Área lateral: 2 L 2 2 2 2 2 4k A k k k k k AL 4 Área de la base: 2 k B Área total: 2 T 2 2 2 2 2 2 6k A k A 2B k k k k 2k 6 AT L6 EJEMPLO 2.
Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?
1 2 2 1 3 3 2 1 3 3 2 3 3 1 8 : , 8 1 8 : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 8 ) 2 ( ) 1 ...( ) ( : V V donde de V V k k V V y volúmenes los entre proporción la ndo Establecie k k V k k V volúmenes los Hallemos
El nuevo volumen (2) es 8 veces el volumen inicial (1) o el volumen inicial (1) es la octava parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho unidades del volumen (2). O sea, están en una proporción de 1:8 ó de 8:1
Haciendo uso de la ecuación anterior (V2 8V1), complete la siguiente tabla para los valores indicados e indique la proporción
1 V V2 Proporción 8 3 30 1:8 15 5
¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones?
EJEMPLO 3.
El volumen de un cubo es de 64cm3, hallemos la arista, el área total y la diagonal
Como se puede observar, la arista del cubo de la derecha es el doble de la del cubo de la izquierda k 1 V 2k 2 V 64cm3 k k k Como: Vk3 3 3 3 4cm. 64cm V k ….este es el valor de la arista Área total: AT 6k2 6(4)2 6(16)96cm2 Diagonal: d 3k 1,73(4)6,92cm 3 1,73
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EJERCICIOS
1. Para cada cubo o hexaedro, realice el cálculo exigido:
2. La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el área total y el volumen. Ayuda: . 3 1,73
3
d
k
3. ¿Cuánto cartón se necesita para construir un caja de forma cúbica de 9,5 cm de arista. Si el m2 cuesta $ 50. ¿Cuánto dinero se necesita?
4 Si la arista de un cubo se triplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen y la nueva área total? Ayuda: k3k
5 Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, ¿en cuánto decrece el nuevo volumen y la nueva área total?
Volumen y Área de un Prisma
n= Número de lados. L= longitud de los lados. h = altura.
B= área de la base. a = apotema. P = perímetro.
4m ? . ? . ? A d V T 5,8cm ? . ? . ? A d V L V = 512cm3 ? . ? . ? A d k T 3V k Ayuda a L L h DESARMANDO LA FIGURA:
En este caso, el prisma es pentagonal, porque su base es un pentágono. Cualquier polígono puede servir de base. Todas las caras son rectángulos.
L L
h
L L
8 Bh V . Pero: 2 2 Pa nLa B . Entonces: 2 ah n Bh V L . nLh AL
h) nL(a AT 2 2 ( ) 2 nLh nLa nLh nL a h nLh B AT nLaEl volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
El área lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el perímetro de la sección recta.
EJEMPLO
Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 8m de lado. Si la altura del prima es de 10m, calculemos el volumen y el área total.
Solución: total área el es esta m m B A A bases las de área el es esta m B lateral área el es esta m m nlh A n volumen el es este m m Bh V L T L 2 2 2 3 295,36m 55,36m 240m 276,8m 2 2 2 2 36 , 55 240 2 . ) 68 , 27 ( 2 2 . ) 10 )( 8 ( 3 . 3 ) 10 ( 68 , 27 8m 10m 2 3 L
h ..…. Fórmula altura de un triángulo equilátero. 2 h b A ……. Área de un triángulo. 2 68 , 27 2 36 , 55 2 ) 92 , 6 ( 8 2 92 , 6 2 84 , 13 2 ) 8 ( 73 , 1 2 3 10 . 8 cm h b B A cm L h cm h b cm L
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EJERCICIOS
1. Para cada prisma, realice el cálculo exigido:
2. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m, halle el volumen y el área total.
3. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.
4. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras paredes son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de 100m. Si máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:
a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros
b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la cominudad?
Volumen y Área de una Pirámide
B A A Bh Bh T L
V
. 3 3 1El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.
El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).
En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras laterales Cara lateral Altura Arista Base h 8m ? . ? AT V 12m 15m 4 3 : : ? . ? 2 L A equilátero triángulo área Ayuda A V T 4cm Triángulo equilátero 7cm 12m ? . ? AT V 2m 1,7m 6m hexágono apotema L a A V T 2 3 ? . ? 18cm
10 EJEMPLO
Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un rectángulo de 7m y 4m de lado
Solución:
EJERCICIOS
1. Para cada pirámide, realice el cálculo pedido:
2. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza una altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide.
