An´
alisis de ecuaciones integrales en espacios de
Hilbert
Thal´ıa Elizabeth Venegas Gil
Resumen
Este trabajo examina la teor´ıa de resoluci´on de ciertas clases de ecuaciones integrales usando m´etodos de an´alisis funcional de los espacios de Hilbert. Por ejemplo, las ecuaciones con kernels sim´etricos y sus operadores autoadjuntos asociados. Los m´etodos de los espacios de Hilbert simplifican la resoluci´on de tales ecuaciones, proporcionando resultados m´as fuertes, aunque no es trivial establecer la teor´ıa.
1.
Introducci´
on
La teor´ıa de ecuaciones integrales comienza con el desarrollo de la teor´ıa de ope-radores alrededor del a˜no 1900. Un evento importante fue la aparici´on de la teor´ıa de Fredholm para ecuaciones integrales, que aparecen como un nuevo enfoque al proble-ma de Dirichlet: dada una funci´on f cuyos valores est´an por todo el contorno de un regi´on en Rn, ¿existe una ´unica funci´on continua u dos veces continuamente diferen-ciable en el interior y continua en el contorno, tal que u es arm´onica en el interior y u = f en el contorno?
Para un dominio Ω teniendo la suavidad suficiente sobre el contorno ∂Ω, la soluci´on general al problema de Dirichlet es:
u(x) = Z
∂Ω
ν(s)∂G(x, s) ∂n ds
donde G(x, y) es la funci´on de Green para la ecuaci´on en derivadas parciales, y ∂G(x, s) ∂n =bn · ∇sG(x, s) = X i ni ∂G(x, s) ∂si
es la derivada de la funci´on de Green a lo largo del vector unitario normal apuntando hacia el interior n. La integraci´b on se realiza sobre el contorno, con la medida ds. La funci´on ν(s) est´a dada por la soluci´on ´unica de la ecuaci´on integral de Fredholm,
f (x) = −ν(x) 2 + Z ∂Ω ν(s)∂G(x, s) ∂n ds.
Despu´es, Hilbert fundament´o la teor´ıa espectral inspirado por la teor´ıa de Fred-holm. Hilbert comenz´o con la idea de ecuaciones integrales, y se dio cuenta de que pod´ıa obtener resultados m´as precisos cuando las funciones eran cuadrado integrables, y cuando el operador integral era sim´etrico. Aqu´ı se dio el descubrimiento de los es-pacios de Hilbert y los fundamentos para el estudio de operadores autoadjuntos.
Las ecuaciones integrales est´an presentes en muchas ramas de la f´ısica. El objetivo de este trabajo es analizar lo que fundamenta esta teor´ıa con m´etodos de an´alisis funcional. El trabajo se desarrolla basado en [4] y [5].
2.
Conceptos b´
asicos
Primero, daremos una introducci´on a la terminolog´ıa de ecuaciones integrales. Una ecuaci´on integral lineal es de la forma
a(x)ξ(x) + f (x) = Z
R
K(x, t)ξ(t)dt
donde a(x), f (x), y K(x, t) son conocidas y ξ(x) est´a indeterminada. R es un con-junto de medida finita µ; la funci´on K(x, t) se llama kernel.
Si a(x) ≡ 0, es decir, coincide con la funci´on cero excepto en un conjunto de medida cero (ctp), la ecuaci´on es de primer tipo.
Si a(x) 6≡ 0, la ecuaci´on es de segundo tipo o de Fredholm. Si a(x) 6≡ 0 y f (x) = 0, entonces la ecuaci´on es homogenea.
Consideremos una ecuaci´on con kernel degenerado, es de las m´as sencillas a re-solver. Un kernel es degenerado si puede ser expresado como
K(x, t) =
n
X
i=1
ai(x)bi(t)
donde ai y bi son funciones definidas en R.
Una ecuaci´on Fredholm de este tipo es
ξ(x) = ex+ µ Z 1
0
xtξ(t)dt,
donde µ es un par´ametro. El kernel
es degenerado. As´ı ξ(x) = ex+ µx Z 1 0 tξ(t)dt. Sea C = Z 1 0 tξ(t)dt, entonces tenemos ξ(x) = ex+ Cµx. Se sigue que C = Z 1 0 t(et+ Cµt)dt = (t − 1)et|1 0+ Cλ t3 3| 1 0 = 1 + Cµ 3 , por lo tanto C = 3 3 − µ. Luego ξ(x) = ex+3−µ3µ x.
3.
Teorema espectral
A pesar de que hay varios tipos de kernels que son considerados en el estudio de ecuaciones integrales, el kernel sim´etrico es de especial inter´es por la relaci´on que tiene con los espacios de Hilbert. Veamos algunas definciones necesarias para lo que sigue:
Un operador A es completamente continuo si transforma cada conjunto acotado en un conjunto compacto. Como H coincide con su conjugado, la definici´on de oper-ador completamente continuo se puede formular de la siguiente manera:
El operador A que act´ua en un espacio de Hilbert H es llamado completamente continuo si transforma toda sucesi´on que converge d´ebilmente en una que converge fuertemente.
