12deoctubrede2020 http://www.egormaximenko.com EgorMaximenko, (untemadelcurso“An´alisisfuncional”) Espacios L ,1 ≤ p < + ∞

(1)

Introducci´on Desigualdad de H¨older Desigualdad de Minkowski Espacios Lp _Completez

Espacios L

p

, 1 ≤ p < +∞

(un tema del curso “An´

alisis funcional”)

Egor Maximenko,

http://www.egormaximenko.com

Instituto Politécnico Nacional (México) Escuela Superior de F´ısica y Matemáticas

(2)

Introducción Desigualdad de Hölder Desigualdad de Minkowski Espacios Lp _Completez 1 _Introducci´_on 2 Desigualdad de Hölder 3 Desigualdad de Minkowski 4 _{Espacios L}p 5 Completez

(3)

Objetivos

Vamos a repasar los siguientes temas.

Demostraciones de las desigualdades de H¨older y Minkowski.

La definici´on de los espacios Lp(X , µ) y Lp(X , µ), para 1 ≤ p < +∞. Demostraci´on de la completez de Lp(X , µ).

(4)

Prerrequisitos

La desigualdad de Young y la desigualdad (α + β)p≤ 2p−1_(αp_{+ β}p_).

La desigualdad de Chebyshov–M´arkov.

Espacios cocientes de espacios normados y seminormados. La convergencia de Cauchy en medida,

existencia de una subsucesi´on convergente casi uniforme. El lema de Fatou.

(5)

Aplicaciones

El espacio L2 surge de manera natural en varios modelos de f´ısica, especialmente de mec´anica cu´antica.

La raz´on informal: la energ´ıa cin´etica involucra el cuadrado.

El espacio L1 es natural para estudiar la convoluci´on y sus aplicaciones.

El espacio L∞ es un ejemplo t´ıpico de ´algebra de von Neumann.

(6)

Funciones medibles

Sea (X , F , µ) un espacio de medida.

M(X , F , C) o brevemente M(X , F): funciones F-medibles X → C.

M(X , F , C) es un espacio vectorial complejo respecto a las operaciones punto a punto: (f + g )(x ) := f (x ) + g (x ), (λf )(x ) := λf (x ).

(7)

Funciones medibles

(8)

Funciones medibles

(9)

Funciones medibles

(10)

La seminorma extendida N

p

, 1 ≤ p < +∞

Sea p ∈ [1, +∞). Definimos M(X , F ) → [0, +∞], Np(f ) := Z X |f |pdµ 1/p .

Tambi´en se define Np(f ) para f ∈ M(X , F , [0, +∞]).

Ejercicio. Demostrar que Np es absolutamente homog´enea:

(11)

La seminorma extendida N

p

, 1 ≤ p < +∞

Sea p ∈ [1, +∞). Definimos M(X , F ) → [0, +∞], Np(f ) := Z X |f |pdµ 1/p .

Tambi´en se define Np(f ) para f ∈ M(X , F , [0, +∞]).

Ejercicio. Demostrar que Np es absolutamente homog´enea:

(12)

¿Cu´

ando N

p

(f ) = 0?

Proposici´on Sea f ∈ M(X , F , [0, +∞]). Entonces Np(f ) = 0 ⇐⇒ f ====== 0µ-c.t.p. X.

Demostraci´on de ⇐=. Supongamos que f ====== 0µ-c.t.p. X.

A := {x ∈ X : f (x ) 6= 0}. Entonces µ(A) = 0 y N_pp(f ) = Z X fpdµ = Z X \A fpdµ + Z A fpdµ = 0.

(13)

¿Cu´

ando N

p

(f ) = 0?

Proposici´on Sea f ∈ M(X , F , [0, +∞]). Entonces Np(f ) = 0 ⇐⇒ f µ-c.t.p. ====== 0X.

(14)

¿Cu´

ando N

p

(f ) = 0?

(15)

¿Cu´

ando N

p

(f ) = 0?

(16)

¿Cu´

ando N

p

(f ) = 0?

(17)

Introducción Desigualdad de Hölder Desigualdad de Minkowski Espacios Lp _Completez Demostración de =⇒. Supongamos que Np(f ) = 0. A := {x ∈ X : f (x ) > 0}, Bm:= x ∈ X : f (x ) ≥ 1 m .

Por la desigualdad de Chebyshov–M´arkov,

µ(Bm) = µ x ∈ X : fp(x ) ≥ 1 mp ≤ mp Z X fpdµ = 0. Como A =S∞ m=1Bm, µ(A) ≤ ∞ X m=1 µ(Bm) = 0.

