2. Todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos números primos. 2

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T ecnol´ogico de Costa Rica C´alculo Proposicional1

C´alculo Diferencial e Integral Cristhian P´aez

Escuela de Matem´atica

Introducci´on

Poder reconocer cu´ando un razonamiento es correcto y saber construirlo en fundamental en el estu-dio de las matem´aticas; por eso, ser´a importante estudiar qu´e argumentos hacen que determinado razonamiento sea irrefutable.

La l´ogica estudia procesos donde se concluye una afirmaci´on a partir de un conjunto de afirmaciones (en matem´atica, interesa el estudio de razonamientos correctos).

Sistemas deductivos formales

¿Qu´e se debe entender por una deducci´on l´ogica? o ¿qu´e ha de cumplirse para que una f´ormula sea una consecuencia l´ogica de otra u otras f´ormulas? son preguntas que interesan en el estudio del c´alculo proposicional. Para determinar qu´e se debe entender por una demostraci´on matem´atica s´olo quedar´a establecer un sistema de axiomas (que son cierto conjunto de principios b´asicos aceptados sin demostraci´on alguna), de modo que los teoremas matem´aticos sean proposiciones (afirmaciones de las que se puede decir, sin ambig¨uedad, sin son verdaderas o falsas) cuya validez se verifica como consecuencias l´ogicas de los axiomas.

Se debe tener en presente que no se dar´a una definici´on arbitraria de “deducci´on l´ogica”, sino que se estar´a retomando la noci´on de razonamiento que los matem´aticos han empleado desde hace milenios. En este sentido, se buscar´a formalizar la l´ogica, es decir, reducir los razonamientos l´ogicos a simples manipulaciones mec´anicas de f´ormulas que no requieran tener en cuenta su posible significado para decidir si son v´alidas o no.

En principio, se puede decir que un “razonamiento” es una sucesi´on de premisas tales que cada una es consecuencia de las anteriores en un sentido que hemos de precisar; o bien, que es un conjunto de proposiciones, llamadas premisas o hip´otesis y otra conclusi´on o tesis.

Ejercicio

Determine si las siguientes afirmaciones son proposiciones o no. 1. El cuadrado de todo n´umero impar es par.

2. Todo n´umero par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos n´umeros primos.2 3. ¡Detente!

4. 98 + 15 da como resultado un n´umero primo. 5. 781 ≥ 781.

1Apuntes basados en las obras siguientes:

Suppes, P. y Hill S. (2002). Introducci´on a la l´ogica matem´atica. M´exico: Revert´e Ediciones. Copi, I. (2000). L´ogica simb´olica. M´exico: Compa˜n´ıa Editorial Continental.

Uzc´ategui, C. L´ogica, Conjuntos y N´umeros. Universidad de Los Andes. Ivorra, C. L´ogica y teor´ıa de conjuntos.

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6. ¡Esp´erame! 7. Hoy hace calor. 8. m es un n´umero par. 9. Voy al cine regularmente.

10. Un 15 de setiembre Saprissa gole´o 5 a 1 a Alajuelense. 11. ¿Por qu´e te gustan los v´ıdeo juegos?

12. Todo n´umero elevado a su tercera potencia es positivo. 13. 245847

> 474578221

14. El jueves 27 de enero estaba haciendo fr´ıo en Cartago.

15. ¿Para qu´e est´as matriculado en C´alculo Diferencial e Integral? 16. Existe un n´umero par menor que 25.

17. Todo problema tiene soluci´on ´unica. 18. x + 3 = 2 para alg´un x entero. 19. 00 = 1

20. Todo atleta es disciplinado. 21. x2 ≥ 1 para todo valor real x.

Conectivos l´ogicos

Las proposiciones se pueden combinar para obtener otras proposiciones utilizando los conectivos l´ogicos.

En la tabla siguiente se indican los nombres de estos enlaces, su simbolog´ıa y un ejemplo.

Nombre S´ımbolo Ejemplo

Negaci´on ¬ No me mojo

Disyunci´on Me mojo o voy al estadio

Conjunci´on Hace calor y voy al estadio

Condicional Si sale el Sol, entonces voy al estadio Bicondicional Voy al estadio si, y s´olo si, sale el Sol

Toda proposici´on que no contenga conectivo l´ogico alguno se dice que es una proposici´on simple (tambi´en se le conoce como proposici´on at´omica), las que contienen al menos un enlace son llamadas proposiciones compuestas.

Dado que la oraci´on declarativa con que se expresa una proposici´on puede ser larga y compleja, es conveniente simbolizar las proposiciones presentes en tales oraciones con el fin de simplificar su

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representaci´on y manipulaci´on; para esto, usualmente son utilizadas las letras P , Q, R, . . . para simbolizar las proposiciones.

En la siguiente tabla se consideran las proposiciones P y Q y se indica la forma en la que debe leerse la simbolizaci´on asociada a cada conectivo l´ogico.3

Simbolizaci´on Lectura

¬P no P

P ∨ Q P o Q

P ∧ Q P y Q

P ⇒ Q si P , entonces Q P ⇔ Q P si, y s´olo si, Q

Las proposiciones del tipo “si P , entonces Q” son llamadas proposiciones condicionales, donde P se llama antecedente y Q consecuente. La rec´ıproca de P ⇒ Q es la proposici´on Q ⇒ P y la contrapositiva de P ⇒ Q es la proposici´on ¬Q ⇒ ¬P .