Una sucesi´on de funcionales {ξn} converge d´ebilmente al funcional lineal ξ si
1. ξn son uniformemente acotadas, es decir, existe M > 0 tal que kξnk ≤ M para
toda n.
2. ξn converge puntualmente a ξ.
Si ξn converge en norma a ξ, entonces decimos que ξn converge fuertemente a ξ.
Como H coincide con su conjugado, los conceptos anteriores coinciden, por lo tanto tenemos el siguiente resultado que se puede consultar en [1]:
La esfera unitaria en H es d´ebilmente compacta, es decir, se pueden seleccionar de cada sucesi´on de elementos φn ∈ H con ||φn|| = 1 una subsucesi´on que converja
d´ebilmente.
Teorema 1. Si ξn converge d´ebilmente a ξ ∈ H, entonces ||ξ|| < sup(||ξn||).
Demostraci´on. Sea {φk} un sistema ortonormal en H, tenemos
ck= (ξ, φk) = l´ım n→∞(ξn, φk) = l´ımn→∞cnk, y k X m=1 c2m = l´ım n→∞ k X m=1 c2nm≤ sup n ∞ X m=1 c2nm; por lo tanto ∞ X m=1 c2m ≤ sup n ∞ X m=1 c2nm,
lo que prueba el teorema.
Teorema 2. Sean R un conjunto con medida µ, K(x, t) una funci´on definida en R2
tal que K(x, t) = K(t, x) y supongamos que Z
R2
K2(x, t)dµ2 < ∞,
entonces el operador en L2 definido por
g(x) = Z
R
K(x, t)ξ(t)dµ,
es decir, g = Aξ, es completamente continuo y autoadjunto.
Demostraci´on. Sea {Ψn(x)} un sistema ortonormal completo en L2. Entonces el
con-junto de todos los posibles pares Ψm(x)Ψn(t) forman un sistema ortonormal completo
en R2, por lo tanto podemos representar a K(x, t) como
K(x, t) =X
m
X
n
amnΨn(x)Ψm(t),
donde amn = anm por simetr´ıa, adem´as,
Z R2 K2(x, t)dµ2 =X m X n a2mn< ∞, (1) ya que {Ψn(x)Ψm(t)} es ortonormal. Hagamos u(t) =X n bnΨn(t),
entonces tenemos g(s) = Z R K(s, t)u(t)dt = Z R " X m X n amnΨn(s)Ψm(t) # " X n bnΨn(t) # dt = X n X m amnbm ! Ψn(s) = X n cnΨn(s), donde cn= X m amnbm. Luego c2n= X m amnbm !2 ≤X m a2mnX m b2m = X m a2mn ! kuk2. Ahora hagamos an = X m a2mn. Notemos que ∞ X n=1 an = X n X m a2mn
converge por la ecuaci´on (1). Entonces para ε > 0 existe nε tal que para n > nε se
tiene ∞ X n=nε+1 an< ε. Se sigue que g(s) − nε X n=1 cnΨn(s) 2 = ∞ X n=nε+1 cnΨn(s) 2 = ∞ X n=nε+1 c2n (2) ≤ ∞ X n=nε+1 kuk2an< ε kuk2. (3)
Consideremos una sucesi´on u(k)(t) que converja d´ebilmente a u, entonces
u(k)(t) =X n b(k)n Ψn(t) −→ u(t) = X n bnΨn(t), n → ∞. Por lo tanto n b(k)n o −→ bn, n → ∞. Y como c(k)n =X m amnb(k)m
nε X n=1 c(k)n Ψn(s) −→ nε X n=1 cnΨ(s), (4) para cualquier nε. Ahora, n(k)
es acotada, entonces por la ecuaci´on (2) g(k)(s) − nε X n=1 c(k)n Ψn(s) 2 < ε u(k) 2 ,
luego g(k)(s) converge en norma a nε
X
n=1
c(k)n Ψn(s) por la ecuaci´on (4). Por lo tanto
g(k)(s) −→ g(s) en norma, esto es, el operador es completamente continuo. Finalmente, por teorema de Fubini,
(Au, g) = Z R Z R K(x, t)u(t)dµt g(x)dµx = Z R u(t) Z R K(x, t)g(x)dµx dµt = (u, Ag), es decir, A es autoadjunto.
Teorema 3 (Teorema espectral). Dado cualquier operador lineal A autoadjunto y completamente continuo en un espacio de Hilbert H, existe un sistema ortonormal {φn} de vectores propios correspondientes a los valores propios {λn} tales que cada
elemento ξ ∈ H puede ser escrito de manera ´unica como ξ =X
k
ckφk+ ξ0,
donde ξ0 satisface la condici´on Aξ0 = 0. M´as a´un, Aξ =X
k
λkckφk y l´ım
n→∞λn= 0,
con ck = (φ, φk).