(18)

(19)

(20)

(21)

Desigualdad de Young (repaso)

Sean a, b ≥ 0, p, q > 1, 1 p + 1 q = 1. Entonces ab ≤ a p p + bq q .

Ejercicio. Demostrar la desigualdad de Young usando la convexidad de la funci´on exp_R.

Ejercicio. ¿Cu´ando se alcanza una igualdad en la desigualdad de Young? Sugerencia: usar la convexidad estricta de exp_R.

(22)

Desigualdad de Young (repaso)

(23)

Desigualdad de Young (repaso)

(24)

Desigualdad de H¨

older para funciones medibles

Proposici´on

Sean f , g ∈ M(X , F , [0, +∞]), p, q > 1, 1_p+ 1_q = 1. Entonces

(25)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

Por demostrar: N1(fg ) ≤ Np(f )Nq(g ). Caso Np(f ) = 0: f µ-c.t.p. ====== 0X, luego N1(fg ) = 0. Caso Nq(g ) = 0: g µ-c.t.p. ====== 0X, luego N1(fg ) = 0.

(26)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

Por demostrar: N1(fg ) ≤ Np(f )Nq(g ). Caso Np(f ) = 0: f ====== 0µ-c.t.p. X, luego N1(fg ) = 0. Caso Nq(g ) = 0: g µ-c.t.p. ====== 0X, luego N1(fg ) = 0.

(27)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

(28)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

Por demostrar: N1(fg ) ≤ Np(f )Nq(g ). Caso Np(f ) = 0: f µ-c.t.p. ====== 0X, luego N1(fg ) = 0. Caso Nq(g ) = 0: g ====== 0µ-c.t.p. X, luego N1(fg ) = 0.

(29)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

(30)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

Por demostrar: N1(fg ) ≤ Np(f )Nq(g ). Caso Np(f ) = 0: f µ-c.t.p. ====== 0X, luego N1(fg ) = 0. Caso Nq(g ) = 0: g µ-c.t.p. ====== 0X, luego N1(fg ) = 0. Caso Np(f ) > 0, Nq(g ) > 0, Np(f ) = +∞ o Nq(g ) = +∞: el lado derecho es +∞.

(31)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, casos triviales

(32)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, el caso principal

Supongamos 0 < Np(f ) < +∞, 0 < Nq(g ) < +∞.

Aplicamos la desigualdad de Young ab ≤ a

p p + bq q con a = f (x ) Np(f ) , b = g (x ) Nq(g ) : f (x ) g (x ) Np(f )Nq(g ) ≤ 1 p fp(x ) Npp(f ) + 1 q gq(x ) Nqq(g ) (x ∈ X ).

Luego integramos sobre X respecto µ: 1 Np(f )Nq(g ) N1(fg ) ≤ 1 p Npp(f ) Z X fpdµ + 1 q Nqq(g ) Z X gqdµ = 1 p + 1 q = 1.

(33)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, el caso principal

(34)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, el caso principal

(35)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, el caso principal

Luego integramos sobre X respecto µ: 1 Np(f )Nq(g ) N1(fg ) ≤ 1 p Npp(f ) Z X fpdµ + 1 q Nqq(g ) Z X gqdµ = 1 p + 1 q = 1.

(36)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, el caso principal

(37)

Demostraci´

on de la desigualdad de H¨

older, el caso principal

(38)

Desigualdad de H¨

older para funciones medibles complejas

Proposici´on

Sean f , g ∈ M(X , F ), p, q > 1, 1_p+_q1 = 1. Entonces

N1(fg ) ≤ Np(f )Nq(g ).

Ejercicio (criterio de igualdad en la desigualdad de H¨older).

Demostrar que N1(fg ) = Np(f )Nq(g ) si, y solo si,

(39)

Desigualdad de H¨

older para funciones medibles complejas

Proposici´on

Sean f , g ∈ M(X , F ), p, q > 1, 1_p+_q1 = 1. Entonces

N1(fg ) ≤ Np(f )Nq(g ).

Ejercicio (criterio de igualdad en la desigualdad de H¨older).

Demostrar que N1(fg ) = Np(f )Nq(g ) si, y solo si,

(40)

Una desigualdad para (a + b)

p

Proposici´on

Sean a, b ≥ 0, 1 ≤ p < +∞. Entonces

(a + b)p≤ 2p−1 _ap_{+ b}p

.

Ejercicio. Demostrar esta propiedad usando la convexidad de la funci´on

(41)

Una desigualdad para (a + b)

p

Proposici´on

Sean a, b ≥ 0, 1 ≤ p < +∞. Entonces

(a + b)p≤ 2p−1 _ap_{+ b}p

.

