CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA

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CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA

República Bolivariana de Venezuela La Universidad del Zulia

Facultad de Ingeniería Ciclo Básico

Departamento de Física Asignatura: Física II

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Del Capítulo 7 del Libro “Interacción Eléctrica” del Profesor Douglas Figueroa Volumen 5 – Serie: FÍSICA Para Ciencias e Ingeniería

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INTRODUCCIÓN 1

En este capítulo se desarrollan aspectos relacionados con fuerza electromotriz, resistencia interna y voltaje terminal, las reglas de Kirchhoff, circuitos resistivos de mallas múltiples, y circuitos con resistores y capacitores .

En este trabajo encontrarán Los Principios Fundamentales del Tema “Circuitos de Corriente Directa”, que representa parte del Capítulo 7 del Libro

“Interacción Eléctrica”, de la Serie: FÍSICA Para Ciencias e Ingeniería, Volumen 5, del Profesor de la Universidad Simón Bolívar, Dr. Douglas Figueroa. Esta serie está dirigida a estudiantes de los cursos introductorios de Física Universitaria.

El Profesor Figueroa presenta en cada uno de sus libros, tres secciones:

Principios Fundamentales, Problemas Resueltos y Verifica tu Comprensión.

Con la sección de Principios Fundamentales, el autor presenta la teoría, que es expuesta en forma lógica, clara y concisa, tratando de destacar los conceptos básicos y las leyes generales, para permitir una rápida revisión.

Estos Principios Fundamentales se presenta bajo este formato digital, con la intención de captar la atención del estudiantado que está inmerso en el mundo de las TIC's, y que puede tomar este trabajo como herramienta de estudio para su curso de Física II. Cada diapositiva cuenta con animación para que cada estudiante lleve la secuencia en la que debe leer el contenido.

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CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA 1

Ahora que estamos familiarizados con los principios básicos de la corriente eléctrica, y la manera cómo los capacitores y resistores influyen sobre el flujo de las cargas, aplicaremos estos conocimientos al estudio de circuitos.

Los circuitos prácticos a menudo contienen un gran número de elementos resistivos, capacitivos e inductivos, conectados en redes a las fuentes de energía, mediante alambres idealizados sin resistencia.

Para analizar estas redes en forma sistemática, se usan las llamadas reglas de Kirchhoff, las cuales son una consecuencia directa de las leyes de conservación de la carga y de conservación de la energía.

En este capítulo analizaremos circuitos eléctricos de corriente eléctrica, llamados así porque la corriente en cualquier punto fluye en un sólo sentido.

Primero veremos circuitos sencillos constituidos únicamente por baterías y resistores, en los cuales la corriente no varía con el tiempo. Luego pasaremos a considerar circuitos que contienen además, capacitores y en los cuales, la corriente es una función del tiempo.

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Fuente: INTERACCIÓN ELÉCTRICA. PRINCIPIOS, PREGUNTAS Y PROBLEMAS RESUELTOS. Douglas Figueroa. Volumen. 5 – Serie: Física Para Ciencias e Ingeniería. 4ta Edición, p. 302. Caracas, 2 005. p.p. 358.

CIRCUITOS ELÉCTRICOS 2

Un circuito es una agrupación de elementos eléctricos que están conectados mediante alambres idealizados sin resistencia, de una manera específica en una trayectoria cerrada.

Para producir una corriente eléctrica en el circuito, es imprescindible el uso de una fuente de energía, conocida como fuente de fuerza electromotriz (fem).

La fuente de fem mantiene una diferencia de potencial entre dos puntos del circuito para provocar el movimiento de cargas, de manera análoga a como una bomba mantiene una diferencia de presión para forzar el agua a circular en una tubería.

El campo eléctrico que produce la fem en un circuito, se propaga por los diferentes elementos, y en respuesta a estos campos se originan cambios complicados en las distribuciones de cargas.

Después de un cierto tiempo se establece una condición de equilibrio, para la cual a lo largo del tiempo no cambian ni las corrientes ni las cargas acumuladas en distintos sitios (estado estacionario).

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LA FUERZA ELECTROMOTRIZ 3

La fuente fem es cualquier dispositivo que convierta en energía eléctrica cualquier energía de origen no electrostático, que puede ser mecánica, térmica, electromagnética o química.

En un batería química la energía proviene de reacciones químicas entre dos electrodos hechos de metales diferentes que se sumergen en una solución conocida como electrolito.

En un generador electromagnético la energía resulta de la acción de un campo magnético sobre cargas móviles. En una celda solar la fem proviene de la energía de la luz del sol. Los sistemas biológicos incluyendo el corazón humano funcionan también como fuente de fem.

El término fuerza electromotriz se sigue utilizando por

razones históricas, pero no se refiere a una fuerza

sino que representa un trabajo por unidad de carga.

