UNIDAD I
coNocIeNDo el IDIomA De lA mAtemátIcA Capítulo 1ecuaciones lineales I: Resolución y despeje ... 5 Capítulo 2
ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas ... 12
UNIDAD II
mAtemátIcA RecReAtIvA Capítulo 1Ruedas, figuras y palitos de fósforo ... 18 Capítulo 2 cuadros numéricos ... 28 Capítulo 3 Repaso I ... 37 Capítulo 4 multiplicaciones abreviadas ... 41
UNIDAD III
coNocIeNDo SItUAcIoNeS eSPecIAleS Capítulo 1 Situaciones lógicas ... 49 Capítulo 2 Pensamiento lateral ... 55 Capítulo 3 Repaso II ... 61 Capítulo 4 ordenamiento lineal ... 65 Capítulo 5 ordenamiento circular ... 72UNIDAD Iv
eXPloRANDo HABIlIDADeS mAtemátIcAS: PSIcotÉcNIco Capítulo 1 Razonamiento abstracto ... 79 Capítulo 2 Repaso III ... 87 Capítulo 3 Sucesiones especiales ...91 Capítulo 4 Relaciones numéricas ... 96UNIDAD v
RecoNocIeNDo SItUAcIoNeS eSPecIAleS De coNteo Capítulo 1 conteo de triángulos ... 103 Capítulo 2 Repaso Iv ... 109 Capítulo 3 contar caminos ... 112 Capítulo 4 Perímetros ... 118Índice
TRILCE
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
UNIDAD vII
ANAlIzANDo loS INteRvAloS IgUAleS Capítulo 1Intervalos de longitud ... 155 Capítulo 2
Intervalos de tiempo ...161
UNIDAD vIII
ANAlIzANDo SItUAcIoNeS fRAccIoNARIAS Capítulo 1los números fraccionarios y sus aplicaciones ... 168 Capítulo 2
Situaciones básicas en las fracciones ... 176
UNIDAD IX
USANDo SímBoloS y gRáfIcoS eN lA mAtemátIcA Capítulo 1operaciones matemáticas arbitrarias ... 184 Capítulo 2
gráficos estadísticos ... 190
Capítulo 3
Repaso vI ... 199
UNIDAD vI
INteRPRetANDo lAS oPeRAcIoNeS fUNDAmeNtAleSCapítulo 1 criptogramas I ... 124 Capítulo 2 criptogramas II ... 129 Capítulo 3 operaciones combinadas I ... 135 Capítulo 4 operaciones combinadas II ... 140 Capítulo 5
método de las operaciones inversas ... 145 Capítulo 6
APReNDIzAjeS eSPeRADoS
L
a Matemática nos ayuda a entender y explicar los hechos que ocurren en la naturaleza. Para ello se vale de expresiones donde hay letras, números y otros símbolos. Por ejemplo, son ecuaciones las expresiones: • E=mc2 • F=G m1m2 d2 • x+x+1+x+2=36coNocIeNDo el IDIomA De lA
mAtemátIcA
Comunicación matemática• Interpretar el significado de las expresiones simbólicas y numéricas en las diversas situaciones
y operaciones.
• Identificar cantidades conocidas y desconocidas.
Resolución de problemas
• Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas con las ecuaciones lineales.
• Realizar procesos y operaciones en el despeje de la variable.
Razonamiento y demostración
• Evaluar los datos disponibles y las estrategias de resolución.
• Formular conclusiones de las expresiones simbólicas.
1
1
ecuaciones lineales I:
Resolución y despeje
.
En este capítulo aprenderemos a:
• Aplicar los diferentes conceptos matemáticos para resolver una ecuación. • Identificar una variable y despejarla.
Resolver una ecuación significa aplicar los conocimientos conocidos, es decir, emplear las diferentes operaciones aritméticas y algebraicas con la finalidad de hallar el valor de una incógnita. Al reemplazar el valor hallado en la ecuación se debe cumplir una igualdad.
