Optimizaci´on de Osciladores Ca´oticos Aplicando Algoritmos
Evolutivos
por
Victor Hugo Carbajal G´omez
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de Maestro en Ciencias en el ´Area de Electr´onica en el Instituto
Nacional de Astrof´ısica, ´Optica y Electr´onica
Supervisada por:
Dr. Esteban Tlelo Cuautle, INAOE
INAOE 2011c
El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias en su totalidad o en partes de esta tesis
Tesis de Maestr´ıa
Por:
Victor Hugo Carbajal G´ omez
Asesor:
Dr. Esteban Tlelo Cuautle
Instituto Nacional de Astrof´ısica ´Optica y Electr´onica Coordinaci´on de Electr´onica
Tonantzintla, Puebla. Agosto 2011
i
A mis padres, Basilo Carbajal Ahuatl y Ma. del Rayo G´omez Dom´ınguez a mis hermanas Erika y Yessica...
Por todo su amor, confianza y apoyo incondicional que me han brindado ...
... Los quiero mucho ...
Agradecimientos
A Dios todopoderoso porqu´e me permite vivir y me brinda cosas maravillosas...
A toda mi familia, que siempre han estado para apoyarme ...
Un agradecimiento muy especial a mi asesor Dr. Esteban Tlelo Cuautle por haberme aceptado como su alumno, por permitirme trabajar en este proyecto, por guiarme y motivarme, por sus consejos, paciencia y disponibilidad durante el proceso de este trabajo de investigaci´on. Muchas Gracias
Al comit´e que revis´o este trabajo: Dr. Alejandro D´ıaz S´anchez, Dr. Jos´e Alejandro D´ıaz M´endez y Dr. Luis Gerardo de la Fraga, por sus constructivos comentarios que ayudaron al mejoramiento de este trabajo.
A todas aquellas personas que me han brindado su amistad sincera para seguir adelante en los buenos y en los malos momentos. Gracias Antonio Bayl´on, Israel Hern´andez, Erick Guerrero, Rosalinda Ortiz por su amistad y los buenos momentos que hemos pasado juntos...
Al CONACyT por el apoyo brindado mediante la beca 235120 para realizar mis estudios de maestr´ıa.
A mis padres y mis hermanas, por su apoyo incondicional sin el cu´al nada de esto habr´ıa sido posible. A ellos mi m´as grande agradecimiento.
Al Instituto Nacional de Astrof´ısica, ´Optica y Electr´onica (INAOE) por abrirme sus puertas y darme la oportunidad de relizar los estudios de posgrado.
Resumen
Al igual que muchos fen´omenos en la naturaleza, la mayor´ıa de los sistemas ca´oti- cos se pueden describir y modelar por medio de circuitos electr´onicos denominados osciladores ca´oticos. Si bien el campo de investigaci´on de los sistemas ca´oticos es re- lativamente joven, en los ´ultimos a˜nos ha generado un gran inter´es y ha sido materia importante de investigaci´on gracias al gran desarrollo en materia de c´omputo.
A partir de que se ha demostrado que el caos puede ser controlado y sincronizado, esta clase de sistemas prometen tener un gran impacto en nuevas aplicaciones cr´ıticas de tiempo-energ´ıa. Por lo tanto es imprescindible realizar un estudio sobre el compor- tamiento din´amico que exhiben estos sistemas, as´ı como un estudio detallado sobre los rangos de valores de sus par´ametros para los cuales el comportamiento ca´otico esta presente.
En esta tesis se presenta una metodolog´ıa de s´ıntesis para la implementaci´on del oscilador ca´otico basado en series de funciones saturadas, el cual es capaz de generar m´ultiples enrollamientos al modificar e incrementar el n´umero de puntos de quiebre de la funci´on desestabilizadora. El prop´osito de esta investigaci´on es entender c´omo este sistema puede generar un comportamiento ca´otico, as´ı como encontrar los par´ametros del sistema ´optimos para la generaci´on y control de dicho comportamiento; por lo tanto nos enfocamos en el c´alculo de los exponentes de Lyapunov debido a que es una manera eficiente de determinar que tan complejo e impredecible es el comportamiento de los sistemas ca´oticos.
En este trabajo se muestra la aplicaci´on de algoritmos evolutivos para la optimi- zaci´on del exponente positivo de Lyapunov en un oscilador ca´otico de tercer orden que genera m´ultiples enrollamientos. El exponente de Lyapunov es calculado para los casos de la generaci´on de 2 a 9 enrollamientos, y se realiza mediante el barrido de los coeficientes del sistema din´amico. Se muestra que el algoritmo evolutivo de evoluci´on diferencial es adecuado para la maximizaci´on del exponente positivo de Lyapunov ya
que nos permite tener un espacio de b´usqueda continuo y amplio de los coeficientes del sistema, mismos que se pueden seleccionar de una manera refinada, por ejemplo en pasos de 0.001.
Los resultados obtenidos muestran una gran mejora en la complejidad e imprede- cibilidad del comportamiento din´amico del sistema ca´otico de estudio lo cual permite explorar sus posibilidades en diversas aplicaciones sobre todo las relacionadas con sistemas de informaci´on y comunicaciones.
Tabla de Contenido
Agradecimientos III
Resumen V
1. Introducci´on 1
1.1. Caos . . . 2
1.2. Exponente de Lyapunov . . . 3
1.3. Optimizaci´on . . . 4
1.4. Objetivos . . . 5
1.5. Organizaci´on de la Tesis . . . 6
2. Osciladores Ca´oticos 7 2.1. Sistemas Din´amicos . . . 7
2.1.1. Modelo de variables de estados . . . 8
2.1.2. Lineales y no lineales . . . 9
2.1.3. Sistemas aut´onomos . . . 9
2.1.4. Geometr´ıa y estabilidad de los sistemas din´amicos . . . 10
2.1.5. Ciclos l´ımite . . . 14
2.1.6. Atractores extra˜nos y caos . . . 14
2.2. Dise˜no de Osciladores Ca´oticos . . . 15
2.3. Circuito de Chua . . . 17
2.3.1. Oscilador generalizado de Chua . . . 19
2.4. Oscilador Ca´otico de Multiples Enrollamientos Basado en Series de Funciones Saturadas . . . 21
2.4.1. Resultados de la simulaci´on num´erica . . . 23
2.5. S´ıntesis con OpAmps y CFOAs . . . 27
2.5.1. S´ıntesis de la funci´on no lineal saturada (SNLF) . . . 29
2.6. Resultados de Simulaci´on en SPICE . . . 31
2.6.1. Usando OpAmps . . . 31
2.6.2. Usando CFOAs . . . 31
2.7. Implementaci´on F´ısica . . . 31
2.8. Sumario . . . 32
3. Exponentes de Lyapunov 35 3.1. Exponente de Lyapunov . . . 35
3.2. c´alculo del exponente de Lyapunov . . . 37
3.3. Resultados . . . 41
3.4. Sumario . . . 43
4. M´etodos de Optimizaci´on 45 4.1. Optimizaci´on Global . . . 47
4.2. Algoritmo Gen´etico . . . 48
4.3. Evoluci´on Diferencial . . . 50
4.4. Optimizaci´on del Exponente de Lyapunov . . . 51
4.4.1. Algoritmo simple (barrido de las constantes del sistema) . . . 52
4.4.2. Algoritmo gen´etico . . . 55
4.4.3. Algoritmo de evoluci´on diferencial . . . 59
4.5. Sumario . . . 69
5. Conclusiones 71 5.1. Trabajo Futuro . . . 72
Bibliograf´ıa 75
Lista de Figuras 85
Lista de Tablas 89
Ap´endices 91
A. 93
B. Datos del Algoritmo con Barrido Simple 95
TABLA DE CONTENIDO ix
C. Datos de las Corridas del Algoritmo Gen´etico 101
D. Datos de las Corridas del Algoritmo de Evoluci´on Diferencial 105
Cap´ıtulo 1
Introducci´ on
Un campo de investigaci´on muy activo hoy en d´ıa es el estudio de sistemas din´ami- cos no lineales y, particularmente, el de los sistemas ca´oticos [1–7]. A pesar de que esta rama de investigaci´on es relativamente joven, no hay la menor duda de que est´a lle- gando a adquirir cada vez m´as importancia en una gran variedad de disciplinas [8–10].
