Diseño óptimo de mecanismos de cuatro barras para generación de movimiento con restricciones de montaje y ángulo de transmisión

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(1)DISEÑO ÓPTIMO DE MECANISMOS DE CUATRO BARRAS PARA GENERACIÓN DE MOVIMIENTO CON RESTRICCIONES DE MONTAJE Y ÁNGULO DE TRANSMISIÓN.. HERIBERTO AUGUSTO PINTO LINARES. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA y COMPUTACIÓN. SEDE MANIZALES Octubre de 2007.

(2) DISEÑO ÓPTIMO DE MECANISMOS DE CUATRO BARRAS PARA GENERACIÓN DE MOVIMIENTO CON RESTRICCIONES DE MONTAJE Y ÁNGULO DE TRANSMISIÓN.. HERIBERTO AUGUSTO PINTO LINARES. Memoria del trabajo de tesis presentado como requisito parcial para optar por el grado de MAGÍSTER EN INGENIERÍA: AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL. FABIOLA ANGULO GARCIA Ph.D. – Directora de la tesis ANDRÉS TOVAR PÉREZ, Ph.D. – Co-director de la tesis. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA y ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA y COMPUTACIÓN. SEDE MANIZALES Octubre de 2007.

(3) a Judi Isabel. Mi esposa María Eugenia. Mi madre Laura Catalina & Sofía Alejandra. Mis hijas.

(4) RESUMEN Este trabajo parte del estudio de la forma de díada estándar y de cómo podría usarse para encontrar soluciones óptimas para la tarea de generación de movimiento cuando se cuenta con restricciones de montaje asociadas con la ubicación de los pares fijos del mecanismo. Debido a su incidencia en la forma como se transfiere el movimiento desde el eslabón de entrada hacia el de salida, así como a su afectación sobre otras características del mecanismo, el ángulo de transmisión es el índice de mérito a optimizar. Dado que era necesario optimizar el ángulo de transmisión para múltiples posiciones prescritas y que cada posición estaba descrita mediante una expresión diferente, fue necesario usar una estrategia para optimización multiobjetivo. La estrategia empleada fue la “suma ponderada de funciones”. La formulación del problema de optimización se hizo considerando 2, 3, 4 y 5 posiciones prescritas. Las expresiones obtenidas para describir el modelo son de naturaleza no lineal y por lo tanto para resolver el problema de diseño óptimo se usó una técnica de programación no lineal. Basado en la técnica “programación cuadrática secuencial” (SQP) se desarrolló un algoritmo usando MATLAB. Para introducir los datos prescritos, proporcionar la condición inicial de manera fácil e intuitiva, correr el algoritmo y visualizar sus resultados, se desarrolló un GUI..

(5) AGRADECIMIENTOS Para el desarrollo de este trabajo de tesis fueron invaluables la directrices proporcionadas por la Doctora Fabiola Angulo García Docente de la Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Computación de la Universidad Nacional Sede Manizales, y el Doctor Andrés Tovar Pérez Director Académico de la Universidad Nacional Sede Bogotá, a quienes además agradezco enormemente su apoyo y colaboración..

(6) CONTENIDO. INTRODUCCIÓN y MOTIVACIÓN. 12. 1.. MARCO TEÓRICO. 14. 1.1.. TEORÍA SOBRE MECANISMOS. 14. 1.1.1.. Síntesis cinemática. 15. 1.1.2.. Categorías de la síntesis cinemática. 15. 1.1.3.. Métodos y técnicas de síntesis cinemática. 16. 1.1.4.. Diseño óptimo de mecanismos. 17. 1.1.5.. Descripción del ángulo de transmisión μ. 18. 1.1.6.. Expresión del ángulo de transmisión μ. 18. 1.1.7.. ¿Porque optimizar μ ?. 19. 1.2.. TEORÍA SOBRE OPTIMIZACIÓN. 21. 1.2.1.. Variables de diseño. 21. 1.2.2.. Función de costo u objetivo. 21. 1.2.3.. Método de la suma ponderada de funciones. 23. 1.2.4.. Maximización. 23. 1.2.5.. Restricciones del sistema. 24. 1.2.6.. Forma estándar del modelo. 24. 1.2.7.. Restricciones activas, inactivas y violadas. 25. 1.2.8.. Solución del problema de optimización. 25.

(7) 2.. MODELAMIENTO. 27. 2.1.. EL OPERADOR DE ROTACIÓN PURA. 27. 2.2.. FORMA DE LA DIADA ESTANDAR. 29. 2.3.. VARIABLES DE DISEÑO y FUNCION DE COSTO. 31. 2.4.. RESTRICCIONES. 36. 2.4.1.. Primera restricción. 36. 2.4.2.. Segunda restricción. 37. 2.4.3.. Tercera restricción. 40. 2.4.4.. Otras restricciones. 41. 3.. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LA FORMA ESTANDAR. 43. 3.1.. VARIABLES DE DISEÑO. 44. 3.2.. VECTOR DE FUNCIONES OBJETIVO. 45. 3.2.1.. Optimización multiobjetivo. 48. 3.2.2.. Método de la suma ponderada. 49. RESTRICCIONES DE DISEÑO. 49. 3.3. 3.3.1.. Tipo desigualdad. 49. 3.3.2.. Tipo igualdad. 51. ENUNCIADOS DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN. 53. 3.4.1.. Enunciado del problema para 2 posiciones prescritas. 53. 3.4.2.. Enunciado del problema para 3 posiciones prescritas. 54. 3.4.3.. Enunciado del problema para 4 posiciones prescritas. 56. 3.4.4.. Enunciado del problema para 5 posiciones prescritas. 57. 3.4.. 3.5.. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN USANDO MATLAB 59.

(8) 4.. RESULTADOS. 61. 4.1.. EJEMPLOS DE APLICACIÓN PARA 2 POSICIONES PRESCRITAS. 61. 4.1.1.. Descripción del dibujo ilustrado en la ventana de datos (Figura 21). 63. 4.1.2.. Descripción del dibujo ilustrado en la ventana de resultados (Figura 22). 63. 4.2.. EJEMPLO DE APLICACIÓN PARA 3 POSICIONES PRESCRITAS. 67. 4.3.. EJEMPLO DE APLICACIÓN PARA 4 POSICIONES PRESCRITAS. 69. 5.. CONCLUSIONES. 70. 6.. TRABAJO FUTURO. 72. REFERENCIAS. 73. ANEXO A - DESCRIPCIÓN DE LA INTERFAZ GRÁFICA. 75. ANEXO B - MANUAL DE USUARIO. 77. ANEXO C - CÓDIGO DEL ALGORITMO. 83.

(9) LISTA DE FIGURAS Figura 1. Representación de un mecanismo de 4 barras. 14. Figura 2. Mecanismo generador de movimiento: Tren de aterrizaje de un avión miniatura 16 Figura 3. Angulo de transmisión μ. 18. Figura 4. Enfoque geométrico del ángulo de transmisión μ. 19. Figura 5. Relación geométrica entre la ventaja mecánica y el ángulo μ. 20. Figura 6. Gráfica de una función objetivo.. 22. Figura 7. Maximización de una función objetivo.. 23. Figura 8. Representación vectorial de un mecanismo generador de movimiento. 27. Figura 9. Mecanismo en varias posiciones sucesivas.. 28. Figura 10. Ángulos y vectores para el modelamiento del mecanismo.. 29. Figura 11. Díada del motriz X2 y del acoplador X5. 30. Figura 12. Vector de posición R0. 38. Figura 13. Descripción de la tercera restricción. 40. Figura 14. Espacio factible para los pares fijos. 41. Figura 15. Datos y variables para 2 posiciones prescritas.. 43. Figura 16. Datos y variables para 3 posiciones prescritas.. 43. Figura 17. Datos y variables para 4 posiciones prescritas.. 44. Figura 18. Datos y variables para 5 posiciones prescritas.. 44. Figura 19. Estructura general del algoritmo. 60. Figura 20. Datos del problema 1. Síntesis de 2 posiciones. 62. Figura 21. Ventana de datos del problema 1. Síntesis de 2 posiciones. 62. Figura 22. Ventana de resultados del problema 1. Síntesis de 2 posiciones. 63. Figura 23. Dibujo del mecanismo del problema 1 en su entorno operativo.. 64. Figura 24. Ventanas de datos y resultados del problema 2. Síntesis de 2 posiciones. 65. Figura 25. Ventana de datos y resultados del problema 3. Síntesis de 2 posiciones. 66.

(10) Figura 26. Ventana de datos y resultados del problema. Síntesis de 3 posiciones. 67. Figura 27. Solución alternativa para el problema de síntesis de 3 posiciones. 68. Figura 28. Ventana de datos y resultados del problema. Síntesis de 4 posiciones. 69. Figura 29. Ventana de datos prescritos. 75. Figura 30. Ventana de Resultados. 76. Figura 31. Orientación de cada posición prescrita.. 78. Figura 32. Posición relativa de cada posición prescrita.. 78. Figura 33. Posición relativa de la zona del bastidor.. 79. Figura 34. Condición inicial. 81.

