Transferencia de Calor

1

Transferencia de Calor

Introducción:

La termodinámica estudia la relación entre el calor y otras formas de energía

Sistema

Medio L>0 Q>0

L>0 L

Q E_Sistema  



12

Donde:

U E

E

E  _potencial  _cinetica



Donde:

2

Introducción:

Pero la Termodinámica no estudia:

-Con que velocidad ocurre la transferencia de calor.

-Como sucede la transferencia de calor.

Si hay un T transferencia de energía en forma de calor  es esencial conocer la distribución de temperaturas para conocer el flujo de calor.

A este proceso se lo conoce como “Transferencia de Calor”.

3

La Ciencia de TRANSFERENCIA DE CALOR estudia el transporte de

energía bajo la influencia de una no homogénea distribución de energía bajo la influencia de una no homogénea distribución de temperatura.

Hay tres formas básicas Transferencia:

Hay tres formas básicas Transferencia:

-Conducción -Convección

Radiación

-Radiación

4

Conducción:

Transporte de calor a través de un continuo de masa.

Existen dos mecanismos:

-Interacción Molecular -Electrones Libres

La velocidad de conducción se expresa a través de la relación empírica llamada ley de Fourier (1822):y ( )

dx A dT dt K

dQ  

dQ/dt= Tasa de transferencia dT/dx = Gradiente de Temp. en x.

A= Área normal al gradiente de T.

K= Cte = “Conductividad Térmica”, se determina experimentalmente, depende del material, de la temperatura y en materiales politrópicos de la dirección.

5

Conductividad Térmica:

6

Convección:

Involucra el intercambio de calor entre un fluido en movimiento y una superficie.

Existen dos clases de procesos convectivos:

-Convección Forzada

-Convección Natural o Libre

La relación empírica para la transferencia por convección se conoce como ley p p p y de Newton (1701):

 T

erficie

T

fluido



A h

Q 

_sup



Donde:

- Q = Tasa de transferencia de calor.

- A = Superficie de contacto.

- Ts - Tf = diferencia de temperatura.

- h = “Coeficiente pelicular”, depende de (fluido, régimen, temperatura, rugosidad).

7

Coeficiente pelicular o

de transferencia de calor:

8

Radiación:

El mecanismo de transferencia de calor por radiación es la transferencia de energía por ondas electromagnéticas (Teoría de Maxwell).

La ley básica de radiación para cuerpos negros es la ley de Stefan- Boltzman:

Todas las sustancias emiten radiación como resultado de su temperatura absoluta y son también capaces de absorber energía.

T

4

A Q  

Donde:

- Q = Tasa de transferencia de calor.

A = Superficie de intercambio - A = Superficie de intercambio.

- T = Temperatura absoluta.

-  = Constante de Stefan-Boltzman (5.67*10^-8 w/(m²K⁴))

Su contribución es solo importante a altas temperaturas.

9

El calor y la temperatura.MP4

10

Conducción

Si llamamos “q” a la tasa de flujo de calor, es decir Calor por unidad de tiempo y por unidad de área, y un medio isotrópico, la ley de Fourier queda para tres dimensiones:

x K T q

_x



 



y K T q

_y



 



 T z K T q

_z



 



11

Conducción

Ecuación diferencial de la conducción del calor:

La distribución de temperaturas en un medio puede determinarse a partir

d l l ió d l ED d t di i i d d

de la solución de la ED cuando se somete a condiciones apropiadas de frontera:

Tasa neta de calor que entra por conducción

al x y z

Tasa de calor generado en el x y

z

Tasa de aumento de energía interna

de x y z

+ =

12

Llegamos a:

C T T q

T K T K

K

_{i p}



 

 



 











 

 

 











 

 

 











 

Donde: T=T(x,y,z,t) q_i=q_i(x y z t)

q t z

z y

y x

x 

^{i p}



 

 

 

 

 

 

 

 



“Ecuación general de la conducción del calor” 

q_i q_i(x,y,z,t)

C_p=C_p(x,y,z,t) K=K(x,y,z,t)

Ecuación general de la conducción del calor . 

se obtiene el campo de temperaturas en función de x, y ,z , y t.

