MATERIA: Sistemas digitales y periféricos SEMANA 1
TEMAS:
a) Sistemas de numeración
b) Conversiones entre los sistemas de numeración c) Sistema binario
¿Cómo se realiza la conversión un número en sistema decimal a al sistema binario?
Hay dos formas de realizar la conversión de un número decimal al sistema binario: el primero considerando los pesos de los números y el segundo realizando divisiones sucesivas por 2.
Veamos un ejemplo considerando los pesos de los números.
Conviene en este caso recordar una tabla con los pesos del número 2 que nos ayudará a realizar la conversión.
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
0.5 0.25 0.125
La tabla anterior contiene los pesos de las primeras 8 potencias del número 2.
Ejemplo. Convertir el número decimal 89.625 al sistema binario.
Usemos la tabla anterior para realizar la conversión.
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
Primero convertimos la parte decimal, para ello vamos colocando un 1 o un 0.
Colocamos un 1, debajo de la casilla siempre que el número no se pase del número que queremos convertir.
Queremos convertir el 89, no nos conviene poner un 1 debajo del 128, porque 128 es mayor a 89. Colocamos entonces 0 en la casilla del 128.
Nos vamos a la casilla del 64, nos conviene poner 1 en 64, porque 64 es menor al 89. Restamos a 89-64=25.
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1
Ahora necesitamos convertir el 25. No nos conviene poner 1 en 32, porque 32 es mayor a 25, entonces colocamos 0 en 32.
Nos vamos a la casilla del 16, nos conviene porque 16 es menor de 25. Restamos 25-16=9
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1
Ahora necesitamos convertir el 9. Nos conviene poner un 1 en 8, porque 8 es menor que 9. Restamos 9-8=1
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1 1
Ahora necesitamos convertir el 1. Lógicamente, no nos conviene por 1 en el 4 ni en el 2, ya que son mayores a 1. Entonces colocamos 0 en 4 y 2. Y ponemos 1 en 1.
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1 1 0 0 1
Ya tenemos la parte entera, para la parte decimal procedemos de la misma forma.
Necesitamos convertir 0.625
Si vemos el valor de la primera casilla es 0.5 (2-1). Vemos que 0.5 es menor que 0.6, entonces colocamos 1 en el 0.5
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1 1 0 0 1 1
Nos vamos a la siguiente casilla cuyo valor es 0.25, pero si analizamos 0.5 más 0.25 es 0.75, 0.75 es mayor a 0.625, entonces no conviene poner 1 en 0.25, colocamos 0.
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
Nos vamos a la tercera casilla, que tiene de valor 0.125, analizamos que 0.5 más 0.125 es 0.625, entonces nos conviene poner 1 en el 0.125 27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
Con lo anterior tenemos la respuesta:
(89.625)10 = (1011001.101)2
Ahora veamos el mismo ejemplo (89.625), pero aplicando el método de divisiones sucesivas por 2.
En este método cada cociente resultante se divide entre dos hasta obtener un cociente cuya parte entera sea igual a 0. Los restos generados en cada división forman el número binario. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) del número binario y el último resto es el bit más significativo (MSB). Primero realizamos la conversión de la parte entera.
En este método es necesario realizar las divisiones obteniendo la parte entera y la parte sobrante.
Primero realizamos la conversión de la parte entera (89).
Explicación:
89 entre 2, es 44 como parte entera y sobra 1.
44 entre 2, es 22 como parte entera, no sobra nada, entonces es 0.
22 entre 2, es 11 como parte entera, no sobra nada, entonces es 0.
11 entre 2, es 5 como parte entera y sobra 1.
5 entre 2, es 2 como parte entera y sobra 1.
2 entre 2, es 1 como parte entera, no sobra nada, entonces es 0.
1 entre 2, es 0 como parte entera y sobra 1.
Termina la división porque el ultimo cociente entero es 0.
Si lo hacemos mediante una tabla:
División Parte entera
Resto (parte sobrante)
89/2 44 1
44/2 22 0
22/2 11 0
11/2 5 1
5/2 2 1
2/2 1 0
1/2 0 1
El número binario se forma tomando como MSB (Bits más significativo) la última división y el LSB (Bits menos significativo) la primera división (observa la línea roja).
La parte entera es: 1011001
Ahora realizamos la conversión de la parte decimal (0.625), solo que aquí no dividimos sino multiplicamos:
0.625 por 2, el resultado es 1.25, tomamos la parte entera como el acarreo.
0.25 por 2, el resultado es 0.5, no hay acarreo, ya que la parte entera es 0, entonces ponemos 0.
0.5 por 2, el resultado es 1.0, tomamos la parte entera como acarreo.
Se termina porque ya no hay parte decimal por multiplicar.
Multiplicación Resultado Acarreo 0.625 x 2 1.25 1
0.25 x 2 0.5 0
0.5 x 2 1.0 1
El número binario se forma tomando como MSB (Bits más significativo) la primera multiplicación y el LSB (Bits menos significativo) la última multiplicación (observa la línea roja).
La parte decima es: 0.101
La conversión final sería:
(89.625)10 = (1011001.101)2
¿Cómo se realiza la conversión de un número en sistema binario al sistema decimal?
Para realizar la conversión de un número en sistema binario al sistema decimal hacemos uso de la tabla de los pesos.
27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
128 64 32 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8
0.5 0.25 0.125 En la tabla de los pesos vamos colocando los dígitos binarios (0 y 1), y luego simplemente sumamos los pesos cuyos dígitos binarios sean 1.