3 2 2 66 , 102 3 ) 11 ( 28 3 : 28 ) 4 ( 7 : . 3 3 1 m m m Bh V m m m B B A A Bh Bh V pirámide Volumen base la de Área L T 11m 7m 4m ? V 4cm 5cm ? V 8cm 50cm 14cm ? V 8cm Altura
Tetraedro regular: pirámide cuya base y caras laterales son triángulos equiláteros.
tetraedro altura L h cara una de área L A tetraedro volumen L V .... 3 2 .... 4 3 . .... 12 2 2 3
11 Volumen y Área de un Cilindro Circular Recto
) ( 2 ) ( 2 2 2 2 . 2 . . . 1416 , 3 . 2 . 2 . . . . 2 2 2 r h r A r h r r rh A B A A rh A r B h r V d r r d Generatriz g Altura h Radio r Diámetro d T T L T L EJEMPLO1.
Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una altura de 14cm. Solución: 12cm 9cm 2 2(3,1416)(4,5 )(12 ) 339,29 . 4 , 763 ) 12 )( 25 , 20 )( 1416 , 3 ( ). 12 ( ) 5 , 4 )( 1416 , 3 ( . 1416 , 3 . 12 . 5 , 4 2 9 2 . 9 2 2 2 2 2 cm cm cm rh A cm cm cm V cm cm h r V cm h cm cm d r cm d L
El volumen de un cilindro se halla multiplicando el número por el radio al cuadrado y por la altura
h r d h r r 2 r
12 EJEMPLO 2.
¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la base?
Solución:
El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:
. 3 2 3 2 3 2 : ), 1 ( ) 3 ( ) 2 ( Re ). 3 ( ). 2 ( 2 ) 1 ( 3 3 2 2 2 2 h h r h r r r rh tiene se en y emplazando r B rh A B A L L
El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.
Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.
EJERCICIOS
1. Para cada cilindro, realice el cálculo exigido:
2. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de gasolina puede contener? Ayuda: Galón = 3,78 litros.
3. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el volumen.
4. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?
? ? AT V 6cm 3cm ? ? AT V 16m 15m 3 2 1000 1 : ? cm litro r V h Ayuda h 36cm V = 40 litros
13 Volumen y Área de un Cono
) ( ) ( . . 3 1 . . 2 2 2 2 2 r g r A r g r r g r B A A r B rg A h r V r g h Generatriz g T L T L EJEMPLO
Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En qué proporción están sus volúmenes?.
Solución: h g d2 h g d1 m m d r m m d r m d m d h h 2 , 1 2 4 , 2 2 56 , 0 2 12 , 1 2 . 4 , 2 . 12 , 1 . 2 2 1 1 2 1 h g r r g r 2
14 V V V V h h V V proporción la ndo Establecie h h h r V h h h r V volúmenes los Calculando 1 2 2 1 2 1 5 5 1 5 1 10 2 2 , 0 48 , 0 10 , 0 : . 48 , 0 ) 2 , 1 ( 3 1 3 1 . 10 , 0 ) 56 , 0 ( 3 1 3 1 : 2 2 2 2 2 2 1 1
Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en su efecto, V2 es 5 veces V1.
EJECICIOS
1. Para cada cono, realice el cálculo exigido:
2. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En qué proporción están sus volúmenes?
3. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base, determine el volumen.
4. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de 14cm. ¿Cuál es el volumen?
Volumen y Área de una Esfera
? ? AT V 10cm 25cm 30cm ? ? AT V 10m 3m 14m ? ? AT V 12m 6m 9m 33 2 1 3 4 3 . 4 4 . 6 1 3 4 8 2 . 2 2 2 3 3 3 3 3 V V r A r d r A d r V d d r d r r Semiesfera,
15 EJEMPLO
Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine: a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los dos volúmenes.
Solución: . 2 9 24 108 3 8 27 4 3 2 3 4 3 4 : 1 . 4 9 : . 4 9 4 9 4 9 : . 4 . 9 4 9 4 2 3 4 4 : 1 . 3 2 2 3 . 2 3 3 2 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 . exp : 2 3 r r r r r V es volumen El A A r r A A áreas las entre proporción la ndo Establecie r A r r r r A es área El r r y r r r r r r es áreas las de razón La que tiene se resión anterior la De es radios los de razón La . 8 27 : . 8 27 8 27 8 3 27 3 4 2 9 . 3 4 : 2 2 1 2 2 2 2 1 2 3 2 3 3 3 2 : es volúmenes los de razón La volúmenes los entre proporción la ndo Establecie V V r r r r V V r V es volumen El EJERCICIOS
1. Calcule el volumen y el área de una esfera de 1,5cm de radio. 2. Halle el volumen y el área de una esfera de 6m de diámetro
Esfera 1 Esfera 2 D1 = 3
r
2 2r
1 = 3r2
16 3. 8cm y 10cm son los diámetros de dos esferas. ¿En qué proporción están los volúmenes
y las áreas?