Encontrando la incógnita
Ejemplo: 2x+5=17 Resolución: x=6 → 2(6)+5=17 123 17 ¿Cómo se halló el valor: x=6?6
Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje
TRILCE
Colegios www.trilce.edu.pe Ej Empl osEcuación
Es la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por ejemplo:
5 x + 8
Es una expresiónalgebraicaEs otra expresión algebraica
3 x + 2 0
Coeficiente Variable independienteTérmino
Luego, igualando las expresiones, se determina una ecuación:
123
5 x + 8
123
Primer miembro Segundo miembro
3 x + 2 0
=
Términos
Solución de una ecuación
Es el valor numérico que debe tomar la variable para que la igualdad sea cierta, así: En la ecuación: 5x+8=3x+20 La solución de la ecuación es cuando: x=6; porque al reemplazar se tiene: 5(6)+8=3(6)+20 30+8=18+20 38=38
¡Se cumple la igualdad!
Resolución de una ecuación
En general, para resolver una ecuación hay que despejar la incógnita. Los pasos a seguir son: 1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos con la variable en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita. 1. Resolver: x x 6- - - =-1 23 1 Resolución • "Quitamos" denominadores y para ello hallamos el mcm: mcm(6;2)=6 Luego: (x-1 3)-6 (x-3) =-1 x - 1 - 3x+9= - 6 - 2x+8= - 6 - 2x= -6 - 8 - 2x = - 14 x=7
1
Ej Empl oEj
Empl
o
Despejar "d" en: Vf2= Vo2+2ad Resolución Vf2= Vo2+2ad • "Vo2 " pasa al primer miembro: Vf2 - Vo2=2ad • "2a" pasa al primer miembro: Vf2- Vo2 2a = d • Luego, "d" queda despejada: d= Vf2 - Vo2 2aDespejar una variable en una ecuación
Despejar una variable significa dejar "sola" a la variable en uno de los miembros. Se debe tener presente lo siguiente:
• Los términos que son sumados o restados pasan de un miembro a otro con solo cambiar de signo. Los que aparecen sumando pasarán restando y los que aparecen restando pasarán sumando.
• Los términos que en un miembro aparecen multiplicando pasarán al otro lado dividiendo. • Los términos que aparecen dividiendo pasarán al otro lado multiplicando. 2. Resolver: x x 2 1 3 5 + = + Resolución • Se multiplica en aspa: 3(x+1) = 2(x+5) 3x+3 = 2x+10 3x - 2x = 10 - 3 x=7
Ej
Empl
o
8
Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje
TRILCE
Colegios www.trilce.edu.pe es tiene por es en forma1
Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. x2- = -5 x31 2. - 3(x - 2)+6 = -(5 - 2x) 3. Despeja "m" en: b=c - 5m 4. Despeja "t" en: a= t nm -5. Resolver: 4x+2y=22 7x - 2y=11 Comunicación matemáticaI. Completa los espacios en blanco: 7x - 8 = 2(1 - x)
1. El primer miembro de la ecuación es . 2. El coeficiente de la variable en el primer
miembro de la ecuación es .
3. El término independiente en el primer miembro de la ecuación es . II. Relaciona: Pregunta Ecuación 4 A+B=C.D 5 C - D= B A 6 A.C= B D 7 A D CB = 8 A - C = D - B 9 A.B.C = D 10 A=C DB. Despeje B= . A CD A= . B C D D=A+B - C C=AD+B A=B CD. B= C DA -D= . A CB Resolución de problemas I 1. Despeja "N" en: S=U.V - N 2. Despeja "K" en: A=K - L 3. Despeja "Z" en: X=Y - Z 4. Despeja "Q" en. U=P - Q 5. Despeja "K" en: S=K.V2 6. Despeja "K" en: L=A(K - S) 7. Despeja "S2" en: A=5.M.N.S2 8. Despeja "Q" en: A=P.Q - S 9. Despeja "t2" en: L= V.t - 2K.t2 10. Despeja "B" en: S= A.B.C Resolución de problemas II 11. 5(x+8) = 50 12. 2(x - 9)+4=30 13. 2(x - 5) + 3(x+5)=20 14. 2(x+3)=5(x - 1) - 7(x - 3)+2 15. x - 3 - 2(6 - 2x)=2(2x - 5) 123
Conceptos básicos
Aplica lo comprendido
10 x 5 5010
Ecuaciones lineales I: Resolución y despeje
TRILCE
Colegios www.trilce.edu.pe 16. (3 x5-8)=21 17. 3x+ x2 =773 • Resolver los siguiente sistemas: 18. 4x+3y=23 7x - 5y= -11 19. 6x - 3y=48 3x - 5y=31 20. 9y - 2x=11 4x+2y=38 Problema en el supermercado Frida realizará unas compras en un supermercado. Lo curioso fueron los precios de estos productos. Responde: • Si gastó S/. 29 comprando tres botellas de leche y 5 kg de arroz, halla el precio de cada uno de los productos. • Si gastó S/. 70, comprando 2 kg de azúcar, cuatro panetones y 1 L de aceite, halla el precio de cada uno de los productos.• Si gastó S/. 105, comprando cinco chocolates, 2 kg de pavo y tres botellas de champagne, hallar el precio de cada uno de los productos.