Para la demostraci´on del teorema anterior, necesitaremos demostrar lo siguiente: Lema 1. Si {ξn} converge d´ebilmente a ξ y el operador linear autoadjunto A es
completamente continuo, entonces
Demostraci´on. Por la desigualdad del tri´angulo tenemos
|(Aξn, ξn) − (Aξ, ξ)| ≤ |(Aξn, ξn) − (Aξn, ξ)| + |(Aξn, ξ) − (Aξ, ξ)|,
pero
|(Aξn, ξn) − (Aξn, ξ)| = |(ξn, A(ξn− ξ))| ≤ kξk kA(ξn− ξ)k ,
y como kξk son acotadas y kA(ξn− ξ)k −→ 0, entonces |(Aξn, ξn) − (Aξ, ξ)| −→ 0.
Lema 2. Si el funcional |Q(ξ)| = |(Aξ, ξ)|, donde A es un operador lineal, acotado y autoadjunto, alcanza el m´aximo en la esfera unitaria en ξ0, entonces (ξ0, η) = 0
implica (Aξ0, η) = (ξ0, Aη) = 0. Como consecuencia, ξ0 es un vector propio y λ0 =
(Aξ0, ξ0) es su valor propio correspondiente.
Demostraci´on. Sea
ξ = ξ0 + aη p1 + a2||η||2,
donde a es arbitrario. Como ||ξ0|| = 1 se sigue que ||ξ|| ≤ 1, pues
p 1 + a2||η||||ξ|| = p||ξ 0+ aη||2 = p (ξ0+ aη, ξ0+ aη) = p||ξ0||2+ a(ξ0, η) + a(η, ξ0) + a2||η||2 = p1 + a2||η||2,
se sigue que ||ξ|| ≤ 1. Como
Q(ξ) = Q(Aξ, ξ) = A ξ0+ aη p1 + a2||η||2 ! , ξ0+ aη p1 + a2||η||2 ! = 1
1 + a2||η||2[(Aξ0+ aAη, ξ0+ aη)]
= 1
1 + a2||η||2[(Aξ0, ξ0) + (Aξ0, aη) + (aAη, ξ0) + (aAη, aη)]
= 1
1 + a2||η||2[Q(ξ0) + 2a(Aξ0, η) + a
2Q(η)],
tenemos para a suficientemente peque˜no Q(ξ) = Q(ξ0)+2a(Aξ0, η). La ´ultima ecuaci´on
implica que si (Aξ0, η) 6= 0, entonces podemos tomar a tal que |Q(ξ)| > |Q(ξ0)|, que
es una contradicci´on.
Del Lema (2) se sigue que ξ0 es vector propio del operador A, es decir, Aξ0 = λ0ξ0
y notemos que (Aξ0, ξ0) = (λ0ξ0, ξ0) = λ0.
Demostraci´on del Teorema espectral. Construiremos los elementos φk por inducci´on,
en el orden del valor absoluto de sus valores propios correspondientes: |λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn| ≥ · · ·
Para construir el elemento φ1 consideremos la expresi´on Q(ξ) = |(Aξ, ξ)| y veamos
que alcanza el m´aximo en la esfera unidad. Sea S = sup
||ξ||≤1
|(Aξ, ξ)|
y ξ1, ξ2, . . . una sucesi´on tal que ||ξn|| ≤ 1 y |(Aξn, ξn)| −→ S para n −→ ∞.
Como la esfera unitaria es compacta d´ebil en H, podemos seleccionar de {ξn}
una subsucesi´on que converja d´ebilmente a un elemento η. Por Teorema 1 y Lema 1, tenemos que |(Aη, η)| = S. Hagamos η = φ1. Es claro que ||η|| = 1, por lo tanto
Aφ1 = λ1φ1, luego
|λ1| =
|(Aφ1, φ1)|
(φ1, φ1)
= |(Aφ1, φ1)| = S.
Supongamos ahora que tenemos los vectores propios φ1, φ2, . . . , φn,
correspondi-entes a los valores propios λ1, λ2, · · · , λn.
Consideremos el funcional |(Aξ, ξ)| en el conjunto de elementos que pertenecen a Mn0 = H M (φ1, φ2, . . . , φn) (es decir, ortogonal a φ1, φ2, . . . , φn). Mn0 es un subespacio
invariante respecto de A, ya que M (φ1, φ2, . . . , φn) es invariante y A es autoadjunto.
Por lo anterior, podemos encontrar un vector en Mn0 que es vector propio del operador A, llam´emoslo φn+1.