(11) LISTA DE TABLAS Tabla 1. Estado de una restricción.. 25. Tabla 2. Factores de peso del vector de objetivos. 49. Tabla 3. Archivo de datos. Dos_posic_DAT.m. 84. Tabla 4. Archivo principal. Dos_posic_EXE.m. 84. Tabla 5. Archivo de funciones objetivo. Dos_posic_fun.m. 86. Tabla 6. Archivo de restricciones. Dos_posic_Res.m. 87.

(12) INTRODUCCIÓN y MOTIVACIÓN Esta tesis incluye un trabajo en el campo de la síntesis dimensional de mecanismos que se enmarca dentro del área de la dinámica de cuerpos rígidos, particularmente en la rama de la cinemática que trata del estudio de la geometría del movimiento sin hacer referencia a la causa que lo produce. Cuando se requiere un artefacto que sea capaz de guiar un cuerpo a través de una secuencia de movimientos prescrita, generalmente se piensa que la solución es un sistema automatizado de actuadores mecánicos que coordinados electrónicamente cumplen con la tarea de movimiento, sin embargo la solución será costosa y estará sobredimensionada a menos que la tarea deba “ajustarse” en función del ambiente operativo. Las tareas de conducción de cuerpo rígido que no requieran “ajustarse”, pueden satisfacerse mediante mecanismos de barras generadores de movimiento, que son un recurso económico, práctico, confiable y fácil de implementar; sin embargo no siempre es fácil obtener un diseño que satisfaga las restricciones de montaje presentes en una necesidad de movimiento real y que además tenga índices de mérito adecuados. Un índice de mérito ayuda a identificar dentro de un conjunto de soluciones, cual es la que con mayor efectividad transmite el movimiento. Se eligió el ángulo de transmisión como el índice a optimizar debido a su afectación directa sobre importantes parámetros de funcionamiento del mecanismo, tales como la ventaja mecánica, la razón de velocidades angulares y el ángulo de presión. Para la formulación del problema de optimización se eligió el conjunto de variables de diseño apropiado de manera que puedan representarse los eslabones de un mecanismo generador de movimiento que debe pasar a través de 2, 3, 4 o 5 posiciones prescritas y cuyos pares fijos deben confinarse dentro de un área específica. La tarea de generación de movimiento (posición y orientación del eslabón acoplador) se satisface mediante las restricciones de diseño. Para simplificar la formulación del problema se aplicó el concepto del operador de rotación pura. El ángulo de transmisión para cada posición prescrita se describe mediante una expresión diferente por lo tanto fue necesario obtener un vector de objetivos. Como era de importancia que tal ángulo tuviese valores óptimos particularmente en las posiciones inicial y final, se aplicó la estrategia de la “suma ponderada de funciones” de forma que se destacaron las funciones objetivo correspondientes. Dado que las expresiones obtenidas para describir el modelo son de naturaleza no lineal, se usó la técnica “programación cuadrática secuencial” (SQP), que representa el estado del. 12.

(13) arte en las técnicas de programación no lineal (NLP) basadas en la filosofía de la dirección de descenso. Cuando se emplea SQP (y la gran mayoría de métodos de optimización) la solución depende en gran medida de la condición inicial. Así que es probable que sea necesario probar diversos conjuntos de datos hasta encontrar una solución, pero para el caso que atañe este trabajo, preparar e introducir los datos correspondientes en forma manual era una tarea larga y tediosa, y en la mayoría de las veces no se sabía si se avanza en la dirección correcta. Por lo tanto se desarrolló una interfaz gráfica (GUI) que permite señalar mediante el Mouse de forma rápida e intuitiva dicha condición inicial, además ayuda a “seguirle la pista” a una mejor solución. El algoritmo y el GUI desarrollados le ofrecen al diseñador una buena herramienta para encontrar mecanismos de barras, que de manera eficientes solucionen los problemas asociados con la conducción de un cuerpo rígido a través de una serie de posiciones prescritas.. 13.

(14) 1. MARCO TEÓRICO. 1.1. TEORÍA SOBRE MECANISMOS Reuleaux 1 , define mecanismo como una "combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento". En un mecanismo las articulaciones se denominan pares; los cuerpos resistentes eslabones; y el eslabón fijo bastidor o marco. El eslabón que no está unido directamente al bastidor se designa como acoplador. El mecanismo formado por cuatro eslabones (de tipo barra) y cuatro pares de revoluta (pasador) es el más simple que existe, no obstante en el ámbito industrial es el más utilizado a todo nivel, desde juguetes y electrodomésticos hasta máquinas herramientas de alta precisión. Su versatilidad y extendido uso se debe fundamentalmente a su simplicidad y a la posibilidad de enlazarse con otros eslabonamientos para formar mecanismos de 5 o más eslabones. En la Figura 1 se ilustra los eslabones y pares de un mecanismo de 4 barras, tanto en representación detallada 1(a) como en forma vectorial 1(b).. Figura 1. Representación de un mecanismo de 4 barras B. 3. X3. A. X4. 4. X2. 2. O2. 1. O4. X1 (b). (a). El eslabón 1 o X1 es el bastidor o marco, el eslabón 2 o X2 es el de entrada o motriz, el eslabón 3 es el flotante o acoplador X3, el eslabón 4 o X4 es el de salida o seguidor. 1. F. Reuleaux (1829 - 1905). Especialista Alemán en cinemática cuyo trabajo marcó el principio de un estudio sistemático de la cinemática. 14.

(15) El estudio de los mecanismos se puede dividir en 2 partes; análisis y síntesis. En el análisis se evalúa si un mecanismo existente es adecuado para desarrollar cierto trabajo o tarea, mientras que en la síntesis se establecen tamaños, formas, composición y disposición de los eslabones para que desempeñen una tarea de movimiento prescrita. Concretamente, la síntesis cinemática busca encontrar el mecanismo adecuado que reproduzca un movimiento particular. 1.1.1. Síntesis cinemática Dependiendo del punto de partida en un problema de diseño de mecanismos, la síntesis cinemática puede ser [Erdman, 1997]: • Síntesis de Tipo: busca definir cual es la combinación topológica (barras, ruedas dentadas, leva-seguidor etc.) de eslabones y el tipo de articulaciones (pares de revoluta, prismático, helicoidal, de rodadura etc.) más apropiada para resolver una tarea de movimiento. • Síntesis Dimensional: se parte del conocimiento de la topología del mecanismo (número y tipo de eslabones y pares) y busca establecer las dimensiones y posición inicial de una potencial solución para una tarea de movimiento. La síntesis dimensional se utiliza preferiblemente en la creación de mecanismos cuya topología es un eslabonamiento de barras. Dependiendo de la tarea que un mecanismo desempeñe, se puede clasificar dentro de algunas de las siguientes categorías.. 1.1.2. Categorías de la síntesis cinemática Erdman y Sandor [Erdman, 1997] clasifican los mecanismos que realizan una determinada tarea, de la siguiente forma: • Generador de movimiento: aquí es muy importante el movimiento total del acoplador (Posición y orientación angular). Ver la Figura 2. • Generador de función: aquí resulta de interés las fuerzas o el movimiento relativo entre los eslabones conectados a tierra. • Generador de trayectoria: aquí es de interés la trayectoria que sigue un punto ubicado sobre el acoplador (curva de acoplador) y no la rotación misma de este.. 15.

(16) Figura 2. Mecanismo generador de movimiento: Tren de aterrizaje de un avión miniatura Acoplador. Fuselaje. 65.6°. 90.0°. A. 148.0°. B. Tren de aterrizaje de un avión miniatura. A = 0,0 B = 13.4,-15.8 C = 27.7,-18.8. C. Fuente: Basado en el problema 8.20 de [Erdman, 1997] El diseño de cualquiera de estos mecanismos se puede hacer de muchas formas posibles.. 1.1.3. Métodos y técnicas de síntesis cinemática Para diseñar un mecanismo siempre se parte de ciertos datos y restricciones, como por ejemplo; un número de posiciones, un movimiento específico del eslabón de seguidor o de salida o una trayectoria particular, una ubicación de los pares fijos, etc. De tales datos se obtiene la geometría de unos puntos a través de los cuales se debe mover la solución encontrada. Los métodos para encontrar dicha solución se pueden agrupar de la siguiente forma [Norton, 2005]: • Métodos basados en puntos de precisión: Se usan para síntesis dimensional. El mecanismo obtenido pasa exactamente a través de los puntos pero es probable que pueda desviarse entre ellos. Estos métodos acoplan un máximo de 9 puntos (hasta 5 puntos en la generación de movimiento, 7 en la generación de función y 9 en la generación de trayectoria). Se pueden usar para sintetizar cualquiera de los generadores descritos anteriormente, además son relativamente rápidos, fáciles de comprender y de llevar a las aulas de clase, son computacionalmente viables, pueden resolver problemas con pares fijos o encontrar muchas soluciones, desafortunadamente no puede entregar soluciones óptimas o al menos eliminar las defectuosas. Su mayor limitación está en los pocos puntos que pueden manejar, sobre todo para tareas críticas como generación de función 16.