Los sistemas ca´oticos han sido conocidos desde hace tiempo, pero solo reciente- mente, se ha demostrado que el caos puede ser controlado y sincronizado [10–14].
Por esta raz´on, esta clase de sistemas prometen tener un gran impacto en nuevas aplicaciones cr´ıticas de tiempo-energ´ıa, tales como circuitos y dispositivos de alto rendimiento, mezclas l´ıquidas, reacciones qu´ımicas, sistemas biol´ogicos, procesamien- to de informaci´on de forma segura, y toma de decisiones cr´ıticas en acontecimientos pol´ıticos, econ´omicos y militares [8, 9]. Esta nueva ´area de investigaci´on y desarrollo se ha convertido en una inter-disciplina cient´ıfica, relacionada con los sistemas e inge- nieros de control, f´ısicos te´oricos y experimentales, matem´aticos aplicados, fisi´ologos, y sobre todo, los especialistas en circuitos y dispositivos.
La realizaci´on f´ısica de los sistemas ca´oticos en condiciones de laboratorio ha sido objeto de investigaci´on en el campo de la electr´onica [3, 6, 15–19]. En electr´onica, las ecuaciones diferenciales han sido realizadas primero en forma directa utilizando componentes pasivos y relacionando las corrientes o voltajes observados a las variables del sistema. Sin embargo, la topolog´ıa seleccionada para cada tipo de sistema ca´otico, puede cambiar de acuerdo con la t´ecnica de dise˜no utilizada.
1.1. Caos
El t´ermino Caos se refiere a un tipo de comportamiento din´amico complejo que posee algunas caracter´ısticas muy especiales, como ser extremadamente sensible a peque˜nas variaciones de las condiciones iniciales, teniendo trayectorias delimitadas en el espacio de fases pero con al menos un exponente de Lyapunov positivo y un espectro de potencia continuo.
En otras palabras, el Caos es un comportamiento aperi´odico a largo plazo de un sistema determinista que exhibe una dependencia muy sensible a las condiciones iniciales. De acuerdo con [20], existen tres caracter´ısticas b´asicas del caos, a saber:
1.- El caos exhibe un comportamiento el cual es “dif´ıcil de distinguir de un com- portamiento aleatorio” puesto que las trayectorias no tienden a un punto fijo,
´orbitas peri´odicas u ´orbitas cuasi-peri´odicas conforme t → ∞.
2.- El caos “es determinista” ya que el sistema no tiene entradas o par´ametros aleatorios, es decir, su condici´on actual es una consecuencia de estados anteriores del sistema. El comportamiento irregular surge de las no linealidades del sistema.
3.- El caos “es muy sensible a las condiciones iniciales”.
Debido a estas caracter´ısticas es no lineal; de modo que su comportamiento es mucho m´as complicado que el de un sistema lineal. De hecho, incluso el m´as simple sistema ca´otico exhibe una gran parte de los diferentes comportamientos [10,11,20,21], que s´olo pueden ser completamente analizados con la ayuda de recursos de software potentes [22–26].
El concepto de caos ha supuesto una revoluci´on cultural en las ´ultimas d´ecadas;
nos dice que las soluciones anal´ıticas que conoc´ıamos de muchos problemas f´ısicos descritos por ecuaciones diferenciales, no constituyen la norma general, sino que por el contrario son una excepci´on. La mayor´ıa de las soluciones de las ecuaciones dife- renciales que describen a la naturaleza no poseen soluci´on anal´ıtica y, adem´as, suelen presentar caracter´ısticas muy diferentes a las de las soluciones anal´ıticas. Entre dichas caracter´ısticas sobresale la naturaleza ca´otica de las mismas, que conlleva necesaria- mente a una impredecibilidad del problema, a pesar de que ´este sea determinista.
El objetivo de la investigaci´on de los sistemas ca´oticos es, por tanto, entender c´omo un sistema din´amico determinista podr´ıa presentar un comportamiento ca´otico,
1.2 Exponente de Lyapunov 3
el tipo de sistemas capaces de generar este comportamiento, los mecanismos disponi- bles para su control, las maneras de su aplicaci´on e implementaci´on con dispositivos electr´onicos, y las implicaciones pr´acticas y te´oricas que siguen [1, 24, 27].
Ultimamente, el dise˜´ no te´orico y la implementaci´on f´ısica de diversos tipos de osciladores ca´oticos han despertado cada vez un mayor inter´es [1,16,17,21], dirigido a las aplicaciones del mundo real de muchas tecnolog´ıas basadas en el caos y sistemas de informaci´on [7, 8, 12]. Esto estimula el inter´es de la investigaci´on actual en la creaci´on de diversos y complejos atractores ca´oticos de m´ultiples enrollamientos utilizando circuitos y dispositivos electr´onicos simples [1, 28]. Existen varios m´etodos que se han propuesto para generar atractores ca´oticos; tales como utilizar funciones lineales por trozos (PWL), redes neuronales celulares, modulaci´on de funciones no lineales, control de multiples puntos de conmutaci´on, etc. [1, 29–41].
Aunque existen algunos m´etodos para dise˜nar sistemas ca´oticos de m´ultiples enrollamientos utilizando dispositivos electr´onicos, estos dise˜nos son muy espec´ıfi- cos [6, 30, 31, 37, 41, 42]. Esto indica que es necesario obtener un conocimiento m´as profundo sobre la din´amica ca´otica del sistema. Adem´as, si uno necesita modificar el comportamiento del sistema ca´otico, es necesario evaluar todo el dise˜no nuevamente.
1.2. Exponente de Lyapunov
El comportamiento determinista, todav´ıa impredecible de sistemas din´amicos no lineales disipativos es un tema importante en m´as campos de la ciencia, desde las matem´aticas a la biolog´ıa, incluso en la ingenier´ıa. La principal caracterizaci´on de los sistemas ca´oticos son la dimension fractal, la entrop´ıa de Kolmogorov-Sinai y el espectro de Lyapunov. Entre ellos, el exponente de Lyapunov proporciona una for- ma de determinar si el comportamiento de un sistema es ca´otico. Los exponentes de Lyapunov nos dan la descripci´on m´as caracter´ıstica de la presencia de un flujo de- terminista no peri´odico. Por lo tanto, los exponentes de Lyapunov son una medida asint´otica que caracteriza la tasa media de crecimiento (o disminuci´on) de peque˜nas perturbaciones a las soluciones de un sistema din´amico. Los exponentes de Lyapu- nov proporcionan medidas cuantitativas de la sensibilidad de respuesta de un sistema din´amico a peque˜nos cambios en las condiciones iniciales [25, 43]. El n´umero de ex- ponentes de Lyapunov es igual al n´umero de variables de estado, y si al menos uno es positivo, esto es un indicador de caos. Un valor alto del exponente positivo de
Lyapunov indica un gran incremento en el grado de impredecibilidad del sistema, por lo tanto, el sistema presenta un comportamiento din´amico m´as complejo.