Caso 1. Despu´es de un n´umero finito de pasos obtenemos un subespacio Mn00 en el cual (Aξ, ξ) ≡ 0.
Por el Lema 2, el operador A transforma Mn00 en cero, es decir, Mn00 consiste de los vectores propios correspondientes a λ = 0. El sistema de vectores {φn} construido
anteriormente consiste de un n´umero finito de elementos. Caso 2. (Aξ, ξ) 6= 0 en Mn0 para toda n.
Obtendremos la sucesi´on de vectores propios para cada uno de los cuales λn6≡ 0.
La sucesi´on {φn} converge d´ebilmente a cero (por ser ortonormal), por lo tanto, los
elementos Aφn = λn deben converger a cero con respecto a la norma, as´ı λn =
||Aφn|| −→ 0, n −→ ∞. Sea
M0 = H M {φn} =
\
n
Mn0 6= 0.
Si ξ ∈ M0 y ξ 6= 0, entonces (Aξ, ξ) ≤ λn||ξ||2 para toda n, es decir (Aξ, ξ) = 0, luego,
por Lema (2) para sup |(Aξ, ξ)| = 0 aplicado a M0, vemos que Aξ = 0, es decir, el operador A transforma a M0 en cero.
De la construcci´on del sistema {φn} es claro que cualquier vector puede ser
rep-resentado de la forma
ξ =X
k
lo que implica Aξ =X
k
λkckφk.
Ejemplo 1. Consideremos la ecuaci´on
ξ = cAξ + η, (5)
donde A es un operador continuo autoadjunto, η es dado y buscamos ξ. Sean
ξ1, ξ2, . . . , ξn, . . .
vectores propios del operador A que corresponden a los valores propios que son dis-tintos de cero. Entonces podemos escribir η como
η =Xanξn+ η0, (6)
donde Aη0 = 0. Busquemos la soluci´on de (5) de la forma
ξ =Xxnξn+ ξ0, (7)
donde Aξ0 = 0. Sustituyendo (6) y (7) en (5) tenemos: X n xn(1 − λnc)ξn+ ξ0 = X n anξn+ η0.
Esta ecuaci´on se satisface si y s´olo si ξ0 = η0 y xn(1 − λnc) = an, es decir, si ξ0 = η0, y
para λn6= 1c, xn= 1−λan
nc que determina la soluci´on de (5); y para λn=
1
c, an = 0, que
da las condiciones necesarias y suficientes para que (5) pueda resolverse. Los valores xn correspondientes a los n para los cuales λn = 1/c permanecen arbitrarios.
Proposici´on 1. Sean ξ1, ξ2 vectores propios del operador autoadjunto A
correspon-dientes a valores propios λ1, λ2 distintos. Entonces ξ1, ξ2 son ortogonales.
Demostraci´on. Como Aξ1 = λ1ξ1 y Aξ2 = λ2ξ2 y λ1 − λ2 6= 0, tenemos (Aξ1, ξ2) =
λ1(ξ1, ξ2) y (Aξ2, ξ1) = λ2(ξ2, ξ1). Luego (λ1 − λ2)(ξ1, ξ2) = (Aξ1, ξ2) − (Aξ2, ξ1) =
(Aξ1, ξ2) − (ξ2, Aξ1) = 0. Por lo tanto (ξ, ξ2) = 0.
Nota. En el caso de ecuaciones integrales, la terminolog´ıa de la demostraci´on anterior ser´ıa:
Z
K(x, t)ξi(t)dt = λiξi(x).
Proposici´on 2. Sea A operador que representa el kernel en una ecuaci´on integral. Si el kernel es sim´etrico, entonces los valores propios de A son reales.
Demostraci´on. Sea λ = a + ib valor propio de A con b 6= 0 correspondiente al vector propio η = ξ + iξ0, entonces
Aη = A(ξ + iξ0) = λ(ξ + iξ0) = (a + ib)(ξ + iξ0) = (aξ − bξ0) + i(bξ + aξ0) = (a + ib)(ξ + iξ0), entonces
A(ξ − iξ0) = (aξ − bξ0) − i(bξ + aξ0) = (a − ib)(ξ − iξ0).
Como λ 6= λ tenemos, por la proposici´on anterior, 0 = (ξ +iξ0, ξ −iξ0) = (ξ, ξ)+(ξ0, ξ0). Se sigue que ξ = ξ0 = 0, es decir η = 0. Que es una contradicci´on pues η es vector propio. As´ı b = 0.
Ejemplo 2. El teorema espectral puede ser usado para obtener una f´ormula expl´ıcita para la soluci´on de una ecuaci´on integral. Sup´ongase que se quiere resolver
ξ(x) − µ Z b
a
K(x, t)ξ(t)dt = f (x), (a ≤ x ≤ b), (8) donde K define un operador autoadjunto A en L2(a, b), f ∈ L2(a, b) est´a dado y
buscamos una soluci´on ξ ∈ L2(a, b).