Ejemplo. Convertir el numero binario 10111101.011 al sistema decimal.
Colocamos los dígitos binarios, considerando la línea roja como el punto decimal.
28 27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
Como la casilla de 28=256, queda vacía podemos agregarle un 0.
Ahora sumamos los pesos que tengan un 1 y descartando los que tengan 0. En este caso:
128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 + 0.25+ 0.125 = 189.375
El resultado sería:
(10111101.011)2 = (189.375)10
¿Cómo se realiza la conversión de un número en sistema binario al sistema hexadecimal y al sistema octal?
BINARIO – HEXADECIMAL: Para realizar la conversión de un numero en sistema binario al sistema hexadecimal simplemente se parte el número binario en grupos de 4 bits, comenzando por el bit más a la derecha, y se reemplaza cada grupo de 4 bits por su símbolo hexadecimal equivalente.
Para ello es necesario tener una tabla de equivalencia de los 16 símbolos hexadecimales.
Binario Hexadecimal 0000 0
0001 1 0010 2 0011 3 0100 4
0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F
Ejemplo. Convertir a hexadecimal el numero binario 111111000101101001.
Tenemos que separar el número binario en grupos de 4 bits.
11 1111 0001 0110 1001
Si vemos el último grupo solo le quedaron dos dígitos binarios, podemos rellenar con 0, para tener un grupo de 4 bits. Buscamos en la tabla de equivalencias los símbolos correspondientes.
Binario 0011 1111 0001 0110 1001
Hexadecimal 3 F 1 6 9
Entonces la conversión sería:
(111111000101101001)2 = (3F169)16
NOTA: Para realizar la conversión del sistema Hexadecimal a binario, se realiza el proceso inverso, reemplazando cada símbolo hexadecimal por un grupo de 4 bits.
BINARIO – OCTAL: Para realizar la conversión de un número en sistema
bits, comenzando por el bit más a la derecha, y se reemplaza cada grupo de 3 bits por su símbolo hexadecimal equivalente.
Para ello es necesario tener una tabla de equivalencia de los 8 símbolos octales.
Binario Octal 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7
Ejemplo. Convertir a hexadecimal el numero binario 1110101111.
Tenemos que separar el número binario en grupos de 3 bits.
1 110 101 111
Si vemos el último grupo solo le quedó un dígito binario, podemos rellenar con 0, para tener un grupo de 3 bits. Buscamos en la tabla de equivalencias los símbolos correspondientes.
Binario 001 110 101 111
Octal 1 6 5 7
Entonces la conversión sería:
(1110101111)2 = (1657)8
NOTA: Para realizar la conversión del sistema octal a binario, se realiza el proceso inverso, reemplazando cada símbolo octal por un grupo de 3 bits.
¿Cómo se realiza la suma de números binarios?
Para realizar la suma binaria es conocer las cuatro reglas básicas para sumar dígitos binarios:
Regla Descripción Suma Acarreo
0 + 0 = 0 Suma 0 con acarreo 0 0 0 0 + 1 = 1 Suma 1 con acarreo 0 1 0 1 + 0 = 1 Suma 1 con acarreo 0 1 0 1 + 1 = 10 Suma 0 con acarreo 1 0 1
Hay que observar que las tres primeras reglas dan lugar a un resultado de un solo bit y la cuarta regla, la suma de dos 1s, da lugar a 2 en binario (10).
Cuando se suman números binarios, teniendo en cuenta la última regla se obtiene en la columna dada la suma de 0 y un acarreo de 1 que pasa a la siguiente columna de la izquierda.
NOTA: No hay que olvidar que 1 + 1, no es 2 ya que estamos sumando números binarios.
Cuando existe un acarreo igual a 1, se produce una situación en la que se deben sumar tres bits (un bit de cada uno de los números y un bit de acarreo).
Tal como se observa en la siguiente tabla:
Regla Descripción Suma Acarreo
1 + 0 + 0 = 01 Suma 1 con acarreo 0 1 0 1 + 1 + 0 = 10 Suma 0 con acarreo 1 0 1 1 + 0 + 1 = 10 Suma 0 con acarreo 1 0 1 1 + 1 + 1 = 11 Suma 1 con acarreo 1 1 1
El digito en 1 en rojo, es bit de acarreo.
Ejemplo. Sumar los números binarios 11 + 01.
Explicación:
1. Sumamos 1 + 1, vemos la regla dice que 1 + 1, la suma es 0 y el acarreo es 1.
2. Sumamos 1 + 1 + 0, vemos por la tabla 2, 1 + 1 + 0, produce 10, donde la suma de 0 y 1 de acarreo.
3. Por último, bajamos el acarreo que ya no tiene con que sumarse.
El resultado de la suma es: 100
Ejemplo. Realizar la suma de los números binarios 111 + 110.
Explicación:
1. Sumamos 1 + 0, si vemos la regla dice que 1 + 0, la suma es 1 y 0 acarreo.
2. Sumamos 1 + 1, si vemos la regla dice que 1 + 1, la suma es 0 y 1 acarreo.
3. Sumamos 1 + 1 + 1, donde el primer digito es de carreo. En este caso al observar la segunda tabla, vemos que 1 + 1 + 1, produce una suma 1 y un acarreo 1.
4. Por último, bajamos el acarreo que ya no tiene con que sumarse.
El resultado de la suma es: 1101
