IV. Variables Aleatorias Continuas y sus Distribuciones de Probabilidad

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IV. Variables Aleatorias Continuas y

sus Distribuciones de Probabilidad

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Se dice que una variable aleatoria X es continua si su

conjunto de posibles valores es todo un intervalo (finito o infinito) de números reales.

Por ejemplo, una v.a. continua puede ser el tiempo de

retraso con el que un alumno o un profesor llega al aula de clases ó también el peso o la estatura de los estudiantes de la FE.

Variable Aleatoria Continua

Definición

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 P  a  X  b f X x dx

La función de densidad de una variable aleatoria continua

La función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida sobre el

conjunto de los números reales, sí:

1.- f(x)  0  x  R



2.- f (x)dx  1

3.- P a  X  b  P a  X  b  P a  X

b

 b 

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La función de densidad de una variable aleatoria continua

C Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad, como lo ilustra la figura 4.1 La gráfica de f (x), se conoce a veces

como curva de densidad.

C Esto es, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo

[a, b] es el área bajo la gráfica de la función de densidad, como

lo ilustra la figura. La gráfica de f(x), se conoce a veces como

curva de densidad.

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1. f (x)  0 , x

2.  f X x dx  1

x

1

Note además que P(X = c) = 0, para cualquier número real c.

La función de densidad de una variable aleatoria continua

Propiedades

Para una v.a. X , f X (x) satisface las siguientes propiedades:



3. P x 1  X

x

2

 x 2 

f X x dx

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La función de densidad de una variable aleatoria continua

C Ejemplo

C Un profesor de la UNAM nunca termina su clase antes del término de la hora, más nunca se pasa de 2 minutos de ésta.

Sea X : el tiempo que transcurre entre el término de la hora y el término efectivo de la clase. Suponga que la fdp de X viene dada por:

f X x   kx 2 0  x  2

 0 d . o. m.



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La función de densidad de una variable aleatoria continua

1. Encuentre el valor de k.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a

menos de un minuto después del término de la hora?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 segundos después del término de la hora?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo

menos 90 segundos después del término de la hora?

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La función de densidad de una variable aleatoria continua

 0 2 

a) ) f X x dx  0 dx  kx 2 dx 0

dx

  0 2

(9)

k x 3 3

2

 8 k

0 3

Como  

 f X x dx  1  8

3 k  1  k  3 8

b) P X  1 1 3 2

0 8

 x dx  1

8 x

1



0

1

8  0,125

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La función de densidad de una variable aleatoria continua

c) P 1X 1,5  1,5

1  8 x dx 2  1

8 x

3 2

19

64  0, 2969 d) P X 1,5  1,5 8 2 3 x 2 dx  1 1,5 0 8 3 x 2 dx

 1  1

8 x

3 2

 1  27

64

37

64  0, 5781

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De la definición de función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua se deducen las propiedades siguientes:

1.- F(∞) = 0 2.- F(∞) = 1

3.- P( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = F(x 2 )  F(x 1 ) 4.- dF (x) 

dx f (x)

Función de Distribución Acumulada

La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X, con una función de densidad f(x) es:

F(x)  P(X  x)  f (s)ds

para    x  

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Función de Distribución Acumulada

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Función de Distribución Acumulada

Se ilustra el cálculo de probabilidades entre a y b como una diferencia entre las probabilidades acumuladas en la fda (“áreas”).

Cálculo de P a  X  b  a partir de las probabilidades

acumuladas.

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Esperanza Matemática

Esperanza Matemática

E( X ) 



Significado de la esperanza

Como valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida de centralización.

  x f (x)dx

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x). Se llama esperanza matemática o valor esperado, valor medio o media de X al número real.



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Esperanza Matemática

Ejemplo: La distribución de la cantidad de grava (en toneladas) vendida a una empresa en particular proveedora de materiales para la construcción, en una semana dada, es una v.a. X continua con fdp:

f X x   3 1  x 2

  2

0  x 1

 0

de otra manera

¿Cuántas toneladas esperarías que se vendan durante esa

semana?

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Esperanza Matemática

2

Por definición tenemos:

 1

3

E X  x  f X x dx 0 x  3 1x 2 dx  0, 375

8

Lo cual significa que esperaríamos que se vendieran 0,375 [Ton] ó 375 [kg] de grava a la empresa proveedora de materiales para la construcción.

Solución:

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Esperanza Matemática

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Varianza

Definición

Medida del cuadrado de la distancia promedio entre la media y cada elemento de la población.