(17) y trayectoria donde son deseables más de 7 ó 9 puntos, sin embargo en el ámbito industrial un generador de movimiento puede trabajar muy bien con solo 3 ó 4 puntos. Allí lo que importa no es el número de puntos sino que la solución sea simple, eficiente, funcional y libre de defectos. • Métodos basados en ecuaciones de la curva del eslabón acoplador: Se usan para síntesis dimensional. El mecanismo obtenido debe seguir una curva de acoplador que se aproxime a la forma descrita por una ecuación algebraica (de orden 6 y hasta de 15 términos). Pueden manejar entre 10 y 15 puntos y solo se pueden usan en generadores de trayectoria. • Métodos de optimización: Se usan para síntesis de tipo y dimensional. Tienen muy poco en común excepto la necesidad de ser programadas en un computador y de una función objetivo. La función se construye a partir de los datos y condiciones del problema. A esta se le aplica una técnica de optimización de la que resultan los puntos que describen una trayectoria particular, los puntos de esta trayectoria no pasan exactamente por la trayectoria deseada pero se aproximan lo suficiente como para ser aceptados en la mayoría de trabajos de ingeniería. Manejan grandes cantidades de puntos (Implica una carga computacional mas alta) y aunque pueden usarse en cualquier tarea de generación se usan preferiblemente en las de trayectoria y función. Cuando hay numerosas condiciones de diseño, encontrar la función objetivo puede ser una tarea más titánica que encontrar la solución misma (aun para la popular técnica de los mínimos cuadrados). El advenimiento de computadores poderosos ha contribuido en gran medida a que estas técnicas tengan tantos adeptos, sin embargo la mayoría de los métodos son complejos y matemáticamente complicados.. 1.1.4. Diseño óptimo de mecanismos La solución obtenida al diseñar un mecanismo de barras generador de movimiento, además de satisfacer las restricciones geométricas y de montaje presentes en una necesidad de movimiento real, debe tener índices de mérito adecuados. Los índices de mérito [Uicker, 2003] revelan si un mecanismo es eficiente o no y pueden determinarse exclusivamente mediante la geometría del mismo. Existen numerosos índices, tales como la ventaja mecánica, la razón de las velocidades de salida a la de entrada, el ángulo de presión, etc. Sin embargo es el ángulo de transmisión μ, el índice que ayuda a identificar dentro de un conjunto de soluciones, cual es la que con mayor efectividad transmite el movimiento, además está relacionado en forma directa con otros índices, de manera que su afectación incide en ellos. Se puede afirmar que un buen ángulo de transmisión es la solución a muchos de los problemas en mecanismos [Balli, 2002].. 17.

(18) 1.1.5. Descripción del ángulo de transmisión μ El ángulo de transmisión μ es un índice de mérito, que se define como el menor ángulo entre la dirección del vector de diferencia de velocidad VB/A del eslabón flotante (acoplador) y la dirección de la velocidad absoluta VB del eslabón de salida (seguidor), ambas direcciones tomadas en el último par móvil del mecanismo [Hartenberg, 1964] (ver la Figura 3a). Es importante señalar que μ depende de cuales eslabones se han elegido como acoplador y seguidor; por ejemplo si se transpone la función de los eslabones unidos a tierra, convirtiéndose al motriz en seguidor y viceversa, μ debe medirse en el par A, no en B. Cuando los vectores X3 y X4 forman un ángulo agudo, los ángulos μ y γ de la Figura 3 son congruentes y por lo tanto μ = γ. Si el ángulo incluido entre dichos vectores, no es agudo entonces μ = 180 - γ. El ángulo μ cambia a medida que el mecanismo se mueve. En un mecanismo de 4 barras, μ está comprendido entre 0 y 90º. Figura 3. Angulo de transmisión μ μ B. B. X3. γ. A. μ. VB X3. γ. VB/A. X4. X4. μ = π2 B. X2 X3. γ X4. X1 (a). (b). 1.1.6. Expresión del ángulo de transmisión μ Como en el diseño cinemático de mecanismos no se conocen las longitudes de los eslabones ni sus masas, la expresión del ángulo de transmisión debe obtenerse cinemáticamente. Aplicando el enfoque geométrico sugerido por [Balli, 2002] a los módulos de los vectores mostrados en la Figura 4 se puede deducir una expresión para el ángulo μ. Al aplicar el teorema del coseno a los triángulos O2AO4 y BAO4 se infiere que H 2 = X 12 + X 22 − 2 X 1 X 2 cos θ y H 2 = X 32 + X 42 − 2 X 3 X 4 cos γ . Si se iguala H y se despeja γ , se obtiene:. 18.

(19) ⎡ − X 12 − X 22 + 2 X 1 X 2 cos θ + X 32 + X 43 ⎤ γ = cos ⎢ ⎥ 2X3 X4 ⎣ ⎦ ⎧ γ μ = min ⎨ ⎩π − γ −1. (1). Figura 4. Enfoque geométrico del ángulo de transmisión μ B. X3. B. X3. γ. A. γ. A. A. X4 X4. H. X2. X2. θ. θ. O4. O4 O2. O4. X1. O2. X1. 1.1.7. ¿Porque optimizar μ ? El ángulo μ guarda una importante relación con la ventaja mecánica. Esta última es una medida de la capacidad con que un mecanismo transmite un movimiento. Para el caso de un mecanismo de 4 barras es la relación instantánea entre el momento de carga resistiva τ4 en el eslabón de salida y el momento de entrada τ2 aplicado al eslabón de entrada, es decir:. VM=. τ4 τ2. Si se supone que el mecanismo de la Figura 5, carece de fuerzas de inercia o de fricción durante su operación, o que estas son despreciables comparadas con τ2 y τ4 , se puede afirmar que la potencia de entrada aplicada al eslabón de entrada es el negativo de la potencia aplicada al eslabón de salida debido a la acción de la carga, es decir:. τ 2 ω2 = − τ 4 ω4 →. τ4 ω =− 2 τ2 ω4. (cualquiera de estas 2 razones puede usarse como indice de mérito). Del teorema de la razón de velocidades “la razón de las velocidades angulares de 2 cuerpos cualesquiera en movimiento plano, en relación con un tercer cuerpo, es inversamente. 19.

(20) proporcional a los segmentos en los que el centro instantáneo común corta la línea de los centros” y de la Figura 5 se puede inferir que:. ω2 CO 4 τ ω CO4 y por lo tanto 4 = − 2 = − = ω4 CO 2 τ2 ω4 CO2 Figura 5. Relación geométrica entre la ventaja mecánica y el ángulo μ B'. B. μ. A A' Centro instantáneo de los eslabones 2 y 4. 4. ρ 2. Linea de centros. C. O2. τ2. τ4. ω2. ω4 O4. Por triángulos semejantes se puede observar que: O 4 B sin ( μ ) CO 4 O 4 B sin ( μ ) τ ω = y por lo tanto la ventaja mecánica es: VM = 4 = − 2 = − CO 2 O 2 A sin ( ρ ) τ2 O 2 A sin ( ρ ) ω4. Como se evidencia la ventaja mecánica es directamente proporcional al sin (μ), entonces valores pequeños del ángulo, la empequeñecen y por lo tanto reducen la efectividad con que se transmite el movimiento desde el acoplador hacia el seguidor, incluso una cantidad muy pequeña de fricción hará que el mecanismo se trabe [Uicker, 2003]. El mínimo valor de μ sugerido por Tao esta entre 35 y 45º [D. C. Tao, 1964], Von H. Alt propone 40º [Von H. Alt, 1932], en concordancia con una regla empírica general, Edman y Sandor sugiere rechazar cualquier mecanismo de justas de revoluta (pasador), que tenga ángulos de transmisión menores a 30º [Erdman,1997]. Cuanto menos se desvíe μ de 90º, mejor será el funcionamiento del mecanismo, por lo tanto el valor óptimo de μ es 90º [Balli, 2003]. En el enunciado del problema de diseño de un generador de movimiento, las posiciones a través de las cuales el mecanismo debe moverse son conocidas. Es de suma importancia que μ tenga valores óptimos en tales posiciones, sobre todo en la inicial y la final.. 20.

(21) Otro índice de mérito que está directamente relacionado con el ángulo μ es el ángulo de presión λ. El ángulo λ es también un buen indicador de la calidad con que se transmite el movimiento, pero es principalmente un factor que establece el grado de sensitividad del mecanismo a pequeños errores en la fabricación de sus eslabones. Un valor alto de este ángulo sumado a errores de diseño o construcción (por ejemplo, debido a tolerancias geométricas inadecuadas) hará que el mecanismo tienda a bloquearse con facilidad [Sutherland, 1974]. Pequeños ángulos de presión son consistentes con mínimos errores mecánicos [Hartenberg, 1964]. El ángulo λ es el complemento del ángulo μ, es decir λ = 90 - μ . Los argumentos enunciados en esta sección son suficiente evidencia para demostrar por qué debe optimizarse el ángulo μ.. 1.2. TEORÍA SOBRE OPTIMIZACIÓN. Uno de los mayores desafíos para cualquier diseñador es encontrar un sistema eficiente y económico que sin comprometer su integridad, pueda resolver un problema particular. Las técnicas de optimización ofrecen al diseñador un camino para alcanzar este objetivo, y se basan en conceptos matemáticos como el algebra vectorial y el cálculo con múltiples variables. El riguroso proceso para encontrar soluciones mediante optimización implica identificar un conjunto de variables de diseño, definir la función de costo u objetivo y las funciones que restringen el sistema. A este proceso se le conoce como formulación matemática del problema de diseño. Es generalmente aceptado que la correcta formulación toma alrededor del 50% del esfuerzo total necesario para resolverlo. 1.2.1. Variables de diseño El primer paso en la formulación del problema, consiste en identificar el conjunto de variables x = ( x1 , x2 ,..., xn ) que describen al sistema, cuando a estas se le asigna un valor numérico se obtiene una solución al problema. Si la solución no satisface todas las restricciones, se considera que no es factible.. Es deseable que las variables sean independientes unas de otras, tanto como sea posible o de lo contrario habría que añadir más restricciones al sistema para que no haya inconsistencias, lo que podría complicar innecesariamente la formulación del problema. Obteniendo las variables dependientes en términos de las independientes o asignándoles valores numéricos es posible eliminarlas.. 1.2.2. Función de costo u objetivo Un problema particular puede tener muchas soluciones posibles, algunas de las cuales son mejores que otras. Para establecer cuales son las mejores se debe tener unos criterios que 21.

