8. CONTROL ÓPTIMO PARA SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO.
La teoría de control óptimo lineal de tiempo discreto es interesante por su aplicación en el control por computador.
8.1 DESCRIPCION EN VARIABLES DE ESTADO
A veces interesa observar un sistema en ciertos instantes de tiempo. En estos casos, es posible caracterizar el comportamiento del sistema por valores definidos en esos instantes de tiempo solamente.
La equivalencia natural de la ecuación diferencial de estado es la ecuación diferencia de estado:
x(i+1) = f [x(i), u(i), i]
donde x(i) es el vector de estado en el instante ti u(i) es el vector de entrada en el instante ti La ecuación de la salida es:
y(i) = g[x(i), u(i), i]
Los sistemas de tiempo discreto lineales son descritos por la ecuación de diferencia de estado de la forma:
x(i+1) = A(i) x(i) + B(i) u(i)
donde A(i) y B(i) son matrices de dimensiones apropiadas.
La ecuación de salida es:
y(i) = C(i) x(i) + D(i) u(i)
Si las matrices A, B, C y D son independientes de i, el sistema es lineal invariante en el tiempo.
8.2 INTERCONEXION DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO CON SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Esto normalmente sucede cuando se usa un computador digital para controlar un sistema de tiempo continuo. Para realizar
físicamente estas interconexiones se usan las interfaces
denominadas: conversor de Análogo a Digital (A/D) y conversor de Digital a Análogo (D/A).
Un conversor A/D, llamado también “muestreador”, es un aparato que cumple la siguiente relación:
f+(i) = f(ti) con i = 0, 1, 2, ….
Se usa la forma f+( ) para distinguir secuencia de valores de la correspondiente función de tiempo continuo.
Un conversor D/A más simple es el conocido como “retentor de orden cero”. Este retentor se describe por la relación:
f(t) = f+(i) ti ≤ t ≤ ti+1 i=0, 1, 2, ….
La siguiente figura ilustra un ejemplo típico de interconexión de sistemas de tiempo discreto con sistema de tiempo continuo. Para analizar este tipo de sistema es conveniente representar el sistema de tiempo continuo junto con el conversor D/A y el conversor A/D por un sistema de tiempo discreto equivalente.
Sistema de tiempo discreto equivalente
Fig. 8.1 Interconexión de sistemas discretos con continuo.
sistema de tiempo discreto
retentor de orden cero
sistema de tiempo continuo
Mues- treador
Sistema de tiempo discreto
8.3 ECUACIONES DE DIFERENCIA DE ESTADO
El sistema de tiempo continuo de la figura 8.1, es un sistema lineal con:
La ecuación diferencial de estado:
) t ( u ) t ( B ) t ( x ) t ( A ) t (
x• = +
y la ecuación de salida:
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
Ya que se usa un retentor de orden cero, entonces:
u(t) = u(ti) ti ≤ t ≤ ti+1 i=0, 1, 2, ….
Del capítulo 1, podemos escribir para el estado del sistema en el instante ti+1:
) u(t τ)B(τ)dτ ,
Φ(t )
)x(t t , Φ(t )
x(t i
t
1 i i
i 1 i 1
i
i
»¼
« º
¬ +ª
= +
³
+ ++
1
ti
donde Φ(t,t0) es la matriz de transición del sistema.
Al derivar la ecuación de salida correspondiente, se ve la posibilidad de que los instantes en que se muestra la salida no coincidan con los instantes en que la entrada es ajustada. Luego la salida asociada con el i-ésimo instante de muestreo, es:
y(t’i) donde ti ≤ t’i < ti+1 con i = 0, 1, 2, ….