Sea X una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad f(x) y media . La varianza de X es calculada por medio de:

2  E( X ) 2   (x 



 ) 2 f (x)dx



x 2 f (x) dx  2

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Varianza

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Distribución Normal: Ejemplos y ejercicios resueltos.

Una distribución normal de media

µ

y desviación típica

σ

se designa por

N (µ, σ).

Su

gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Esto es porque la probabilidad de que un suceso ocurra entre todas las posibilidades es un 100%, o sea

1

. La integral, entre menos y más infinito, de la función de densidad de probabilidad es

1.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

Esta función de densidad de probabilidad tiene una expresión parecida a

: .

La distribución Normal o curva Normal de Gauss es

: . ½ .

En ésta función C es el valor que hace posible que se cumpla que

1.

El valor de C es:

Entonces, para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso, entre

-∞

y

a

, sólo hay que

calcular:

=

½

Esto representa el área debajo de la campana de Gauss para los valores menores que a.

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Podría suceder que no se quiera calcular esta integral en todos los ejercicios. Para evitar su cálculo, existen tablas donde la integral ya está calculada.

Pero para cada valor de la media

µ

y para cada valor de la desviación estándar

σ

se

necesitarían tablas diferentes. Son demasiadas.

Para evitar esto, se hace una sustitución o cambio de variable. Eso lo veremos ahora.

Distribución normal estándar N (0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero,

µ =0

, y por desviación típica la unidad,

σ =1

.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla, que se encuentra al final de este repartido.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(µ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

cambio de variable.

X Z

Promedio o media µ 0

1 desviación standard µ + σ 1

2 desviaciones standard µ + 2σ 2

3 desviaciones standard µ + 3σ 3

1 desviación standard µ - σ -1

2 desviaciones standard µ - 2σ -2

Por ejemplo, hagamos el cambio de variable para entonces queda:

X = + µ 3 σ

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( 3 ) 3 X 3

Z µ µ σ µ σ

σ + σ σ

= = = =

Si tenemos un ejercicio con valores de X,

µ

y

σ

hacemos el cambio de variable y encontramos Z, luego vamos a la tabla y con el valor de Z hallamos la probabilidad = área.

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

La tabla (al final de este repartido) nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada. Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

En la tabla de valor de k se ubican las unidades y décimas en la columna de la izquierda y las centésimas en la fila de arriba.

Ejemplo 1. La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente con media 18,7ºC y desviación standard 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21ºC.

Resolución.

µ = 18,7ºC σ = 5ºC X = 21ºC

, ,

0,46

Ahora vamos a la tabla y para el valor de Z = 0,46 tenemos que la probabilidad es de 0,6772.

Con los datos

X

µ σ

Con Z vamos a la

tabla y hallamos la

probabilidad.

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¿Pero qu Justamen Z = 0,46.

Z de 0,46 Sucesos m Con la va

Ejempl y desviac por encim Resoluc este ejerc Este ejerc de que oc de que oc Ejempl Ahora se Ayuda 1:

Ayuda 2:

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e probabilid nte, esta tabl . Esto es, la 6 es 0,6772.

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lo 2. La tem ción standar ma de 21ºC.

ción: Prim cicio 2 es di

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mero, hay qu iferente al ej complement peraturas m peraturas m

es la probab guar la prob ico ……

ilidad de qu la temperat

hemos averi orciona la p dad de que o n 67,72 %.

es lo mismo temperatura

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ue leer bien ejercicio 1?

tario del ant enores que ayores ser

bilidad de q babilidad de

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o. ¿Se ha fij nuevo.

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772 = 0,32

eratura sea peratura sea

mayor de 21 s de 32,28 %

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C.

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Ejemplo 4. La media de los pesos de 5000 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, “hallar cuántos estudiantes”

pesan menos de 60 kg.

Resolución.

µ = 70Kg. σ = 3 Kg. X = 60Kg.

3,33

¿Y cómo buscamos en la tabla un número negativo?

El valor negativo sólo nos está diciendo que estamos por debajo de la media. Pero en la tabla todos los valores de Z son positivos. ¿Entonces?

La probabilidad de que Z sea menor que

-a

, en el dibujo de la izquierda, es igual que la probabilidad de que Z sea mayor que

a

, en el dibujo de la derecha.

Pero nuestra tabla sólo nos proporciona la probabilidad de que Z < algo. Entonces, mirando el dibujo de la derecha, buscamos la probabilidad de que

Z<a

, que es la parte amarilla, y luego calculamos su complemento, con

1 – (resultado anterior).

Mirando la tabla para

Z = 3.33

, queda que la probabilidad es de

0,9996.