(22) permitan hacerlo. Un criterio usado es el de la función objetivo f ( x ) , que es una función escalar cuyo valor numérico se obtiene al darle valores a las variables de diseño. La mejor solución del problema será la configuración de variables de diseño que minimice tal función. Por ejemplo, dada la función objetivo de cierto sistema f ( x ) = 200 − 170 x + 54 x 2 es necesario encontrar el valor de x que minimice a f ( x ) . Cada valor dado a x arroja otro valor para f ( x ) ; por ejemplo para el punto A de la grafica de la función mostrada en la Figura 6, x = 0 → f ( x ) = 200 ; en el punto B , x = 0.5 → f ( x ) = 128.5 , para este caso solo hay un punto que hace que la función adquiera el mínimo valor y es el punto C, donde x = 1.574 → f ( x ) = 66.204 . Figura 6. Gráfica de una función objetivo.. Concluyendo; en un problema de optimización es la función objetivo quien valora el funcionamiento de un sistema. En algunos problemas es posible que sea necesario optimizar en forma simultánea 2 o más funciones objetivo (por ejemplo minimizar el peso y la deflexión del armazón de una máquina), a los cuales se les denomina problemas de optimización multiobjetivo. Aquí lo que se busca es minimizar un vector de objetivos F ( x ) . Como cada una de las funciones que compone dicho vector compite con las demás, al encontrarse una solución el logro de una función implicará la degradación de las otras [Pareto, 1971]. Aunque existen. 22.

(23) numerosas técnicas para obtener el vector de objetivos, solo se describe la técnica de la “Suma ponderada” que se usa en este trabajo. 1.2.3. Método de la suma ponderada de funciones La técnica emplea unos coeficientes de peso que por lo general establecen el grado de importancia de las funciones objetivo dentro del vector F ( x ) . El vector se expresa de la siguiente manera: n. F ( x ) = ω1 f1 ( x ) + ω2 f 2 ( x ) + ... + ωn f n ( x ) es decir F ( x ) = ∑ ωn f n ( x ) i =1. en donde ω es no negativo; ω1 + ω2 + ... + ωn = 1; n > 1 ; n ∈. *. 1.2.4. Maximización El problema de maximización se aborda transformando la función objetivo de manera que f ( x ) = −ℑ ( x ) . Al transformar la función de la sección 1.2.2, resulta ℑ ( x ) = −(200 − 170 x + 54 x 2 ) = −200 + 170 x − 54 x 2 , cuya gráfica se observa en la siguiente figura. El valor de x que maximiza la función se da cuando x = 1.574 → ℑ ( x ) = −66.204 Figura 7. Maximización de una función objetivo.. Se evidencia que f ( x ) es una reflexión de ℑ ( x ) con relación al eje x , y que el mínimo valor de f ( x ) ocurre en el mismo punto donde ℑ ( x ) es máximo. Por lo tanto la minimización de f ( x ) es equivalente a la maximización de ℑ ( x ) .. 23.

(24) 1.2.5. Restricciones del sistema El sistema a diseñar puede tener condiciones que limitan su operación. Para la formulación matemática del problema de diseño tales condiciones son denominadas restricciones, que son funciones del tipo igualdad h ( x ) o del tipo desigualdad g ( x ) y se obtienen en términos de las variables de diseño. Las restricciones pueden ser tan simples como el mínimo (o máximo) valor de dichas variables o pueden tan complejas como una expresión no lineal.. Las restricciones h ( x ) definen de manera precisa la condición que debe ser satisfecha por la solución (por ejemplo x = 3 ) lo que puede limitar significativamente el espacio o región de soluciones factibles, mientras que las restricciones g ( x ) lo hacen de una forma laxa. La colección de todas las soluciones factibles se conoce como región factible y se denota Ω . Una formulación con muchas restricciones hace que Ω se encoja. Cuando los valores encontrados para las variables de diseño satisfacen las restricciones, se dice que es un punto de diseño y se denota como x* . Dependiendo de cómo se satisfacen estas, se pueden considerar como activas, inactivas o violadas. 1.2.6. Forma estándar del modelo La forma estándar del modelo es un esfuerzo por unificar el lenguaje para formular matemáticamente un problema de optimización sin importar el campo del saber al cual pertenezca. El enunciado del problema debe transcribirse de la siguiente manera:. Encontrar un vector-n función objetivo.. x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) de variables de diseño para minimizar la f ( x ) = f ( x1 , x2 , . . . , xn ). Sujeto a p restricciones de tipo igualdad.. h j ( x ) ≡ h j ( x1 , x2 , . . . , xn ) = 0;. j = 1 hasta p. Sujeto a m restricciones de tipo desigualdad.. gi ( x ) ≡ gi ( x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ 0;. i = 1 hasta m. En donde p es el número total de restricciones tipo igualdad y m es el número total de restricciones tipo desigualdad. El número de restricciones h j ( x ) debe ser menor o cuando menos igual al número de variables de diseño. Lo contrario evidenciaría que hay algunas restricciones que no son independientes o que la formulación del problema es inconsistente. 24.

(25) Si f ( x ) , h j ( x ) y g i ( x ) son lineales en sus variables de diseño, entonces el problema es denominado, problema de programación lineal. Si una de estas funciones no es lineal el problema es llamado problema de programación no lineal. 1.2.7. Restricciones activas, inactivas y violadas Empleando la notación de la forma estándar del modelo, la siguiente tabla resume la condiciones que debe cumplirse para que una restricción sea activa, inactiva o violada.. Tabla 1. Estado de una restricción. condición. Restricciones de tipo igualdad. activa. h ( x* ) = 0. inactiva. h ( x* ) ≠ 0. violada. -------. Restricciones de tipo desigualdad g ( x* ) = 0. g ( x* ) < 0. g ( x* ) > 0. 1.2.8. Solución del problema de optimización Cuando el número de variables de diseño y restricciones es grande, o las funciones del problema de diseño son altamente no lineales, o no es posible obtener las funciones objetivo y restricciones de forma explicita y funcional en términos de variables de diseño independientes, resolver el problema mediante métodos analíticos puede ser muy difícil o no aplicable en todos los casos.. Debido a esto es necesario usar una aproximación sistemática al óptimo mediante un algoritmo basado métodos numéricos. Usando un estimado inicial para las variables de diseño, el algoritmo va modificándolas iterativamente y a la vez verifica que se satisfagan las condiciones de optimalidad (establecen si un punto de diseño es candidato a óptimo). El objetivo es alcanzar un valor menor para la función de costo en cada iteración. El proceso iterativo se puede describir mediante la siguiente ecuación vectorial: (. ). ( ). ( ). X k+1 = X k +α k d k ( ). Donde k representa el número de iteración y α k d k un pequeño movimiento en el espacio ( ) de diseño hacia un punto que represente un mínimo local. El vector d k es la dirección en que se hace el movimiento (dirección de búsqueda) y α k es un escalar positivo que define el tamaño del movimiento (tamaño de paso). La idea básica del algoritmo es partir de un razonable punto de diseño (condición inicial ( ) X 0 ) que al ser evaluado en las derivadas y funciones de diseño (costo y restricciones) del 25.

(26) ( ). problema, permita estimar la dirección de búsqueda d k y el tamaño de paso α k que permitiría moverse a un nuevo punto de diseño en caso que el algoritmo no haya convergido. Encontrar un punto que haga mas pequeña la función objetivo se puede expresar matemáticamente como:. (. (. ). f x k+1. ). ( ) ( ). < f xk. (. (. ). ( ). es decir f x k+1 + α k d k. ). ( ) ( ). < f xk. ( ). En la vecindad del punto X k es posible aproximar la función mediante la expansión de Taylor y por lo tanto:. ( ) ( ). ( ( ) id ) ( ). (k). f x k + α k ∇f x k. ( ) ( ). < f xk. ( ). ( ). En donde ∇f x k es el gradiente de f ( x ) en el punto X k . Geométricamente ∇f x k ( ) es el vector normal al plano tangente en el punto X k de la gráfica de la función, también puede asociarse con la dirección de máximo incremento de la función. Para que se satisfaga la anterior desigualdad debe cumplirse que: ( ). ( ). ( ( ) id ) ( ). (k). α k ∇f x k. ( ). < 0. A su vez, para que se satisfaga la anterior desigualdad (denominada condición de descenso) y en concordancia con la definición del producto punto, el ángulo entre los vectores ( ) ( ) ( ) ∇f x k y d k debe estar entre 90º y 270º. En otras palabras cualquier vector d k que satisfaga dicha desigualdad hará que el movimiento en esa dirección haga disminuir la función de costo.. ( ). Existen técnicas bastante conocidas que se basan en el hecho que el negativo del gradiente representa la dirección de búsqueda (métodos del gradiente). Aunque los métodos del gradiente son simples (solo usan la información del gradiente) y robustos (convergen) tiene ratas de convergencia bajas (se requiere un gran número de iteraciones), y además son ineficientes (cada iteración es independiente de las otras). Otros métodos que incluyen la información de segundo orden (el Hessiano) como el de Newton, tienen buena propiedades de convergencia, sin embargo son ineficientes y en muchos casos puede ser muy tedioso o imposible calcular el Hessiano. Los métodos conocidos como quasi-Newton o de actualización del Hessiano, que se basan en un procedimiento que usa la última iteración y el gradiente para obtener en forma aproximada el Hessiano, tienen las características deseadas de los métodos descritos anteriormente. La técnica “Programación cuadrática secuencia SQP” usada en este trabajo, es quien representa el estado del arte en las técnicas de NLP basadas en la filosofía de la dirección de descenso. 26.