1.3. Optimizaci´ on
Se trata de calcular o determinar el valor m´ınimo (o el valor m´aximo) de una funci´on con respecto a una variable, encontrando la mejor soluci´on de todas las solu- ciones posibles. En su forma m´as simple, el problema equivale a resolver una ecuaci´on de este tipo:
minimizarf (x) x ∈ Ω ⊆ Rn
donde x = (x1, . . . , xn) es un vector y representa variables de decisi´on, f (x) es llamada funci´on objetivo y representa o mide la calidad de la soluci´on y Ω es el conjunto de puntos que cumplen las restricciones del problema, conocida como zona factible.
Algunas veces es posible expresar la zona factible Ω como la soluci´on de un sistema de igualdades o desigualdades [44].
g(x) ≤ 0 h(x) = 0
Un problema de optimizaci´on trata entonces de tomar una decisi´on ´optima para minimizar un criterio determinado (ganancias, velocidad, eficiencia, costos, tiempo, etc.). Las restricciones significan que no cualquier decisi´on es posible [45].
Para resolver los problemas, los investigadores pueden utilizar algoritmos que ter- minan en un n´umero finito de pasos que convergen a una soluci´on (en una clase espec´ıfica de problemas), o m´etodos heur´ısticos que pueden proporcionar soluciones aproximadas a algunos problemas (aunque su iteraci´on no necesariamente conver- ge) [46, 47].
Existen diversas t´ecnicas cl´asicas para resolver problemas con ciertas caracter´ısti- cas especificas; por ejemplo, funciones lineales con una o m´as variables. Es importante saber al menos de la existencia de estas t´ecnicas, pues cuando el problema por re- solverse se adec´ua a ellas, no tiene ning´un sentido usar t´ecnicas heur´ısticas. Para optimizaci´on no lineal, hay m´etodos directos como la b´usqueda aleatoria y m´etodos no directos como el m´etodo del gradiente conjugado. Uno de los problemas de las t´ecnicas cl´asicas de optimizaci´on es que suelen requerir informaci´on que no siempre
1.4 Objetivos 5
esta disponible. Por ejemplo, m´etodos como el del gradiente conjugado requieren de la primera derivada de la funci´on objetivo. Otros, como el m´etodo de Newton, requieren adem´as la segunda derivada. Por tanto, si la funci´on objetivo no es diferenciable y en algunos casos, ni siquiera est´a disponible en forma expl´ıcita, estos m´etodos no pueden aplicarse.
Algunos trabajos de Senkerik y Zelinka tratan sobre la optimizaci´on del control de caos a trav´es de la aplicaci´on de algoritmos evolutivos con los cuales se han obte- nido resultados satisfactorios al aplicarlos a distintos sistemas [26, 48–51]. El objetivo principal de sus trabajos es mostrar que los algoritmos evolutivos son capaces de op- timizar el control del caos ofreciendo una herramienta de gran alcance que puede ser utilizada para la optimizaci´on y control del caos determinista.
1.4. Objetivos
El prop´osito de esta investigaci´on es entender c´omo los sistemas ca´oticos pueden generar un comportamiento ca´otico, que par´ametros del sistema son los ´optimos y como poder controlarlos e implementarlos f´ısicamente.
En el dise˜no de circuitos integrados, los algoritmos evolutivos han mostrado ser una opci´on viable, debido a que proveen de un conjunto de soluciones ´optimas, de las cuales se seleccionan las que mejor cumplen con las especificaciones deseadas, tales como: mejorar la ganancia, incrementar el ancho de banda, la velocidad de respuesta, reducci´on del consumo de potencia, minimizaci´on de ruido y distorsi´on, tolerancia a variaciones del proceso de fabricaci´on, etc. Para el caso de los osciladores ca´oticos, los algoritmos evolutivos pueden aplicarse para calcular los valores ´optimos del oscilador ca´otico a nivel sistema y posteriormente encontrar los valores de los elementos del circuito que genera dicho comportamiento ca´otico. De esta manera, el objetivo general de este trabajo es aplicar algoritmos evolutivos para la optimizaci´on de un oscilador ca´otico a nivel sistema.
B´asicamente, se calculan los exponentes de Lyapunov en un sistema din´amico de tercer orden, y se maximiza el exponente de Lyapunov positivo para asegurar r´egimen ca´otico. Se aplican tres m´etodos de optimizaci´on: el m´etodo de prueba y error, un algoritmo gen´etico y un algoritmo de evoluci´on diferencial. Se muestra que los resultados de los algoritmos evolutivos son mejores que barriendo los coeficientes del sistema din´amico a prueba y error.
1.5. Organizaci´ on de la Tesis
En el cap´ıtulo 2 se presenta una revisi´on sobre los sistemas din´amicos y el caos, se presentan el modelado matem´atico y el comportamiento de los sistemas ca´oticos. Se muestra la simulaci´on num´erica y la s´ıntesis del oscilador ca´otico basado en series de funciones saturadas utilizando variables de estado y aproximaciones lineales a tramos (PWL) para la funci´on no-lineal. Por ´ultimo, se presenta la simulaci´on a nivel circuito y la realizaci´on experimental del oscilador del caso de estudio utilizando OpAmps y CFOAs.
En el cap´ıtulo 3 se presenta la teor´ıa sobre el exponente de Lyapunov y la forma de calcularlo. Asimismo, se muestran los resultados de los valores obtenidos del c´alculo del exponente de Lyapunov aplicado al sistema ca´otico del caso de estudio mante- niendo los coeficientes fijos e iguales a 0.7 como generalmente se han reportado.
El cap´ıtulo 4 se trabaja el concepto de optimizaci´on y se estudian los m´etodos de optimizaci´on global, adem´as se describe el funcionamiento de los algoritmos gen´eticos y de evoluci´on diferencial parte esencial de este trabajo. Se presentan los resultados obtenidos al aplicar estos algoritmos de optimizaci´on al sistema ca´otico del caso de estudio.
Finalmente, en el cap´ıtulo 5 se presentan las conclusiones m´as importantes refe- rentes a los resultados obtenidos durante la realizaci´on de este trabajo de tesis y se mencionan los trabajos futuros de la misma.
Cap´ıtulo 2
Osciladores Ca´ oticos
Un oscilador peri´odico se caracteriza por tener una forma de onda bien definida que est´a en constante repetici´on de acuerdo con un per´ıodo y nunca se establece en un solo valor [20]. Un oscilador ca´otico es producido por un sistema ca´otico y no tiene ning´un per´ıodo.
Los sistemas ca´oticos se refieren a un tipo de sistema din´amico complejo que posee algunas caracter´ısticas muy especiales, como ser extremadamente sensible a peque˜nas variaciones de las condiciones iniciales y par´ametros, teniendo trayectorias delimitadas en el espacio de fase, pero con un m´aximo exponente de Lyapunov positivo [20,52,53].
Para que exista caos determinista, un sistema din´amico debe tener un conjunto denso de ´orbitas peri´odicas, estas deben ser transitivas y sensibles a las condiciones iniciales [52]. Una densidad de ´orbitas peri´odicas implica que cualquier trayectoria peri´odica de la ´orbita visita un peque˜no vecindario arbitrario de una trayectoria no peri´odica [20].
Transitividad se refiere a la existencia de puntos a, b para los cuales un tercer punto c puede ser encontrado ya que es arbitrariamente cercano a a y cuya ´orbita pasa arbitrariamente cerca de b [20]. Por ´ultimo, sensibilidad a las condiciones iniciales es la propiedad para que condiciones iniciales arbitrarias muy cercanas dan lugar a
´orbitas que son eventualmente separadas por una cantidad finita [53].
2.1. Sistemas Din´ amicos
Los sistemas din´amicos son sistemas cuyos par´ametros internos (variables de es- tado) pueden cambiar con el tiempo en una forma que al menos en principio, es predecible siempre que se conozcan las influencias externas que act´uan sobre este. Se llaman sistemas porque est´an descritos por un conjunto de ecuaciones; y din´amicos
porque sus par´ametros var´ıan con respecto a alguna variable que generalmente es el tiempo [54].