• ¿Cuánto gastaría Frida si logra comprar cinco botellas de leche, 4 kg de arroz, 6 kg de azúcar, un panetón, 2 L de aceite y 4 kg de pavo?
Leche (Unidad)
x - 1 Arroz (kg)x Azúcar (kg)z - 1 Aceite (L)2z
Panetón
8z Chocolatey Pavo (kg)8y Champagne6y
123
123
1
• Hallar "x" en cada una de las ecuaciones propuestas. 1. 30x - ( - x+6)+( -5x+4) = - (5x+6)+( - 8+3x) a) 43 b) 74 c) - 73 d) 21 e) 51 2. 15x+(- 6x+5) - 2 - ( - x+3)= - (7x+23) - x+(3 - 2x) a) - 1 b) 2 c) 21 d) 1 e) 4 3. 16x - [3x - (6 - 9x)]= 30x+[ - (3x+2) - (x+3)] a) 2 b) 4 3 c) 4 1 d) 2 1 e) 1 4. x x x x 2+ + +3 4 5 =77 a) 30 b) 40 c) 70 d) 120 e) 60 5. x 7- +2(x+8) - 3(x - 5)= x6 + +249 3 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 • Calcular "x" en: 1. 5(x+8)=50 2. 2(x - 9)+4=30 3. 4(x+1) - 20=28 4. x 2 5 =10 5. (3 x5-8)=21 6. 2(x - 5)+3(x+5)=20 7. 4(5x+2) - 7(3x+5)=x - 31 8. 3(x+2) - 2(x - 2)=10 9. x x 2 3 - 5 = 10. x x 23 2 13 4 + + - = 11. Si: MN - P = Q; hallar "M" 12. Si: abc - n = p+q; hallar "n" 13. Si: y x +a=b ; hallar "y" 14. Si: y x =mn ; hallar "n" 15. Si: x2 + ay=z ; hallar "y"Conceptos básicos
¡Tú puedes!
Conceptos básicos
Practica en casa
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
12
TRILCE
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ecuaciones lineales II:
Situaciones problemáticas
.
En este capítulo aprenderemos a:
• Identificar y representar simbólicamente situaciones problemáticas.
• Interpretar expresiones verbales como el doble, el triple, la tercera parte, etc.
Las diferentes situaciones donde hay cantidades conocidas y desconocidas, relacionadas con términos como doble, mitad, excede, etc., se expresan simbólicamente en una ecuación.
Del enunciado verbal a la forma matemática
Fuete:http://elpaiser.blogspot.com
El doble de la suma de un número con cinco
2
¿Cómo se representa el doble de un número? Se representa como "2x"Traducir del lenguaje natural al lenguaje matemático
como Forma
Resueltos
Forma verbal Forma simbólica
El triple de un número 3x
El cubo de un número x3
La cuarta parte de un número x4
Un número aumentado en cinco x+5
La suma del doble de un número con cinco 2x+5 El doble de la suma de un número con cinco 2(x+5) La suma de dos números consecutivos x+(x+1)
El cociente de dos números xy
La diferencia de dos números x - y
La diferencia de los cuadrados de dos
números x2 - y2
Conceptos básicos
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
14
TRILCE
Colegios www.trilce.edu.pe 1. Un número aumentado en 17 es 53. Halla el número.2. La suma de dos números consecutivos es 91. Halla los números.
