Dise ˜no de estimadores fasoriales para redes de distribuci´on

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Campus Monterrey

Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

Dise ˜no de estimadores fasoriales para redes de distribuci´on

Una tesis presentada por

David Santiago Pacheco Cherrez

Presentado a la

Escuela de Ingenier´ıa y Ciencias

en cumplimiento parcial de los requisitos para el grado de Maestro en Ciencias

en

Ciencias de la Ingenier´ıa

Monterrey, Nuevo Le´on, Mayo, 2021

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Campus Monterrey

Escuela de Ingeniería y Ciencias

Los miembros del comité recomendamos que la presente tesis de David Santiago Pacheco Cherrez sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias con Especialidad en Ciencias de la Ingeniería.

__________________________

Dr. Jonathan C. Mayo Maldonado Tecnológico de Monterrey Asesor

__________________________

Dr. Jesús E. Valdez-Resendiz Tecnológico de Monterrey Co-asesor

___________________________

Dr. Gerardo Escobar Tecnológico de Monterrey Sinodal _________________________________

Dr. Rubén Morales Menéndez Director Nacional de Posgrado Escuela de Ingeniería y Ciencias Monterrey, Nuevo León, 14 Junio 2021

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A mis padres. A ustedes por todo lo que me han dado siempre les dedico este trabajo.

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Me gustar´ıa agradecer a toda la gente que me ha ayudado durante mis estudios en la maestr´ıa.

Principalmente, a mi asesor Dr. Jonathan Mayo, no s´olo por ser un excelente asesor y gu´ıa, sino tambi´en por todas sus cr´ıticas constructivas y compartir conmigo un poco de su conocimiento e ideas. Trabajar con usted me ha motivado para en el futuro tratar de ser un buen investigador.

Quisiera también agradecer al Dr. Jesus Valdez por la ayuda brindada en el laboratorio y en el manejo de los distintos instrumentos que fueron necesarios para la experimentación y validación de los algoritmos.

Estoy muy agradecido con todos mis amigos de la maestr´ıa. Quiero decirles que real- mente disfrut´e estos dos a˜nos contigo. Gracias por hacerme sentir como si estuviera en casa, en mi pa´ıs. Aprend´ı y compart´ı muchos momentos con todos ustedes.

Especialmente quiero agradecer a mis padres, por ser mi apoyo no s´olo durante estos

últimos años, sino ustedes han estado ah´ı siempre, toda mi vida. Sin su ayuda no podr´ıa haber logrado nada de lo que me he propuesto. Siempre tengo en mente que una buena educación es la mejor herencia que se le puede dejar a un hijo.Muchas gracias.

Finalmente, quisiera agradecer a mis patrocinadores el Tecnol´ogico de Monterrey y CO- NACYT por las becas que me otorgaron.

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por

David Santiago Pacheco Cherrez Abstract

En este trabajo se presenta un estimador fasorial dinámico monofásico para redes de distri- bución que posee dos partes. El primer estimador propuesto, es un seguidor de frecuencia en tiempo discreto (dFLL) que estima la componente fundamental en fase de una señal de referencia monofásica distorsionada y su frecuencia. También, el estimador propuesto permite estimar la señal en cuadratura de la magnitud fundamental lo que es visto como el marco de referencia s´ıncrono αβ y, de esta forma estimar los fasores dinámicos de una señal de referencia. Además, el primer estimador es capaz de calcular los armónicos que posee la señal de referencia. El diseño propuesto se basa en un modelo discreto exacto de un oscilador o generador de señal.

El segundo estimador, basado en el Filtro de Kalman, estima otros fasores de la red (magnitud y fase). Para esto se realiza la representación de la red eléctrica, basada en grafos, en espacio de estados. Y a partir de determinados puntos de medición obtener todas las corrientes en la red y conocer el estado en que se encuentra.

Por otro lado, para estimar de una forma precisa, el Filtro de Kalman requiere observabilidad completa del sistema; por lo que, se plantea un problema de optimizaci´on con el fin de minimizar los puntos de mediciones requeridas, y que, al mismo tiempo garantice la observabilidad completa.

Finalmente, se implementan simulaciones y experimentaci´on de MATLAB utilizando µPMUs y una tarjeta de adquisici´on de datos DSpace, y se obtienen resultados satisfacto- rios, debido a que, el algoritmo demuestra ser capaz de estimar, de manera precisa, el estado completo de todas las variables de estado en la red.

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3.1. Magnitud y fase del voltaje estimadas del dPLL . . . 15

3.3. Error del voltaje estimado por el dPLL . . . 16

3.4. Frecuencia estimada del dPLL . . . 16

4.1. Grafo . . . 19

4.2. Simulaci´on: ejemplo de estimaci´on . . . 24

4.3. Simulación: estimación de j1, fase y ángulo de otros puntos de la red . . . 24

5.1. Instrumentos usados en la experimentaci´on. . . 29

5.2. Esquema en Simulink para el escenario 1 . . . 30

5.3. Se˜nal fundamental estimada por el dPLL para el escenario 1 . . . 31

5.4. Error del dPLL para el escenario 1 . . . 31

5.5. Frecuencia estimada del dPLL para el escenario 1 . . . 31

5.6. Magnitud y fase del voltaje estimadas del dPLL para el escenario 1 . . . 32

5.7. Esquema en Simulink para la simuaci´on 2 . . . 32

5.8. Se˜nal fundamental y en cuadratura estimada por el dPLL para el escenario 2 . 33 5.9. Se˜nal fundamental y en cuadratura estimada por el dPLL para el escenario 2 . 33 5.10. Error del dPLL para el escenario 2 . . . 34

5.12. ´Angulo y fase estimadas por el dPLL para el escenario 2 . . . 34

5.13. Estimaci´on del 3er arm´onico del dPLL para el escenario 2 . . . 35

5.14. Estimaci´on del 5to arm´onico del dPLL para el escenario 2 . . . 35

5.15. Estimaci´on del 7mo arm´onico del dPLL para el escenario 2 . . . 35

5.19. Error del dPLL para el escenario 3 . . . 37

5.21. Coodernadas estimadas dq por el dPLL para el escenario 3 . . . 37

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5.27. Coordenadas estimadas dq por el dPLL para el escenario 4 . . . 40

5.28. Metodolog´ıa para las simulaci´on y comprobaci´on del algoritmo . . . 41

5.29. Microred bajo estudio . . . 42

5.30. Grafo de la microred Bajo estudio . . . 43

5.31. Microred en Simulink - Estado estable . . . 43

5.32. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J1 . . . 44

5.34. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J₃ . . . 45

5.35. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J₄ . . . 45

5.37. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J₆ . . . 45

5.38. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J₇ . . . 45

5.40. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J₉ . . . 46

5.41. Resultados - Fasores para el estado estable de la red. J₁₀ . . . 46

5.42. Resultados experimento 5- J1 . . . 47

5.43. Resultados experimento 5- J₂ . . . 47

5.44. Resultados experimento 5- J₃ . . . 47

5.45. Resultados experimento 5- J4 . . . 47

5.46. Resultados experimento 5- J₅ . . . 47

5.47. Resultados experimento 5- J₆ . . . 48

5.48. Microred en simulink, frecuencia variable para la el escenario 6 . . . 49

5.49. Resultados experimento 6. Frecuencia µPMU y estimador. . . 49

5.50. Resultados experimento 6. J₁ . . . 50

5.51. Resultados experimento 6. J2 . . . 50

5.52. Resultados experimento 6. J₃ . . . 50

5.53. Resultados experimento 6. J₄ . . . 50

5.54. Resultados experimento 6. J5 . . . 51

5.55. Resultados experimento 6. J₆ . . . 51

5.56. Experimento 6. Corrientes de enlace J₇. . . 51

5.57. Experimento 6. Corrientes de enlace J8. . . 51

5.58. Experimento 6. Corrientes de enlace J₉. . . 52

5.59. Experimento 6. Corrientes de enlace J₁₀. . . 52

D.1. µPMU . . . 75

7

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2.1. Problemas en DSSE . . . 7 2.2. Técnicas de Estimación [4]. . . 8 2.3. Desaf´ıos de la Generación Distribuida . . . 9 5.1. Resultados de la estimación del dPLL para los experimentos 1, 2, 3 y 4. . . . 40 5.2. Resultados Fasores-estado estable . . . 46 5.3. Resultados de la estimación de estado para la simulación 5 - Estado estable . 48 D.1. Canales de medición de voltaje . . . 76 D.2. Canales de medición de corriente . . . 76