Los sistemas din´amicos pueden dividirse en dos grandes clases: aquellos en los que el tiempo var´ıa continuamente y en los que el tiempo transcurre discretamente. Los sistemas din´amicos de tiempo continuo se expresan con ecuaciones diferenciales, ge- neralmente con ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Por otro lado si el tiempo es discreto los sistemas se describen por medio de ecuaciones de diferencias (EDs), tambi´en conocidas como mapas iterados. Los sistemas din´amicos m´as comunes en electr´onica son continuos en el caso de electr´onica anal´ogica y discretos en electr´onica digital.
2.1.1. Modelo de variables de estados
Se requieren modelos matem´aticos para la comprensi´on cuantitativa de un sistema.
Estos modelos se pueden f´ormular de muchas maneras, pero su caracter´ıstica esencial es que nos permitan predecir el comportamiento futuro del sistema dada su condici´on inicial y un conocimiento de las fuerzas externas que afectan a ella [52].
La estructura matem´atica m´as adoptada para este prop´osito es la llamada repre- sentaci´on en variable o espacio de estados [52, 55], la cual consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen la evoluci´on de las variables cuyos valores en un instante dado determinan el estado actual del sistema. Estas se conocen como las variables de estado y sus valores en un momento particular se supone contienen infor- maci´on suficiente para predecir la evoluci´on futura del sistema, ya que las influencias externas (variables de entrada) que act´uan sobre este son conocidas. Las ecuaciones diferenciales deben ser por tanto de primer orden, de modo que los valores iniciales de las variables ser´an suficientes para determinar la soluci´on. Por conveniencia de notaci´on, es habitual agrupar las variables de estado en un vector x (el vector de estado), las variables de entrada en un vector u (el vector de entrada), y las salidas en un vector de salidas y, adem´as de escribir las ecuaciones en la forma [53]:
˙x = f(x, u, t)
y = h(x, u, t) (2.1.1)
El sistema descrito por (2.1.1) es invariante en el tiempo si ´este no depende expl´ıci-
2.1 Sistemas Din´amicos 9
tamente del tiempo. De la definici´on se puede concluir que todo sistema aut´onomo puede ser invariante en el tiempo. En general, un sistema din´amico es invariante en el tiempo si
x(0) = x(δ) = x0 ⇒x(t) = x(t + δ) ∀(t) (2.1.2) es decir, para que el sistema sea invariante en tiempo dos trayectorias que pasen por el mismo punto en diferentes tiempos tendr´an la misma evoluci´on con un desplazo en el tiempo. De no cumplir con la ecuaci´on (2.1.2) el sistema din´amico recibe el nombre de sistema variante en el tiempo.
2.1.2. Lineales y no lineales
Un sistema din´amico es lineal si se cumple
˙x = F(ax + by) = aF(x) + bF(y) (2.1.3) es decir, es lineal si la funci´on F que relaciona la tasa de incremento de las variables de estado con sus valores actuales cumple con el principio de superposici´on. Los sistemas lineales son sencillos de analizar y de trabajar, ya que la soluci´on del sistema sujeto a condiciones complejas se puede lograr simplificando el problema a la suma de respuestas del sistema a condiciones m´as sencillas. Sin embargo, si la ecuaci´on (2.1.3) falla en un sistema, ´este se dice ser no lineal. El hecho de ser no lineal hace que su an´alisis sea mucho m´as complejo (ya que no se puede simplificar el problema a instancias m´as sencillas). En la mayor´ıa de las ocasiones no se podr´a encontrar soluciones anal´ıticas exactas a los problemas no lineales, por lo tanto la representaci´on de la din´amica del sistema se auxilia mucho de t´ecnicas geom´etricas de visualizaci´on y an´alisis.
2.1.3. Sistemas aut´ onomos
Aunque las ecuaciones del modelo din´amico sean generalmente dependientes del tiempo, ya sea expl´ıcitamente o por medio de la funci´on de entrada, o ambos, una gran parte de la teor´ıa de sistemas no lineales se refiere a los casos en que no hay ninguna dependencia del tiempo [53]. Estos sistemas se dice que son aut´onomos, y que surgen naturalmente en la pr´actica cuando, por ejemplo, el vector de entrada se
mantiene fijo [52]. En cualquier caso, la ecuaci´on diferencial para el vector de estado se convertir´a en:
˙x = f(x, ˆu) (2.1.4)
Por lo tanto, los puntos de equilibrio en el espacio de estado son determinados por f(x,ˆu)=0. Suponiendo que f(x,ˆu) satisface la condici´on de Lipschitz [55], la ecuaci´on diferencial para x(t) tendr´a una soluci´on ´unica, para cualquier estado inicial x(0). El camino trazado en el espacio de estado por x(t) se llama una trayectoria del sistema y por la propiedad de unicidad [23], habr´a una y s´olo una trayectoria que pasa por un punto determinado. Si se suprime la dependencia de ˆu, las ecuaciones diferenciales de espacio de estado para un sistema aut´onomo se puede escribir simplemente como:
˙x = f(x) (2.1.5)
y el conjunto de todas las trayectorias de esta ecuaci´on proporciona una representaci´on geom´etrica completa del comportamiento din´amico del sistema, bajo las condiciones espec´ıficas. Como resultado, es posible dar una clasificaci´on pr´acticamente completa de la conducta en el plano de fase, aunque no en las dimensiones superiores del espacio de estados [24]. En general, las ecuaciones que describen un sistema no lineal no se pueden resolver anal´ıticamente, por lo que, a fin de construir las trayectorias con precisi´on, es necesario el uso de m´etodos num´ericos [25].
2.1.4. Geometr´ıa y estabilidad de los sistemas din´ amicos
La manera de visualizar el comportamiento de las variables de estado de un sis- tema din´amico puede ser en forma de serie de tiempo (gr´afica de una variable de estado contra tiempo), o en forma de espacio fase. El espacio fase de un sistema n- dimensional ˙x = F (x) es el espacio donde todos los posibles estados de un sistema son representados, cada par´ametro del sistema se representa como un eje de un espa- cio multidimensional y cada punto del espacio representa cada posible estado de las variables de sistema. En este tipo de representaci´on el tiempo se vuelve un par´ametro impl´ıcito; como ejemplo se muestra en la Figura 2.1 una serie de tiempo y un plano fase de un sistema din´amico.
2.1 Sistemas Din´amicos 11
X
t
(a) (b)
Figura 2.1: Representaci´on gr´afica: a) Serie de tiempo y b) Plano de fase
El espacio fase est´a descrito por un campo vectorial F que rige el recorrido de las variables del sistema x(t) en el tiempo, el recorrido de estas variables recibe el nombre de trayectoria. La Figura 2.2 muestra el campo vectorial en el espacio fase de un sistema din´amico, en ´el se pueden apreciar singularidades (puntos, ciclos o subconjuntos del espacio fase) que atraen a las trayectorias que pasan cerca de ellas y otras que las repelen.
Figura 2.2: Campo vectorial de un sistema din´amico no lineal
Se dice que una singularidad del espacio fase es estable, sumidero o atractor si toda trayectoria que comienza cerca de ella se aproxima a ella conforme el tiempo transcurre. De hecho si dicha regi´on atrae a todas las trayectorias del espacio fase, recibe el nombre de atractor global. Por otro lado, una singularidad del espacio fase es Lyapunov-estable si todas las trayectorias que comienzan suficientemente cercanas a ella se mantienen cercanas a ´esta durante todo el tiempo. Puede darse la situaci´on de que una singularidad del espacio fase sea Lyapunov-estable pero no atractor, si
esto sucede se dice que es neutralmente estable. Sin embargo, por lo general los dos tipos de estabilidad ocurren al mismo tiempo, y en ese caso la singularidad se dice ser asint´oticamente estable. Por ´ultimo, una singularidad es inestable, repulsor o fuente cuando no es ni atractor ni Lyapunov-estable, es decir, las trayectorias que inician cercanas a ella divergen conforme pasa el tiempo. La importancia de la estabilidad de las singularidades radica en que ´esta determina la estabilidad del sistema en el que se presenten las singularidades. En sistemas lineales, las singularidades s´olo pueden ser puntos, los cuales se conocen como puntos fijos; en cambio los sistemas no lineales pueden presentar puntos fijos, ciclos l´ımite y regiones llamadas atractores extra˜nos o ca´oticos.