(27) 2. MODELAMIENTO. Los conceptos del operador de rotación pura y la ecuación de cierre de circuito, necesarios para simplificar el modelo matemático de un mecanismo que pasa a través de múltiples posiciones sucesivas son revisados en este capitulo. Una vez expuestos se continúa con la descripción de la técnica de la forma de díada estándar y las dificultades que ofrece al tratar de usarse directamente en la obtención de una función objetivo. Además se describen los datos y variables que intervienen en el problema de diseño de mecanismos asociados con el trabajo de tesis, las variables de diseño, la función objetivo y las restricciones necesarias para lograr que el algoritmo entregue soluciones óptimas.. 2.1. EL OPERADOR DE ROTACIÓN PURA. En la Figura 8 se ilustra los eslabones y pares de un mecanismo generador de movimiento, tanto en representación detallada 8(a) como en forma vectorial 8(b).. Figura 8. Representación vectorial de un mecanismo generador de movimiento m B. 3. X6. X5 X3. A. X4. 4. X2. 2. 1 O4 O2. X1 (b). (a). El eslabón 3 (descrito mediante los vectores X3, X5 Y X6) es el flotante o acoplador. Cabe destacar que en un mecanismo generador de movimiento es muy importante el movimiento total del eslabón acoplador [Erdman, 1997] (su orientación angular y las coordenadas del punto m).. 27.

(28) Para representar un mecanismo que se mueve a lo largo de varias posiciones sucesivas se usa un conjunto de vectores diferente para cada posición. Como se puede evidenciar en la Figura 9, para la primera posición los vectores son X2, X3, X4, X5, X6; para la segunda X2*, X3*, X4*, X5*, X6*; para la “j-ésima” X2j, X3j, X4j, X5j, X6j (X1 no cambia por ser el bastidor). Obtener cualquier expresión matemática que involucre más de una posición sería complejo de no ser por el operador de rotación pura.. Figura 9. Mecanismo en varias posiciones sucesivas. X5. X6. X6 * X5 * X3 * X3. X6j. X4 X5j. X2. X3j. X1. El operador de rotación pura permite representar la segunda, tercera y “j-ésima” posición de un cuerpo rígido en términos de la primera. Por ejemplo para representar el eslabón motriz en la segunda posición X2*, basta multiplicar el vector X2 por el vector ei β1 ( ei β1 ≡ cos β1 + i sin β1 identidad de Euler ) . e i β1 es el operador de rotación pura y β1 es el ángulo que rota el eslabón desde la primera posición. A continuación se ilustran las expresiones de los eslabones del mecanismo en la segunda y en la “j-ésima” posición:. X 2 * = X 2 ei β1 ; X3 * = X3 ei α1 ; X4 * = X4 ei φ1 ; X5 * = X5 ei α1 ; X6 * = X6 ei α1 iβ. X2j = X 2 e j ; X 3j = X 3 e. iαj. iφ. ; X4j = X4 e j ; X5j = X5 e. iα j. ; X6j = X6 e. iαj. Al usar el operador de rotación los vectores y ángulos que deberían introducirse en el modelamiento matemático del mecanismo en varias posiciones sucesivas son: (en la Figura 10 se ilustran) 28.

(29) X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 , α1 , ... , α j , β1 , ... , β j , φ1 , ... , φ j. Figura 10. Ángulos y vectores para el modelamiento del mecanismo. X5. X6. α1. X3. φ1. φj. β1 αj. X4. βj. X2. X1. 2.2. FORMA DE LA DIADA ESTANDAR. En síntesis dimensional, todos los métodos basados en puntos de precisión y algunos de otras categorías, se fundamentan en la forma de la díada estándar. La combinación de dos vectores se llama díada. Dos díadas definen plenamente la geometría de un mecanismo de cuatro barras. En la Figura 11 se ilustra una de ellas; los vectores X2 , X5 representan los eslabones motriz y acoplador en la primera posición, y X2 ei βj , X5 ei αj a los mismos eslabones en otra posición diferente denominada j-ésima. Las posiciones ( P1 , P2 , . . . , Pj ) junto con α1 , α 2 , . . . , α j son dadas por el enunciado del problema y se denominan posiciones prescritas. Sumando los vectores en una trayectoria cerrada en sentido horario (ecuación de cierre de circuito) que parte de O2 y vuelve a este, se obtiene: X 2 e i βj + X 5 e i α j − R j + R 1 − X 5 − X 2 = 0 Si δ j = R j − R1 entonces: para la díada X 2 y X4 se tiene: X 2 ( ei βj − 1) + X5 ( ei αj − 1) = δ j en donde j = 2,3,..., n. 29.

(30) Si se conocen el vector δ j y el ángulo α j , la ecuación anterior se denomina forma de la díada estándar. De manera equivalente se obtiene otra ecuación para los vectores X4 , X6 : para la díada X 4 y X 6 se tiene: X 4 ( ei φj − 1) + X 6 ( ei αj − 1) = δ j en donde j = 2 ,3,..., n Figura 11. Díada del motriz X2 y del acoplador X5 0,0. Rj. R1 P1. Pj. δj X5 e i αj. αj. X6. X5 X3. X4 X2 X2 e i βj. βj. X1 O2. O4. Las ecuaciones de cada díada se resuelven separadamente asumiendo valores para algunas incógnitas; por ejemplo para 3 posiciones prescritas resultan 4 ecuaciones con 12 incógnitas de las cuales es necesario asumir valores para 4 de ellas (las incógnitas son las componentes escalares de los vectores X2 , X5 , X4 , X6 , y los ángulos β1 ,β2 ,φ1 ,φ2 ). A continuación se muestran las ecuaciones de las díadas. X 2 ( ei β1 − 1) + X 5 ( ei α1 − 1) = δ1 ⎫⎪ ⎬ díada X 2 y X 5 X 2 ( ei β2 − 1) + X 5 ( ei α 2 − 1) = δ 2 ⎪⎭ X 4 ( ei φ1 − 1) + X 6 ( ei α1 − 1) = δ1 ⎫⎪ ⎬ díada X 4 y X 6 X 4 ( ei φ 2 − 1) + X 6 ( ei α 2 − 1) = δ 2 ⎪⎭. Para el caso de 2 y 3 posiciones prescritas es posible obtener una solución lineal, solo si se asumen los ángulos. De otra forma se obtiene un sistema de ecuaciones con expresiones transcendentales cuya solución se obtiene mediante técnicas de resolución de ecuaciones no lineales. 30.

(31) Cuando en este trabajo se habla de restricciones de montaje, se hace referencia a que se conoce la posición de los pares fijos (es decir el vector X1 ) o al menos un área dentro de la cual es posible ubicar los pares fijos del mecanismo. Como se puede evidenciar las ecuaciones de la forma de la díada estándar no incluye a X1 , sino que se obtiene una vez encontrados X2 , X5 , X4 y X6 , . Para el caso del generador de movimiento, Loerch y otros desarrollaron un procedimiento para incluir a X1 directamente en la forma de la díada estándar pero solo aplica para 2 y 3 posiciones prescritas [Loerch, 1975]. Posteriormente presentaron una técnica para 3 posiciones prescritas, que permitía encontrar los lugares geométricos de los pares fijos (ciertamente a X1 ) a partir de una variación sistemática de los ángulos β1 ,β2 ,φ1 ,φ2 [Loerch, 1979]. Peterson y otros presentaron una mejora del software LINCAGES que permite entrar la posición del bastidor de antemano y de forma interactiva probar diversos conjuntos de valores para las incógnitas pudiéndose encontrar soluciones para 3 y 4 posiciones [Peterson, 1988]. Estos trabajos no obtienen soluciones con ángulos de transmisión μ óptimos. La forma de díada de manera explicita no involucra al ángulo de transmisión μ, por lo tanto se procederá a obtener una expresión que represente tal ángulo y que pueda usarse para 2, 3, 4 o 5 posiciones prescritas y cuyos pares fijos estén confinados a un área prescrita.. 2.3. VARIABLES DE DISEÑO y FUNCION DE COSTO. La expresión del ángulo μ, ilustrada en la ecuación (1) de la sección 1.1.6 es la función de costo. Por conveniencia se ilustra de nuevo a continuación: ⎡ − X 2 − X 22 + 2 X 1 X 2 cos θ + X 32 + X 43 ⎤ γ = cos −1 ⎢ 1 ⎥ 2X3 X4 ⎣ ⎦ ⎧ γ μ = min ⎨ ⎩π − γ Podría pensarse que las variables de diseño son X1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 y θ ya que a partir de ellas, es posible obtener 2 mecanismos (un mecanismo cruzado y otro abierto). Sin embargo, como se desea representar el mecanismo en múltiples posiciones sucesivas es necesario usar el operador de rotación pura, por lo tanto tales variables deben expresarse en términos de las componentes escalares de los vectores correspondientes, además para simplificar la formulación del problema de optimización es deseable que las variables de diseño sean lo más independientes unas de otras [Belegundu, 1999] y [Arora, 2004] cosa que no es cierta ya que es factible obtener por lo menos una de ellas en términos de las otras.. 31.