3. El doble de un número sumado con el triple del número es 65. Halla el número.
4. El exceso de un número respecto a 12 es igual al exceso de 18 respecto al número. Halla el número.
5. En un salón hay 42 alumnos. Si los hombres representan el doble que el número de mujeres, ¿cuántos hombres hay en el salón? Comunicación matemática I. Completa: II. Completa: 14 3x - 2 15 x+x 1 16 2x3 17 6x - 10 18 (x+2)(x+3) 19 2x+4x 20 x2+2x Resolución de problemas
1. El doble de un número, aumentado en 23, es 75. Halla dicho número. a) 32 b) 26 c) 28 d) 25 e) 30 2. El cuádruple de un número, disminuido en 36, es 88. Halla dicho número. a) 29 b) 28 c) 34 d) 30 e) 31
3. El triple de la suma de un número con 10 es 45. Halla dicho número.
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
4. El quíntuple de la diferencia de un número con 8 es 70. Halla dicho número.
a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26 Preg. Forma verbal simbólicaForma
1 La séptima parte de un número 2 La raíz cuadrada de un número 3 Un número aumentado en su doble 4 El doble de un número aumentado en su triple 5 El producto de dos números consecutivos 6 El cociente de un número y su mitad 7 La diferencia del triple de un número y cinco 8 La edad de Javier hace doce años 9 El dinero que tendré si gano 20 soles 10 El producto de dos números
Preg. simbólicaForma Forma verbal
11 8 - x 12 10x 13 5 (x+3)
Conceptos básicos
Aplica lo comprendido
10 x 5 502
5. La cuarta parte un número, disminuido en 6,es 17. ¿Cuál es el número?
a) 90 b) 91 c) 92
d) 93 e) 94
6. La cuarta parte de la diferencia entre un número con 6 es 24. ¿Cuál es el número? a) 100 b) 102 c) 110
d) 112 e) 108
7. Un número excede en 24 a 38. Halla dicho número.
a) 64 b) 66 c) 60
d) 50 e) 62
8. ¿Cuál es el número que excede a 49 tanto como es excedido por 87? a) 66 b) 67 c) 68 d) 69 e) 70 9. Halla un número, tal que su doble exceda a 60 tanto como su triple excede a 96. a) 42 b) 38 c) 40 d) 36 e) 34
10. ¿Cuál es el número cuyo cuádruple excede a 46 tanto como su doble excede a 18?
a) 17 b) 14 c) 15
d) 12 e) 11
11. El exceso del triple de un número sobre 52 equivale al exceso de 240 sobre el número. ¿Cuál es el número?
a) 75 b) 71 c) 69
d) 70 e) 73
12. María reparte un dinero entre sus tres hijos: al primero le da el doble de lo que le dio al segundo, y al tercero, $ 2000 más que al segundo. Si su fortuna fue de $ 22 000, ¿cuánto le tocó al tercero?
a) $ 8000 b) 6000 c) 5000 d) 7000 e) 9000
13. El sapito de Vanesa da cuatro saltos, recorriendo en cada salto 3 cm más que en el anterior. Si el sapito recorrió un total de 74 cm, ¿cuánto recorrió en el segundo salto?
a) 6 cm b) 8 c) 11 d) 14 e) 17
14. Blas reparte su dinero del modo siguiente: a Fernando le da la mitad, a Alfredo, la séptima parte y a Letty, los 2000 dólares restantes. ¿Cuál era el dinero de Blas?
a) $5600 b) 6000 c) 4200 d) 2800 e) 5800
15. Halla un número tal que, si lo elevamos al cuadrado, luego le agregamos 11 al resultado, y le sacamos la raíz cuadrada, para luego aumentar cuatro unidades al resultado, obtenemos 10.
a) 7 b) 6 c) 5
d) 4 e) 8
1. Tres cestos contienen 575 manzana. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto?
a) 190 b) 188 c) 176 d) 197 e) 181
2. A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/. 5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que la primera vez y cada uno pagó ahora S/. 8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/. 380 000 más que en la primera, ¿cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro? a) 6000 b) 2000 c) 60 000 d) 4000 e) 4500 3. Hallar el número de pelotas que tiene Mathías, tal que si se multiplican por siete y luego se le agrega 20 resulta el quíntuple de ellas, aumentada en 60.