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Abstract 5

List of Figures 7

List of Tables 8

1. Introducci´on 1

1.1. Objetivos y Contribuciones . . . 3

1.1.1. Objetivo General . . . 4

1.1.2. Objetivos Espec´ıficos . . . 4

2. Estimación de estado en sistemas eléctricos 5 2.1. Estimación de estado convencional en redes eléctricas . . . 5

2.1.1. Enfoque convencional . . . 6

3. Estimaci´on de frecuencia, magnitud y fase 10 3.1. Seguidor de frecuencia . . . 10

3.2. Descripci´on en tiempo discreto de la din´amica de un fasor . . . 11

3.3. Estimador fasorial din´amico . . . 12

3.4. Estimación y compensación armónica . . . 13

3.5. An´alisis de estabilidad . . . 14

3.6. Simulaci´on . . . 15

3.7. Resumen . . . 16

4. Estimaci´on de estado fasorial 18 4.1. Representaci´on de la red . . . 18

4.2. Discrectizaci´on de un Modelo Lineal Continuo . . . 21

4.3. Observadores de estado . . . 22

4.4. Filtro de Kalman . . . 22

4.4.1. Simulaci´on . . . 23

4.5. Puntos ´optimos para la medici´on garantizando observabilidad . . . 25

4.6. Simulaci´on . . . 26

4.7. Resumen . . . 27

9

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5.1.1. Experimentos . . . 30

5.2. Estimaci´on de estado fasorial . . . 40

5.2.1. Experimentos . . . 40

5.2.2. Experimento 5. Estado estable . . . 43

5.2.3. Experimento 6. Variación de la frecuencia de la red añadiendo armóni- cos a la red. . . 48

5.3. Resumen . . . 52

6. Conclusiones y futuras investigaciones 53 6.1. Conclusiones generales . . . 53

6.2. Futuras investigaciones . . . 54

A. Código: dPLL 56 B. Código: Estimación fasorial 59 C. Código: Estimación de Estado - dPLL y Kalman 63 C.1. Código: Estimación de Estado - dPLL y Kalman . . . 63

C.2. Gr´aficas. Datos de µPMU y estimador . . . 69

D. µPMU 75

Bibliography 80

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Introducci´on

En la actualidad, los objetivos ambientales y climáticos mundiales solo podr´ıan lograrse a través de la transición energética, debido a que, permite que las energ´ıas renovables desem- peñen un papel central para reducir las emisiones de CO2 [19]. En nuestro caso, México esta- bleció el desafiante objetivo de producir el 35 % de su electricidad a partir de energ´ıa limpia para 2024 [40]; una forma alcanzar este objetivo es transformar su red eléctrica convencional en una red inteligente [39]. En esta transición energética, el sistema eléctrico de México de- berá utilizar fuentes de generación descentralizadas, conocidos como generación distribuida (GD), que a su vez deberán ocupar recursos renovables; además, estos estarán probablemente conectados directamente a la red de distribución.

Uno de los problemas en desarrollo es el impacto de los paneles solares en la red de distribución, ya que provocan aumentos de voltaje y que se expanda el potencial de uso de la bater´ıa; es decir, si todos los clientes exportaran simultáneamente energ´ıa de su bater´ıa, se tendr´ıa aún más posibilidades de problemas de sobretensión. El crecimiento de estos Recursos Energéticos Distribuidos (DER) está impulsando una mayor necesidad de observar los flujos y voltajes en la distribución; por lo que, se ha propuesto que la estimación del estado (voltajes/corriente) en una l´ınea de distribución ser´ıa una ruta de menor costo en lugar de extensas mediciones y comunicaciones [24].

En la forma convencional, con una red de distribución de energ´ıa, principalmente, radial y un flujo de energ´ıa unidireccional, solo era necesario evaluar la envolvente de las condiciones de diseño; por ejemplo, cargas máximas o corrientes de falla, en lugar de observar continuamente el estado operativo del sistema [3]. Pero, el crecimiento de la generación distribuida introduce variabilidad e incertidumbre; por ejemplo, la inclusión de GD introduce flujos de energ´ıa bidireccionales en la red [20].

Estas cuestiones son muy importantes desde el punto de vista técnico, ya que existen diferencias significativas en el diseño de las redes de distribución y transmisión. En primer lugar, los sistemas de distribución no suelen estar diseñados para la conexión de dispositivos de generación de energ´ıa; dado que, como se dijo en el párrafo anterior, esto introduce flujos bidireccionales en la red [6]. Segundo, en comparación con los sistemas de transmisión, cuyos cables poseen una resistencia baja en comparación a su inductancia, la resistencia en las l´ıneas de distribución es a menudo mayor que, o al menos similar, a la inductancia. Por lo tanto, la resistencia de la l´ınea de distribución provoca una proporción importante de la ca´ıda de tensión a lo largo de las l´ıneas de distribución, as´ı como de las pérdidas de la l´ınea [2].En

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consecuencia, la conexi´on de generaci´on distribuida puede tener una influencia relevante en el nivel de voltaje local.

En tercer lugar, los sistemas de distribución usualmente no están conectados a los sistemas de control y adquisición de datos (SCADA); de modo que, la recopilación de datos necesaria para el control del sistema de distribución y de las unidades de GD es dif´ıcil. La complejidad de la recopilación de datos para el control del sistema en mercados competiti- vos aumenta, debido al hecho de que los generadores de energ´ıa independientes operan sus unidades de GD de acuerdo con las señales de precios del mercado, que no necesariamente corresponden a los requisitos de control del sistema en las áreas de distribución local [6];

por lo tanto, se requieren cambios en la protección y el control de las estrategias de flujo de energ´ıa. Además, la incorporación de tales tecnolog´ıas puede tener un impacto en la calidad de la energ´ıa y la estabilidad del voltaje a nivel del cliente [36],[47].

Por consiguiente, se tiene en cuenta que, las ra´ıces de los problemas del sistema de energ´ıa, generalmente, se encuentran en el sistema de distribución, ya que casi el 90 % de todos los cortes y perturbaciones de energ´ıa tienen su origen en ese nivel [16]. Por esta razón, la búsqueda para llegar a una red inteligente debe comenzar en este nivel.

Uno de los instrumentos de medición que nos puede ayudar a llegar a esta red inteligente son las unidades de medición fasoriales (PMU). Un PMU proporciona mediciones sincroni- zadas ultra precisas de magnitudes de voltaje (y opcionalmente actual) y ángulos de fase o sincrofasores [3], estos se han aplicado principalmente a los sistemas de transmisión, en parte debido a su alto costo; pero, cada vez hay una reducción continua en el costo por lo que la aplicación de estas tecnolog´ıas a nivel de distribución está creciendo. Por ello, con el interés de aumentar la confiabilidad, se da las oportunidades para desarrollar diversos recursos para los servicios de la red, lo que genera interés en herramientas como las unidades de medición de micro-sincrofasores (µPMU) que son unidades de medición avanzadas [45], y, también en herramientas de monitoreo más integral como son las técnicas de estimación de estado.