Tenemos Aξ = ∞ X n=1 λn(ξ, ξn)ξn,
donde {λn} son reales distintos de cero y {ξn} es ortonormal. Como una ecuaci´on en
L2(a, b), esribimos (8) como
ξ(x) − µAξ = f. (9)
Tomando el producto interior en ambos lados de (9) com ξm y usando la
descomposi-ci´on espectral de Aξ tenemos:
(f, ξm) = (ξ − µAξ, ξm) = (ξ, ξm) − (µAξ, ξm) = (ξ, ξm) − (µ X k λk(ξ, ξk)ξk, ξm) = (ξ, ξm) − µλm(ξ, ξm), luego (1 − µλm)(ξ, ξm) = (f, ξm). (10) Si hacemos 1 − µλm 6= 0, tenemos (ξ, ξm) = (f, ξm)/(1 − µλm).
Y si para toda m, 1 − µλm 6= 0 vemos que
ξ = f + µAξ = f + ∞ X n=1 µλn(f, ξn) 1 − µλn ξn. (11)
Por lo anterior, si existe una soluci´on, (11) la define. Si expresamos (11) en t´ ermi-nos de funciones tenemos
ξ(x) = f (x) + ∞ X n=1 µλn 1 − λµn Z b a f (t)ξn(t)dt ξn(t), (12)
donde la suma involucrada converge y la igualdad se tiene ctp. Si la convergencia de la serie es uniforme, el lado derecho de (12) se transforma en
f (x) = Z b a rµ(x, t)f (t)dt, donde rµ= ∞ X n=1 µλn(1 − λn)−1ξn(x)ξn(t).
Si, en la suma de (18) hay valores de m para los cuales 1 − µλm = 0, hagamos
A = {m : 1 − µλm 6= 0} y B = {m : 1 − µλm = 0}. Entonces B es un conjunto finito
y m ∈ B, de (10) se sigue que si (8) tiene soluci´on, entonces (f, ξm) = 0. Como
{ξm : m ∈ B} es una base para el conjunto de ξ que satisface ξ − µAξ = ξ − µA∗ξ = 0
(pues µ es real y A = A∗), tenemos la condici´on para la existencia de la soluci´on. Si f satisface esta condici´on, la soluci´on es
ξ = f +X n∈A µλn(f, ξn) 1 − µλn ξn+ X n∈B αnξn, (13)
donde {αn : n ∈ B} son constantes arbitrarias.
Ejemplo 3. Consideremos la ecuaci´on
ξ(x) = µ Z 1 0 K(x, t)ξ(t)dt + f (x) (0 ≤ x ≤ 1), (14) donde K(x, t) = ( t(1 − x) 0 ≤ t ≤ x, x(1 − t) 0 ≤ x ≤ t ≤ 1.
Como antes, f ∈ L2(0, 1) est´a dado y buscamos una soluci´on ξ ∈ L2(0, 1).
Hagamos A el operador integral generado por K, A es autoadjunto pues K(x, t) = K(t, x). Y buscamos los valores y vectores propios de A. Supongamos η 6= 0 y ξ vector propio correspondiente a η. Entonces
Aξ(x) = ηξ(x) = Z x 0 (1 − x)tξ(t)dt + Z 1 x x(1 − t)ξ(t)dt. (15)
Como ξ ∈ L2(0, 1), el lado derecho de (15) es continuo en x, as´ı, ξ es continuo (ya
para toda x. Esto no es del todo cierto, se tiene que redefinir ξ en un conjunto de medida cero que no afectar´a el valor del lado derecho de (15), y as´ı se satisface para la nueva funci´on.
Como ξ es continua, el lado derecho de (15) es diferenciable, y por lo tanto ξ tambi´en. Luego
ηξ0(x) = − Z x 0 tξ(t)dt + Z 1 x (1 − t)ξ(t)dt.
Por un razonamiento smilar, vemos que ηξ00 = −ξ. De (15) vemos que ξ(0) = ξ(1) = 0. Resolviendo la ecuaci´on diferencial obtenemos
ξ(x) = A cosh x |η|1/2 + B sinh x |η|1/2 , η < 0 o ξ(x) = A cosh x |η|1/2 + B sinh x |η|1/2 , η > 0.
De las condiciones de frontera obtenemos, para el primer caso, A = B = 0 y A = 0 y B = sinη1/21
para el segundo. As´ı que existe una soluci´on no trivial si y s´olo si η = 1/(n2π2), n ∈ N. Hagamos η
n = 1/(n2π2) y ξn = 21/2sin(nπx). Estas son las
sucesiones de valores y vectores propios de A, que nos da el teorema espectral. Si µ 6= 1/(n2π2) para todo n ∈ N. De (12) tenemos
ξ(x) = f (x) + ∞ X n=1 2µ n2π2− µ Z 1 0 f (t) sin(nπt)dt sin(nπx).