(32) Las variables más significativas para el trabajo son: • X1 ya que representa al bastidor y debido a las restricciones de montaje esta confinado a un área cuyos límites son conocidos. Además está relacionado con θ. • X2 ya que es el eslabón motriz y está relacionado con θ. • X3 representa al eslabón acoplador y es clave para definir un generador de movimiento. A partir de lo afirmado anteriormente se concluye que es necesario obtener a X4 y θ en términos de X1, X2, X3. Para hallar X4, se puede deducir el modulo del vector X4 en términos de las componentes escalares de los vectores X1, X2 y X3, planteando una ecuación vectorial a partir del polígono ilustrado en la Figura 10. Ecuación de cierre X2 +X3 − X4 − X1 = 0 ⇒ X4 = − X1 + X2 + X3 Separando parte real e imaginaria, el vector X4 se puede expresar como número complejo en forma cartesiana así:. X4 = − X 1x + X 2 x + X 3 x + i ( − X 1 y + X 2 y + X 3 y ) componente escalar X 4 x. componente escalar X 4 y. Al aplicar el teorema de Pitágoras a las componentes escalares, resulta:. X 42 = X 42x + X 42x. ∴ = ( − X 1x + X 2 x + X 3 x ) + ( − X 1 y + X 2 y + X 3 y ) 2. X 4 = X 42x + X 42y ∴ =. ( − X 1x + X 2 x + X 3 x ). 2. 2. + ( − X1 y + X 2 y + X 3 y ). 2. El ángulo θ esta comprendido entre los vectores X1 y X2. Se puede deducir una expresión para este, mediante la diferencia de los argumentos de los vectores, a su vez tales argumentos se definen en términos de sus componentes escalares. θ = θ2 − θ1 ;. ⎛ X2y θ2 = tan −1 ⎜ ⎝ X 2x. ⎞ ⎟; ⎠. ⎛ X1y θ1 = tan −1 ⎜ ⎝ X 1x. ⎞ ⎟; ⎠. ∴. ⎛ X2y θ = tan −1 ⎜ ⎝ X 2x. X1y ⎞ ⎞ −1 ⎛ ⎟ − tan ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ X 1x ⎠. Ahora es necesario representar a X1, X2 y X3 en términos de las componentes escalares de X1, X2 y X3. Aplicando el teorema de Pitágoras a las componentes cartesianas de los vectores:. 32.

(33) X1 = X 1 x + i X 1 y. ⇒. X 12 = X 12x + X 12y ;. X 1 = X 12x + X 12y. X2 = X 2 x + i X 2 y. ⇒. X 22 = X 22x + X 22y ;. X 2 = X 22x + X 22y. X 3 = X 3 x + i X 23. ⇒. X 32 = X 32x + X 32y ;. X 3 = X 32x + X 32y. Es conveniente representar las componentes escalares del bastidor X 1x y X 1 y en términos de la posición absoluta de los pares fijos O2 y O4 de manera que se manejar en forma independiente. Por lo tanto:. X 1x = xO4 − xO2 y X 1 y = yO4 − yO2 Mientras que ( xO2 , yO2 ) representan las coordenadas absolutas del par O2 ; ( xO4 , yO4 ) son las del para O4. Finalmente la expresión del ángulo de transmisión para la posición inicial es:. (. ). ⎡ − ( x − x )2 + ( y − y )2 − ( X 2 + X 2 ) + ... O4 O2 O4 O2 2x 2y ⎢ 2 2 ⎢ ... + 2 ( xO4 − xO2 ) + ( yO4 − yO2 ) ( X 22x + X 22y ) × ... ⎢ ⎢ ⎛ ⎛ ( y O 4 − yO 2 ) ⎞ ⎞ ⎛X ⎞ ⎢ ... × cos ⎜ tan −1 ⎜ 2 y ⎟ − tan −1 ⎜ ⎟ ⎟ + ( X 32x + X 32y ) + ... ⎢ ⎜ ( xO − xO ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ X 2x ⎠ 4 2 ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎢ 2 ⎢ ... + − ( xO4 − xO2 ) + X 2 x + X 3 x + − ( yO4 − yO2 ) + X 2 y + X 3 y −1 ⎢ γ = cos ⎢ 2 2 ⎢ 2 ( X 32x + X 32y ) − ( xO − xO ) + X 2 x + X 3 x + − ( yO − yO ) + X 2 y + X 3 y 4 2 4 2 ⎣⎢. (. ((. ). ((. ) ( ) (. ⎧ γ μ = min ⎨ ⎩π − γ. )). )). 2. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥. (2). Las variables de diseño para describir el mecanismo en la posición inicial, son: xO2 yO 2 xO4 yO 4 X 2x X2y X 3x X3y. → → → → → → → →. Coordenada horizontal absoluta del par O 2 Coordenada vertical absoluta del par O 2 Coordenada horizontal absoluta del par O 4 Coordenada vertical absoluta del par O 4 Componente escalar horizontal del motriz Componente escalar vertical del motriz Componente escalar horizontal del acoplador Componente escalar vertical del acoplador. 33.

(34) Para obtener una expresión general que represente al ángulo de transmisión en cualquier posición, se aplicó el operador de rotación pura a los vectores correspondientes y se dedujeron de nuevo los módulos y ángulos respectivos. Con el objeto de diferenciarlos de los de la ecuación (2) se usó el subíndice “j” que denota la j-ésima posición. : X2j = X2 ei βj. Por el operador de rotación pura se tiene. Las componentes cartesianas del vector X2 son : X 2 = X 22x + X 22y ( cos θ2 + i sin θ 2 ) : X 2 = X 22x + X 22y ei θ2. Al usar la identidad de Euler se tiene Por lo tanto. :. X 2j = X 22x + X 22y ei θ2 ei βj X 2j = X 22x + X 22y ei ( θ2 + βj ). ⎛X ⎞ : θ2 = tan −1 ⎜ 2 y ⎟ ⎝ X 2x ⎠ Al aplicar de nuevo la identidad, se obtienen las componentes cartesianas y escalares del vector X 2j :. Donde. ⎛ ⎛ X2y X 2j = cos ⎜ tan −1 ⎜ ⎜ ⎝ X 2x ⎝. ⎞ ⎛ −1 ⎛ X 2 y ⎞ 2 2 ⎟ + β j ⎟⎟ X 2 x + X 2 y + i sin ⎜⎜ tan ⎜ ⎠ ⎝ X 2x ⎠ ⎝. componente escalar X 2 x. ⎞ ⎞ 2 2 ⎟ + β j ⎟⎟ X 2 x + X 2 y ⎠ ⎠. componente escalar X 2 y. j. (3). j. Al aplicar Pitágoras a las componentes escalares, factorizar y usar la identidad trigonométrica cos 2 a + sin 2 a = 1, resulta:. X 22 = ( X 22x + X 22y ) j. X 2 j = X 2 = X 22x + X 22y. ⇒. Como era de esperarse X 2 j y X 2 representan la longitud de un cuerpo rígido. Mediante un procedimiento similar se obtienen las componentes cartesianas y escalares del vector X 3j. ⎛ ⎛ X3y X 3j = cos ⎜ tan −1 ⎜ ⎜ ⎝ X 3x ⎝. ⎞ ⎛ −1 ⎛ X 3 y ⎞ 2 2 ⎟ + α j ⎟⎟ X 3 x + X 3 y + i sin ⎜⎜ tan ⎜ ⎠ ⎝ X 3x ⎠ ⎝. componente escalar X 3 x. ⎞ ⎞ 2 2 ⎟ + α j ⎟⎟ X 3 x + X 3 y ⎠ ⎠. componente escalar X 3 y. j. 34. j. (4).