La estimación de estado en las redes de distribución de energ´ıa eléctrica es usada para calcular un consistente y confiable estado de la red, al basarse en mediciones en tiempo real utilizando algún tipo de criterio de estimación [11]. Y, con el aumento de tamaño de las redes de distribución, el incremento del número de nodos y, por ello, el número de información de la red a partir de las mediciones, se incrementan los tiempos de cálculo del estado de la red, lo que provoca que los métodos tradicionales sean imprácticos. Además, con la transición de la distribución pasiva tradicional a las futuras redes de distribución con naturaleza activa, se crean nuevos desaf´ıos en el control y operación de las redes de distribución. Y, el uso de ciertas infraestructuras de medición, como las ya mencionadas unidades de medición µPMU, ha sido respaldado y confirmado en varios estudios como [7, 28].

En este sentido, y, también, motivados por los nuevos desaf´ıos, las técnicas de estima- ción de estado se han convertido en una de las herramientas más utilizadas para garantizar un rendimiento seguro, confiable y óptimo del sistema, por lo que algunas empresas de servicios públicos ya han comenzado a implementar y usar [49].

Un punto que se debe tener en cuenta es la ubicación de los instrumentos de medición, ya que la ubicación del equipo tiende a influir en la calidad y precisión de la estimación del estado en gran medida; por lo tanto, la ubicación adecuada del mismo podr´ıa ser fundamental, pues existen varios estudios que describen sobre la colocación de los instrumentos de medición para mejorar la observabilidad [1, 37].

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Por estas razones, el presente trabajo desarrolla un algoritmo de estimadores fasoriales que pueden ser usados en un sistema de distribución de una manera similar a los µPMUs, para lo cual se desarrolla un observador de estado de varios puntos de la red basado en modelos de grafos; además, el algoritmo incluye la estimación de frecuencia, fase y magnitud de las señales de corriente y voltaje. Cabe recalcar que, un punto importante es la estimación de los armónicos que afectan a la red, los cuales pueden ser también estimados con el algoritmo propuesto. De igual manera, teniendo en cuenta que una parte importante para la correcta estimación de la red es la ubicación de los puntos de medición se ha desarrollado un algoritmo para la optimización de la ubicación de los instrumentos de medición. Utilizando los paquetes de Software Matlab y Simulink juntamente con una tarjeta de adquisición de datos se realiza la validación del algoritmo.

Este documento se organiza de la siguiente manera:

Cap´ıtulo 2. Se describe, en una forma general, qué son los estimadores de estado de sistemas eléctricos, los métodos y las herramientas tradicionales.

Cap´ıtulo 3. Se describe nuestro algoritmo de seguimiento de frecuencia en tiempo discreto, que se utiliza como base para nuestro algoritmo de estimaci´on de estado.

Cap´ıtulo 4. Se estudia los sistemas lineales, de los cuales se desprende la representa- ción del modelo de la red y las distintas herramientas utilizadas para la estimación de estado. También, se describe el estimador basado en el Filtro de Kalman; que es capaz de estimar los fasores que se encuentran la red de distribución.

Cap´ıtulo 5. Se especifica las simulaciones y experimentos implementados para validar los algoritmos antes descritos.

Cap´ıtulo 6. Se proporciona conclusiones generales y establecemos direcciones de investigaci´on futuras.

1.1. Objetivos y Contribuciones

Teniendo en cuenta la discusi´on anterior, con este trabajo queremos contribuir a este problema, proponiendo un algoritmo capaz de estimar de forma fasorial la red de distribuci´on.

Lo que se hará: primero se buscará la optimización de los instrumentos de medición para garantizar la observabilidad completa de la red a partir de pocos puntos de medición. Luego, se utilizará un algoritmo de seguimiento de la frecuencia para estimar los puntos medidos.

Finalmente, a partir de estos puntos se utilizar´a observadores de estado para estimar todos los puntos de la red en forma de fasores de corriente.

Teniendo en cuenta esto, las principales contribuciones son

Estimación de armónicos en los puntos de medición, lo que ayudar´ıa a saber la calidad de energ´ıa que posee la red.

Estimaci´on fasorial de todos los puntos de la red a partir de pocas mediciones, lo que nos ayuda a disminuir costos; ya que, por lo general los instrumentos de medici´on, como los µPMU, poseen alto costo.

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Cabe recalcar que, los µPMU comerciales actuales sólo pueden estimar la frecuencia, magnitud y fase de la señal en los puntos que se están midiendo. Además, no son capaces de medir la distorsión armónica en tales puntos; en comparación con nuestro algoritmo que s´ı es capaz.

1.1.1. Objetivo General

Desarrollar una técnica de estimación fasorial para sistemas de distribución eléctrica a partir de observadores de estado de varios puntos de la red basándose en modelo de grafos.

1.1.2. Objetivos Espec´ıficos

1. Estimar la frecuencia, magnitud y fase de varios puntos de la red.

2. Estimar los arm´onicos que afectan a la red de distribuci´on.

3. Estimar la magnitud y fase de todas las corrientes que existen en la red.

4. Validar de forma experimental los diferentes algoritmos de estimaci´on propuestos.

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Estimaci´on de estado en sistemas el´ectricos

En este cap´ıtulo se describirá qué son los algoritmos de estimación de estado en sistemas eléctricos. As´ı como los distintos métodos, sus usos e importancia que tiene en el funcionamiento del sistema.

2.1. Estimaci´on de estado convencional en redes el´ectricas

Empezaremos definiendo los algoritmos de estimación de estado como aquellos algoritmos que ajustan las mediciones realizadas en el sistema a un modelo matemático con el fin de proporcionar una base de datos confiable para otras funciones de monitoreo, evaluación de seguridad y control [18].

Después de más de cuatro décadas de desarrollo, una redundancia de medición suficiente en la red de transmisión ha permitido la observabilidad del sistema y el procesamiento de datos incorrectos para la estimación de estado. Asumiendo una operación de malla balanceada (secuencia positiva), el estado del disyuntor, la posición del cambiador de tomas en l´ınea y las mediciones analógicas, incluidos los flujos de energ´ıa real y reactiva, las inyecciones de energ´ıa de la barra, las tensiones y las mediciones de fasores, se utilizan en la estimación de estado del sistema de transmisión (TSSE) que generalmente utiliza la magnitud del voltaje y el ángulo de fase como variables de estado. TSSE es una herramienta básica en el centro de control de energ´ıa y se ejecuta junto con las funciones de evaluación de seguridad cada 2 minutos o menos para garantizar operaciones seguras del sistema [32]. Los estimadores de estado poseen todas o alguna de estas funciones [8]:

Procesador de topolog´ıa: recopila datos de estado sobre los disyuntores e interruptores y configura el diagrama unifilar del sistema.

Análisis de observabilidad: Determina si se puede obtener una solución de estimación de estado para todo el sistema utilizando el conjunto de medidas disponible. Identifica las ramas no observables y las islas observables en el sistema, si existen.

Solución de estimación de estado: determina la estimación óptima para el estado del sistema, que se compone de voltajes de bus complejos en todo el sistema de energ´ıa,

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seg´un el modelo de red y las mediciones recopiladas del sistema. todos los flujos de l´ınea, cargas, tomas de transformadores y salidas de generador. proporciona las mejores estimaciones para

Procesamiento de datos incorrectos: detecta la existencia de errores graves en el conjunto de medidas. Identifica y elimina malas medidas siempre que haya suficiente redundancia en la configuraci´on de medida.

Procesamiento de errores estructurales y de parámetros: Estima varios parámetros de la red, como los parámetros del modelo de la l´ınea de transmisión, los parámetros del transformador de cambio de derivación, los parámetros del condensador en derivación o del reactor. Detecta errores estructurales en la configuración de la red e identifica el estado erróneo del interruptor siempre que haya suficiente redundancia de medición.