13

Casos Particulares:

a) Si “K” y “C_p” no varían con la posición y la temperatura:

t T K

q z

T y

T x

T

_i



 

 

 



 





 1

2 2 2

2 2

2

 T 1

t T K

T q

ⁱ



 



 

2

1

Donde:

C

p

K

  

“Difusividad Térmica”

14 b) Si no hay fuentes de calor + a):

Casos Particulares:

t T T



 

 

2

1

“Ecuación de Fourier”

c) Si el sistema esta en estado estacionario o estable + a):

2

  0

 K

T q

ⁱ “Ecuación de Poisson”

d) Si el sistema es estable + no hay fuentes de calor + a):

d) Si el sistema es estable + no hay fuentes de calor + a):

2  0

 T

“Ecuación de Laplace”

15

Ecuación diferencial de la conducción del calor en coordenadas cilíndricas:

t T K

q z

T T

r r

T r

r

T

_i



 

 

 



 



 









1 1

1

2 2 2

2 2 2

2

Donde: T= T (r,,z,t)

16

Condiciones de Frontera:

Existen tres tipos o clases de frontera:

1) Condición de frontera de primera clase o de “Dirichlet”.

2) Condición de frontera de segunda clase o de “Neumann”.

3) Condición de frontera de tercer clase.

17 1) Condición de frontera de primera clase:

Condiciones de Frontera:

“Es cuando se especifica el valor o la distribución de la temperatura de una superficie límite”.

Ejemplo: (placa unidireccional, espesor L) L

T₀ T_L

 

^{x t x}

T y T  

^{x t x L}

T

^L

T

_{, 0}



_{0 , }



18 2) Condición de frontera de segunda clase:

“Es cuando se especifica el flujo de calor” por Fourier se especifica la

Condiciones de Frontera:

Es cuando se especifica el flujo de calor  por Fourier se especifica la derivada de la temperatura normal a la superficie límite

Ejemplo: (placa unidireccional, espesor L) L

 ,

T q

K 

^xt





q₀

0

0

q

K x

_x



 

_

Sí q

₀

=0  “condición de frontera homogénea de segunda clase 

Superficie aislada o condición de simetría.

19 3) Condición de frontera de tercer clase:

“Es cuando se somete la superficie limite a una transferencia de calor por convección con un medio de temperatura conocida” en la superficie límite:

Condiciones de Frontera:

convección con un medio de temperatura conocida  en la superficie límite:

Calor que entra a la frontera por

convección

= Calor que sale de la frontera por conducción

Ejemplo: (placa con convección a medio de T)

T₁ T₂ h₂

h₁

T_ T_

0 xx



₁



_{0 0}

1  





 





_{x x}

x K T T

T

h

O _{x L}

^h  ^{T T} 

_{x L}

x

K T

_

 

_{ }



 

_{2 2}

20

Conducción de calor en estado estacionario, en una dimensión:

Placas:

K=cte, sin generación de calor, en una dimensión, estable:

2

0

2



dx T

d

T₀ 0 ^L T_L x

Condiciones de borde de 1^erclase T_(x)=T₀ (en x=0) T_(x)=T_L (en x=L)

0 0

)

(

x T

L T

T

_x

T

^L

 



 



 



_x

 T T

_L



L A

Q

_{( )}

 K

₀



21 Cilindro hueco:

Conducción de calor en estado estacionario, en una dimensión:

K=cte, sin generación de calor, en una dimensión, estable:

1 0

2

2

 

dr dT r dr

T d

r₀ r_i r

T₀ T_i

Condiciones de borde de 1^er clase

T

_(r)

=T

_i

(en r=r

_i

) T

_(r)

=T

₀

(en r=r

₀

)

r



_i



_i

i i

r

T T T

r r r r

T 

₀

 

0 )

(

ln

ln 

₀



0 )

(

ln

2 T T

r r

K

Q L

_i

i

r

  