Ejercicio. Demostrar esta propiedad usando la convexidad de la funci´on

(42)

Desigualdad de Minkowski para funciones medibles

Proposici´on

Sean p ∈ [1, +∞), f , g ∈ M(X , F ). Entonces

(43)

Desigualdad de Minkowski, casos triviales

Por demostrar:

Np(f + g ) ≤ Np(f ) + Np(g ).

Caso Np(f ) = +∞ o Np(g ) = +∞: En este caso el lado derecho es +∞.

Caso Np(f + g ) = 0: el lado izquierdo es cero.

Caso p = 1: para cada x en X tenemos

|f (x ) + g (x )| ≤ |f (x )| + |g (x )|. Al integrar, obtenemos el resultado.

(44)

Desigualdad de Minkowski, casos triviales

Por demostrar:

Np(f + g ) ≤ Np(f ) + Np(g ).

Caso Np(f ) = +∞ o Np(g ) = +∞:

En este caso el lado derecho es +∞. Caso Np(f + g ) = 0: el lado izquierdo es cero.

(45)

Desigualdad de Minkowski, casos triviales

Por demostrar:

Np(f + g ) ≤ Np(f ) + Np(g ).

(46)

Desigualdad de Minkowski, casos triviales

Por demostrar:

Np(f + g ) ≤ Np(f ) + Np(g ).

Caso Np(f + g ) = 0:

el lado izquierdo es cero.

(47)

Desigualdad de Minkowski, casos triviales

Por demostrar:

Np(f + g ) ≤ Np(f ) + Np(g ).

(48)

Desigualdad de Minkowski, casos triviales

Por demostrar:

Np(f + g ) ≤ Np(f ) + Np(g ).

(49)

Una cota inprecisa para N

p

(f + g )

Sean f , g ∈ M(X , F ). Para cada x en X ,

|f (x ) + g (x )|p ≤ (|f (x )| + |g (x )|)p ≤ 2p−1 |f (x )|p+ |g (x )|p . Integramos N_pp(f + g ) ≤ 2p−1 N_pp(f ) + N_pp(g ) . Si Np(f ) < +∞ y Np(g ) < +∞, entonces Np(f + g ) < +∞.

(50)

Una cota inprecisa para N

p

(f + g )

(51)

Una cota inprecisa para N

p

(f + g )

(52)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

Suponemos 1 < p < +∞, Np(f ) < +∞, Np(g ) < +∞, 0 < Np(f + g ) < +∞.

Definimos q := _p−1p , as´ı que 1_p+_q1 = 1, p − 1 = p_q, p −p_q = 1.

N_pp(f + g ) = Z X |f + g |pdµ = Z X |f + g | |f + g |p−1dµ ≤ Z X |f ||f + g |p/qdµ + Z X |g ||f + g |p/qdµ (H¨older) ≤ Np(f )Npp/q(f + g ) + Np(g )Npp/q(f + g ). Dividimos entre Npp/q(f + g ) y usamos el hecho que p −p_q = 1.

(53)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

Suponemos 1 < p < +∞, Np(f ) < +∞, Np(g ) < +∞, 0 < Np(f + g ) < +∞. Definimos q := _p−1p , as´ı que 1_p+_q1 = 1, p − 1 = p_q, p −p_q = 1.

(54)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

(55)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

(56)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

N_pp(f + g ) = Z X |f + g |p_{dµ =} Z X |f + g | |f + g |p−1dµ ≤ Z X |f ||f + g |p/qdµ + Z X |g ||f + g |p/qdµ (H¨older) ≤ Np(f )Npp/q(f + g ) + Np(g )Npp/q(f + g ). Dividimos entre Npp/q(f + g ) y usamos el hecho que p −p_q = 1.

(57)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

N_pp(f + g ) = Z X |f + g |p_{dµ =} Z X |f + g | |f + g |p−1_dµ ≤ Z X |f ||f + g |p/qdµ + Z X |g ||f + g |p/qdµ (H¨older) ≤ Np(f )Npp/q(f + g ) + Np(g )Npp/q(f + g ). Dividimos entre Npp/q(f + g ) y usamos el hecho que p −p_q = 1.

(58)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

(59)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

N_pp(f + g ) = Z X |f + g |p_{dµ =} Z X |f + g | |f + g |p−1_dµ ≤ Z X |f ||f + g |p/qdµ + Z X |g ||f + g |p/qdµ (H¨older) ≤ Np(f )Npp/q(f + g ) + Np(g )Npp/q(f + g ). Dividimos entre Npp/q(f + g ) y usamos el hecho que p −p_q = 1.