Los algoritmos desarrollados para TSSE deben adaptarse para que sean adecuados para la estimación del estado del sistema de distribución (DSSE). En la Tabla 2.1 se presentan los principales problemas y diferencias que posee la estimación en la parte de distribución.

A pesar de todos estos desaf´ıos técnicos, la DSSE crece cada vez más, inclusive hay varias empresas y proyectos que están promoviendo el monitoreo y control en el área de distribución y as´ı promover la DSSE.

Una discusión relevante sobre la DSSE es presentada en [5], donde las conexiones entre la implementación de SE y la práctica SE elaboran variables tales como longitudes de l´ınea, flujos de interruptores, regulación de voltaje y áreas de medición.

2.1.1. Enfoque convencional

Dado un vector de mediciones z (con tamaño m × 1) y una función de medición h, que conecta el vector de estado verdadero x (con tamaño n×1) al vector de medición (es decir, z = h(x)+e, con e que denota el vector de error de medición), el problema de estimación de estado se puede formular como un problema de optimización de m´ınimos cuadrados ponderados (WLS) (con letras en negrita que denotan vectores o matrices) [26]:

ˆ

x = arg min

x

(z − h(x))^TW (z − h(x))

donde ˆx es el vector de estado estimado, T es la transposición de la matriz y W denota la matriz de peso que representa la varianza de los datos medidos. Una opción ampliamente utilizada para la matriz de pesos es W = diagσ₁⁻², ...., σ_m⁻² , donde σ_j⁻² representa la varianza del error de medición correspondiente al j-ésimo elemento de z. Esta elección de la matriz de ponderaciones se basa en dos supuestos: 1) el vector de error (e) tiene una distri- bución gaussiana con media cero y 2) los errores de medición de los diferentes elementos del vector de medición son estad´ısticamente independientes. Bajo estos supuestos, el problema WLS se transforma en la estimación de máxima verosimilitud.

A partir de aqu´ı existen varios estimadores que se han implementado ya sea utilizando un tipo de coordenadas o también diferentes variables de estado para poder as´ı estimar el estado de la red, Watitwa en [4] realiza el resumen de las técnicas clasificándolas según el estimador escogido, Tabla 2.2.

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Tabla 2.1: Problemas en DSSE

Observabilidad

A diferencia de los sistemas de transmisión, los sistemas de distribución son muy inobservables, lo que significa que el número de instrumentos de medición en una red es generalmente pequeño en comparación con el enorme tamaño del sistema [10].

Bajo valor x/r

En los sistemas de distribuci´on, generalmente nos enfrentamos a niveles bajos de x / r, que hacen que las t´ecnicas convencionales de DC

SE en los sistemas de transmisi´on sean inutilizables a nivel de distribuci´on [48]

Operaci´on no balanceada

En la práctica, los sistemas de distribución están muy desequilibrados, lo que conduce a un mayor nivel de complejidad en la formulación de problemas de EE [13].

Problemas de comunicaci´on

Las limitaciones del sistema de comunicación, como el ancho de banda y la capacidad de la red, también limitan la precisión y la velocidad del intercambio de datos [9].

Topolog´ıa de la red

Teniendo en cuenta el enorme tama˜no de la red de distribuci´on y observando que los datos completos relacionados con la topolog´ıa de esta red no suelen almacenarse en un grado

adicional de complejidad a DSSE en estas redes [42].

Integraci´on

de energ´ıa renovable

La mayor penetración de los recursos de energ´ıa renovable introduce un mayor nivel de incertidumbre en la operación del sistema de distribución y DSSE

Problemas de seguridad

El tema de la ciberseguridad es una nueva preocupación en la gestión y control de los sistemas de distribución activos.

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Estimador Ventajas Inconvenientes Polar node-voltage

Estimaci´on directa de la magnitud y fase del voltaje.

Mayor n´umero de funciones de medici´on no lineal Apto para redes malladas Alta carga computacional Rectangular

node-voltage

Linealizaci´on de muchas

funciones de medici´on. Tratamiento dif´ıcil de las mediciones de magnitud actual.

Alta velocidad computacional.

Tambien adecuado para redes malladas.

Polar

branch-current

F´acil manejo de mediciones de magnitud actual.

Mayor n´umero de funciones de medici´on no lineales.

Alta carga computacional Solo para redes radiales / o muy poco malladas.

Rectangular branch-current

Linealizaci´on de muchas

funciones de medici´on. Solo para redes radiales / o muy poco malladas Matrices de sistema muy dispersas

Alta velocidad computacional.

Tabla 2.2: T´ecnicas de Estimaci´on [4].

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Tabla 2.3: Desaf´ıos de la Generaci´on Distribuida

T´ecnicos

Incremento de Voltaje

El efecto de aumento de voltaje es un factor clave que limita la cantidad de capacidad de GD adicional que se puede conectar a las redes de distribuci´on rurales.

Calidad de la energ´ıa

Por lo general, se consideran importantes dos aspectos de la calidad de la energ´ıa:

1. variaciones de voltaje transitorias y 2. distorsi´on arm´onica del voltaje de la red.

Protecci´on

Se pueden identificar varios aspectos diferentes de la protección DG: Protección del equipo de generación contra fallas internas; protección de la red de distribución averiada contra corrientes de defecto suministradas por la DG; protección contra la formación de islas o pérdida de red e impacto de GD en la protección del sistema de distribución existente.

Estabilidad

Las ´areas que deben considerarse incluyen transitoria, as´ı como estabilidad din´amica a largo plazo y colapso de voltaje.

Comerciales

Para apoyar el desarrollo de redes de distribuci´on activas y extraer los beneficios correspondientes asociados con la conexi´on de una mayor cantidad de GD, es necesario desarrollar nuevos acuerdos comerciales.

Regulatorio

En ausencia de una pol´ıtica clara y de los instrumentos regulatorios asociados sobre el tratamiento de la GD, es muy poco probable que este tipo de generaci´on prospere.

Las razones de esto son en parte históricas y están relacionadas con la forma en que las redes de distribución se han desarrollado y operado como redes pasivas. Para impulsar los cambios

requeridos, existe una clara necesidad de desarrollar y articular pol´ıticas adecuadas que apoyen la integraci´on de la GD

en las redes de distribuci´on.

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Estimaci´on de frecuencia, magnitud y fase

3.1. Seguidor de frecuencia

Los algoritmos de seguimiento de fase (PLL) por sus siglas en inglés (Phase-Locked- Loop) han sido ampliamente usados para la reconstrucción de señales sinusoidales, partiendo de referencias periódicas, p. ej. un problema muy conocido en sistemas eléctricos que usan este tipo de algoritmo es la sincronización de red [41]. Juntamente con la estimación de la señal que queremos estimar, los algoritmos de PLL también obtienen como resultado una es- timación del ángulo de fase y su frecuencia fundamental. Sin embargo, el problema se vuelve mucho más complejo cuando no se posee una señal pura, es decir esta señal puede poseer distorsión armónica y su frecuencia puede no ser constante. Cada vez existe más interés de investigación en los algoritmo de PLL por el aumento de equipos conectados y la genera- ción distribuida a partir de energ´ıas renovables p. ej. la tecnolog´ıa fotovoltaica requiere de inversores monofásicos para conectarse a la red.

Existen varios diseños de PLL, algunos de los diseños más usados se basan en diseños trifásicos. Estos diseños están enfocados en la generación de dos señales ortogonales dentro de un marco de referencia fijo al cual podemos llamar coordenadas αβ. El art´ıculo [23] presenta una idea clara a cerca del PLL-trifásico.