Puntos de Equilibrio
Los puntos de equilibrio de un sistema aut´onomo dado por la ecuaci´on (2.1.5), en la p´ag. 10 se conocen como puntos singulares cuando f (x) = 0; ya que parecen violar la regla general de que s´olo una trayectoria puede pasar a trav´es de cualquier punto dado [56]. En realidad, la violaci´on es s´olo aparente, ya que las trayectorias que se encuentran en un punto singular en realidad no pasan por ´el, pero s´olo se acercan o apartan de ´el asint´oticamente [20]. Suponiendo que f (x) es lo suficientemente suave para que las ecuaciones sean linealizadas alrededor del punto singular ˆx, la aproxi- maci´on ser´a suficiente para determinar el comportamiento de las trayectorias en el vecindario del punto de equilibrio. Los eigenvalores λ del sistema guardan una estre- cha relaci´on con los puntos fijos ya que determinan la forma en que las trayectorias interact´uan con el punto fijo. En base al comportamiento de las trayectorias alrededor de los puntos fijos, ´estos pueden ser:
Nodo: Es un punto tal que en sus proximidades todas las ´orbitas entran a
´el. Es asint´oticamente estable si las ´orbitas est´an direccionadas al punto lo que sucede si los eigenvalores del sistema son reales, negativos y distintos entre s´ı. En cambio, si las trayectorias se alejan del nodo, ´este es inestable y los eigenvalores del sistema son reales, positivos y diferentes entre ellos.
Nodo estrella: Es un nodo en el que la tasa de rapidez con que todas las tra- yectorias convergen o divergen del punto es igual. En este caso, los eigenvalores del sistema son reales e iguales, si son positivos el nodo estrella es inestable y si son negativos es estable.
2.1 Sistemas Din´amicos 13
Foco: Este punto es asint´oticamente estable cuando todas las ´orbitas en sus proximidades tienden a ´el pero no entran en ´el; para que esto suceda los eigen- valores del sistema son complejos conjugados con parte real negativa. Los focos inestables corresponden a sistemas con eigenvalores complejos conjugados con parte real positiva.
Centro: Es tal que en sus proximidades todas sus ´orbitas son cerradas. Ninguna
´orbita entra y ninguna sale. Este punto es neutralmente estable y se presenta cuando los eigenvalores del sistema son imaginarios puros.
Punto silla: Las trayectorias inicialmente tienden al punto pero despu´es divergen de ´el. Este tipo de punto es inestable y se da cuando existen eigenvalores de un sistema que son distintos y de signo opuesto.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 2.3: Representaci´on gr´afica: a) Nodo estable, b) Foco estable, c) Nodo inestable, d) Foco inestable, e) Centro, f ) Punto silla
Si se tiene un sistema din´amico lineal ˙x = Ax , es f´acil conocer que tipo de punto fijo presenta dicho sistema; simplemente se calculan los eigenvalores λ a partir de la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema det(A − λI) = 0 y se analiza la relaci´on que hay entre los eigenvalores. Por otro lado, el an´alisis de los puntos fijos de un sistema no lineal ˙x = F(x) se puede hacer linealizando el sistema alrededor de cada uno de los puntos fijos y analizando cada sistema linealizado por separado [57].
2.1.5. Ciclos l´ımite
Una caracter´ıstica com´un de los sistemas aut´onomos es la existencia de un tipo especial de trayectoria la cual toma la forma de una curva cerrada. Esta se conoce como ciclo l´ımite y representa una soluci´on peri´odica de las ecuaciones del sistema ya que, cuando el vector de estado regresa a su valor inicial, este debe necesariamente repetir su movimiento anterior y as´ı continuar indefinidamente [54]. Los ciclos l´ımite pueden ocurrir en sistemas de cualquier orden, y de hecho constituyen la t´ıpica forma de comportamiento oscilatorio el cual surge cuando un punto de equilibrio de un sis- tema no lineal se vuelve inestable de acuerdo a la condici´on general para la existencia de l´ımites ciclo definida por el teorema de Poincar´e-Bendixon [54]. Otro concepto que tambi´en se debe a Poincar´e, el cual es relevante para la formaci´on de ciclos l´ımite en el plano de fase, es el ´ındice de la curva cerrada [52]. Si la curva es simple, es decir, no se intersecta a si misma, su ´ındice con respecto al vector funci´on f(x) es definido como el n´umero total neto de giros en sentido de las manecilla de reloj realizadas por f conforme x atraviese la curva cada vez en sentido del giro de las manecillas de reloj. Adem´as, esto implica que el ´ındice de la curva se puede calcular sumando la contribuci´on de los puntos singulares que la rodean, asumiendo que est´an aislados, donde cada nodo, foco o centro cuenta +1, y cada punto de silla cuenta −1 [23]. Ya que el ´ındice de un ciclo l´ımite es +1, este restringe su posible posici´on con respecto a los puntos de equilibrio del sistema. Un caso t´ıpico [56], con un ciclo l´ımite estable rodeando un foco inestable se muestra en la Figura 2.4
Figura 2.4: Ciclo l´ımite rodeando un foco inestable
2.1.6. Atractores extra˜ nos y caos
Aunque los puntos singulares y las curvas cerradas constituyen los ´unicos t´erminos asint´oticos de las trayectorias delimitadas para sistemas aut´onomos en el plano de fase, esto ya no es cierto en espacios de mayores dimensiones [20]. En general, el t´ermino para un conjunto de l´ımites donde todas las trayectorias en su vecindad
2.2 Dise˜no de Osciladores Ca´oticos 15
se aproximan a esta conforme t → ∞, se conoce como atractor [54], ya que atrae asint´oticamente las trayectorias cercanas a ella. Para sistemas de segundo orden, los
´
unicos tipos de conjuntos l´ımite encontrados son puntos singulares y ciclos l´ımite. Por consiguiente, los sistemas aut´onomos continuos en el tiempo requieren m´as de dos dimensiones para presentar caos [20, 52, 54]. Por lo tanto, en un espacio de estados de m´as de dos dimensiones es posible tener una mayor variedad de comportamientos, por ejemplo un toroide [25]. M´as complicado todav´ıa son los as´ı llamados conjuntos l´ımite extra˜nos. Estos pueden ser o tal vez no asint´oticamente atractivos para sus trayectorias colindantes; si lo son, estos se conocen como atractores extra˜nos [20, 52, 54], aunque incluso entonces, las trayectorias que contienen pueden ser localmente divergentes la una de la otra, dentro del conjunto de atracci´on. Tales estructuras son asociadas con el comportamiento quasi-aleatorio de soluciones llamado caos [20]. En general, las ecuaciones que especifican un sistema din´amico son dependientes de sus par´ametros o conjunto de par´ametros y su comportamiento ca´otico s´olo se manifiesta para ciertos valores de esos par´ametros [52, 54]. Es s´olo bajo el r´egimen ca´otico que el sistema no puede tener realmente puntos fijos [52]. Por ejemplo, el sistema de Lorentz presenta comportamiento ca´otico como se muestra en la Figura 2.5 [10].
