INVESTIGACION DE
OPERACIONES
EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. UNIDAD 1. SOLUCION A PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL. ALUMNO: RUBEN ANTONIO MENDOZA MIRAMONTES. MATRICULA: AL12523881. NIVEL: 5 SEMESTRE BLOQUE 1. FACILITADOR: MTRO. ROMAN HUMBERTO GARMA MANZANILLA. UNAD MEXICO.Evidencia de aprendizaje. Solución a problemas de programación lineal Instrucciones:
I) Resuelve los siguientes ejercicios
Ejercicio 1
Considera el siguiente problema.
1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
Pasar restricciones a forma estándar agregando según sea el caso variable de holgura y artificial, y la función objetivo se iguala a Zero por lo tanto queda de la siguiente manera PRIMERA TABLA BAS E X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Renglón 1 Z -2 -5 -3 0 M M 0 Renglón 2 R1 1 -2 1 -1 1 0 20 Renglón 3 R2 2 4 1 0 0 1 50
Debemos volver Zero las M de nuestra función objetivo, multiplicando por –M los valores del Renglón 2 al resultado le sumamos el valor del Renglón 1 y de estas operaciones obtenemos los valores de nuestra función objetivo para obtener la siguiente tabla.
BAS E X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Renglón 1 Z -M-2 2M-5 -M-3 M 0 M -20M Renglón 2 R1 1 -2 1 -1 1 0 20 Renglón 3 R2 2 4 1 0 0 1 50
De la misma forma se realizan las operaciones solo que ahora involucramos al Renglón 1 y 3 para obtener nuestra función objetivo para la siguiente tabla.
BAS E X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Renglón 1 Z -3M-2 -2M-5 -2M-3 M 0 0 -70M Renglón 2 R1 1 -2 1 -1 1 0 20 Renglón 3 R2 2 4 1 0 0 1 50
2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema. La variable de entrada será X1 y tomaremos la variable de salida R1 que contiene un pivote = 1 BAS E X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Razó n Z -3M-2 -2M-5 -2M-3 M 0 0 R1 1 -2 1 -1 1 0 20 20 R2 2 4 1 0 0 1 50 25
Volvemos Zero los valores de columna pivote, para esto empezamos multiplicando por 3M+2
Enseguida multiplicamos -2 para continuar
De estos resultados obtendremos la siguiente tabla en la cual X2 entra y R2 sale.
Realizamos las siguientes operaciones 8M+9 (R3)+(R1) BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 0 -8M-9 M-1 -2M-2 3M+2 0 -10M+4 0 X1 1 -2 1 -1 1 0 20 R2 0 8 -1 2 -2 1 10
Continuamos con la siguiente operación 2 (R3) + (R2)
Con los resultados obtenidos de las operaciones formamos la tabla siguiente.
BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 0 0 -1.08 0.25 M-0.25 1.08 51.25 X1 1 0 0.75 -0.5 0.5 0.25 22.5 X2 0 1 -0.12 0.25 -0.25 0.13 1.25 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 2.83 0 0 -1.17 M+1.1 7 M+1.8 3 115 X3 1.33 0 1 -0.67 0.67 0.33 30 X2 0 1 -0.12 0.25 -0.25 0.12 5 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 4 7 0 0 M M+ 3 150 X3 2 4 1 0 0 1 50 S1 1 6 0 1 -1 1 30
3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial)
correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
4.- Aplica la fase 1 paso a paso.
5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.
FASE 1 MINIMIZAR
Realizamos la siguiente operación para obtener el nuevo valor de nuestra función objetivo Z + [1*R1+1*R2] BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 0 0 0 0 -1 -1 0 R1 1 -2 1 -1 1 0 20 R2 2 4 1 0 0 1 50
Para convertir a Zero los valores de la columna pivote debemos realizar las siguiente operación
NZ = R1 * -3 + Z NR2 = R1 * -2 + R2
Así obtenemos la siguiente tabla donde la variable de entrada es X1 y la de salida X1.
Variable de entrada X2 Variable de salida R2
Para convertir celda pivote a 1 lo multiplicaremos por 1/8. Además
convertiremos a Zero los números 8 y -2 de nuestra columna pivote mediante las siguientes operaciones.
NZ = R2 * -8 + Z NX1 = R2 * 2 + X1
En este resultado se observa la inexistencia de variables artificiales y nuestra solución se refleja en Zero por lo que damos por terminado la fase 1 y de esta manera nuestra BF inicial seria este resultado.
BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 3 2 2 -1 0 0 70 R1 1 -2 1 -1 1 0 20 R2 2 4 1 0 0 1 50 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 0 8 -1 2 -3 0 10 X1 1 -2 1 -1 1 0 20 R2 0 8 -1 2 -2 1 10 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 0 0 0 0 -1 -1 0 X1 1 0 ¾ -1/2 ½ ¼ 45/2 X2 0 1 -1/8 ¼ -1/4 1/8 5/4
6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema.
Utilizaremos la solución factible de nuestra primera fase con la función objetivo original, en donde se eliminaran las columnas que hayan albergado a las variables artificiales y nuestra tabla quedaría como sigue.