(35) Y se demuestra que:. X 32j = ( X 32x + X 32y ). ⇒. X 3 j = X 3 = X 32x + X 32y. Para una posición j-ésima se puede ver qué (Figura 10): Ecuación de cierre X 2j +X 3 j − X 4j − X1 = 0 ⇒ X 4 j = − X1 + X 2 + X 3j j. Por lo tanto: ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛X ⎞ ⎜ − ( xO4 − xO2 ) + ⎜ cos ⎜ tan −1 ⎜ 2 y ⎟ + β j ⎟ X 22x + X 22y ⎟ + ... ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ X 2x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X4j = ⎜ ⎛ ⎛ −1 ⎛ X 3 y ⎞ ⎞ ⎜ ... cos tan + + α X 32x + X 32y ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ j ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ X 3x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ componente escalar X 4 x. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ + ... ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠. j. ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛X ⎞ ⎜ − ( yO4 − yO2 ) + ⎜ sin ⎜ tan −1 ⎜ 2 y ⎟ + β j ⎟ X 22x + X 22y ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ X 2x ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ... + i ⎜ ⎛ ⎛ −1 ⎛ X 3 y ⎞ ⎞ ⎜ ... sin ⎜ tan ⎜ + + α ⎜ ⎟ ⎟ j ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ X 3x ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ componente escalar X 4 y. ⎞ ⎟ + ... ⎟ ⎠ X 32x + X 32y. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠. (5). j. Es decir:. (. X 42j = X 42x + X 42y j. j. ). X 4 j = X 4 = X 42x j + X 42y j. ⇒. El ángulo comprendido entre los vectores X1 y X2j, no es el mismo θ de la ecuación (2), por esto se identificó como θ j : ⎛ yO4 − yO2 ⎞ ⎛ X2y ⎞ −1 θj = [θ2 − θ1 ] +β j donde θ2 = tan −1 ⎜ ⎟⎟ ⎟ y θ1 = tan ⎜⎜ x x − O O ⎝ X 2x ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎡ ⎛ yO4 − yO2 ⎞ ⎤ ⎛ X2y ⎞ −1 tan θj − = ⎢tan −1 ⎜ ⎥ +β ⎜ ⎟ ⎜ xO − xO ⎟⎟ ⎥ j ⎢⎣ ⎝ X 2x ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎦. Finalmente la expresión general del ángulo de transmisión para la posición j-ésima es:. 35.

(36) (. ). ⎡ − ( x − x )2 + ( y − y )2 − ( X 2 + X 2 ) + ... O4 O2 O4 O2 2x 2y ⎢ 2 2 ⎢ ... + 2 ( xO4 − xO2 ) + ( yO4 − yO2 ) ( X 22x + X 22y ) × ... ⎢ ⎢ ⎛⎡ ⎞ ⎛ yO − yO2 ⎞ ⎤ ⎛X ⎞ ⎢ ... × cos ⎜ ⎢tan −1 ⎜ 2 y ⎟ − tan −1 ⎜ 4 +β j ⎟ + ( X 32x + X 32y ) + ... ⎥ ⎟ ⎢ ⎜ xO − xO ⎟ ⎥ ⎜⎢ ⎟ ⎝ X 2x ⎠ ⎝ 4 2 ⎠⎦ ⎝⎣ ⎠ ⎢ 2 ⎢ ... + − ( xO4 − xO2 ) + X 2 x j + X 3 x j + − ( yO4 − yO2 ) + X 2 y j + X 3 y j −1 ⎢ γ = cos ⎢ 2 2 ⎢ 2 ( X 32x + X 32y ) − ( xO − xO ) + X 2 x + X 3 x + − ( yO − yO ) + X 2 y + X 3 y 4 2 4 2 j j j j ⎢⎣. (. ((. ). ((. ) ( ) (. )) 2. )). ⎧ γ μ = min ⎨ ⎩π − γ. (6). En la ecuación (6) no se han remplazado X 2 x j , X 2 y j , X 3 x j , X 3 y j por razones de espacio. Nótese que las variables de diseño para describir el mecanismo en la posición j-ésima, son las mismas 8 de la posición inicial mas una adicional:. βj. →. Ángulo de rotación del eslabón motriz respecto a su posición inicial. α j es el ángulo de rotación del acoplador respecto a su posición inicial y en vista que es un dato conocido no puede ser entendido como una variable de diseño.. 2.4. RESTRICCIONES. 2.4.1. Primera restricción Partiendo de las variables de diseño descritas en la sección anterior es posible encontrar soluciones. Sin embargo estas tienen una seria inconsistencia relacionada con la longitud cambiante del eslabón seguidor. Es decir su longitud va variando a medida que el mecanismo alcanza las posiciones prescritas. Esta variación se debe a que tal longitud se obtuvo en términos de las componentes escalares de los vectores que representan al bastidor, el motriz y el acoplador. Como el modulo del seguidor debe ser igual en cualquier posición entonces: X 4Posición 1 = X 4Posición 2 = ... = X 4Posición j-ésima. Por lo tanto:. X 42x + X 42y = X 42xPosición 2 + X 42yPosición 2 = . . . = X 42xPosición j-ésima + X 42yPosición j-ésima 36. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦.

(37) Es decir. ( X 42x + X 42y ) = ( X 42x. Posición 2. (. ). + X 42yPosición 2 = . . . = X 42xPosición j-ésima + X 42yPosición j-ésima. ). (7). X 4 xPosición 2 , X 4 yPosición 2 , . . . , X 42xPosición j-ésima , X 42yPosición j-ésima se pueden inferir de la ecuación (5) Para 2 posiciones prescritas es necesaria una restricción. Para 3 posiciones se requieren 2 restricciones. Para 4 posiciones, 3 restricciones. Para 5 posiciones, 4 restricciones. 2.4.2. Segunda restricción Para un generador de movimiento es muy importante la orientación del acoplador así como la posición del punto “m” (Figura 8) en cada una de las posiciones prescritas. Es evidente que tal orientación se ha tendido en cuenta en la ecuación (6) mediante el ángulo α j de X 3 x j , X 3 y j , pero no así, la posición de “m”. Para satisfacer la posición de “m” se usó como referente el enfoque descrito por Loerch [Loerch, 1975] relacionado con la inclusión un vector de posición en la representación vectorial del mecanismo. Para la posición inicial del mecanismo las componentes escalares del vector R0 (Figura 12) representan las coordenadas de “m” respecto al par O4. Al igual que X4, el vector X6 que presenta el inconveniente de cambiar su módulo a medida que el mecanismo se mueve. Para resolver este problema se añadió la siguiente restricción. X 6Posición 1 = X 6Posición 2 = ... = X 6Posición j-ésima. (8). Para 2 posiciones prescritas es necesaria una restricción. Para 3 posiciones se requieren 2 restricciones. Para 4 posiciones, 3 restricciones. Para 5 posiciones, 4 restricciones. Es conveniente expresar a X6 en términos de las componentes escalares de los vectores R0, X1, X2, y X3 , por lo tanto a partir de la Figura 12 se puede deducir la siguiente ecuación de cierre:. R 0 +X1 − X2 − X3 − X6 = 0 ⇒ X6 = R 0 + X1 − X2 − X3. 37.

(38) Figura 12. Vector de posición R0 m X6. X5 X3. R0 X4 X2. X1. De donde:. X6 = R0 x + X 1x − X 2 x − X 3 x + i ( R0 y + X 1 y − X 2 y − X 3 y ) componente escalar X 6 x. componente escalar X 6 y. Es decir:. X 62 = X 62x + X 62y ∴ = ( R0 x + X 1x − X 2 x − X 3 x ) + ( R0 y + X 1 y − X 2 y − X 3 y ) 2. X 6 = X 62x + X 62y ∴ =. ( R0 x + X1x − X 2 x − X 3 x ). 2. 2. + ( R0 y + X 1 y − X 2 y − X 3 y ). 2. Si se supone que las componentes escalares de Rj representan las coordenadas de “m” respecto al par O4 para la posición j-ésima, se puede inferir la siguiente ecuación de cierre:. R j +X1 − X2j − X3j − X6j = 0 ⇒ X6j = R j + X1 − X2j − X3j De donde:. X 6j = Rx j + X 1x − X 2 x j − X 3 x j + i ( Ry j + X 1 y − X 2 y j − X 3 y j ) componente escalar X 6 x. componente escalar X 6 y. j. 38. j.

(39) Es decir:. (. ) + (R + X − X − X ) + (R + X − X. X 62j = X 62x j + X 62y j ∴ = Rx j + X 1x − X 2 x j − X 3 x j. (R. X 6 j = X 62x j + X 62y j ∴ =. xj. + X 1x − X 2 x j. 2. 1y. yj. 2yj. − X3yj. 2. 3x j. 1y. yj. 2yj. ). 2. − X3yj. ). 2. Las coordenadas del punto “m” para cada una de las posiciones prescritas es un dato conocido (ver la Figura 2). Como tales coordenadas se toman con relación a la primera posición prescrita es de suponer que el origen de coordenadas del sistema esté en la cabeza del vector de posición R0, y por lo tanto las componentes escalares de todos los vectores de posición se pueden expresar en términos de las variables de diseño xO2 , yO2 , xO4 , yO4 . De forma que: R0 x = − xO4. R0 y = − yO4 ;. R1x = xposición 2 − xO4. R1 y = yposición 2 − yO4. R2 x = xposición 3 − xO4. R2 y = yposición 3 − yO4. Rx j = xposición j − xO4. Ry j = yposición j − yO4. Donde xposición 2 , yposición 2 , ... ,xposición j , yposición j representan las coordenadas x, y de las posiciones 2, …, j-ésima medidas respecto a la primera posición prescrita. Finalmente:. X6j = ( xposición j − xO4 ) + ( xO4 − xO2 ) − X 2 x j − X 3 x j + i. (( y. posición j. − yO4 ) + ( yO4 − yO2 ) − X 2 y j − X 3 y j. (. X6j = xposición j − xO2 − X 2 x j − X 3 x j + i yposición j − yO2 − X 2 y j − X 3 y j componente escalar X 6 x j. ). (9). componente escalar X 6 y j. Es decir:. (. ) +(y − X ) +(y. X 62j = X 62x j + X 62y j ∴ = xposición j − xO2 − X 2 x j − X 3 x j X 6 j = X 62x j + X 62y j ∴ =. (x. posición j − xO2 − X 2 x j. 2. posición j. 2. 3x j. ). 2. posición j − yO2 − X 2 y j − X 3 y j. X 2 x j , X 2 y j , X 3 x j , X 3 y j se pueden inferir de las ecuaciones (3) y (4).. 39. − yO2 − X 2 y j − X 3 y j. ). 2. ).