En este caso, como | sin(nπt)| ≤ 1 para toda x y t, la serie
∞
X
n=1
2µ sin(nπt) sin(nπx)/(n2π2− µ)
converge uniformemente y por lo tanto podemos intercambiar la integral con la suma para obtener ξ(x) = f (x) + Z 1 0 rµ(x, t)f (t)dt, donde rµ(x, t) = ∞ X n=1 2µ sin(nπt) sin(nπx) n2π2 − µ 0 ≤ x, t ≤ 1
es una funci´on continua.
Si µ = 1/(m2π2) para alg´un m ∈ N, entonces (14) tiene soluci´on si y s´olo s´ı Z 1
0
y por (13) la soluci´on es ξ(x) = f (x) + α sin(mπx) + Z 1 0 sµ(x, t)f (t)dt, donde sµ(x, t) = ∞ X m6=n=1 2µ sin(nπt) sin(nπx) n2π2− µ 0 ≤ x, t ≤ 1
y α es una constante arbitraria.
4.
Aplicaciones
En esta secci´on veremos algunos resultados de convergencia de series usando propiedades del kernel. Un kernel K es hermitiano si K(x, t) = K(x, t), notemos que el operador integral asociado a K es autoadjunto si y s´olo si K es hermitiano.
Demostraremos el Teorema de Mercer, y usaremos el siguiente lema. Su de-mostraci´on se puede verificar en [5].
Lema 3 (Lema de Dini). Sup´ongase que para cada n ∈ N, fn : [a, b] −→ R es una
funci´on continua y para cada x ∈ [a, b], fn(x) % f (x) cuando n −→ ∞. Entonces f
es continua y fn−→ f uniformemente cuando n −→ ∞.
Consideremos kernels que generan operadores no negativos, esto es, operadores autoadjuntos A con la propiedad de que para todo ξ, (Aξ, ξ) ≥ 0. Una condici´on equivalente es que A sea autoadjunto y sus valores propios sean no negativos.
Teorema 4 (Teorema de Mercer). Supongamos que K(x, t) es un kernel hermitiano en [a, b] × [a, b] y que el operador integral A en L2(a, b) el cual genera es no negativo.
Si la expansi´on espectral de A es Aξ = ∞ X n=1 λn(ξ, ξn)ξn, tenemos K(x, t) = ∞ X n=1 λnξn(x)ξn(t)
converge absolutamente y uniformemente en el sentido que
∞
X
n=1
|λnξn(x)ξn(t)|
converge uniformemente con respecto a ambas variables simult´aneamente.
Demostraci´on. Notemos que para todo x ∈ [a, b], K(x, x) ≥ 0, ya que de lo contrario existe x0 ∈ [a, b] tal que K(x0, x0) < 0 y, por la continuidad de K, existe δ > 0 tal
que |x − x0| < δ y |t − t0| < δ implican K(x, t) < 0. Sea χ(t) = 1 si |t − t0| < δ y
χ(t) = 0 de otra forma. χ ∈ L2(a, b) y
(Aχ, χ) = Z b a Z b a K(x, t)χ(t)χ(x)dtdx < 0
lo que contradice que A sea no negativo. Como
λnξn(x) =
Z b
a
K(x, t)ξn(t)dt
y K es continuo, entonces ξn es continuo si λn6= 0; λnξn es continua en todo caso.
Tambi´en, para cada N ∈ N,
K(x, t) −
∞
X
n=1
λnφn(x)φn(t)
es un kernel continuo y hermitiano que genera un operador no negativo. Sea AN su
operador correspondiente. Tenemos que
(ANξ, ξ) = (Aξ, ξ) − N X n=1 λn|(ξ, ξn)|2 = ∞ X n=N +1 λn|(ξ, ξn)|2 ≥ 0,
ya que λn= (Aξn, ξn) para cada n. Y adem´as
K(x, x) −
N
X
n=1
λn|ξn|2 ≥ 0
para todo x ∈ [a, b]. Por lo tanto, para toda N y x tenemos
N X n=1 λn|ξn(x)|2 ≤ K(x, x) y vemos que ∞ X n=1
λn|ξn(x)|2 converge. Adem´as si C es una cota superior para
{K(x, x) : x ∈ [a, b]} , para toda x ∈ [a, b]
∞
X
n=1
λn|ξn(x)|2 ≤ C. (16)
Sean x ∈ [a, b] fijo y ε > 0. Escojamos N tal que
∞
X
n=N +1
Entonces para toda t ∈ [a, b], ∞ X n=1 |λnξn(x)ξn(t)| ≤ ( ∞ X n=N +1 λn|ξn(t)|2 )1/2( ∞ X n=N +1 λn|ξn(x)|2 )1/2 < C1/2ε, (17)
la primera desigualdad se sigue de la desigualdad de Cauchy separando λnξn(x)ξn(t)
en λ1/2n |ξn(t)|λ 1/2
n |ξn(x)|. Se sigue que, para cada x ∈ [a, b] fija, la serie ∞
X
n=1
|λnξn(x)ξn(t)|
converge uniformemente con respecto de t. Sea K0(x, t) = ∞ X n=1 λnξn(x)ξn(t)
. Por la convergencia uniforme vemos que para cada x fijo, K0(x, t) es continuo en t.