4. Halle el volumen y el área de una semiesfera de 9m de diámetro.
5. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la interior 3,8m2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.
6. El área de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera. 7. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el área.
8. ¿Por qué número debe multiplicarse el diámetro de una esfera para que: a). Su área se duplique? b). Su volumen se triplique?
9. Si el diámetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine:
a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los dos volúmenes.
RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)
V c V e o V e V c V e V c V e V c x x x x y volúmenes dos los entre relación la ndo Establecie 3 2 2 3 2 3 2 3 4 6 4 6 : ) 2 ( ) 1 ( 3 3 3 3 6 4
Lo anterior se interpreta a sí: Elvolumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro
x
x
Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera cuyo diámetro es igual a la altura y al diámetro del cilindro Hallemos los volúmenes y establezcamos la relación:
) 2 ...( 6 3 3 3 2 4 3 3 4 . 2 ) 1 ...( 4 ) ( ) 2 . 2 ) ( ( . 2 2 2 3 x r r Esfera x h r h r r x h Cilindro x V e x x x V c x
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES POSICIONES
Volumen de un Tronco de Pirámide
EJERCICIOS
1. Para cada tronco de pirámide, halle el volumen:
2. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m3. Si el tronco sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de la pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.
VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO
r 8cm2 16cm2 7cm 4m 10m 8m
Las bases son cuadrados Las bases son
triángulos equiláteros 12cm 5cm 10cm
) ( ) ( 3 3 1 . . . 2 . 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 . . r R A A r R g A Rr r R h Rr r R h V r R h h r R d D r d R D h h h R L T L menor círculo Radio r mayor círculo Radio h h2 h1 R
. 3 3 1 . 2 . 1 3 3 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . 2 h h V V h B B B B h B B B B V h h h h h h base la de Área B base la de Área B pírámide la de Altura bases dos las separa que Altura pirámide la de vértice el hasta base la desde va que Altura h B2 h1 h2 B1 B2 B1 h18
EJERCICIOS
Para cada tronco de cono, halle el volumen:
VOLUMEN OTROS POLIEDROS 12cm 5cm 8cm 5cm 4cm 3cm
Además, halle el volumen del cono superior y de todo el cono 9cm 10cm H h 6cm Cilindro hueco ) (R2 r2 h V R r h Cilindro truncado ) ( 1 2 2 h h R V 1 h h2 R Cilindro oblicuo R h h R V 2 R d D k Elipsoide 3 4 Ddk V Cono oblicuo 3 2 h R V R h Sector esférico h 3 2 R2h V Segmento esférico
áreas son b y B h h b B V , 6 2 3 b B h n R Cuña grados en Ángulo n n R V 360 3 4 319
PRINCIPALES POLIEDROS
Poliedro: Sólido que tiene varias caras.
Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.
Figura Nombre Características
Tetraedro regular Tiene 4 caras iguales. Las caras son triángulos equiláteros
Cubo o hexaedro Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados
Prisma recto
Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales cuyos planos son paralelos(bases)
Paralelepípedo Prisma cuyas bases so paralelogramos
Pirámide
Poliedro que tiene una cara llamada base, que es un polígono cualquiera y las otras , llamadas caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas paralelas.
Cilindro
Sólido formado por dos curvas cerradas paralelas.
Esfera Sólido o espacio limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan todos de otro interior llamado centro.
20
VOLUMEN TOTAL
El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se halla sumando los volúmenes.
V1 V2 V3
VT VT Volumen total. V1 Volumen primer sólido.
2
V Volumen segundo sólido. V3 Volumen tercer sólido.
Volumen sólido cuatro, cinco, seis, siete, ocho, … EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen total:
3 4 . . 3 3 2 . 2 . . 3 2 2 3 r h r h r Bh Pah nlah Bh abh K 5cm 3cm 3cm 11cm 8cm 4cm 1 10m 10m 10m 12m 9m 2 14,78m 8m 9,8m 7,96m 11,6m 5m 16m 10m 3
Halle el área total de las figuras 2 y 3
Análisis:
Halle por separado el volumen de cada uno de los sólidos involucrados en la figura, luego, sume los volúmenes
21
VOLUMEN LIMITADO POR DOS SÓLIDOS
El volumen limitado por dos sólidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el volumen del sólido mayor y el sólido menor.
me ma
L V V
V . VL Volumen limitado por los dos sólidos.
ma
V Volumen sólido mayor. Vme Volumen sólido menor.
