Expresiones racionales

Expresiones racionales

MATE 0008

Departamento de Matemáticas

UPRA

EXPRESIONES RACIONALES

En las matemáticas, la palabra “racional” se asocia a expresiones con forma de fracción;

o sea que tienen un numerador y un denominador.

𝑎 𝑏

Expresiones en las cuales el numerador y el denominador son polinomios se conocen como las expresiones racionales.

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Veamos algunos ejemplos.

2 2

3 5

y x

y x





5 2

9 x 

x x x



b c

a

c ab

10 3

8 4

2 3







5 2

2 3

2ⁿ

 n

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Manejar expresiones racionales

• Al manejar expresiones racionales debemos saber realizar las mismas operaciones que hacemos con las fracciones:

• Simplificar

• Sumar

• Restar

• Multiplicar

• Dividir

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Evaluar una expresión racional

• En una expresión racional podemos sustituir la(s) variable(s) por cualquier valor excepto por aquellos que producen 0 en el denominador.

• Ejemplo: Evaluar la expresión ^4𝑥+3

𝑥−2 para x=3

• Ejemplo: Evaluar la expresión

5−𝑥

para x=0

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Dominio de una Expresión Racional

• Al conjunto de valores numéricos que producen un valor distinto de 0 en el denominador al sustituirse por la variable en una expresión racional , se le llama el dominio de la expresión.

• Ejemplo: Determinar el dominio de la expresión

2 4 3



 x

x Observamos que

x + 2 = 0 si

x = -2.

Por lo tanto el dominio de esta expresión es el conjunto de todos los números reales distintos de -2.

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Dominio de una Expresión Racional

• Al conjunto de valores numéricos que producen un valor

distinto de 0 en el denominador al sustituirse por la variable en una expresión racional , se le llama el dominio de la expresión^.

• Ejemplo: Determinar el dominio de la expresión 2

4 3



 x

x

Solución: Observamos que x + 2 = 0 si x = -2.

Por lo tanto el dominio de esta expresión es el conjunto de todos los números reales distintos de -2.

= {x R | x ≠ -2}.



 







 2

4 3

x

Dom x

En notación de conjunto, escribimos −∞, −2 ∪ −2, ∞ .

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Ejemplo: Determinar el dominio de

n n

2 5

8 2





Observamos que 5 – 2n = 0

si

-2n = -5.

𝑛 = −5

−2 𝑛 = 5

2

Dominio de una Expresión Racional

= {n  R | n ≠

𝟐

}.















 n n

2 5

8 2 ²

Dom

En notación de conjunto, escribimos

−∞, 5

2 ∪ 5

2 , ∞

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Ejemplos: Determinar el dominio de

n a n



 5

8 ) 2

2

Dominio de una Expresión Racional

15 45

) 8



 p b p

4 ¹ ₅ ^{2 3}

II. Simplificar Expresiones Racionales

• Existe una propiedad de la aritmética, que establece que:

 0

 , c b

a bc

ac

Esta es la propiedad que utilizamos para simplificar fracciones y obtener fracciones equivalentes entre si.

.

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Simplificar expresiones racionales

• Por ejemplo:

27  21

A este proceso de eliminar factores repetidos en un numerador y un denominador se conoce como simplificación, reducción o minimalización de expresiones racionales.

) )(

(

) )(

(

3 9

3 7

9

 7

4 ¹ ₅ ^{2 3}

• Con las expresiones racionales hacemos algo similar cuando factorizamos los polinomios en el numerador y en el denominador, para luego eliminar los factores en común:

3 2

3

12 6

a

a a 

1. Factorizar el numerador y el denominador

2. Realizar la simplificación

 

3 2

3

12 6

a

a a

3

2 6

a

) a

(

a 

2

2 2

a

) a

( 



Esta simplicificación es posible porque asumimos que la variable a nunca es cero.

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Simplificar cada expresión

9 12 ) 4

2



 x a x

2 3

2 ) 2

2 3





 x x

x b x

30 ) 25

2

2





 y y

c y

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Práctica I.

• Determine el dominio de cada expresión racional.

1)

2)

3) 4)

1 1 3



 a

a

11 2 5



 n

n

 y 7

3

8 3 4x 

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Práctica I - Soluciones

• Determine el dominio de cada expresión racional.

1)

2)

3) 4)

1 a

1 a 3





11 2 5



 n

n

y 3 7

3

 8

3 4x 

Dom ^{𝟑𝒂+𝟏}

𝒂−𝟏 {a R | a ≠ 𝟏}, −∞, 𝟏 ∪ 𝟏, ∞

Dom ^{𝟓+𝟐𝒏}

𝒏+𝟏𝟏 {a R | n ≠ -𝟏𝟏} , −∞, −𝟏𝟏 ∪ −𝟏𝟏, ∞ .

Dom ^𝟑

𝟕−𝟑𝒚 {y R | y ≠ ^𝟕

𝟑} , −∞,^𝟕

𝟑 ∪ ^𝟕

𝟑, ∞ .

Dom ^{𝟒𝒙+𝟑}

𝟖 {x R}, −∞, ∞ .

4 ¹ ₅ ^{2 3}

Práctica II.

9 3

2

2



 x

ax ax

2 4

3 2 5

3

20

15 10

y x

y x y

x 

18 9

14 7



 x x

• Simplifique completamente las expresiones racionales.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

5 2

3 6

n n n 

4 11

3

12 7

2 2









r r

r r

2 3

3 5

x x

x x





4 ¹ ₅ ^{2 3}

Práctica II - Soluciones

1) o

2) ⁷

9

3)

4)

5)

6) o

3

 x

ax

2 2

4

) 3 2

(

x xy

y 

n3

6 n 

1 r 3

3 r





1 x

) 1 x

( x ²





2 3

4

3 2

x

y xy 

1 x

x x³





Práctica II