Entonces para cada x ∈ [a, b] y ξ ∈ L2(a, b),
Z b a (K0(x, t) − K(x, t)) ξ(t)dt = Z b a ∞ X n=1 λnξn(x)ξn(t)ξ(t)dt − (Aξ)(x) = ∞ X n=1 λnξn(x) Z b a ξn(t)ξ(t)dt − ∞ X n=1 λn(ξ, ξn)ξn(x) = 0, esto por la convergencia uniforme de
∞
X
n=1
λnξn(x)ξn(t)
con respecto de t. Por lo tanto, si hacemos g(t) = K0(x, t) − k(x, t) vemos que para
todo ξ ∈ L2(a, b)
Z b
a
g(t)ξ(t)dt = 0,
por lo tanto g(t) = 0 para todo t ∈ [a, b]. Y como g es continua con respecto de t, entonces g(t) = 0 para todo t ∈ [a, b]. Por lo anterior, para todo x, t ∈ [a, b] se tiene
K(x, t) = K0(x, t) = ∞ X n=1 λnξn(x)ξn(t). Entonces, en particular, K(x, x) = ∞ X n=1 λn|ξn(x)|2,
para todo x ∈ [a, b]. Como |ξn| es continua para cada n y K es continua, el teorema
de Dini aplicado a las funciones
fn(x) = ∞ X j=1 λj|ξj(x)|2 dice que ∞ X n=1 λn|ξn(x)|2
converge uniformemente en [a, b]. As´ı, ε > 0 podemos escoger N suficientemente grande tal que para todo x ∈ [a, b],
∞
X
n=N +1
λn|ξn(t)|2 < ε2.
Luego por (16) y (17), para todo x ∈ [a, b]
∞ X n=N +1 |λnξn(x)ξn(t)| ≤ ( ∞ X n=N +1 λn|ξn(t)|2 )1/2( ∞ X n=N +1 λn|ξn(x)|2 )1/2 ≤ C1/2ε,
y se tiene la convergencia uniforme.
Podemos extender ligeramente el teorema de Mercer. Salvo en el caso donde todos los valores propios de A son no positivos (−A satisface las hip´otesis), se puede permitir un n´umero finito de valores propios que tengan signo negativo, el resto que sea no negativo.
Corolario 1. Sea K un kernel hermitiano continuo en [a, b]×[a, b] tal que un n´umero finito de valores propios sean negativos, y el resto no negativos. Entonces si {λn} y
{ξn} son las usuales series de vectores y valores propios del correspondiente operador
integral K(x, t) = ∞ X n=1 λnξn(x)ξn(t) , la serie ∞ X n=1 |λnξn(x)ξn(t)|
converge uniformemente con respecto a ambas variables de forma simult´anea. Demostraci´on. Sea N ∈ N tal que para todo n ≥ N , λn ≥ 0. Si hacemos
AN(x, t) = A(x, t) − N −1
X
n=1
los valores propios correspondientes al operador integral KN son λN, λN +1, . . . Y como
son no negativos para todo ξ ∈ L2(a, b) tenemos que
(ANξ, ξ) = ∞
X
n=N
λn|(ξ, ξn)|2 ≥ 0,
asi que AN es no negativo. Como KN es continuo y hermitiano, podemos aplicar el
teorema de Mercer y
∞
X
n=N
|λnξn(x)ξn(t)|
converge uniformemente respecto a ambas variables. Y agregando los t´erminos restantes (que son finitos) no afecta la convergencia uniforme.
Corolario 2. Si K es un kernel, hermitiano y continuo en [a, b] × [a, b] cuyos valores propios (excepto un n´umero finito) son no negativos. Si {λn} es la usual sucesi´on de
valores propios asociados con el correspondiente operador integral, entonces
∞ X n=1 λn = Z b a K(x, x)dx
Demostraci´on. Como
K(x, x) =
∞
X
n=1
λn|ξn(x)|2
(en la notaci´on usual) y la serie es uniformemente convergente se sigue que Z b a K(x, x)dx = ∞ X n=1 λn Z b a |ξn(x)|2dx = ∞ X n=1 λn
Ejemplo 4. Regresemos al problema de resolver
ξ(x) − µ Z b
a
K(x, t)ξ(t)dt = f (x)
con a ≤ x ≤ b donde K es un kernel continuo y hermitiano y todos los valores propios del operador A asociado a K, excepto un n´umero finito, son no negativos.