Figura 2.5: Atractor ca´otico de Lorentz
2.2. Dise˜ no de Osciladores Ca´ oticos
Durante las ´ultimas dos d´ecadas, el dise˜no te´orico y la implementaci´on de distin- tos circuitos generadores de caos han sido un tema central de creciente inter´es debido a sus prometedoras aplicaciones en diversas tecnolog´ıas del mundo real basadas en caos y sistemas de informaci´on [7, 10, 12, 18, 19, 37, 42, 58, 59]. Este apartado ofrece una visi´on general sobre la generaci´on de atractores ca´oticos de m´ultiples enrolla-
mientos, incluyendo algunas metodolog´ıas de dise˜no e implementaci´on de circuitos.
En particular, el circuito de Chua [5, 6, 15, 21, 55], ha sido ampliamente estudiado y utilizado como una plataforma para aplicaciones de ingenier´ıa y se ha tomado como un paradigma del caos y un puente entre los circuitos electr´onicos y la teor´ıa del caos [60]. Recientemente, han atra´ıdo cada vez m´as atenci´on los circuitos de Chua modificados, los dise˜no te´oricos y la implementaci´on de hardware de diferentes tipos de osciladores ca´oticos, especialmente aquellos que pueden crear atractores ca´oticos de m´ultiples enrollamientos complejos utilizando circuitos y dispositivos electr´onicos simples [1, 4, 6, 17, 32, 33, 42].
Las funciones no lineales pueden surgir en un modelo din´amico, ya sea porque son intr´ınsecos a la naturaleza del sistema o porque, en un caso tecnol´ogico, como un sistema de control que ha sido introducido deliberadamente por el dise˜nador para un prop´osito espec´ıfico [56]. La variedad de posibles no linealidades es infinito, pero no obstante puede ser ´util para clasificarlos en algunas categor´ıas generales [54].
En primer lugar, hay funciones anal´ıticas simples, tales como potencias, sinusoi- des y exponenciales de una sola variable, o productos de diferentes variables. Una caracter´ıstica importante de estas funciones es que son lo suficientemente suaves para poseer expansiones de Taylor convergentes en todos los puntos y por lo tanto pueden ser linealizadas [57]. Un tipo de funci´on no lineal de uso frecuente en el modelado de sistemas es la aproximaci´on PWL [61, 62], que consiste en un conjunto de rela- ciones lineales v´alidos en diferentes regiones. Tienen la ventaja de que las ecuaciones din´amicas se conviertan en lineales (y por lo tanto solubles) en cierta regi´on, y las soluciones para las diferentes regiones se pueden unir en los l´ımites.
Aunque el objetivo concierne principalmente con los fen´omenos no lineales, es conveniente en este punto revisar el caso especial de sistemas lineales, en parte debido a que las aproximaciones lineales son ampliamente aplicables para resolver sistemas no lineales [56, 62]. Para sistemas con dimensiones finitas en la representaci´on de espacio de estado, las ecuaciones que describen un modelo lineal se convierten en:
˙x = Ax+Bu
y = Cx+Du (2.2.1)
donde A, B y D son matrices (posiblemente en funci´on del tiempo) de dimensiones
2.3 Circuito de Chua 17
apropiadas. La gran ventaja de la linealidad es que, inclusive en el caso de dependencia del tiempo, se puede construir una soluci´on formal de inmediato, la cual, es adem´as aplicable a todas las condiciones iniciales y todas las funciones de entrada [20].
Sin embargo, un punto importante que debe tenerse en cuenta para un sistema no lineal, es que las propiedades de estabilidad son esencialmente m´as complicadas que en el caso lineal, y en particular, es necesario distinguir entre los aspectos locales y globales [52]. Para un sistema lineal, no hay distinci´on de este tipo, pero cuando las no linealidades est´an presentes, diversas caracter´ısticas nuevas pueden aparecer, tales como los ciclos l´ımite o el fen´omeno conocido como caos [20, 52–54, 56].
En cualquier caso, el tipo de comportamiento en realidad se manifiesta por un sistema no lineal, ya sea estable, inestable, oscilatorio o ca´otico, esto puede depender principalmente de la entrada que se aplica a este, en contraste con el caso lineal, donde todas las propiedades din´amicas pueden ser descritas, por ejemplo por una funci´on de transferencia, independientemente de la entrada.
Los osciladores ca´oticos descritos en este documento son sistemas de tercer orden con funciones PWL. De esta manera, para los siguientes casos, el problema de valor inicial es descrito por un sistema lineal.
2.3. Circuito de Chua
Leon O. Chua present´o uno de los primeros osciladores ca´oticos electr´onicos [63–65]. El circuito es descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales de tercer orden dadas por (2.3.1), donde la funci´on desestabilizadora es descrita por (2.3.2).
Como se muestra en la Figura 2.6, el circuito de Chua contiene tres elementos de al- macenamiento de energ´ıa, un resistor lineal y una resistencia no lineal (NR) llamado diodo de Chua, dicho circuito es descrito por un sistema de ecuaciones de estado de tercer orden cuyas variables de estado son la corriente del inductor L y los voltajes de los capacitores C1 y C2. El sistema ca´otico es alimentado s´olo por un componente de la transconductancia negativa que se genera por el diodo de Chua, por lo tanto este dispositivo funciona como una resistencia negativa que muestra dos diferentes valores condicionados de acuerdo a iN R.
Figura 2.6: Circuito de Chua
dVC1
dt = −VC1
RC1
+ VC2
RC1
−iN R
C1
dVC2
dt = VC1
RC2
− VC2
RC2
− iL
C2
dIL
dt = −VC2
L (2.3.1)
iN R = G1V R + 1
2(G2−G1)(|VC1+ E| − |VC1−E|) (2.3.2) La ecuaci´on (2.3.2) describe la funci´on desestabilizante iN R, donde G1 y G2 son las pendientes de los tres segmentos controlados por voltaje que definen el resistor no lineal y ±E son los puntos de quiebre para generar el fen´omeno ca´otico, como se muestra en la Figura 2.7
Figura 2.7: Curva caracter´ıstica del diodo de Chua
2.3 Circuito de Chua 19
Para normalizar el sistema de ecuaciones en una representaci´on adimensional, una constante de tiempo τ = RCt2 es asignada al sistema permitiendo ˙xi = dxdτi, adem´as se realizan las siguientes equivalencias:
x1 = VC1 Bp
, x2 = VC2 Bp
, x2 = ILR Bp
, α = C2 C1
, β = R2C2
L , a = RGa, b = RGb
Las ecuaciones finales del sistema son descritas por (2.3.3) y (2.3.4)
˙x1 = −α(x2−x1−f (x1))
˙x2 = x1−x2+ x3
˙x3 = −βx2 (2.3.3)
f (x1) = bx1+1
2(a − b)(|x1+ 1| − |x1−1|) (2.3.4) Al seleccionar α = 10, β = 100/7, a = −8/7 y b = −5/7, se obtienen un atractor ca´otico con doble enrollamiento como se muestra en la Figura 2.8.
Figura 2.8: Comportamiento del circuito de Chua (atractor con doble enrollamiento)
2.3.1. Oscilador generalizado de Chua
En [66] se muestra una generalizaci´on del circuito de Chua cuyo sistema est´a regido por la ecuaci´on (2.3.5), donde h(x) describe una caracter´ıstica PWL dada por (2.3.6).
q es un n´umero natural que se ajusta para generar enrollamientos atractores pares o impares, m son las pendientes de la funci´on desestabilizadora PWL y c son los puntos de quiebre. Los valores de m y c para q = 1, 2, 3 han sido determinados en [5].