22

Analogía Eléctrica

Si se cumple TdC en una dimensión, estable, sin generación de calor, K constante y condición de frontera de 1^ertipo La tasa de transferencia de calor a través del sólido puede expresarse:

R Q

_(x)

  T

Donde “R” es la resistencia térmica del sólido.

a través del sólido puede expresarse:

Análogamente:

R I  V



Ejemplo: “Placa Plana, frontera 1^ertipo”

   

placa L L

x

R

T T T

L T A

Q

_{( )}

 K

₀

 

⁰



K A R

_placa

 L

Donde:

23 Si tenemos dos placas con unión molecular perfecta entre ambas 

“T_a2=T_b1”

T_a1

T_b1 T_a2

T

(a) (b)

a a a

a

K

q L T

T

₁



₂



Por continuidad del flujo de calor  “q_a= q_b”

L_a L_b T_b2

a a a

a^{1 2}

K

b b b b

b

K

q L T

T

₁



₂



Sumando m.a.m y despejando “q”:

 

A Q

K L K

L

T q T

b b a

a b

a



 

 



 



¹



²

24 Generalizando a “n” placas:

 

 ^{R R T R T}

^L

^R

_n



Q    

 

3

....

2 1

0

25 Si en x=0 y en x=L tenemos frontera de 3^er tipo:

T_a1

T T

(a) (b)

T_ T_

L 1

L_a

T_b1 L_b T_a2

T_b2



h_ h_

1 L





Ah

R  1

b b

b

AK

R  L

 T  T





a a

a

AK

R  L





Ah

R  1

 



 







R R R R

T Q T

b

a

 

 

26 Ejemplo: “Cilindro hueco”

r₀

r_i T₀

T_i

T_ h_ a

b





 r L h

R

2

i

 1

L K

r r R

a i

a

2 

ln

¹







 r L h

R

2

0

 1 L

K r r R

b o

b

2 

ln



1

27

Transferencia de calor desde superficies extendidas “Aletas”

“Para conocer el flujo de calor a través de la aleta, se requiere conocer su distribución de temperatura”

E ió d Al t di ió t d t bl

Ecuación de Aleta en una dimensión en estado estable:

x Ts

T

q_x q_x+x

A_x

S -Se supone Ts >T  Q>0

-Se supone A_x y T_x es constante en _x Haciendo un balance de energía para _x:

Tasa neta de calor ganado por conducción en

dirección x por _x + Tasa neta de calor ganado por convección a través de la superficie de _x

= 0

28 Llegamos a:

 

 

  A

_x

d K dT

d ^{  }  ^  ^{ 0}

 h T

_

T

_x

P

_x

dx dx

1) Si la sección transversal es constante  S, P y A = ctes:

  ⁰

2

2

 T

_

 T

_x



KA P h dx

T

d

29 2) Si la sección transversal es uniformemente variable:

2t_L 2t₀

H

L



₀

  

₀



₀



0

0  

 



 



 



  



 



 



 



 



   _

L P x P P

T K T

h dx

dT L A x A dx A

d

L x

L

30

Distribución de temperatura y flujo de calor en aletas de sección

transversal uniforme:

“Para obtener la distribución de temperaturas de la aleta debo resolver la E.D. aplicando apropiadas condiciones de frontera”







 y T T

KA

m

²

hP 

_{x x}

Si llamamos:

KA

2

0

2

2

 m

_x



dx

d  

La E.D. queda:

dx

31 a) Aleta infinitamente larga: (ambas fronteras de 1^er tipo)

Condiciones de borde T_(x)=T₀ (en x=0) T_(x)=T_L≈ T_ (en x=L)

mx mx

x

 C

₁

e

^

 C

₂

e



La solución recomendada es de la forma:

e ^

mx

  ₀



_x

 ₀ e



Y la tasa de calor se puede calcular de dos formas:

dx dx hP

AK d Q

L

x

x

^ 





_

0

0





 T T  PhKA Q 

₀



_

Eligiendo la primer ecuación y reemplazando el gradiente de temperaturas:

32 b) Aleta con flujo de calor despreciable en el extremo: (fronteras de 1^ery 2^do

tipo)

Condiciones de borde T_(x)=T₀ (en x=0)

Q_(L)≈ 0 d/dx=0 (en x=L)

 ^{L x}  ^{C senh m}  ^{L x} 

m

x

 C

₁

cosh  

₂





Q_(L) 0  d/dx 0 (en x L)

La solución recomendada es de la forma:

 

mL x L m

x

cosh

cosh

0

  



Y la tasa de calor:

mL PhKA

Q  

₀

tanh

33 c) Aleta con convección en el extremo: (fronteras de 1^ery 3^ertipo)

Condiciones de borde

T_(x)=T₀ (en x=0)

( L)

0

d h

K

 

La solución recomendada es de la forma:

(en x=L)

 0



h_{e x} K dx



 ^{L x}  ^{C senh m}  ^{L x} 

m

x

 C

₁

cosh  

₂





  ^{senh m}  ^{L x} 

mK x h

L

m

^e

 



 



 

 cosh





mL mK senh

mL h

^e

x

 

 



 



 

cosh



0



34

Rendimiento de Aletas

Q

real

aleta la

de traves a

real calor de

cia Transferen



 

ideal

a

esta a T Q

S si aleta la

de traves a

calor de

cia

Transferen 



,

0





0

h S Q

_ideal



_a

id l

l Q

Q  

S_a= Área externa de la aleta

ideal

real Q

Q 

35 Ejemplo: “Rendimiento de una aleta con Q→0 en x=L”.

H

2t

H

L

0

0



 PLh

h S

Q

_ideal



_a



mL PhKA

Q

_real

 

₀

tanh

mL mL

 tanh



36

aleta real

Q Eficacia  Q

Eficacia de Aletas

aleta

Q

base

f

Calor disipado por una aleta real

sup Q N

º

Q Q

aleta real primaria

erficie

total

 

      

_



 h A T T h S T T

Q

_{t 0 0 a}



₀

 ^ 



_a

t

h A S

Q 

_{0 0}



37

Ábacos para la determinación de “” en función de parámetros:

38

Ábacos para la determinación de “” en función de parámetros:

39

Aislación

Si se desea Q≈0  materiales con K

Propiedades a cumplir:

-Resistencia mecánica a la abrasión y vibraciones.

-Estabilidad dimensional.

-Resistencia al medio, penetración de vapor y humedad., p p y -Fácil instalación.

Tipos:

-Fibras (Nylon, Polyester, Vinyl), T≈amb.

Celulares o granulados (Poliestireno y Poliuretano) T>amb -Celulares o granulados (Poliestireno y Poliuretano),T>amb.

-Laminares

-Cerámicos, T>>amb.

40

Radio crítico del aislante

r_i T_i

r_a T₀ T_i

r_e h KK_a

Considerando frontera de 1^ertipo en el interior y de 3^ertipo con el aire circundante a T₀₀

 

0 0

R R

R

T Q T

aisl caño

i





 

 ^{T T} 

H

2  

₀

 

Hh r H

K r r H

K r r

T Q T

a a

e a i

e

i





 2

1 2

ln 2

ln

0





 

0 Porque K>>K_a

 

h r K

r r

T T Q H

a a

e a

i

ln 1

2

₀



 

Q = f(r_a)

q _a

41

1/h.r_a  cuando r_a y (ln r_a/r_e)/K_a cuando r_a 

“Hay dos mecanismos que compiten”

Existe un valor máximo de “Q” con el “r_a”

 

1 0 ln

0 2

₂⁰ ₂

 





 

 

 

 



 

 



a a a

a a e

a i a

a

h r

K r

r h

K r r

T T H K dr

dQ 

"

" radio crítico del aislante h

r

_{a crítico}

 K

^a





El objetivo es lograr que “r

_{a cri}

” este dentro de la cañería (r

_{a cri}

< r

_e

), de

esta manera garantizo que aumentando “r

_a

” aumenta la aislación 

debo jugar con el “K

_a

”