Ejemplo 1:
El departamento de estudios de mercado de una
fábrica estima que el 20% de la gente que
compra un producto un mes, no lo comprará el
mes siguiente.
Además, el 30% de quienes no lo compren un
mes lo adquirirá al mes siguiente.
En una población de 1,000 individuos, 100
compraron el producto el primer mes.
1. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo?, y
2. ¿Dentro de dos meses?
El estado de una máquina puede describirse como una CADENA DE MARKOV
Xn = Condición de la máquina en el n-ésimo período de tiempo.
0 = La máquina esta funcionando
1 = La máquina está parada en espera de reparación.
2 = La máquina está parada en reparación.
Espacio paramétrico : T { 0, 1, 2, … } (Días, horas)
Espacio de Estados : S = { 0, 1, 2 }
Solución:
Para resolver este tipo de problemas, lo primero
es hacer un esquema.
A la vista del esquema podemos pasar a
construir la matriz de probabilidades de
transición:
0.8
Compra en un mes
el producto Del 100% de clientes que compran en un mes el producto, sólo el 20% no compra el mes siguiente, o sea el 80% lo sigue comprando el siguiente mes.
Del 100% de clientes que no compran en un mes el producto, sólo el 30% lo compra el mes siguiente, o sea el 70% no lo compra el siguiente mes.
No Compra en un mes el producto
0.80
0.20 0.30
Cálculo: con esa información construimos la
matriz 2x2.
P
(0)representa la situación inicial
El primer mes comprarán C=350 y no comprarán
N=650
P (0) = 0.8 0.2 0.3 0.7 (C, N)= 100 900 0.8 0.2 0.3 0.7 = (350, 650)P
(2)representa la situación en el segundo mes
El segundo mes comprarán C=475 y no comprarán
N= 525
(C, N)= 0.8 0.2 0.3 0.7 P (2) = 100 900 0.8 0.2 0.3 0.7 0.7 0.3 0.45 0.55 = (475, 525) 0.7 0.3 0.45 0.55 =Ejemplo 2
En una población de 10,000 habitantes, 5,000 no fuman,
2,500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2,500
fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de
probabilidad de que un no fumador comience a fumar un
paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador
pase a fumar más de un paquete diario. Para los que
fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad
de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar
más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un
paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el
tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o
menos.
• Matriz de Transición:
• Estados de procesos:
• (0)NF= No fuman
• (1)FC= fuman uno o menos de un paquete diarios • (2)FCC= fuman más de un paquete diario.
Diagrama de Transición:
Después de un mes habrán NF=5025,
Aplicaciones:
Física: Las cadenas de Markov son usadas en muchos problemas de la
termodinámica y la física estadística. Ejemplos importantes se pueden encontrar en la Cadena de Ehrenfest o el modelo de difusión de Laplace.
Meteorología: Si consideramos el clima de una región a través de
distintos días, es claro que el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar cadenas de Markov para formular modelos climatológicos básicos.
Modelos epidemiológicos: Una importante aplicación de las cadenas de
Markov se encuentra en el proceso Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia.
Internet: El pagerank de una página web (usado por Google en sus
motores de búsqueda)se define a través de una cadena de Markov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena.
Simulación: Las cadenas de Markov son utilizadas para proveer una
solución analítica aciertos problemas de simulación tales como el Modelo M/M/1.3
Juegos de azar: Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a
través de una cadena de Markov. El modelo de la ruina del jugador, que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Markov en este rubro.
Economía y Finanzas: Las cadenas de Markov se pueden utilizar en
modelos simples de valuación de opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de precios. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.
Música: Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de
Ejemplo 3:
Tres agencias de viaje disponen de información respecto de los desplazamientos en vacaciones de semana santa.
Estado actual n=0 No viajar viajar entre islas viajar fuera No viajar
40 20 40
viajar entre islas
50 10 40
viajar fuera
10 70 20
a)Supuestos necesarios para considerar esta situación como cadena de Markov de primer orden
b)Calcular la probabilidad de que los clientes que no han viajado estas vacaciones lo hagan fuera de las islas dentro de 2 años.
Ejercicio 4:
La carrera de diplomado en CCEE tiene 3 cursos. A partir de los datos facilitados por el decanato del centro se sabe que el 35% y el 26% de los alumnos de primero y segundo abandonarán los estudios. El 28% de los alumnos de primero repiten curso, siendo este porcentaje del 20% y 30% para los alumnos de segundo y tercero respectivamente.
Ejemplo 5:
El reparto del mercado a largo plazo en un oligopolio
Tres laboratorios farmacéuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogéneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente
A B C
A 0.8 0.1 0.1
B 0.15 0.82 0.03
C 0.13 0.12 0.75
¿Cómo se repartirán el mercado dentro de 1 mes, 6 meses, 1 año?
¿A largo plazo?
Ejemplo 6:
La evolución clínica de los pacientes con válvula cardiaca sometidos a tratamiento anticoagulante
BIEN CON SECUELAS
MUERTO
Estados : 3 (1 absorbente, 2 transitorios) Ciclo = mes
Utilidades = Nivel salud
Distribución inicial de la cohorte (N=10.000): todos bien
0.6 0.2
0.4
0.6
0.2
Ejemplo 7:
Para efecto de una investigación en un determinado país, una familia puede clasificarse como habitante en zona urbana, rural y sub urbana. Se ha estimado que durante un año cualquiera del 15 % de todas las familias urbanas se cambia a zonas sub urbana y el 5% a zona rural. El 6% de las familias sub urbanas pasan a zonas urbanas y el 4% a zona rural. El 4% de las familias rurales pasan a zonas urbanas y el 65 zona sub urbana.
Ejemplo 8:
La empresa jurídica Angie Montero, emplea 3 tipos de abogados: subalternos, superiores y socios. Durante cierto año el 10% de los subalternos ascienden a superiores y a un 10% se les pide que abandonen la empresa. Durante un año cualquiera un 5% de los superiores ascienden a socios y a un 13% se les pide la renuncia. Los abogados subalternos deben ascender a superiores antes de llegar a socios. Los abogados que no se desempeñan adecuadamente, jamás descienden de categoría.
a) Se hace la matriz T y nos queda:
b) Nótese que la parte azul cielo tiene probabilidades iguales a 1, por lo tanto esta es la parte absorbente de la matriz. Por esta razón es una matriz absorbente.
Ahora se procede a restar la matriz normal de la identidad y se halla la inversa para ver los tiempos entre estados, para posteriormente esta última ser multiplicada por la matriz absorbente y saber las probabilidades de cambios de estado.
c) Al multiplicar la matriz inversa por la Absorbente se puede hallar dicha probabilidad, esta es 0.14
d) Al simplemente hallar la matriz inversa se es posible hallar el tiempo en años que debería permanecer normalmente un abogado subalterno en su compañía, serían 5 años.
e) Cuando piden el tiempo que debería permanecer un abogado subalterno pero durante la empresa sería sumar el tiempo en que se queda como subalterno con el tiempo en que permanece como superior: esto es, 5+2.77= 7.77 años.
f) Por último la probabilidad de que pase de subalterno a socio es mostrado en la última matriz, sería 0,28.