˙
x1 = α[x2−h(x)]
˙
x2 = x1−x2+ x3
˙
x3 = −βx2 (2.3.5)
h(x) = (m2q−1)x + 1 2
2q−1
X
i=1
(mi−1−m1)(|x + ci| − |x − ci|) (2.3.6)
La funci´on no lineal h(x) muestra m´as segmentaciones permitiendo la formaci´on de mayor n´umero de enrollamientos. Seleccionando α = 9 y β = 14.28 en (2.3.3) con q = 2, m = [0.9/7, −3/7, 3.5/7, −2.4/7], c = [1; 2.15; 4] en (2.3.6) se obtiene un atractor con 3 enrollamientos como se muestra en la Figura 2.9. Al seleccionar α = 9 y β = 14.28 en (2.3.3) y q = 3, m = [0.9/7, −3/7, 3.5/7, −2.7/7, 4/7, −2.4/7], y c = [1; 2.15; 3.6; 6.2; 9] en (2.3.6) se obtiene un atractor con 5 enrollamientos como se muestra en la Figura 2.10.
(a) (b)
Figura 2.9: Atractor con 3 enrollamientos: a) Representaci´on PWL y b) Gr´afica de fase
2.4 Oscilador Ca´otico de Multiples Enrollamientos Basado en Series de Funciones Saturadas 21
(a) (b)
Figura 2.10: Atractor con 5 enrollamientos: a) Representaci´on PWL y b) Gr´afica de fase
2.4. Oscilador Ca´ otico de Multiples Enrollamien- tos Basado en Series de Funciones Saturadas
Otro atractor de n-enrollamientos bastante interesante y pr´actico es el basado en series de funciones saturadas. Este ha sido realizado con algunos dispositivos electr´oni- cos [1, 3–5, 19], y puede ser extendido para generar atractores de n-enrollamientos multidimensionales [1, 37, 67].
B´asicamente, la funci´on no lineal es un conjunto de funciones saturadas (SNLF), cada una, compuesta por dos regiones saturadas en los l´ımites de salida y una pendien- te entre ellas como se muestra en la Figura 2.11. En general la pendiente es relacionada con la ganancia de un amplificador en modo voltaje y para altas ganancias la funci´on se aproxima a una escalera.
Figura 2.11: SNLF
En la Figura 2.12 son mostradas dos funciones saturadas con 5 y 7 segmentos,
respectivamente. Estas funciones est´an compuestas por dos segmentos. Los segmentos sin pendiente son llamadas regiones saturadas y los segmentos con pendiente son llamadas pendientes de saturaci´on. De este modo, el n´umero de enrollamientos que estas funciones saturadas pueden generar depende del n´umero de regiones saturadas.
En (2.4.1), se describe una aproximaci´on PWL llamada serie de una funci´on satu- rada mostrada en la Figura 2.12, donde k > 0 es la pendiente de la funci´on saturada, h es el retardo de saturaci´on, p y q son enteros positivos.
f (x; α, k, h, p, q) =
q
X
i=−p
fi(x; α, h, k) (2.4.1) Uno puede reescribir la ecuaci´on (2.4.1) en una forma expl´ıcita como se muestra en (2.4.2)
f(x; α, k, h, p, q) =
(2q + 1)k x > qh+ α
k
α(x − ih) + 2ik | x − ih |≤ α
−p ≤ i ≤ q
(2i + 1)k ih+ α < x < (i + 1)h − α
−p ≤ i ≤ q −1
−(2p + 1)k x <−ph − α
(2.4.2)
(a) (b)
Figura 2.12: SNLF con 5 y 7 segmentos
Las regiones saturadas en (2.4.2) est´an en ±nk, siendo n un entero impar para generar enrollamientos pares o n un entero par para generar enrollamientos impares.
h es el retardo de saturaci´on del centro de las pendientes, y debe estar de acuerdo con hi = ±mk, donde i = 1, . . . ,(s − 2)/2 y m = 2, 4, . . . , (s − 2) para enrollamientos pares; e i = 1, . . . ,(s − 1)/2 y m = 1, 3, . . . , (s − 2) para enrollamientos impares; p y q son enteros positivos.
2.4 Oscilador Ca´otico de Multiples Enrollamientos Basado en Series de Funciones Saturadas 23
Para generar atractores de n-enrollamientos se a˜nade un controlador f (x) a las ecuaciones de variables de estado del sistema, como se muestra en (2.4.3) [1], donde a, b, c, d1 son constantes positivas y deben satisfacer que 0 < a, b, c, d1 < 1 para cumplir las condiciones de caos [68]. f (x; α, k, h, p, q) es definido por (2.4.2), donde α permite que ahora k < 1 debido a que la condici´on de caos ahora se aplica sobre la nueva pendiente s = kα. De esta forma k y α se pueden seleccionar para permitir que α < 1 y s ≥ 2 dando lugar a un escalamiento en los rangos din´amicos de la funci´on no lineal saturada (SNLF) para la adecuada implementaci´on de atractores de n-enrollamientos utilizando dispositivos convencionales [3].
˙x = y
˙y = z
˙z = −ax − by − cz − d1f (x; α, k, h, p, q) (2.4.3)
2.4.1. Resultados de la simulaci´ on num´ erica
La simulaci´on num´erica de (2.4.3) y (2.4.2) se realiz´o mediante el uso de MATLAB aplicando el algoritmo ODE45. A continuaci´on se presenta la generaci´on de atractores ca´oticos de 2 a 9 enrollamientos.
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 2 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.13a. Al evaluar (2.4.2) y (2.4.3) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, un atractor ca´otico con 2 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.13b.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
f(x)
(a)
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.13: Oscilador con 2 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 3 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.14a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 1, p = q = 1, un atractor ca´otico con 3 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.14b.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1 0 1 2 3
x
f(x)
(a)
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.14: Oscilador con 3 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 4 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.15a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 1, p = q = 1, un atractor ca´otico con 4 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.15b.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4
x
f(x)
(a)
−5 0 5
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.15: Oscilador con 4 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 5 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.16a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando
2.4 Oscilador Ca´otico de Multiples Enrollamientos Basado en Series de Funciones Saturadas 25
a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 2, p = q = 2, un atractor ca´otico con 5 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.16b.
−5 0 5
−5
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
x
f(x)
(a)
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.16: Oscilador con 5 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 6 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.17a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 2, p = q = 2, un atractor ca´otico con 6 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.17b.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2 0 2 4 6
x
f(x)
(a)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.17: Oscilador con 6 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 7 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.18a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 3, p = q = 3, un atractor ca´otico con 7 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.18b.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2 0 2 4 6
x
f(x)
(a)
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.18: Oscilador con 7 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 8 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.19a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 3, p = q = 3, un atractor ca´otico con 8 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.19b.
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8
x
f(x)
(a)
−10 −5 0 5 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.19: Oscilador con 8 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
Para la generaci´on del oscilador ca´otico de 9 enrollamientos la funci´on no lineal saturada se muestra en la Figura 2.20a. Al evaluar (2.4.3) y (2.4.2) seleccionando a = b = c = d = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, h = 4, p = q = 4, un atractor ca´otico con 9 enrollamientos es generado tal como se muestra en la Figura 2.20b.
2.5 S´ıntesis con OpAmps y CFOAs 27
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8
x
f(x)
(a)
−10 −5 0 5 10
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
x2
x1
(b)
Figura 2.20: Oscilador con 9 enrollamientos a) SNLF, b) Diagrama de fase
2.5. S´ıntesis con OpAmps y CFOAs
El sistema descrito por (2.4.3) tiene una representaci´on en diagrama de bloques como se muestra en la Figura 2.21, la cual puede implementarse con tres integradores y un sumador.
Figura 2.21: Diagrama a bloques del sistema ca´otico
Este sistema puede implementarse utilizando OpAmps y CFOAs como se muestra en la Figuras 2.22 y Figura 2.23 respectivamente [69, 70].