Muchos de estos diseños trifásicos son diseñados en el dominio de tiempo continuo y para poder realizarlo usando algún procesador o componente digital se necesita discretizarlo.

Para abordar el problema directamente en tiempo discreto sin recurrir a aproximaciones, se han dise˜nado algunos esquemas PLL en tiempo discreto, que se denominan PLL digital o de tiempo discreto (dPLL) [38].

En los últimos años, ha surgido una nueva familia de algoritmos de sincronización, deno- minados seguidores de frecuencia o FLL por sus siglas en inglés (Frequency-Locked-Loop) [35]. Como se expone en [22], el FLL difiere del PLL convencional, por que el oscilador controlado por voltaje (VCO), originalmente utilizado en el PLL, se ha omitido en el FLL.

Además, el funcionamiento del PLL se basa en la estimación del ángulo de fase, mientras que en el caso del FLL, el funcionamiento se basa en la estimación directa de la frecuencia fundamental [35].

Hay varias contribuciones interesantes de implementaciones de FLL en tiempo discreto (dFLL) en la literatura. Por ejemplo, [44] propone un dFLL que admite sinusoides variables en el tiempo que proporcionan resultados insesgados, es decir, que las estimaciones no dependen

10

(22)

de las condiciones iniciales dadas; los autores también validan este esquema mediante un riguroso análisis de estabilidad. En [34], se propone un dFLL basado en un generador de señal en cuadratura (QSG) y una transformada discreta de Fourier; esta implementación está diseñada para mostrar robustez en condiciones de señal distorsionada.

Aqu´ı se ha dado una breve descripción de los algoritmos de seguimiento de frecuencia y fase, en la siguientes secciones presentaremos nuestro desarrollo para diseñar el estimador de frecuencia y fase que se usará en la estimación fasorial.

3.2. Descripci´on en tiempo discreto de la din´amica de un fasor

Estudiamos el problema de identificar los par´ametros A, ω y φ de una funci´on sinusoidal.

y = A sin(ωt + φ) . (3.1)

En una red eléctrica, el problema de identificar estos elementos es cada vez más complejo, ya que no son constantes, sino variables en el tiempo. Además, esta señal, ya sea un voltaje o una cantidad de corriente, no es necesariamente ”pura”, pero contiene distorsión armónica.

Para abordar estos desaf´ıos, adoptamos una perspectiva basada en modelos, que permitirá una estimación adaptativa de los parámetros subyacentes de la tensión/corriente y su contenido armónico. Además, mostramos que este enfoque se puede extender a la red de distribución mediante el uso de un enfoque basado en grafos. De esta forma la solución no solo es precisa, sino económica, ya que evita el uso de equipos de instrumentación adicionales para estimar nodos y l´ıneas de dif´ıcil acceso o simplemente inaccesibles.

Para hacer una distinción entre variables y valores nominales, usamos la notación A, ω y φ para denotar cantidades nominales fijas de las que se obtienen los parámetros reales desviados durante el funcionamiento de la red. La ecuación (3.1) puede verse como la solución anal´ıtica de un sistema diferencial de segundo orden de la forma:

d²

dt²y + ω²y = 0 .

Tenga en cuenta que las ra´ıces de esta ecuación en el dominio de Laplace son s = ±jω correspondientes a un sistema marginalmente estable, es decir, un oscilador. Tenga en cuenta que en términos de primer orden (espacio de estado) y está representado de manera equivalente por

d dt

x_α x_β

= 0 −ω

ω 0

x_α x_β

; y =1 0x_α x_β

. (3.2)

Aunque hay varias bases para la soluci´on del espacio de estados que generan (3.1), tenga en cuenta, p. ej., col(y,_dt^dy); seleccionamos uno que es particularmente significativo f´ısicamente que se conoce como coordenadas αβ, tambi´en conocido como marco de referencia s´ıncrono (ver, por ejemplo, [30]).

En este art´ıculo nos interesa modelar cantidades en tiempo discreto, ya que este es un estándar (estándar IEEE C37.118) en el que operan los micro-sincrofasores (ver [46]). Para obtener un modelo de tiempo discreto de (3.2), primero obtenemos una solución anal´ıtica en

(23)

el dominio del tiempo para algunas condiciones iniciales fijas, pero por lo dem´as arbitrarias col(xα(0), xβ(0)), es decir,

x_α(t) x_β(t)

=cos(ωt) − sin(ωt) sin(ωt) cos(ωt)

x_α(0) x_β(0)

.

Al definir un tiempo de muestra peque˜no T_s ∈ R+, la ecuaci´on anterior se puede evaluar en cualquier cantidad de tiempo ti ∈ R, con i = 1, 2, 3... , donde ti+1= t_i+ T_s, entonces

x_α(t_i+1) x_β(t_i+1)

=cos(ωT_s) − sin(ωT_s) sin(ωT_s) cos(ωT_s)

x_α(t_i) x_β(t_i)

. (3.3)

Usamos el operador de desplazamiento σ, que actúa sobre una variable de tiempo discreto (muestreada) x(t_i), definiendo as´ı σx(t_i) = x(t_i + T_s). Para relajar la notación y como una forma de hacer una ilustración adecuada de los modelos de tiempo discreto, simplemente reescribimos (3.3) como

σx_α x_β

x_α x_β

. (3.4)

que es un sistema de diferencias válido para cualquier condición inicial arbitraria. Para construir la dinámica fasorial a partir del modelo (3.4), simplemente usamos una transformación de αβ - a dq -coordinates (ver [31]), Es decir, esto se llama inversa de la Transformación de Park en tiempo discreto:

x_d x_q

=cos(ηωT_s) − sin(ηωT_s) sin(ηωT_s) cos(ηωT_s)

−1

x_α x_β

. (3.5)

con ση = η para cualquier η(0) ∈ Z+. Tenga en cuenta que al aplicar la transformaci´on (3.5) en (3.4), se obtiene

σx_d x_q

=x_d x_q

;

lo que implica que los componentes x_d y x_q son constantes. Estos vectores siguen siendo la componente fundamental y en cuadratura, pero giran a la misma velocidad que la velocidad angular η · ω · T_s. En términos de cantidades fasoriales, estos componentes pueden verse como los componentes reales e imaginarios del plano complejo, luego su magnitud y ángulo de fase pueden identificarse a partir del análisis tradicional de números complejos.

En este punto, hemos creado un modelo que asume una frecuencia constante, pero en condiciones estándar de la vida real, este dif´ıcilmente es el caso. Por esta razón, en la siguiente sección construimos una estimación fasorial con capacidades adaptativas, que es capaz de reconstruir la correspondiente dinámica fasorial a pesar de fuertes variaciones en la frecuencia angular.

3.3. Estimador fasorial din´amico

Aqu´ı se propone un estimador fasorial dinámico, el cual luego extenderemos su uso para la estimación de la red de distribución eléctrica en nuestro algoritmo. Considere el modelo

(24)

(3.4), esta vez con una frecuencia angular variable ω, es decir, σx_α

x_β

x_α x_β

. (3.6)

Considere el siguiente estimador de espacio de estados, que se basa en el modelo (3.6).

σ ˆx_α ˆ x_β

=cos(ˆωT_s) − sin(ˆωT_s) sin(ˆωT_s) cos(ˆωT_s)

ˆx_α ˆ x_β

−εT_s(ˆx_α− x_α) 0

. (3.7)

en donde ε > 0 es la ganancia de amortiguación; además, definimos la frecuencia angular como un parámetro a estimar cuya dinámica está descrita por

σ ˆω = ˆω + kT_sxˆ_β(ˆx_α− x_α) .

donde ˆω es la estimaci´on de la frecuencia angular de la red (ω), y k es ganancia de adaptaci´on.