Sean {λn} y {ξn} las sucesiones de valores y vectores propios de A. Como hab´ıamos
visto en el Ejemplo 2 si hacemos 1−µλn6= 0 para toda n, y (ξ, ξn) = (f, ξn)/(1−µλn)
y que ξ = f + ∞ X n=1 µλn 1 − µλn (f, ξn)ξn. (18) Ahora, como ∞ X n=1 |λnξnξn(t)|
converge uniformemente con respecto a ambas variables por el teorema de Mercer. Entonces podemos cambiar el orden de integraci´on y obtener
∞ X n=1 µλn 1 − µλn Z b a f (t)ξn(t)ξn(x)dt = Z b a ∞ X n=1 µλnξn(x)ξn(t) 1 − µλn f (t)dt. Haciendo rµ(x, t) = µλn(1 − µλn)−1ξn(x)ξn(t),
vemos que rµ es continuo por la convergencia uniforme y
ξ(x) = f (x) + Z b
a
rµ(x, t)f (t)dt.
Si µλn = 1 para alguna n, la soluci´on es ortogonal a los vectores propios
corres-pondientes ξn, esta soluci´on no es ´unica. En este caso las soluciones est´an dadas por
el teorema espectral y el teorema de Mercer nuevamente muestra la necesidad de la convergencia uniforme para permitir el intercambio entre la suma y la integral.
Podemos decir algo m´as del ejemplo anterior. Supongamos que K(x, t) es un kernel, continuo y hermitiano en [a, b] × [a, b]. Entonces si A es el operador integral asociado en L2(a, b), A2 es un operador no negativo con kernel continuo. Notemos
que el kernel de A2 tiene el valor de
Z b a K(x, s)K(s, t)ds en (x, t), y tenemos A2ξ = ∞ X n=1 λ2n(ξ, ξn)ξn.
Por el teorema de Mercer, la serie
∞
X
n=1
|λ2
nξn(x)ξn(t)|
converge uniformemente con respecto a ambas variables de forma simult´anea. Ahora consideremos la ecuaci´on
ξ(x) − µ Z b
a
K(x, t)ξ(t)dt = f (x)
con K definido como arriba y en el caso donde 1/µ no es un valor propio de A. Entonces por (18) ξ = f + ∞ X n=1 µλn 1 − µλn (f, ξn)ξn (19) = f + ∞ X n=1 µλn(f, ξn)ξn+ ∞ X n=1 (µλn)2 1 − µλn (f, ξn)ξn, (20)
el t´ermino del medio en el lado derecho de (19) es la expansi´on espectral de µAf , y el tercero puede ser escrito como
∞ X n=1 (µλn)2(1 − µλn)−1 Z b a f (t)ξn(t)dtξn(x). Adem´as ∞ X n=1 |(µλn)2(1 − µλn)−1ξn(x)ξn(t)|
converge uniformemente con respecto a ambas variables por comparaci´on con
∞ X n=1 |λ2 nξn(x)ξn(t)| y si hacemos s(x, t) = ∞ X n=1 (µλn)2 1 − µλn λn(x)λn(t)
vemos que s es continua pues cada ξn lo es. M´as a´un, el tercer t´ermino en (20) es
Z b
a
s(x, t)f (t)dt,
por lo tanto la soluci´on es
ξ(x) = f (x) + Z b
a
rµ(x, t)ξ(t)dt,
donde rµ(x, t) = µK(x, t) + s(x, t).
De lo anterior se sigue el siguiente resultado:
Teorema 5. Sea K un kernel, continuo y hermitiano en [a, b] × [a, b] y que 1/µ no es valor propio del operador integral asociado A. Entonces la soluci´on ´unica de
ξ(x) − µ Z b
a
K(x, t)ξ(t)dt = f (x)
est´a dada por
ξ(x) = f (x) + Z b a rµ(x, t)f (t)dt, donde rµ(x, t) = µK(x, t) + ∞ X n=1 (µλn)2 1 − µλn ξn(x)ξn(t) es continuo.
Referencias
[1] Kolmogorov, A. N. and S. V. Fomin. Elements of the theory of functions and functional analysis, Volume I: Metric and normed spaces. New York: Graylock. [2] Kolmogorov, A. N. and S. V. Fomin. Elements of the theory of functions and
functional analysis, Volume II: Measure, Lebesgue integrals, and Hilbert Space. New York: Academic.
[3] Petrovskii, I. G. Lectures on the theory of integral equations. Rochester: Gray-lock.
[4] Kettler, P. C. Hilbert space analysis of integral equations. Department of Math-ematics, Princeton University.
[5] Porter, D. and Stirling, D. Integral equations: A practical treatment, from spec-tral theory to aplications. Cambridge University Press.