(60)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

N_pp(f + g ) = Z X |f + g |p_{dµ =} Z X |f + g | |f + g |p−1_dµ ≤ Z X |f ||f + g |p/qdµ + Z X |g ||f + g |p/qdµ (H¨older) ≤ Np(f )Npp/q(f + g ) + Np(g )Npp/q(f + g ).

(61)

Desigualdad de Minkowski, el razonamiento principal

(62)

Criterio de igualdad en la desigualdad de Minkowski

Ejercicio. Sea p ∈ (1, +∞) y sean f , g ∈ M(X , F ).

Determinar, cuando

(63)

Espacio L

p

(X , µ)

Primero, nos restringimos a las funciones en las cuales la seminorma Np es finita: Lp(X , µ) :=

f ∈ M(X , F ) : Np(f ) < +∞

.

Denotamos porNe_p la restricci´on de N_p a Lp(X , µ). El espacio Lp_{(X , µ),}_N_e

(64)

Espacio L

p

(X , µ)

f ∈ M(X , F ) : Np(f ) < +∞

.

Denotamos porNe_p la restricci´on de N_p a Lp(X , µ).

El espacio Lp_{(X , µ),}_N_e

(65)

Espacio L

p

(X , µ)

f ∈ M(X , F ) : Np(f ) < +∞

.

Denotamos porNe_p la restricci´on de N_p a Lp(X , µ). El espacio Lp_{(X , µ),}_N_e

(66)

Funciones que se anulan µ-c.t.p.

Z(X , µ) :=nf ∈ M(X , µ) : f ====== 0µ-c.t.p. X o

.

Como ya vimos,

f ∈ Lp(X , µ) : Ne_p(f ) = 0 = Z(X , µ).

Ejercicio. Sean f , g ∈ M(X , µ), f − g ∈ Z(X , µ). Mostrar que Np(f ) = Np(g ).

(67)

Funciones que se anulan µ-c.t.p.

.

Como ya vimos,

f ∈ Lp(X , µ) : Ne_p(f ) = 0 = Z(X , µ).

(68)

Funciones que se anulan µ-c.t.p.

.

Como ya vimos,

f ∈ Lp(X , µ) : Ne_p(f ) = 0 = Z(X , µ).

(69)

Funciones que se anulan µ-c.t.p.

.

Como ya vimos,

f ∈ Lp(X , µ) : Ne_p(f ) = 0 = Z(X , µ).

(70)

Espacio L

p

(X , µ)

Lp(X , µ) := Lp(X , µ)/Z(X , µ).

La norma en Lp_{(X , µ) se define como}

kF kp := inf

f ∈FNp(f ), i.e. kf + Z(X , µ)kp := g ∈Linfp_{(X ,µ)}

g −f ∈Z(X ,µ)

Np(g ).

Otra definici´on equivalente:

(71)

Espacio L

p

(X , µ)

Lp(X , µ) := Lp(X , µ)/Z(X , µ).

kF kp := inf

g −f ∈Z(X ,µ)

Np(g ).

(72)

Espacio L

p

(X , µ)

Lp(X , µ) := Lp(X , µ)/Z(X , µ).

kF kp := inf

g −f ∈Z(X ,µ)

Np(g ).

(73)

Convexidad estricta de la bola unitaria cerrada en L

p

, 1 < p < +∞

Ejercicio. Sea 1 < p < +∞. Demostrar que la bola unitaria cerrada en Lp(X , µ) es estrictamente convexa, esto es, para cualesquier F , G ∈ Lp(X , µ)

kF k_p≤ 1, kGk_p ≤ 1, F 6= G ,

y para cualquier λ en (0, 1), se cumple la desigualdad k(1 − λ)F + λGkp< 1.

(74)

Sucesiones de Cauchy en medida

Sea (fn)n∈N∈ M(X , µ)N. Para ε > 0 y m, n ∈ N,

A(ε, m, n) :=

x ∈ X : |fm(x ) − fn(x )| ≥ ε .

Se dice que (fn)n∈N es de Cauchy en medida si

∀ε > 0 lim

m,n→∞µ(A(ε, m, n)) = 0,

esto es,

(75)

Sucesiones de Cauchy en medida

Sea (fn)n∈N∈ M(X , µ)N. Para ε > 0 y m, n ∈ N,

A(ε, m, n) :=

x ∈ X : |fm(x ) − fn(x )| ≥ ε .

Se dice que (fn)n∈N es de Cauchy en medida si

∀ε > 0 lim

m,n→∞µ(A(ε, m, n)) = 0,

esto es,

(76)

De una sucesi´

on de Cauchy en medida se puede sacar

una sucesi´

on convergente casi uniformemente

Tarea. Sea (fn)n∈N una sucesi´on de Cauchy en medida.