Mediante la aplicaci´on de leyes de corriente de Kirchhoff en las Figuras 2.22 y 2.23 se obtienen las ecuaciones dadas en (2.5.1), donde la SNLF = i(x)Rix.
Figura 2.22: Implementaci´on con OpAmps
Figura 2.23: Implementaci´on con CFOAs
dx
dt = y
RC dy
dt = z
RC dz
dt = − x
RxC − y
RyC − z
RzC + i(x)Rix
RixC (2.5.1)
Cuyos par´ametros son determinados por (2.5.2)
C = 1
0.7Rix
, Rx = Ry = Rz = 1
0.7C, R = 1
C (2.5.2)
2.5 S´ıntesis con OpAmps y CFOAs 29
2.5.1. S´ıntesis de la funci´ on no lineal saturada (SNLF)
Considerando la funci´on saturada de la Figura 2.11, donde k > 0 es la pendiente del segmento medio, llamada pendiente saturada, y los l´ımites superior e inferior son las regiones saturadas, el modelado PWL de la funci´on no lineal saturada (SNLF) puede ser implementado utilizando el comportamiento de un amplificador en modo voltaje caracterizado como un circuito saturado.
Figura 2.24: Modelo de ganancia finita del Opamp
Como se muestra en la Figura 2.24, la caracter´ıstica en voltaje para la funci´on no lineal saturada (SNLF) se ajusta y sintetiza mediante el modelo de ganancia finita del OpAmp [71]. Por lo tanto si un cambio de voltaje (±E), se a˜nade, se obtiene un desplazamiento de voltaje en la SNLF, el cual est´a determinado por (2.5.3) tal y como se ilustra en la Figura 2.25.
(a) (b)
Figura 2.25: Desplazamientos de voltaje de la SNLF a) negativo b) positivo
Vo = Av
2 (|Vi+Vsat
Av
−E| − |Vi− Vsat
Av
−E|) (2.5.3)
Vo = Av
2 (|Vi+Vsat
Av
+ E| − |Vi−Vsat
Av
+ E|)
Para generar la SNLF adecuada, E toma diferentes valores en (2.5.3) para poder
sintetizar las pendientes y regiones saturadas requeridas en cada caso. El valor de las regiones saturadas, los puntos de quiebre α, las pendientes y h son evaluados por (2.5.4) [3, 72].
k = RixIsat, Isat= Vsat
Rc
, α = Riz|Vsat| Rf z
, h = Ei
(1 + RRiz
f z) (2.5.4) Las celdas de la Figura 2.26 pueden sintetizar la SNLF de (2.4.2), y el n´umero de celdas b´asicas (CB) es determinado por CB=(n´umero de enrollamientos−1), las cuales son conectados en paralelo como se muestra en la Figura 2.27 [3, 72].
(a) (b)
Figura 2.26: Celda b´asica para sintetizar la SNLF con a) OpAmps b) CFOAs
Figura 2.27: Estructura para sintetizar la SNLF
2.6 Resultados de Simulaci´on en SPICE 31
2.6. Resultados de Simulaci´ on en SPICE
Es necesario utilizar una herramienta CAD que nos ayude a comprobar la in- tegridad y correcto funcionamiento de los dise˜nos a nivel circuito. En esta secci´on complementaremos el an´alisis y estudio del circuito propuesto ayud´andonos del pro- grama HSPICE, el cual es un simulador de circuitos electr´onicos anal´ogicos y digitales de gran alcance que se utiliza a nivel dise˜no de CI.
2.6.1. Usando OpAmps
Al seleccionar a = b = c = d1 = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, y los valores de p, q, h mostrados en la secci´on (2.4.1.) utilizando Vsat = 10V para el OpAmp UA741 [73], la s´ıntesis del circuito de la Figura 2.22 para la generaci´on de 2 a 9 enrollamientos se muestra en la Figura 2.28. Los elementos del circuito son: Rix = 10KΩ, C = 2.2nf , R = 7KΩ, Rx = Ry = Rz = 10KΩ, Rf = 10KΩ, Ri = 10KΩ en (2.5.2) y Rix = 10KΩ, Rc = 100KΩ, Riz = 1KΩ, Rf z = 1MΩ en (2.5.4).
2.6.2. Usando CFOAs
Al seleccionar a = b = c = d1 = 0.7, k = 1, α = 0.1, s = 10, y los valores de p, q, h mostrados en la secci´on (2.4.1.) utilizando Vsat = 12V para el CFOA AD844 [74], la s´ıntesis del circuito de la Figura 2.23 para la generaci´on de 2 a 6 enrollamientos se muestra en la Figura 2.29. Los elementos del circuito son: Rix = 10KΩ, C = 2.2nf , R = 7KΩ, Rx = Ry = Rz = 10KΩ, Rf = 10KΩ, Ri = 10KΩ en (2.5.2) y Rix = 10KΩ, Rc = 100KΩ, Riz = 1KΩ, Rf z = 1MΩ en (2.5.4).
2.7. Implementaci´ on F´ısica
En esta secci´on se presenta la implementaci´on con circuitos electr´onicos de los sistemas presentados en las Figuras 2.22 y 2.23, respectivamente.
Usando OpAmps
La implementaci´on del sistema de la Figura 2.22 se llev´o a cabo utilizando el OpAmp TL081 [75].
Al seleccionar Rix = 10KΩ, C = 2.2nf , R = 7KΩ, Rx = Ry = Rz = 10KΩ, Rf = 10KΩ, Ri = 10KΩ en la Figura 2.22 y Rix = 10KΩ, Rc = 100KΩ, Riz = 1KΩ, Rf z = 1MΩ, E1 = ±1v y E2 = ±3v con Vsat = ±6.4v en la Figura 2.26 y 2.27, se obtiene como resultado N=5-enrollamientos, F = 10Khz, EL = ±5v como se muestra en la Figura 2.30.
Usando CFOAs
La implementaci´on del sistema de la Figura 2.23 se llev´o a cabo utilizando el CFOA comercial AD844 [74].
Al seleccionar Rix = 10KΩ, C = 2.2nf , R = 7KΩ, Rx = Ry = Rz = 10KΩ, Rf = 10KΩ, Ri = 10KΩ en la Figura 2.23 y Rix = 10KΩ, Rc = 100KΩ, Riz = 1KΩ, Rf z = 1MΩ, E1 = ±2v y E2 = ±4v con Vsat = ±6.4v en la Figura 2.26 y 2.27, se obtiene como resultado N=5-enrollamientos, F = 10Khz, EL = ±5v como se muestra en la Figura 2.31.
2.8. Sumario
Se describi´o como modelar osciladores ca´oticos de n-enrollamientos a trav´es de variables de estado y aproximaciones PWL. Se mostr´o la simulaci´on num´erica de atractores ca´oticos de n-enrollamientos en MATLAB, as´ı como la necesidad de escalar los niveles de voltaje de estos para su implementaci´on con dispositivos comerciales. Se realiz´o la s´ıntesis de osciladores ca´oticos de 2 a 9 enrollamientos en HSPICE utilizando OpAmps y CFOAs comerciales, adem´as, se demostr´o que la SNLF puede sintetizarse con OpAmps y CFOAs comerciales controlando los puntos de quiebre y pendientes de la funci´on no lineal. Finalmente, se muestra la implementaci´on f´ısica de estos osciladores.
2.8 Sumario 33
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
Figura 2.28: S´ıntesis con OpAmps
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.29: S´ıntesis con CFOAs
(a) (b)
Figura 2.30: Atractor ca´otico de 5 enrollamientos usando OpAmps a) SNLF y b) Atractor ca´otico
(a) (b)
Figura 2.31: Atractor ca´otico de 6 enrollamientos usando CFOAs a) SNLF y b) Atractor ca´otico