Entonces,

P(Z>3,33) = 1 - 0,9996 = 0,0004. = P (Z < - 3,33)

Esto es, el 0,04 % de los 5000 estudiantes pesan menos de 60 Kg. Son 2 estudiantes.

Observación: ¿Qué opina respecto a la pregunta: “calcular el número de estudiantes”?

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Distribu

P(Z <

P(Z >

P(Z <

ución No

a)

a) = 1 - P

−a) = 1 −

ormal: Re

P(Z< a)

− P(Z< a

epaso y ej

a)

jemplos. ..

Tiene mism ento prob es la

en la ma área,

nces la abilidad

misma.

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P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

(27)

Ejercicios resueltos.

Ejercicio 1)

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

¿Qué opina de este último renglón? ¿Cómo se puede escribir de forma correcta?

(Aclaración: el resultado es el correcto, pero algo está mal escrito…….. )

Ejercicio 2)

La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

i)

. Entre 60 kg y 75 kg.

f

ii)

.Más de 90 kg.

iii)

Menos de 64 kg.

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iv)

64 kg exactamente.

v)

64 kg o menos.

Ejercicio 3)

Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

a). ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

b) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

c) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la prioridad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

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Ejercicio 4)

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

Ejercicio 5)

Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

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b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

c) En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

(Hay algo mal escrito…..)

Algunas partes de este repartido fueron tomadas del sitio web

http://www.vitutor.net/1/55.html

el día 26/08/2015.

(31)

Tabla de Distribución Normal Standard = Áreas bajo la Curva Normal

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 3 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

(32)

DISTRIBUCION T DE STUDENT

Jorge M. Galbiati

Funci´on de densidad:

f (x) = Γ

k+1 2

 Γ

k/2 · 1

√(kπ) · 1

 1 + xk2

k+12 para x ∈ (−∞, +∞)

Espacio param´etrico: Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...}

Valor esperado: 0 para k > 1 Varianza: k−2k para k > 2

Funci´on generadora de momentos: no existe

0 x f(y)

y F(x)

TABLA DE DISTRIBUCION T DE STUDENT

La tabla entrega valores de la cuantila z para valores dados de probabilidad acumu- lada F (x) =x

−∞f (y)dy.

Los valores de probabilidad acumulada son: Desde 0.55 hasta 0.95, variando en 0.050;

0.975; 0.990; 0.995; 0.9975; 0.999; 0.9995.

Los valores de los grados de libertad son: De 1 a 30; de 35 a 100 variando en 5; 110;

de 120 a 200 variando en 20; 300; 400; 500; 1000.

(33)

VALORES DE PROBABILIDAD MENORES QUE 0.5

Por la simetr´ıa de la distribuci´on t de student , rige la igualdad F (−x) = 1−F (x).

Por esa raz´on, la tabla s´olo tiene probabilidades mayores que 0.5, asociadas a cuan- tiles positivos.

Si se requiere el cuantil asociado a una probabilidad acumulada P menor que 0.5, se ingresa a la tabla el valor de probabilidad acumulada 1− P ; al correspondiente cuantil x obtenido de la tabla se le pone signo menos, quedando −x como el cuartil requerido.

APROXIMACION NORMAL DE LA T DE STUDENT

Si una variable aleatoria X tiene distribuci´on t de student con k grados de libertad, entonces si k es grande la variable aleatoria X tiene distribuci´on aproximada normal standard.

En consecuencia, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´on t de student, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla normal el valor FN(x) , en que FN es la distribuci´on normal standard. Se puede utilizar, como criterio, la condici´on k > 200 .

(34)