De la misma forma que en la sección anterior para construir la dinámica fasorial con- vertimos de coordenadas αβ - a coordenadas dq utilizando la inversa de la Transformación de Park:

ˆx_d ˆ x_q

=cos(ηωT_s) − sin(ηωT_s) sin(ηωT_s) cos(ηωT_s)

⁻¹

ˆx_α ˆ x_β

. (3.8)

Para obtener el modelo din´amico de las variables estimadas en t´erminos de coordenadas dq, se aplica el operador de desplazamiento a (3.8), que nos da

σ ˆx_d ˆ x_q

=cos(η(σω)T_s) − sin(η(σω)T_s) sin(η(σω)T_s) cos(η(σω)T_s)

⁻¹ σ ˆx_α

ˆ x_β

. (3.9)

lo que implica que los componentes x_dy x_q serán variables si ω es diferente a ω. Estos vectores siguen siendo la componente fundamental y en cuadratura, pero giran a la misma velocidad que la velocidad angular η · ω · Ts. De esta forma hemos definido nuestros fasores en el plano complejo, los cuales se utilizarán en el análisis fasorial al emplearlos con el respectivo modelo de la red eléctrica.

Hasta el momento hemos diseñado un estimador que es capaz de calcular la señal fundamental y en cuadratura (x_α, x_β), as´ı como también la frecuencia de la fundamental ω a partir de una señal de referencia. Sin embargo, en señales que posean alta distorsión armónica se debe incluir otro componente al estimador que sea capaz de calcular las componentes armónicas de mayor orden que posee la señal fundamental. Por esto, en la siguiente sección se diseñará el estimador para reconocer estas distorsiones armónicas que puede poseer nuestra señal de referencia.

3.4. Estimación y compensación armónica

Con la presencia de distorsión armónica nuestro estimador debe ser capaz de calcular las componentes armónicas de mayor orden de la señal de referencia. Es por esto que se considera el estimador siguiente el cual se basa en el modelo (3.7). Se puede decir que este modelo es

(25)

una descomposici´on de la serie de Fourier, de esta manera se puede calcular las componentes de frecuencias de orden mayor que posee la se˜nal de referencia

σ ˆxn,α

ˆ x_n,β

=cos(nˆωTs) − sin(nˆωTs) sin(nˆωT_s) cos(nˆωT_s)

ˆxn,α

ˆ x_n,β

−ε_nTs(ˆxα− xα) 0

. (3.10)

donde n = 3, 5, 7, ... y ˆx_n,α, ˆx_n,β son la componente directa y en cuadratura estimadas del n-ésimo armónico. También, ε_n es la ganancia del n-ésimo armónico. El conjunto de estimadores de (3.10), es decir, la suma de cada estimación para n = 3, 5, 7, ..., es la componente que añadiremos a nuestro estimador para la compensación armónica. En contraste con (3.7), el error de estimación ahora se redefine como error = ˆx_α+ ˆx_n,α− x_α para incluir el efecto de los componentes armónicos.

3.5. An´alisis de estabilidad

Se debe realizar el análisis de estabilidad para asegurar un comportamiento adecuado del estimador; as´ı como también,una convergencia precisa y rápida de las estimaciones a las señales de referencia. Por esto, se muestra que las estimaciones ˆxα, ˆxβ, ˆω convergen hacia sus correspondientes referencias xα, x_β, ω en un tiempo finito si los parámetros del sistema cumplen un conjunto adecuado de condiciones matemáticas, en términos de desigualdades.

Estas condiciones garantizan la convergencia del error a cero en un tiempo finito.

Si se considera que la se˜nal de referencia es estable y partiendo del modelo (3.9) en coordendas dq

σ ˆxd

ˆ x_q

=cos(η(σω)T_s) − sin(η(σω)Ts) sin(η(σω)T_s) cos(η(σω)T_s)

−1

σ ˆxα

ˆ x_β

.

además, en la expresión (3.9) los estimadores ˆx_α, ˆx_β los ponemos en función de ˆx_d, ˆx_q tenemos:

σ ˆx_α ˆ x_β

=cos(η(σω)T_s) − sin(η(σω)T_s) sin(η(σω)T_s) cos(η(σω)T_s)

σ ˆx_d

ˆ x_q

. (3.11)

y sustituyendo el modelo del estimador (3.7) en (3.9) obtenemos la siguiente expresi´on:

σ ˆx_d ˆ x_q

=cos((ω − ω)T_s) − sin((ω − ω)T_s) sin((ω − ω)T_s) cos((ω − ω)T_s)

ˆx_d ˆ x_q

− T_sεcos(ωT_s) − sin(ωT_s) sin(ωTs) cos(ωTs)

−1

cos(ηωT_s) − sin(ηωT_s) sin(ηωTs) cos(ηωTs)

−1

ˆx_α− x_α 0

. (3.12) Tomando la expresi´on (3.12) y aplicando un proceso similar al an´alisis de estabilidad descrito en [15] se encuentra

0 < ε < 4 T_s

ε²

8x_d < k < ε

T_sx²_d (3.13)

que son condiciones necesarias para preservar la estabilidad del sistema lineal (3.7, 3.9), y as´ı, garantizar que los par´ametros converjan a sus respectivas se˜nales de referencia ˆx_α → x_α,

ˆ

x_β → x_β, ˆω → x_ω.

(26)

3.6. Simulaci´on

Para poder explicar de mejor manera la estimación de la magnitud, fase y frecuencia se realizará una simulación. El código utilizado en MATLAB se encuentra en el Anexo A. Se simulará una señal que posee un transitorio de la siguiente manera

v(t) =110 sin(2π60t + 0) 0 ≤ t < 0.25 90 sin(2π50t + 0) 0.25 ≤ t ≤ 0.5

se observa que la se˜nal que se utiliza para la simulaci´on posee dos partes, una frecuencia f₁=60Hz de t = 0 hasta t1=0.25 segundos y una magnitud pico de 110 V. Mientras, que en la segunda parte f₂=50Hz y una magnitud pico de 90 V.

Además se añade distorsión armónica de la siguiente manera:

V_3rd = V m/10 a 3 · f V_5th = V m/15 a 5 · f V_7th = V m/25 a 7 · f

donde V m es la magnitud pico de la onda, y f la frecuencia fundamental. Nuestro algoritmo debe ser capaz de estimar estos arm´onicos.

En las Figuras 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 se observan los resultados que entrega el estimador.

La figura 3.1 muestra la señal αβ que estima el algoritmo en comparación a v(t), y en la Figura 3.2 se puede apreciar de una mejor manera la distorsión que posee la señal por los armónicos que se añaden. En la Figura 3.3 se presenta el error de la estimación el cual converge a cero a pesar del transitorio a los 0.25 segundos. De igual manera, en la Figura 3.4 se puede observar que el algoritmo estima la frecuencia en ambos casos de 60 y 50 Hz. Por último, la Figura 3.5 nos presenta la magnitud y fase de la señal la cual puede ser vista como fasores con una frecuencia nominal de 60 Hz; es por esto que a partir de 0.25 segundos el ángulo empieza a variar ya que la frecuencia de la señal de referencia v(t) (50Hz) es diferente a la frecuencia nominal (60Hz).

Figura 3.1: Magnitud y fase del voltaje estimadas del dPLL

Se puede observar que, a pesar de que la magnitud de la se˜nal de referencia da un gran salto en su valor (110 a 90 voltios), el algoritmo es r´apido al estimar este transitorio. Esto es ya que este estimador posee caracter´ısticas no lineales y adaptativas.

(27)

Figura 3.3: Error del voltaje estimado por el dPLL

Figura 3.4: Frecuencia estimada del dPLL

3.7. Resumen

En este cap´ıtulo se ha descrito el primer estimador; el cual es el seguidor de frecuencia que es capaz de estimar la fase, magnitud y frecuencia de una señal de referencia periódica, y, para explicar de una mejor manera se procedió a realizar una simulación y mostrar los resultados calculados con el algoritmo. En la siguiente sección se detallará la representación de la red en espacio de estados de la red eléctrica y nuestro siguiente estimador de fasores de otros puntos de la red.