Conceptos básicos
¡Tú puedes!
Ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
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TRILCE
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ecuaciones lineales II: Situaciones problemáticas
16
1. Halla la edad de Jackeline, si al duplicarla y aumentarle 36, nos da 64.
2. ¿Cuál es el número cuyo triple disminuido en 100, nos da el mismo número aumentado en 30?
3. El séxtuple de la diferencia de un número con 30, es tanto como el cuádruple de la suma del mismo número con 10. Halla dicho número. 4. Halla dos números consecutivos, tal que al
sumarlos obtengamos 59.
5. La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuál es el número intermedio?
6. Halla cuatro números consecutivos, sabiendo que la suma nos da 174. Indica el menor. 7. ¿Cuál es el número de cuadernos que hay en
un aula, si el quíntuple de ellos disminuido en 20 resulta 80 más su triple?
8. Halla la edad de Patty, si sabemos que al restarle 12 años obtendremos el triple de dicha edad disminuido en 62 años.
9. Halla un número, de cuya suma de su doble y su triple, resulta dicho número aumentado en 80.
10. Halla un número de cuya suma de su mitad, tercera y cuarta parte, resulte 130.
11. La tercera parte de un número más la mitad del número resulta 35. Halla dicho número. 12. El cubo de la suma de un número con 8 resulta
1000. Halla dicho número.
13. El cuadrado de la diferencia de un número con 12, resulta 196. Halla dicho número.
14. ¿Qué edad tiene Christian, si sabemos que al cuadruplicarla y agregarle 44 años, obtendremos su séxtuplo disminuido en cuatro años?
15. El doble de la suma de un número con 5 es 20. Halla dicho número.
4. A la cantidad de soles que tiene Edú le agregamos S/. 8 para luego al resultado duplicarlo, y sumarle 9, a este último resultado se le divide entre 7 y se obtiene cinco unidades menos que la cantidad inicial. ¿Cuál es dicha cantidad?
a) S/. 10 b) 12 c) 13 d) 18 e) 20
5. El profesor Medrano recibió S/. 4 y tuvo entonces cuatro veces de lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2. ¿Cuánto tenía al principio?
a) S/. 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5
Conceptos básicos
Practica en casa
APReNDIzAjeS eSPeRADoS
mAtemátIcA RecReAtIvA
Comunicación matemática
• Reconocer e identificar los diferentes juegos matemáticos.
• Interpretar las reglas de los juegos matemáticos.
A
unque no se puede definir rigurosamente a las matemáticas recreativas, estas proporcionan el mejor camino para captar el interés de los jóvenes durante la enseñanza de la matemática elemental. Un buen rompecabezas matemático, una paradoja o un truco de apariencia mágica, pueden excitar mucho más la imaginación de los niños que las aplicaciones "prácticas", sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de las experiencias vividas por ellos. Y si el "juego" se elige y se prepara con cuidado, puede llevarle casi insensiblemente hasta ideas matemáticas de importancia..." Circo matemático Martín GarderUNIDAD II
Ruedas, figuras y palitos de fósforo
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TRILCE
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Ruedas, figuras y palitos
de fósforo
En este capítulo aprenderemos a:
• Identificar y relacionar formas geométricas usando palitos de fósforo. • Identificar y aplicar el giro horario y antihorario en ruedas con ejes. • Dividir y comparar figuras geométricas.
1
Ej Empl oEj
Empl
o
Palitos de fósforos
Sabías que...?
Los problemas con palitos de fósforo deben cumplir las siguientes condiciones:
• Todos deben tener la misma longitud, es decir, no deben cortarse ni doblarse.
• En una solución deben intervenir todos los palitos y no quedar palitos sueltos.
Por lo tanto, al formar dos cuadrados es incorrecto
dar como solución: No es parte de los cuadrados palito suelto Quita dos palitos de fósforo para que quede solamente cuatro cuadrados iguales.
Resolución
Al quitar los palitos indicados Queda solo cuatro cuadrados iguales