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LA FUERZA ELECTROMOTRIZ 4

Se define como el trabajo dW realizado para llevar una carga positiva dq desde el terminal negativo al positivo, por unidad de carga:

Es importante distinguir entre los conceptos de fem y diferencia de potencial. Una diferencia de potencial está asociada solamente con un campo electrostático (que es conservativo). En cambio, la fem está asociada con algún mecanismo no electrostático que provee la energía requerida para mover los portadores de carga.

La fem se mide en voltios: Un voltio es 1 Joule/coulomb.

dq

 dW



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BATERÍA REAL Y SU RESISTENCIA INTERNA 5

La corriente en el circuito depende de ambas resistencias;

la interna r, y la externa R:

Una fuente de fem ideal sería aquella que pudiese mantener una diferencia de potencial constante entre sus terminales, sin importar el valor de la corriente que se le demande.

Sin embargo, toda fuente real siempre ofrece resistencia al movimiento interno de cargas y puede ser modelada como una combinación de una batería ideal en serie con dicha resistencia interna, r.

El voltaje entre los terminales de la batería real sería igual a su fem (V

_AB

= ε) únicamente cuando dichos terminales están abiertos .

Cuando se le conecta a la batería una resistencia externa, R, circulará una corriente I, y habrá una caída de potencial en la resistencia interna de la batería. Por lo tanto, el voltaje terminal entre A y B será menor que la fem:

r I R

I

V

_AB

     

r I R

  

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Fuente: INTERACCIÓN ELÉCTRICA. PRINCIPIOS, PREGUNTAS Y PROBLEMAS RESUELTOS. Douglas Figueroa.

Volumen. 5 – Serie: Física Para Ciencias e Ingeniería. 4ta Edición, p. 303 y 304. Caracas, 2 005. p.p. 358.

ANALIZANDO CIRCUITOS 6

Hagamos un recorrido por el circuito anterior, siguiendo la dirección de la corriente y partiendo del borne A de la batería, al cual asignamos el potencial cero. Para una carga q que entra a ese punto, la fuente de fem eleva su potencial, en ε (voltios) aumentando así su energía potencial en q·ε (Joules).

En la resistencia r, de la batería (considerándola como si estuviera separada de la fem), la carga pierde energía potencial y cuando llega al borne B el potencial ha caído en una cantidad I·r (voltios).

Los alambres de conexión no tienen resistencia y el potencial se mantiene constante hasta llegar a la resistencia externa R. En esta resistencia, el potencial cae de nuevo, esta vez en una cantidad I·R.

A la salida de R, el potencial tiene un valor que se mantiene constante a lo largo del alambre y es igual al potencial del borne A. De esta manera, después de haber completado el recorrido alrededor del circuito A → B → A, la carga regresa a su potencial electrostático original.

En conclusión, en cualquier viaje completo alrededor del circuito, la suma algebraica de todas las subidas y caídas de potencial, es cero: ε – I·R – i·r = 0.

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REGLAS DE KIRCHHOFF 7

El resultado anterior se aplica a cualquier trayectoria cerrada de un circuito eléctrico y se le conoce como la regla de Kirchhoff de las mallas:

1. Regla de las mallas: La suma algebraica de los cambios de potencial a través de todos los elementos alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser cero.

Esto es consecuencia de la conservación de la energía.

En efecto, si multipliquemos ambos miembros de la ecuación anterior por I, encontramos:

Desde el punto de vista energético, esta relación significa que la potencia generada por la batería (ε·I) es igual a la suma de las potencias disipadas por las dos resistencias.

La segunda regla de Kirchhoff se refiere a la conservación de la carga en los puntos de unión de tres o más conductores (o nodos):

r I R I I

r I R I

I























2 2

2

0 



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REGLAS DE KIRCHHOFF 8

2. Regla de los nodos: Para cualquier nodo

la suma algebraica de las corrientes debe ser cero.

De no ser así, habría acumulación o desaparición de carga en el nodo y modificaría el campo eléctrico, lo cual estaría en desacuerdo con la suposición de estado estacionario.

Para aplicar la regla de los nodos, el signo que se le asigna a una corriente que entra al nodo debe ser contrario al de una corriente que sale del mismo.

Así para el nodo mostrado en la figura, si se

asignan signos positivos a las corrientes que

entran I

₁

e I

₃

, entonces las corrientes que salen I

₂

e I

₄

, serían negativas.

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CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA VOLTAJES ΔV 9

Una vez que se han asignados los sentidos a las corrientes, podemos aplicar la regla de las mallas escribiendo los cambios de potencial, ΔV en cada elemento, con sus signos respectivos que dependerán del sentido en que se va recorriendo dicha malla.

• Si se recorre un resistor en el sentido de la corriente, encontramos una caída de potencial (ΔV

= – I·R

).