(28)

(29)

Estimaci´on de estado fasorial

En este cap´ıtulo se desarrollará la explicación de la segunda parte de nuestro algoritmo, la estimación de estado para lo cual se empezará con la representación de la red.

4.1. Representaci´on de la red

Como el estimador propuesto es basado en el Filtro de Kalman [21], un modelo en espacio de estados es requerido para representar la red. El desaf´ıo ahora es la identificaci´on de los par´ametros A, B y C que representen a la red

σx = Ax + Bu

y = Cx (4.1)

donde x ∈ Cⁿ y son llamadas las variables de estado. u ∈ C^p es el vector de entradas en el sistema. A ∈ C^nxn, B ∈ C^pxn y son matrices que describen las leyes f´ısicas del modelo. y ∈ C^mes el vector de salidas y C ∈ R^mxnes la matriz de salidas.

Aunque en la literatura existen varios enfoques para poder analizar y representar los circuitos el´ectricos, el enfoque que se utiliza en este trabajo es basado en la teor´ıa de grafos.

La teor´ıa de grafos nos permite representar la conectividad de la red el´ectrica [27].

Además, es útil para determinar qué variables de la red (voltajes, corrientes) se pueden utilizar para caracterizar de forma única el comportamiento de la red. En particular, usamos un punto de vista de grafos que revela las propiedades topológicas de una red eléctrica a través de una representación de las leyes de Kirchhoff en términos de matrices de corte básicas.

Un grafo es un par de conjuntos que abarcan vértices o nodos (barras en sistemas eléctri- cos), denotados por {x1, x₂, .., x_n} ; y aristas (arcos o ramas) que conectan pares de nodos, denotados por {e₁, e₂, .., e_m} . El grafo puede ser dirigido o no dirigido según el conjunto de cortes, que se pueden dar como pares de nodos ordenados o no ordenados, respectivamente.

En este trabajo, se utilizan grafos orientados para representar redes eléctricas, donde las variables subyacentes (voltajes y corrientes) están dotadas de una dirección (flujo de corriente, polaridad) desde el nodo i al nodo j. Por lo tanto, una red de distribución se puede representar mediante grafos dirigidos ya que los flujos de corriente están definidos por la condición de estado estable. El grafo de una red contiene una serie de caminos cerrados donde la corriente puede circular. Si un conjunto de ramas en el grafo original es suficiente en número para

18

(30)

conectar todos los nodos sin bucles, entonces se denomina subgrafo o árbol. Los elementos que se eliminan del grafo original para obtener el árbol se denominan enlaces y las ramas que quedan en el subgrafo se denominan ramas de árbol. En general, el número de enlaces (`) más el número de ramas de árboles (b) es igual al número de aristas (e). Además, un árbol siempre tiene n − 1 ramas de árbol, donde n indica el número total de nodos [17]. Un grafo dado puede tener muchos árboles diferentes.

Agregar un enlace a un árbol produce una malla única, de esta manera las corrientes se pueden identificar como corrientes de malla. Además, se debe tener en cuenta que la dirección positiva de la corriente del bucle se define como la misma que la del enlace cuya inserción en el árbol lo hizo aparecer. Las corrientes de rama se pueden expresar de forma única como superposiciones (combinaciones lineales) de la corriente de malla. Podemos representar eficientemente estas superposiciones (o equivalentemente las mallas) mediante una matriz de malla L. Concretamos estas afirmaciones mediante un ejemplo utilizando el grafo de la Figura 4.1.

(a) Grafo (b) Direcci´on de las mallas en el grafo

Figura 4.1: Grafo

El grafo de la Figura 4.1a posee 5 nodos, por lo que el árbol poseerá 4 ramas. Además se tiene 8 aristas o ramas en total. El árbol escogido para este ejemplo está conformado por las ramas {e5, e₆, e₇, e₈} y los enlaces {e₁, e₂, e₃, e₄}. As´ı mismo, como se indica en la Figura 4.1b al insertar un enlace se crea una malla la cual vendrá dada su dirección positiva por el mismo enlace insertado. Por ejemplo, al insertar e₁ se crea la malla i₁ cuyo sentido positivo será igual a las manecillas del reloj. De esta forma podemos construir la matriz de mallas L de dimensiones ` × e, donde ` es el número de mallas únicas o enlaces del grafo y e es el número de ramas total del grafo. Cada fila de la matriz L representa el recorrido de una malla, de esta forma podemos definir la matriz L como sigue:

L_ij =







1, si la rama j pertenece a la malla i y su orientaci´on coincide

−1, si la rama j pertenece a la malla i y su orientaci´on no coincide 0, si la rama j no pertenece a la malla i

As´ı, para el ejemplo tenemos la matriz L como sigue

(31)

L =







1 0 0 0 1 −1 0 0

0 1 0 0 0 1 −1 0

0 0 1 0 0 0 −1 −1

0 0 0 1 −1 0 0 −1







La ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) se puede escribir en t´erminos de voltajes (V) 0 = LV

Adem´as, KVL se puede escribir en t´erminos de los voltaje de rama (V_`) y sus fuentes independientes Vsde manera que

0 = L(V_`+ V_s)

Los voltajes de rama a la vez, podemos ponerlos en funci´on de la corriente y la reactancia que posee la l´ınea siendo V` = ZL^TJ, en donde (J) son las corrientes de rama y Z las reactancia de la l´ınea. Se obtiene

0 = LZL^TJ + LVs (4.2)

aqu´ı Z es la matriz de reactancias primitivas, definida por

Z =







Z1 0 · · · 0 0 Z₂ . .. ...

... . .. ... ...

0 · · · 0 Z_k







donde Z_n,nes la reactancia correspondiente a la rama n en la red para n = 1, 2, 3, ..., k. Note que J es el vector de corrientes de rama, para poder hallar todas las corrientes de la red se aplica la combinación lineal ya que las corrientes de enlace están en función de las corrientes de rama J, as´ı tenemos

J_` = L^TJ (4.3)

donde J_`es el vector de corrientes de todas la red, incluyendo corrientes de ramas y corrientes de enlace.

Teniendo en cuenta el modelo de la red (4.2) debemos encontrar una forma similar de espacio de estados. La ecuación (4.2) es la solución anal´ıtica de la red en estado estable, es decir que no posee dinámica. Sin embargo, en situaciones prácticas esto no ocurre. Por esta razón, lo siguiente es buscar una manera de representar la dinámica de la red para poder representar esta en espacio de estados, tomando en cuenta el modelo de la forma (4.1) y el modelo de la red (4.2) podemos definir los parámetros A, B, u como

0 = LZL^T

| {z }

A

J

|{z}x

+ L

|{z}

B

V_s

|{z}u

Si consideramos que el sistema es estable entonces σx − x = 0 podemos decir que σx − x = Ax + Bu

(32)

que despejando obtenemos la representaci´on en espacio de estados como σx = (A + I)x + Bu

donde I es la matriz identidad. Adem´as, tenga en cuenta que se ha elegido las corrientes de rama como la variables de estado.

Finalmente, en t´erminos del modelo de la red se obtiene 4.4 σJ = (LZL^T+ I)

| {z }

A

J

|{z}

x

+ L

|{z}

B

V_s

|{z}

u

(4.4)

Hasta este punto se ha logrado la representación de la dinámica de la red en espacio de estados en el dominio de tiempo continuo, el siguiente paso es la discretización de este modelo, por esto la siguiente sección trata a cerca de como discretizar un modelo de esta forma.