TABLA DE DISTRIBUCION T DE STUDENT

Grados de

Libertad Probabilidad acumulada

0.550 0.600 0.650 0.700 0.750 0.800 0.850 0.900 1 0.158 0.325 0.510 0.727 1.000 1.376 1.963 3.078 2 0.142 0.289 0.445 0.617 0.816 1.061 1.386 1.886 3 0.137 0.277 0.424 0.584 0.765 0.978 1.250 1.638 4 0.134 0.271 0.414 0.569 0.741 0.941 1.190 1.533 5 0.132 0.267 0.408 0.559 0.727 0.920 1.156 1.476 6 0.131 0.265 0.404 0.553 0.718 0.906 1.134 1.440 7 0.130 0.263 0.402 0.549 0.711 0.896 1.119 1.415 8 0.130 0.262 0.399 0.546 0.706 0.889 1.108 1.397 9 0.129 0.261 0.398 0.543 0.703 0.883 1.100 1.383 10 0.129 0.260 0.397 0.542 0.700 0.879 1.093 1.372 11 0.129 0.260 0.396 0.540 0.697 0.876 1.088 1.363 12 0.128 0.259 0.395 0.539 0.695 0.873 1.083 1.356 13 0.128 0.259 0.394 0.538 0.694 0.870 1.079 1.350 14 0.128 0.258 0.393 0.537 0.692 0.868 1.076 1.345 15 0.128 0.258 0.393 0.536 0.691 0.866 1.074 1.341 16 0.128 0.258 0.392 0.535 0.690 0.865 1.071 1.337 17 0.128 0.257 0.392 0.534 0.689 0.863 1.069 1.333 18 0.127 0.257 0.392 0.534 0.688 0.862 1.067 1.330 19 0.127 0.257 0.391 0.533 0.688 0.861 1.066 1.328 20 0.127 0.257 0.391 0.533 0.687 0.860 1.064 1.325 21 0.127 0.257 0.391 0.532 0.686 0.859 1.063 1.323 22 0.127 0.256 0.390 0.532 0.686 0.858 1.061 1.321 23 0.127 0.256 0.390 0.532 0.685 0.858 1.060 1.319 24 0.127 0.256 0.390 0.531 0.685 0.857 1.059 1.318 25 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.316 26 0.127 0.256 0.390 0.531 0.684 0.856 1.058 1.315 27 0.127 0.256 0.389 0.531 0.684 0.855 1.057 1.314 28 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.855 1.056 1.313 29 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.311 30 0.127 0.256 0.389 0.530 0.683 0.854 1.055 1.310 35 0.127 0.255 0.388 0.529 0.682 0.852 1.052 1.306 40 0.126 0.255 0.388 0.529 0.681 0.851 1.050 1.303 45 0.126 0.255 0.388 0.528 0.680 0.850 1.049 1.301 50 0.126 0.255 0.388 0.528 0.679 0.849 1.047 1.299 55 0.126 0.255 0.387 0.527 0.679 0.848 1.046 1.297 60 0.126 0.254 0.387 0.527 0.679 0.848 1.045 1.296 65 0.126 0.254 0.387 0.527 0.678 0.847 1.045 1.295 70 0.126 0.254 0.387 0.527 0.678 0.847 1.044 1.294 75 0.126 0.254 0.387 0.527 0.678 0.846 1.044 1.293 80 0.126 0.254 0.387 0.526 0.678 0.846 1.043 1.292 85 0.126 0.254 0.387 0.526 0.677 0.846 1.043 1.292 90 0.126 0.254 0.387 0.526 0.677 0.846 1.042 1.291 95 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.042 1.291 100 0.126 0.254 0.386 0.526 0.677 0.845 1.042 1.290 180 0.126 0.254 0.386 0.525 0.676 0.844 1.039 1.286 140 0.126 0.254 0.386 0.526 0.676 0.844 1.040 1.288 1000 0.126 0.253 0.385 0.525 0.675 0.842 1.037 1.282

(35)

DISTRIBUCION T DE STUDENT (2)

Grados de

Libertad Probabilidad acumulada

0.950 0.975 0.990 0.995 0.998 0.999 0.9995 1 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6 2 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60 3 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92 4 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 5 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 6 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 7 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 8 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 9 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 10 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 11 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 12 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 13 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 14 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 15 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 16 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 17 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 18 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 19 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 20 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 21 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 22 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 23 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.768 24 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 25 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 26 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 27 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 28 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 29 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 30 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 35 1.690 2.030 2.438 2.724 2.996 3.340 3.591 40 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 45 1.679 2.014 2.412 2.690 2.952 3.281 3.520 50 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 55 1.673 2.004 2.396 2.668 2.925 3.245 3.476 60 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 65 1.669 1.997 2.385 2.654 2.906 3.220 3.447 70 1.667 1.994 2.381 2.648 2.899 3.211 3.435 75 1.665 1.992 2.377 2.643 2.892 3.202 3.425 80 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416 85 1.663 1.988 2.371 2.635 2.882 3.189 3.409 90 1.662 1.987 2.368 2.632 2.878 3.183 3.402 95 1.661 1.985 2.366 2.629 2.874 3.178 3.396 100 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 140 1.656 1.977 2.353 2.611 2.852 3.149 3.361 180 1.653 1.973 2.347 2.603 2.842 3.136 3.345 1000 1.646 1.962 2.330 2.581 2.813 3.098 3.300

(36)

U

UNNIIVVEERRSSIIDDAADDESESTTAATTAALLDEDE SSOONNOORRAA RÚBRICA

NOMBRE DEL CURSO:

CLAVE DEL CURSO : FASE(S) EN LA QUE SE UTILIZA LA RÚBRICA :

EJERCICIO : INVESTIGACIÓN DE CONCEPTOS

FASE ESPECÍFICA QUE SE EVALÚA:

FECHA LIMITE DE ENTREGA :

FECHA REAL DE ENTREGA : NOMBRE DEL ALUMNO:

ASPECTOS A EVALUAR

Competente sobresaliente (10)

Competente avanzado (9)

Competente intermedio (8)

Competente

básico (7) No aprobado (6) Contenido Contiene el 100%

de los conceptos solicitados.