• Si se recorre un resistor en sentido contrario a la corriente, encontramos una subida de potencial (ΔV

= + I·R

).

• Si se recorre una fem el sentido de su polaridad de (+) a (–), encontramos una caída de potencial (ΔV

= – ε

).

• Si se recorre una fem el sentido de su polaridad de (

–

) a (+), encontramos una caída de potencial (ΔV = +

ε

).

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Volumen. 5 – Serie: Física Para Ciencias e Ingeniería. 4ta Edición, p. 305 y 306. Caracas, 2 005. p.p. 358.

CIRCUITOS DE MALLAS MÚLTIPLES 10

Resolver un circuito consiste generalmente en determinar ciertas incógnitas, tales como corrientes, voltajes o cargas, cuando se conocen ciertos parámetros del circuito.

A tal efecto, es conveniente seguir el siguiente procedimiento:

1. Se asignan símbolos y sentidos arbitrarios a las corrientes en las diversas ramas.

2. Se aplica la regla de los nodos para obtener relaciones entre las corrientes en las uniones.

3. Se aplica la regla de las mallas a tantas mallas como sea necesario.

4. El número de ecuaciones independientes debe ser igual al número de incógnitas. Se resuelven las ecuaciones simultáneas para hallar las cantidades desconocidas.

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CIRCUITOS DE MALLAS MÚLTIPLES 11

UN EJEMPLO: Supongamos que conocemos los valores de las fem y de las resistencias del circuito anterior, y deseamos hallar las corrientes. Los pasos a seguir serán:

1. Se asignan arbitrariamente los sentidos a las corrientes I₁, I₂ e I₃ en cada rama.

2. Se aplica la regla de los nodos al nodo N: Las corrientes I₁ e I₂ entran y las llamamos positivas, mientras que I₃ sale y la llamamos negativa. Se obtiene así la ecuación (1). Si consideramos el nodo, M, no se consigue ninguna información adicional ya que conduce a la misma ecuación.

3. Escribimos la ecuación para las mallas adoptando el sentido horario de recorrido. Para la malla A resulta la ecuación (2). Para la malla B resulta la ecuación (3). Si consideramos la malla C, externa, arrojaría una ecuación que es combinación lineal de las dos anteriores.

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CIRCUITOS DE MALLAS MÚLTIPLES 12

4. Para hallar las tres incógnitas se resuelve el sistema de las tres ecuaciones independientes. Por ejemplo, si despejamos I

₁

e I

₂

de las ecuaciones (2) y (3) y las sustituimos en la ecuación (1), se obtiene la ecuación (4). Luego se reordena esta expresión para despejar I

₃

.

Finalmente, se pueden determinar las corrientes I

₁

e I

₂

por sustitución de I

₃

en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente.

Los sencillos requieren de pocas ecuaciones

lineales simultáneas, las cuales pueden resolverse

por los métodos usuales de sustitución y

eliminación de variables. Cuando se maneja un

gran número de mallas, el trabajo puede resultar

sumamente tedioso y es más conveniente el

método de las corrientes circuitales.

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MÉTODO DE CORRIENTES CIRCUITALES 13

Este método consiste en asignar corrientes independientes a cada malla.

Así, en el ejemplo mostrado las corrientes circuitales I_A e I_B circulan independientemente en sus respectivas mallas en sentido horario.

En la malla A, la batería produce una subida de potencial (+ε₁). La corriente I_A produce una caída de potencial total: – (R₁+R₃)·I_A, en tanto que en esa misma malla la corriente IB produce una subida de potencial + R3·IB. La ecuación de Kirchhoff es:

Aplicando criterios similares a la otra malla:

Observe que la corriente que antes llamábamos I₃ es ahora (I_A – I_B). Esto asegura que se cumple la regla de los nodos y el problema se reduce a resolver dos ecuaciones simultáneas (en lugar de tres).

  ⁰

:

A 

₁

 R

₁

 R

₃

 I

_A

 R

₃

 I

_B



Malla 

0 )

(

:

B 

₂

 R

₃

 I

_A

 R

₂

 R

₃

 I

_B



Malla 

 



₂ ₃



₂

3

1 3

3 1































B A

I R

R I

R

I R I

R

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MÉTODO DE CORRIENTES CIRCUITALES 14

La ventaja de este método, es evidente en circuitos de muchas mallas, ya que conduce a ecuaciones matriciales sencillas para las corrientes, que se pueden resolver por la Regla de Kramer:

Se observa que estos resultados son idénticos a los que se obtuvieron por el primer procedimiento si llamamos:

 

3 2 3 1 2 1

3 2 3 2 1

3 2 3

3 3

1

3 2 2

3 1

R R R R R R

R R

R

R R R

R R

R

R R

R I_A















 

















   



 

3 2 3 1 2 1

3 1 3 1 2

3 2 3

3 3

1

2 3

1 3

1

R R R R R R

R R

R

R R R

R R

R R I_B















 



















   



B A B

A

I I I I I

I

₁

 ,

₂

  e

₃

 

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CIRCUITOS RC 15

En nuestra discusión de los capacitores no hemos considerado los efectos temporales en los procesos de carga y descarga.