4.2. Discrectizaci´on de un Modelo Lineal Continuo

El modelo lineal (4.1) admite una discretización exacta con respecto a una periodo de muestreo h. La solución en el dominio del tiempo del sistema en espacio de estados (4.1) está dada por

x(t) = e^At^¯ · x(0) + Z t

0

e^{A(t−τ )}^¯ B · u(t)dτ¯

= e^At^¯ · x(0) + ¯A⁻¹(e^Ah^¯ − I) ¯B · u(t);

Asumiendo que h es lo suficientemente peque˜no, tal que el valor de x y d permanezcan constantes, se obtiene

x(h) = x(0) + ¯A⁻¹(e^Ah^¯ − I) ¯B · u(0);

Esta ecuaci´on puede ser generalizada para cualquier tiempo t_i ∈ R, y una condici´on inicial x(ti), con x(ti+1) = x(ti+ h), i=1, 2, 3,.... Lo que conlleva a

x(t_i+1) = e^Ah^¯ · x(t_i) + ¯A⁻¹(e^Ah^¯ − I) ¯B · u(t_i);

Finalmente podemos formular el siguiente modelo en espacio de estado de la peque˜na se˜nal

σx = A · x + B · u; (4.5)

donde el estado incremental es una función de tiempo discreto, as´ı: x : N → Cⁿ y u : N → R; σ representa el operador de desplazamiento que actúa sobre x(tⁱ), definiendo as´ı σx(t_i) = x(t_i+1), A := eÂh^¯ , B := ¯A⁻¹(eÂh^¯ − I) ¯B. Note que, para fines de notación ¯A y B son matrices del modelo lineal en tiempo continuo; mientras que, A y B son las matrices¯ discretizadas.

(33)

4.3. Observadores de estado

En muchos de los sistemas no todas las variables de estado est´an accesibles para medirse.

Entonces, se necesita estimar las variables de estado que no están disponibles. La estimación de variables de estado a partir de las que si están disponibles se denomina observador.

Por lo que podemos decir que un observador de estado es un subsistema para reconstruir el vector de estados de la planta.

En el análisis que sigue se denotara al observador de estado como ˆx. Sea el sistema definido mediante (4.5). El modelo matemático del observador es básicamente lo mismo que el sistema original con la diferencia que el observador posee un término que posee el error del estimador, que es la diferencia entre la salida medida y la salida observada.

De esta forma se define el modelo matem´atico como:

σ ˆx = Aˆx + Bu + K_e(y − C ˆx) ˆ

y = C ˆx (4.6)

La matriz K_e, que se llama matriz de ganancia del observador, es una matriz de pon- deración al término de corrección que involucra la diferencia entre la salida medida y y la salida estimada C ˆx. Este término corrige de forma continua la salida del modelo y mejora el comportamiento del observador.

4.4. Filtro de Kalman

Convencionalmente, en la literatura sobre sistemas de potencia, dado que el estado de la red son los fasores de voltaje en coordenadas rectangulares, estos tambi´en se eligen como estado de filtro. Por el contrario, en este trabajo, las variables de estado son los fasores de corriente, esto nos permite que las mediciones no sean tan sensibles a los cambios de frecuencia ni arm´onicos en la red (Ver, [4]).

El Filtro de Kalman nombrado as´ı en honor a Rudolf E. Kalman quien publicó su famosa investigación “A new approach to linear filtering and prediction problems” [21]. El filtro se construye como un minimizador de error cuadrático medio, pero también se proporciona una derivación alternativa del filtro que muestra cómo se relaciona el filtro con las estad´ısticas de máxima verosimilitud. El propósito de filtrar es extraer la información requerida de una señal, ignorando todo lo demás. La eficacia de un filtro para realizar esta tarea se puede medir mediante una función de costo o pérdida. De hecho, podemos definir el objetivo del filtro como la minimización de esta función de pérdida.

Teniendo un sistema discreto de la forma como 4.5, las ecuaciones que caracterizan al filtro de Kalman en un tiempo k son

K = P⁰C^T(CP⁰C^T+ R)⁻¹ ˆ

x = ˆx⁰+ K(y − Cˆx⁰) P = (I − KC)P⁰

σ ˆx⁰ = Aˆx + Bu

(34)

σP = APA^*+ Q

En donde, ˆx es el vector de estado en el tiempo k con dimensión (n×1). A es la matriz de transición de estado del proceso del estado en k al estado en k + 1, y se supone estacionaria en el tiempo, con dimensión (n×m) y (A^∗) representa la matriz transpuesta conjugada, ya que A es una matriz compleja. P es la covarianza del error asociada a la estimación, con dimensión (m × m). K es la matriz de ganancias de Kalman con dimensión (n × m); R es la matriz de covarianza del ruido de las mediciones estacionaria en el tiempo, H es la matriz que indica la relación entre el vector de estado y el vector de medición si es libre de ruido, y se supone estacionaria en el tiempo (m × n); Q es la covarianza del ruido del proceso estacionaria en el tiempo. Usamos el operador de desplazamiento σ, que actúa sobre una variable de tiempo discreto (muestreada) de la misma forma que se definió en el cap´ıtulo 3.

Si reescribimos nuestra representación del modelo de la red discretizado descrito en la sección 4.1, ecuación(4.4) es

σJ = (LZL^T+ I)J + LV_s+ w

Lo que deseamos realizar con el Filtro de Kalman es estimar el estado J ∈ Cⁿde la red cuyo modelo es lineal y discreto en el tiempo a partir de un conjunto de medidas y ∈ C^m.

y = CJ + v

Note que se ha añadido el término w que representa el ruido del proceso que sigue una distri- bución gaussiana p(w) ∼ N (0, Q) y v que es el ruido que posee la medición, la cual posee una distribución gaussiana p(v) ∼ N (0, R).

Hablando en t´erminos de nuestro estimador, se utiliza el Filtro de Kalman para estimar el estado completo de la red a partir de m mediciones en la red. Estas mediciones deben garantizar la observabilidad del sistema. A partir de estas mediciones, se obtiene los fasores y

∈ C^m mediante el algoritmo dPLL. Partiendo de estas mediciones podemos estimar todos los estados ˆJ ∈ Cⁿ. Las ecuaciones de nuestro estimador son

K = P⁰C^T(CP⁰C^T+ R)⁻¹ J = ˆˆ J⁰+ K(y − C ˆJ⁰)

P = (I − KC)P⁰ σ ˆJ⁰ = (LZL^T+ I) ˆJ + LV_s σP = (LZL^T+ I)P(LZL^T+ I)^*+ Q

4.4.1. Simulaci´on

Para entender mejor a continuación se muestra una simulación de la estimación que realiza el Filtro de Kalman a partir de mediciones (fasores) de una red de prueba en estado estable. Por simplicidad y sólo con el objetivo de ilustrar el uso del estimador se ha utilizado el circuito que se muestra en la Figura 4.2. El código que se ha usado se encuentra en el

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Figura 4.2: Simulaci´on: ejemplo de estimaci´on

Anexo B. Lo primero es obtener la representaci´on de la red en espacio de estados. Se tiene los siguientes par´ametros para modelar la red

L =1 0 1 0 1 −1

Z =





5 0 0

0 14 − 13j 0

0 0 3 + 4j



 V_s =−20j 0 0^T

Con un punto de medición se puede estimar los otros puntos. Para este ejemplo, y con fines de entender mejor se ha tomado el punto 2. En las Figuras 4.3, 4.4 y 4.5 podemos observar los resultados del estimador, calculándonos la magnitud y ángulo para este ejemplo.

Figura 4.3: Simulación: estimación de j1, fase y ángulo de otros puntos de la red

Figura 4.4: Simulación: estimación de j2, fase y ángulo de otros puntos de la red