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen limitado:
14m 17m 5 7 8 8 1 7cm 9cm 19cm 15,79cm 6 19m 10,5m 8,2m 4 18cm 18cm 6cm 2 Análisis:
Calcule el volumen del sólido mayor. Calcule el volumen del sólido menor.
Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes
14,6m
3 3cm
22
ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- VOLUMEN
En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría. Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre los principales poliedros (sólidos) realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los mismos conceptos que sobre volumen y áreas conocemos de cada poliedro.
Ejemplo
Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.
, valor numérico
P
ara la región sombreada:La misma es un rectángulo cuyos lados miden . Pero es la diagonal de la cara frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitágoras para esta diagonal:
5 2 2 1 2 4 4 ) 1 ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 x x x x x x x x
d , este es el valor del
lado del rectángulo, calculando el área del rectángulo ( región sombreada): 5 12 11 6 2 5 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 4 3 2 d x x x x x x x x A 2 12,36u 2(2)4 6(2)3 11(2)2 12(2) 5 32 48 44 24 5 153 A Solución:
El poliedro involucrado es un ortoedro de
dimensiones . Entonces:
, esta es la expresión algebarica que representa el volumen d
23
EJERCICIOS
1. Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica que representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace falta información, no realice el cálculo exigido
RECUERDE:
El volumen se expresa en unidades cúbicas……….u3
= unidad cúbica.
Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones indicadas, al número que resulta se agrega u3.
2. Para cada figura, halle el volumen limitado.
2x + 2 5x 4x + 3 1 2 2y + 1 2y + 6 2y 3 3z + 1 z + 4 z 6 2y +4 2z + 2 z + 1 4 5 2x 1 x = 2, y = 3, z = 4 Halle el área lateral y total de las figuras: 1, 3, 4 y 8 3 x 1 3x 3x + 2 6x 2 2 3y + 1 5y 2 x 2x + 1 2x + 3 7 8 x + 4 2x + 1 y + 4 2y + 3 y 9
24 FÓRMULAS DE ÁREA DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS
3x + 2 5 5x 4 5z 3 z 4 b h bh A ctángulo Re b bh A ramo Paralelog h b b 2 b b b A Cuadrado b Triángulo h 2 bh A L Equilátero Triángulo 4 3 L2 A L L b h 2 ) (B b h A Trapecio B Rombo 2 Dd A d D L gulares Polígonos Re a 2 nLa A L 2 r A círculo r Elipse Dd A D d
25
TRIÁNGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90° grados.
Todos son triángulos rectángulos.
Elementos
Teorema de Pitágoras
Ejemplo 1
Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo:
90° 90° 90° 90° R B D r d b
Hipotenusa: lado más largo
Cateto Cateto r = hipotenusa d = cateto b = cateto 90°
Este teorema o ley se enuncia así: en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es:
2 2 2
d
b
r
hipotenusa d cateto b cateto
r . . R B D r d b Hipotenusa Cateto Cateto r = ? 6m 8m
En este caso, no se conoce la hipotenusa. Entonces: m donde de 10 100 : 100 64 36
)
8
(
)
6
(
r
r
2 2 226 Ejemplo 2
Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo:
EJERCICIO
Para cada triángulo, realice el cálculo exigido:
TRIÁNGULO 30°, 60° Y 90° x = ?
20m
12m
En este caso, no se conoce un cateto. Entonces:
16m x 2 2 2 2 2 2 x luego donde De entonces
x
x
x
x
256 256 : 144 400 : 144 400 :)
12
(
)
20
(
r = ? 4m 3m y = ? 15cm 9cm x = ? 20m 25m r = ? 14m 10mEn todo triángulo 30°, 60° y 90°: el cateto opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la hipotenusa. Esto es:
d
r
r
forma igual De Entonces a opuesto cateto d hipotenusa r2
2
: : 30 .
d
R B D r d 90° 30° 60° b27 Ejemplo 1
Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo:
Ejemplo 2
Hallemos el lado desconocido del siguiente triángulo:
EJERCICIO
Para cada triángulo, realice los cálculos exigidos:
El triángulo es 30°, 60° y 90°, entonces: cm x donde De entonces Pitágoras Aplicando Entonces cateto x a opuesto cateto y hipotenusa m