(40) 2.4.3. Tercera restricción Aunque el algoritmo entrega resultados en los que la parte del acoplador representada por el vector X3 satisface el ángulo α j , no sucede lo mismo con la parte del acoplador representada por el vector X6. La siguiente restricción evita que se presente esta inconsistencia en las soluciones encontradas mediante el algoritmo. Del operador de rotación pura se puede inferir que:. θ6Posición 1 + α1 = θ6Posición 2 θ6Posición 1 + α 2 = θ6Posición 3 θ6Posición 1 + α j = θ6Posición j-ésima Donde θ6 es el argumento del vector X6 medido respecto al eje horizontal positivo. En la Figura 13 se ilustra este concepto.. Figura 13. Descripción de la tercera restricción. θ6 Posición j-ésima X6 j. αj. X3 j. X6 X3. R + X1 y − X 2 y − X 3 y ⎞ ⎛ X6y ⎞ −1 ⎛ 0 y θ6Posición 1 = tan -1 ⎜ ⎟ ⎟ = tan ⎜ ⎝ X 6x ⎠ ⎝ R0 x + X1x − X 2 x − X 3 x ⎠ ⎛ yposición 1 − yO2 − X 2 y − X 3 y ⎞ θ6Posición 1 = tan −1 ⎜ ⎜ xposición 1 − xO − X 2 x − X 3 x ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2. 40. θ6 Posición 1.

(41) ⎛ X6yj ⎞ ⎛ Ry j + X1 y − X 2 y j − X 3 y j θ6Posición j-ésima = tan -1 ⎜ ⎟ = tan −1 ⎜ ⎜ X 6x ⎟ ⎜ Rx + X1x − X 2 x − X 3 x j ⎠ j j ⎝ ⎝ j y X X − − ⎛ posición j − yO2 2yj 3y j ⎞ θ6Posición j-ésima = tan −1 ⎜ ⎟ ⎜ xposición j − xO − X 2 x − X 3 x ⎟ j j ⎠ 2 ⎝. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. Entonces:. ⎛ yposición 1 − yO2 − X 2 y − X 3 y tan −1 ⎜ ⎜ xposición 1 − xO − X 2 x − X 3 x ⎝ 2. ⎛ yposición j − yO2 − X 2 y j − X 3 y j ⎞ −1 ⎟⎟ + α j = tan ⎜ ⎜ xposición j − xO − X 2 x − X 3 x j j ⎠ 2 ⎝. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (10). X 2 x j , X 2 y j , X 3 x j , X 3 y j se pueden inferir de las ecuaciones (3) y (4). Al igual que en las anterior restricciones, se tienen que para 2 posiciones prescritas es necesaria una restricción. Para 3 posiciones se requieren 2 restricciones…etc. 2.4.4. Otras restricciones Dado que los pares fijos deben confinarse a un área prescrita, son necesarias 8 restricciones para satisfacer este requerimiento. Suponiendo que el área es rectangular, las coordenadas absolutas de los extremos de una de las diagonales la definen.. Figura 14. Espacio factible para los pares fijos (x SD, y SD) (x O4, y O4). X1 FACTIBLE. (x O2, y O2) (x II, y II). NO FACTIBLE. Usando la nomenclatura de la Figura 14 se establecen las correspondientes restricciones.. 41.

(42) xII ≤ xO2 yII ≤ yO2 xII ≤ xO4 yII ≤ yO4. ≤ xSD ≤ ySD ≤ xSD ≤ ySD. (11). En vista que la magnitud del vector X1 debe ser mayor a cierto valor “n” (puede ser entrado por el usuario) se debe usar la siguiente restricción: ≥ n. X 1 = X 12x + X 12y. (x. ⇒. O4. − xO2 ) + ( yO4 − yO2 ) 2. 2. ≥ n. (12). Para garantizar que el algoritmo entregue soluciones en las que el eslabón motriz tenga una rotación continua debe cumplirse que:. βj. > ... > β2. > β1 > 0. (13). Aunque es ideal que las soluciones tengan ángulos de transmisión de 90º, debe imponerse un límite inferior para este índice de mérito. Erdman y Sandor sugiere rechazar cualquier mecanismo de justas de revoluta (pasador), que tenga ángulos de transmisión menores a 30º [Erdman,1997] por lo tanto: μ1 , μ 2 , ... , μ j. ≥ 30. (14). Con el propósito que se pueda tener control sobre las longitudes de los eslabones motriz y acoplador en relación a la del bastidor, se han añadido 2 restricciones más:. X2. ≤ mX 1 ⇒. X 22x + X 22y. X3. ≤. X +X. pX 1 ⇒. 2 3x. 2 3y. ≤ m. (x. O4. − xO2 ) + ( yO4 − yO2 ). ≤. (x. O4. − xO2 ) + ( yO4 − yO2 ). p. 2. 2. 2. 2. (15). Con lo que se logra que el tamaño del eslabón correspondiente sea menor o igual a m, o p veces la longitud del bastidor.. 42.

(43) 3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LA FORMA ESTANDAR. Las figuras siguientes ilustran los datos conocidos (línea de trazo gruesa) y las variables de diseño (Encerradas en círculos y/o línea continua gruesa) para cada una de posiciones prescritas. La formulación del problema debe hacerse en términos de estos datos. Figura 15. Datos y variables para 2 posiciones prescritas. Posición 2. y Posición 2. α1. X 3y. X 3x. β1 X 2y. xO. 4. xO. X 2x. 2. yO. yO. 4. 2. Figura 16. Datos y variables para 3 posiciones prescritas. Posición 2. y Posición 2 xPosición 3. X 3y. β1. X 3x. X 2y. X 2x. x O2. yO. xO. 4. yO. 2. 43. 4. β2. y Posición 3 α1. α2.

(44) Figura 17. Datos y variables para 4 posiciones prescritas. α3 α1. α2. X 3y. β1. X 3x. β2 β3. X 2y. xO. yO. 4. yO. xO. X 2x. 2. Las coordenadas de posición no se dibujaron. 4. 2. Figura 18. Datos y variables para 5 posiciones prescritas.. α3 α1. α4. α2. X 3y. β1. X 3x. β2 β3 β4. X 2y. xO. 4. X 2x. xO. 2. yO. yO. Las coordenadas de posición no se dibujaron. 4. 2. 3.1. VARIABLES DE DISEÑO. En concordancia con la Figura 15, los datos para 2 posiciones prescritas son xposición 2 , yposición 2 ,α1 y las variables de diseño X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y ,β1 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 , transcribiéndolas a la forma estándar del modelo, resultan:. 44.

(45) x 2 posiciones = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 ) ≡ .... ... ≡ ( X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y , β1 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 ). Según la Figura 16, para 3 posiciones prescritas los datos son xposición 2 , yposición 2 , xposición 3 , yposición 3 ,α1 ,α 2 X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y ,β1 , y las variables de diseño β2 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 Transcribiéndolas a la forma estándar del modelo, resultan: x3 posiciones = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 ) ≡ .... ... ≡ ( X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y , β1 , β1 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 ). Según la Figura 17, para 4 posiciones prescritas los datos son xposición 2 , yposición 2 , xposición 3 , yposición 3 ,xposición 4 , yposición 4 ,α1 ,α 2 ,α3 y las variables de diseño X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y ,β1 , β2 ,β3 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 transcribiéndolas a la forma estándar del modelo, resultan: x 4 posiciones = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 ) ≡ ... ... ≡ ( X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y , β1 , β2 , β3 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 ). Según la Figura 18, para 5 posiciones prescritas los datos son xposición 2 , yposición 2 , xposición 3 , yposición 3 ,xposición 4 , yposición 4 ,xposición 5 , yposición 5 ,α1 ,α 2 ,α3 ,α 4 y las variables de diseño X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y ,β1 , β2 ,β3 ,β4 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 transcribiéndolas a la forma estándar del modelo, resultan: x5 posiciones = ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 , x12 ) ≡ ... ... ≡ ( X 2 x , X 2 y , X 3 x , X 3 y , β1 , β2 , β3 , β 4 , xO2 , yO2 , xO4 , yO4 ). 3.2. VECTOR DE FUNCIONES OBJETIVO. Para cada una de las posiciones prescritas es necesaria una función objetivo. Para la primera posición o inicial se transcribe la ecuación (2) en términos de las variables de diseño (El subíndice “P1” representa la posición inicial del mecanismo):. 45.