Usando el método para maximizar una función objetivo obtenemos que la variable de entrada seria X2 y la de salida x2, realizando la siguiente operación obtendremos la tabla
NZ = R3 * 5 + Z
La variable que entra será X3 y la saliente es X1.
Mediante las siguientes operaciones obtendremos la siguiente tabla. Pivote * 4/3 NZ = X1 * 29/8 + Z NX2 = X1 * 1/8 + X2 BASE X1 X2 X3 S1 Sol Z 0 0 0 0 0 X1 1 0 ¾ -1/2 45/2 X2 0 1 -1/8 ¼ 5/4 BASE X1 X2 X3 S1 Sol Z -2 0 -29/8 5/4 25/4 X1 1 0 ¾ -1/2 45/2 X2 0 1 -1/8 ¼ 5/4 BASE X1 X2 X3 S1 Sol Z 17/6 0 0 -7/6 115 X3 4/3 0 1 -2/3 30 X2 1/6 1 0 1/6 5
Así tenemos que la variable que entra es S1 y la que sale es X2. Mediante las siguientes operaciones obtendremos la siguiente tabla Pivote *6
NZ = Z + X2 * 7/6 NX3 = X3 +X2 *2/3
Ya que no contamos con valores negativos en nuestra función objetivo terminan las iteraciones y obtenemos como resultado
SOLUCION ÓPTIMA
7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?
En los pasos 2 y 6 serán factibles solo para el problema real y tan solo el paso 4 será factible para un problema artificial.
8.-Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.
BASE X1 X2 X3 S1 Sol
Z 4 7/6 0 0 150
X3 2 2/3 1 0 50
Ejercicio 2
Considera el siguiente problema.
1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema.
Pasar restricciones a forma estándar agregando según sea el caso variable de holgura y artificial, y la función objetivo se iguala a Zero por lo tanto queda de la siguiente manera
PRIMERA TABLA donde podemos apreciar la primera solución básica de inicio. BAS E X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Renglón 1 Z -3 -2 -4 0 -M -M 0 Renglón 2 R1 2 1 3 0 1 0 6 Renglón 3 R2 3 3 5 -1 0 1 120
Con la siguiente operación obtendremos la nueva función objetivo: NZ = Z + [M + R1 + M * R2] BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z -3+5 M -2+4 M -4+8 M -M 0 0 126M R1 2 1 3 0 1 0 6 R2 3 3 5 -1 0 1 120
La variable de entrada será X3 y la de salida será R1.
Mediante la realización de las siguientes operaciones podremos obtener la siguiente tabla. Pivote * 1/3 NZ = pivote * 4-8M + Z NR2 = pivote * -5 + R2 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z -1/3-1/3M -2/3+4/3M 0 -M 4/3-8/3M 0 8-110M X3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 2 R2 -1/3 4/3 0 -1 -5/3 1 110
De nueva cuenta tenemos que la variable de entrada será X2 y en la de salida tomaremos R2.
Mediante las siguientes operaciones debemos obtener la siguiente tabla. Pivote * 3 NZ = Z + PIVOTE * 2/3 – 4/3M NR2 = R2 – PIVOTE * -4/3 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 1-3M 0 2-4M -M 2-32/9M 0 12-118M X2 2 1 3 0 1 0 6 R2 -3 0 -4 -1 -3 1 102
Al observar los resultados en la tabla nos damos cuenta que ya no queda ningún resultado positivo que pudiera servir como variable entrante y aún queda un numero positivo en la solución por lo que se toma por determinar que el problema no tiene solución.
2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema.
BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol
Z 0 0 0 0 -1 -1 0
R1 2 1 3 0 1 0 6
R2 3 3 5 -1 0 1 120
Para obtener la nueva función objetivo y la siguiente tabla realizamos la siguiente operación Z + [1 * R1 +9 1 * R2] BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z 5 4 8 -1 0 0 126 R1 2 1 3 0 1 0 6 R2 3 3 5 -1 0 1 120
En función de estos resultados nuestra variable entrante será X3 la que sale R1 Con las siguientes operaciones debemos obtener la nueva tabla.
Pivote * 1/3 NZ = Z + PIVOTE * -8 NR2 = R2 + PIVOTE * -5 BASE X1 X2 X3 S1 R1 R1 Sol Z -1/3 4/3 0 -1 -8/3 0 280/3 X3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 2 R2 1/3 4/3 0 -1 -5/3 1 -1200
Ahora tendremos una variable de entrada X2 y una variable de salida X3
Y al realizar las siguientes operaciones obtendremos la tabla final, que alberga un resultado.
NZ = Z + pivote * -4/3 NR2 = R2 + pivote * -4/3
Z -3 0 -4 -1 -4 0 356/3
X2 2 1 3 0 1 0 6
R2 -3 0 -4 -1 -3 1 -1208
Debido a que el valor mínimo de nuestra suma es positivo esta ecuación no tiene solución factible.
3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?
Paso 1: Factibilidad para el problema real
Paso 2: En la fase primaria solo resulto factible para una solución artificial, mientras que en la fase 2 si se refleja como factible para un problema real. 4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.
REFERENCIAS
https://www.youtube.com/watch?v=lgh1aANj0qE https://www.youtube.com/watch?v=zrBrb2Vyk5U