La situación es diferente cuando en el circuito están presentes resistores, ya que en cada instante habrá caídas de potencial que regulan el proceso, haciendo que las cargas varíen en forma gradual (efectos transitorios).

Cuando un condensador es conectado directamente a una fuente ideal mediante alambres ideales, adquiere una carga Q = C·V en forma instantánea (Fig. a).

De manera similar, si un capacitor tiene una carga

inicial Q

₀

y le corto-circuitamos sus terminales, esta

carga desaparecerá instantáneamente (Fig. b).

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CARGA DE UN CAPACITOR 16

Consideremos el proceso de carga de un capacitor C conectado en serie con un resistor R. Si en el instante t = 0 cerramos el interruptor S, de acuerdo a la regla de Kirchhoff, la suma algebraica de los voltajes de la batería (ε), en el resistor (I·R) y en el capacitor (Q/C), es cero:

Como la corriente es I = dQ/dt, de la ecuación anterior queda:

Separando los términos de las variables carga y tiempo:

 0





 C

R Q

 I

 0





 C

Q dt R dQ



1  _ _ ^ ^ _ ^ 

 



 

 dt

C R C

Q dQ C

R dt C

Q dQ



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CIRCUITOS RC 17

Después de integrar se obtiene:

Es decir:

La constante de integración c₁ se determina por la condición inicial: Q (0) = 0, de modo que: c1 = –ε·C:

  ¹ ^ln

₁

ln c

C C R

Q 

 





 

  ^t ^C ^c ^e

^R^t^C

Q    

₁



^ ^

  _



 



 





^^R^^C

t

e C

t

Q  1

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CIRCUITOS RC 18

Derivando esta expresión encontramos la corriente en función del tiempo

El producto R·C que aparece en la exponencial tiene dimensiones de tiempo y se denomina constante de

tiempo.

Esta constante, determina una escala temporal de la duración de los procesos de carga o descarga de los circuitos

R·C.

Si la tasa inicial del proceso de carga se mantuviese constante, entonces el capacitor alcanzaría su carga total en el tiempo  = R·C .

 

^R^t^C

^e

^R^t^C

e R C C R

dt t dQ

I  

^ ^

 

^ ^



 





 





  ¹ 

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DESCARGA DE UN CAPACITOR 19

Si el capacitor tiene una carga inicial Q₀ y lo conectamos a una resistencia, de acuerdo a la regla de mallas de Kirchhoff podemos escribir:

La corriente del circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga del condensador (I = – dQ/dt). Así se obtiene una ecuación en Q solamente:

Esta ecuación diferencial es muy común en física, y expresa que la tasa de variación , dQ/dt, de una cantidad física, Q, es proporcional a la cantidad misma. La integración es inmediata:

 0



 R I C

Q

 0



 C

Q dt

R dQ

 ^dQ _Q ^ ^ _R ¹ _ _C ^  ^dt ^ ^ln ^Q ^ ^ _R ¹ _ _C ^ ^ln ^c

²

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DESCARGA DE UN CAPACITOR 20

La constante de integración c

₂

se determina por la condición inicial: Q(0)=Q

₀

, es decir: c

₂

= Q

₀

.

La corriente durante la descarga es:

  ^t ^Q ^e

^R^t^C

Q 

₀



^ ^

  ^e

^R^t^C

C R

Q dt

t dQ

I 

^ ^

 





⁰

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Dr. Douglas Figueroa, PhD

Profesor Titular en el Departamento de Física de la Universidad Simón Bolívar.

Ha publicado más de 30 trabajos en revistas internacionales arbitradas en las áreas de Transporte Iónico, RMN y Relajación Dielétrica en Sólidos.

Fue profesor e investigador visitante en la U.S. Naval Academy, Annapolis, MD. Coordina el programa de Demostraciones de Física en la USB. Ha sido miembro del Comité Nacional de la Olimpiada Venezolana de Física (CENAMEC) y delegado en Olimpiadas Iberoaméricas de Física.

Galardonado con las siguientes distinciones: Premio Simón Rodríguez de la Asociación de Profesores de la USB a la Excelencia a la Docencia (1992), Premio Anual de la USB a la Labor Docente (1997), Premio anual de la USB al Mejor Libro de Texto (1997), Premio USB – Procter & Gamble a la Excelencia Docente (1997), Premio Anual a la Destacada Labor Docente, USB (1999).