Entonces existen ν : N → N estrictamente creciente, g ∈ M(X , µ), tales que

(77)

Corolario

Sea (fn)n∈N una sucesi´on de Cauchy en Lp(X , µ).

f_ν(k) ===⇒ g .µ-c.u.

Demostraci´on. Verifiquemos que (fn)n∈N es de Cauchy en medida.

µ x ∈ X : |f_m(x ) − fn(x )|p ≥ εp ≤ 1 εp Z X |f_m− f_n|p_dµ, esto es, µ(A(ε, m, n)) ≤ N p p(fm− fn) εp .

(78)

Corolario

f_ν(k) ===⇒ g .µ-c.u.

(79)

Corolario

f_ν(k) ===⇒ g .µ-c.u.

(80)

Completez de L

p

Teorema

El espacio normado Lp(X , µ) es completo.

Como Lp(X , µ) es el espacio cociente Lp(X , µ)/Z(X , µ), es suficiente demostrar el siguiente resultado.

Teorema

(81)

Completez de L

p

Teorema

(82)

Completez de L

p

Teorema

(83)

Completez de L

p

, demostraci´

on

Consideremos un caso especial:

(fn)n∈N es una sucesi´on regular de Cauchy en Lp(X , µ), existe g ∈ M(X , µ) tal que fn

µ-c.t.p. −−−−→ g . Como (fn)n∈N es regular de Cauchy,

Np(fk+1− fk) ≤ 1

2k+1 (k ∈ N).

Por la desigualdad de Minkowski, para m > n,

Np(fm− fn) ≤ m−1 X k=n Np(fk+1− fk) ≤ m−1 X k=n 1 2k+1 < 1 2n.

(84)

Completez de L

p

, demostraci´

on

Consideremos un caso especial:

(fn)n∈N es una sucesi´on regular de Cauchy en Lp(X , µ), existe g ∈ M(X , µ) tal que fn

µ-c.t.p. −−−−→ g . Como (fn)n∈N es regular de Cauchy,

Np(fk+1− fk) ≤ 1

2k+1 (k ∈ N).

Por la desigualdad de Minkowski, para m > n,

Np(fm− fn) ≤ m−1 X k=n Np(fk+1− fk) ≤ m−1 X k=n 1 2k+1 < 1 2n.

(85)

Completez de L

p

, demostraci´

on

Para m > n, Np(fm− fn) ≤ 1 2n, esto es, Z X |f_m− f_n|pdµ ≤ 1 2np.

Aplicamos la desigualdad de Fatou, cuando n es fijo y m → ∞: Z X lim inf m→∞ |fm− fn| p_{dµ ≤ lim inf} m→∞ Z X |fm− fn|pdµ. Z X |g − f_n|p_{dµ ≤} 1 2np. Elevamos a 1/p: Np(fn− g ) ≤ 1 2n.

(86)

Completez de L

p

, demostraci´

on

Para m > n, Np(fm− fn) ≤ 1 2n, esto es, Z X |f_m− f_n|pdµ ≤ 1 2np. Aplicamos la desigualdad de Fatou, cuando n es fijo y m → ∞:

Z X lim inf m→∞ |fm− fn| p_{dµ ≤ lim inf} m→∞ Z X |f_m− f_n|pdµ. Z X |g − f_n|p_{dµ ≤} 1 2np. Elevamos a 1/p: Np(fn− g ) ≤ 1 2n.

(87)

Completez de L

p

, demostraci´

on

Para m > n, Np(fm− fn) ≤ 1 2n, esto es, Z X |f_m− f_n|pdµ ≤ 1 2np. Aplicamos la desigualdad de Fatou, cuando n es fijo y m → ∞:

Z X lim inf m→∞ |fm− fn| p_{dµ ≤ lim inf} m→∞ Z X |f_m− f_n|pdµ. Z X |g − f_n|p_{dµ ≤} 1 2np. Elevamos a 1/p: Np(fn− g ) ≤ 1 2n.

(88)

Introducci´on Desigualdad de H¨older Desigualdad de Minkowski Espacios Lp _Completez Np(fn− g ) ≤ 1 2n. En particular, Np(g ) ≤ Np(g − f1) + Np(f1) < +∞.

Hemos demostrado que g ∈ Lp(X , µ) y fn→ g en Lp(X , µ).

Ejercicio. ¿Por qu´e podemos suponer que (fn)n∈N es regular de Cauchy en Lp? ¿Por qu´e podemos suponer que (fn)n∈N converge µ-c.t.p. a una funci´on g ?

(89)

(90)

(91)