Luego tenemos que:
) )u(t D(t ) u(t τ)B(τ)dτ ,
Φ(t ) C(t )
)x(t t , (t )Φ C(t )
y(t i 'i i
t
t ' i '
i i
i ' i ' i '
i
' i
i
» +
¼
« º
¬ +ª
=
³
Reemplazando: x(ti) = x+(i) u(ti) = u+(i) y(ti’) = y+(i)
se tiene las ecuaciones del sistema en la forma:
x+(i+1) = Ad(i)x+(i) + Bd(i)u+(i)
y+(i) = Cd(i)x+(i) + Dd(i)u+(i) con I = 0, 1, 2, … donde:
∫
∫
+
=
=
=
=
+
+ +
'i
i 1 i i
t t
' i '
i '
i d
i ' i '
i d
t
t i 1
d
i 1 i d
) D(t τ)B(τ)dτ
, Φ(t ) C(t (i) D
) t , (t )Φ C(t (i) C
τ)B(τ)dτ ,
Φ(t (i)
B
) t , Φ(t (i)
A
Se observa que el sistema de tiempo discreto tiene enlace directo aún si el sistema de tiempo continuo no lo tenga, porque Dd(i) puede ser diferente de cero aunque D(t’i) sea cero.
El enlace directo desaparece si D(t) = 0 y el instante t’i coincide con el instante ti , es decir, t’i = ti , i = 0, 1, 2, ….
En el caso especial en que los instantes de muestreo están igualmente espaciado:
ti+1 – ti = ∆ y t’i – ti = ∆’
Además, si el sistema de tiempo continuo es invariante en el tiempo, el sistema de tiempo discreto es también invariante en el tiempo y
D )B (
D
; C
C
; )B (
B
;
A 0
A d
A 0 d
A d
A∆
d =
e
=∫
∆e
τ =e
∆' =C∫
∆'e
τ +Se denomina a ∆el periodo de muestreo y 1/∆ la frecuencia de muestreo.
Una vez obtenidas las ecuaciones de tiempo discreto que representan el
sistema de tiempo continuo, junto con los conversores, se está en condiciones de estudiar la interconexión del sistema con otros sistemas de tiempo
discreto.
8.4 SOLUCIÓN DE LA ECUACION DIFERENCIA DE ESTADO
Para la solución, existe el siguiente teorema, completamente análogo al visto en el capítulo 1.
Teorema 3.4 Considerar la ecuación de diferencia de estado:
x(i+1) = A(i)x(i) + B(i)u(i) la solución de esta ecuación es:
= +
≥
−
= −
≥
+
≥ +
+
=
∑
=−0 0 0
0
0 0
0 1
i
i j 0 0
i i para
I
1 i i para ) 2)...A(i 1)A(i
) A(i i Φ(i,
transición de
matriz la
es i i con ), i Φ(i, donde
1 i i 1)B(j)u(j) j
Φ(i, )
)x(i i Φ(i, x(i)
0
La “matriz de transición” Φ(i,i0) es la solución de la ecuación de diferencia:
I ) i , Φ(i
i i con ) i (i, A(i)Φ )
i 1, Φ(i
0 0
0 0
0
=
≥
= +
Si A(i) no depende de i entonces:
i0
i
0) A
i
Φ(i, = −
Para sistemas de tiempo discreto invariante en el tiempo, algunas veces es útil diagonalizar la matriz A. El siguiente teorema resume este efecto:
Teorema 8.2 Considerar la ecuación de diferencia de estado invariante en el tiempo:
x(i+1) = A x(i)
Se supone que la matriz A tiene n valores característicos distintos
n 2
1,λ ,...λ
λ con sus correspondientes vectores característicos e1, e2, …, en. Definen las matrices n x n:
T = (e1, e2, …, en)
Λ= diag(λ1,λ2,...λn)
Entonces la matriz de transición de la ecuación de diferencia de estado se puede escribir como:
1 i i i
i
0) A TΛ T
i
Φ(i, = −0 = −0 −
=
≤ +
= Φ
≥
=
= +
=
∑
=i j para
D(i)
1 - i j para 1)B(j) j
(i, j) C(i)
K(i,
donde
i i j)u(j) K(i,
y(i)
: que tiene se 0, ) x(i decir, es
cero, es inicial estado
el Si
D(i)u(i) C(i)x(i)
y(i)
es sistema del
salida la
Si
i
i
j 0
0
0
Donde K(i, j) se denomina la matriz respuesta pulso del sistema. Para sistemas invariantes en el tiempo K( ) depende de (i-j) solamente.