Contiene el 90% de los conceptos solicitados

Contiene por lo menos el 80% de los conceptos solicitados

Contiene por lo menos el 70% de los conceptos solicitados.

Contiene menos del 70% de los conceptos solicitados.

Definiciones Las definiciones son lógicas, correctas y claras.

La mayoría de las definiciones son lógicas, correctas y claras.

Algunas de las definiciones tienen problemas de lógica, o claridad, o son incorrectas.

Algunas fallas en la definición de conceptos, ponen en duda la calidad de algunos mensajes que se quieren transmitir

Muestra serias fallas en los conceptos y palabras, haciendo incomprensible las definiciones.

Síntesis Excelente capacidad de síntesis, para poder plasmar las palabras acerca de conceptos esenciales

Buena capacidad

de síntesis, para poder plasmar las palabras acerca de conceptos

esenciales

Cierta capacidad de síntesis, aunque en ocasiones las definiciones detallan cosas que no son realmente importantes.

Poca

capacidad de síntesis, ya que no logra capturar lo esencial. Se excede el límite máximo.

Nula capacidad de síntesis, ya que incluye datos

intrascendentes.

(37)

Presentación Tiene una presentación clara y ordenada, usando

óptimamente el espacio y los recursos

Tiene una

presentación clara y ordenada, pero no utiliza

óptimamente el espacio y los recursos

Tiene una

presentación clara, pero no utiliza correctamente el espacio y los recursos

Tiene una

presentación poco clara y ordenada, que muestran poco cuidado con los detalles de

organización de los elementos dentro de la página

Tiene una presentación desordenada, que hace difícil entender la lógica de organización de los contenidos y la lectura de las ideas que se quieren comunicar

SUBTOTAL POR ESCALA

EVALUACIÓN FINAL DELDE

EJERCICIO

FECHA DE LA EVALUACIÓN

NOMBRE Y FIRMA DEL EVALUADOR

OBSERVACIONES

*En la columna en blanco, colocar una “X” dependiendo de la evaluación obtenida por cada aspecto a evaluar.

(38)

UNIVERSIDAD ESTATAL DE SONORA RÚBRICA

INSTRUCCIONES:

Fase(s) en la que se utiliza la rúbrica.- Fase o fases de la secuencia didáctica a la que corresponde el ejercicio.

Ejercicio.- Ejercicio realizado (especificar a detalle la realización del ejercicio solicitado, de manera que permita al evaluador tomar decisiones).

Fase específica que se evalúa.- Fase que se evalúa en el momento de la utilización de la rúbrica.

Fecha Límite.- Fecha límite de entrega del trabajo. Si es ejercicio en el aula y coevalaución se sugiere especificar fecha y hora.

Fecha Real de Entrega.- Fecha en la que el estudiante entregó su ejercicio o actividad.

Nombre del Alumno.- Alumno que realizó el ejercicio.

Aspectos a evaluar.- Aspectos a evaluar dependiendo del ejercicio.

Escala de evaluación:

Competente básico.- Realiza un desempeño mínimo aceptable de los saberes señalados en las rúbricas, bajo supervisión.

Competente intermedio.- Realiza un desempeño aceptable de los saberes señalados en las rúbricas, con independencia.

Competente avanzado.- Realiza un desempeño de excelencia en la mayor parte de los saberes señalados en las rúbricas de cada curso, mostrando independencia en su desarrollo.

Competente sobresaliente.- Considera un nivel de excelencia en el que se logran los estándares de desempeño de todos los saberes, de acuerdo a lo señalado en las rúbricas de cada curso, mostrando independencia en su desarrollo y apoyando a otros en el logro de los mismos.

Marcar con una “X” lo logrado por el estudiante en cada aspecto a evaluar.

La evaluación final del ejercicio, se obtiene por promedio aritmético simple, con los siguientes pasos:

Obtener la suma por cada escala de evaluación después de multiplicar por el valor indicado.

Obtener la suma total de las escalas de evaluación y dividirla entre el número de aspectos a evaluar.

Los aspectos a evaluar pueden ser ponderados.

Figure

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Referencias