Ejercicio

Considere las proposiciones siguientes con su respectiva simbolizaci´on: P = “est´a lloviendo”

Q = “el Sol est´a brillando” R = “hay nubes en el cielo”

1. Simbolice, a partir de las proposiciones simples anteriores, las proposiciones compuestas que se enuncian a continuaci´on.

(a) Est´a lloviendo y el Sol est´a brillando.

(b) Si est´a lloviendo, entonces hay nubes en el cielo. (c) No es cierto que el Sol no est´a brillando.

(d) Si no est´a lloviendo, entonces el Sol no est´a brillando y hay nubes en el cielo. (e) Si no est´a lloviendo y no hay nubes en el cielo, entonces el Sol est´a brillando. (f) El Sol est´a brillando si, y s´olo si, no est´a lloviendo.

(g) No es el caso que est´e lloviendo o el Sol est´e brillando, pero hay nubes en el cielo.

2. Redacte una posible oraci´on que corresponde con cada una de las proposiciones compuestas siguientes.

(a) (P ∧ Q) ⇒ R (b) ¬P ⇔ (Q ∨ R)

(c) ¬R ⇒ Q (d) (P ⇒ R) ⇒ Q

3Existen dos tipos de disyunci´on: la inclusiva (cuando ambas alternativas son permitivas) y la exclusiva (cuando

s´olo una de las alternativas es permitiva); en el curso estaremos utilizando la disyunci´on en el sentido inclusivo.

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3. Simbolice la proposici´on “si est´a lloviendo, entonces hay nubes en el cielo” y determine, tex-tualmente y de manera simb´olica:

(a) La contrapositiva de la proposici´on. (b) La rec´ıproca de la proposici´on.

(c) La negaci´on de la proposici´on (manteniendo como v´alido el antecedente de la proposici´on condicional) y generalice una regla para ¬ (P ⇒ Q).

4. Determine la negaci´on de la proposiciones siguientes y su simbolizaci´on:

(a) “Est´a lloviendo y hay nubes en el cielo”. Adem´as, generalice, de manera simb´olica, una regla para ¬ (P ∧ R).

(b) “El Sol est´a brillando o hay nubes en el cielo”. Adem´as, generalice, de manera simb´olica, una regla para ¬ (Q ∨ R).

(c) “No est´a lloviendo”. Adem´as, generalice, de manera simb´olica, una regla para ¬ (¬P ).

Con base en lo resuelto anteriormente, con concluyen los resultados siguientes:4 1. ¬ (P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q

2. ¬ (P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q 3. ¬ (P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q 4. ¬ (¬P ) ≡ P

Adem´as de las reglas cuatro reglas enunciadas, tambi´en son v´alidos los resultados siguientes: 1. P ∨ Q ≡ Q ∨ P

2. P ∧ Q ≡ Q ∧ P

En la expresi´on bicondicional “P si, y s´olo si, Q” se tiene la conjunci´on de dos expresiones. La primera de ellas es “P , si Q” y expresa lo mismo que la proposici´on condicional “si Q, entonces P ”.

La otra expresi´on es “P , s´olo si Q” y es equivalente a mencionar que P ocurre solamente si Q ocurre; por esta raz´on se dice que Q es una condici´on necesaria para que P ocurra, o lo que es equivalente, cada vez que P se cumple necesariamente Q tambi´en. De esta manera, la expresi´on equivale a decir “si P , entonces Q”.

Ejercicios

1. Sean P , Q y R las proposiciones siguientes: P = “Juan llega demasiado pronto”

Q = “Mar´ıa llega demasiado tarde” R = “El jefe se molesta”

Utilizando las letras anteriores y los conectivos l´ogicos traduzca las oraciones siguientes a no-taci´on l´ogica.

4El s´ımbolo ≡ representa que las proposiciones son equivalentes en un sentido l´ogico. 4

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(a) Si Juan llega demasiado proto o Mar´ıa demasiado tarde, entonces el jefe se molesta. (b) Si Mar´ıa llega demasiado tarde, entonces Juan no llega demasiado pronto.

(c) El jefe se molesta o Mar´ıa no llega demasiado tarde.

(d) Mar´ıa llega demasiado tarde, Juan llega demasiado pronto y el jefe se molesta.

(e) Si el jefe no se molesta, entonces Juan no llega demasiado pronto y Mar´ıa no llega de-masiado tarde.

(f) Mar´ıa no llega demasiado tarde o Juan llega demasiado pronto.

(g) Si Mar´ıa no llega demasiado tarde y Juan no llega demasiado pronto, entonces el jefe no se molesta.

2. Niegue las proposiciones siguientes:

(a) Ganaremos el primer partido o el segundo. (b) 5 ≥ 3.

(c) Las rosas son rojas y las margaritas amarillas. (d) Alejandra quiere comer fruta pero no helado.

(e) No es cierto que no quiera ir al nuevo Estadio Nacional. (f) Si 210 < 35, entonces 1010 < 155.

(g) Todos los n´umeros pares son m´ultiplos de cuatro.

3. Proporcione la negaci´on, la rec´ıproca y la contrapositiva de cada una de las proposiciones siguientes:

(a) Si soy listo, entonces soy millonario. (b) Si 2 + 2 = 4, entonces 2 + 4 = 8.

(c) Si Juan llega demasiado pronto o Mar´ıa demasiado tarde, entonces el jefe se molesta. (d) Si hay nubes en el cielo y el Sol no est´a brillando, entonces no ir´e al estadio.

(e) Si a es un n´umero real y a > 0, entonces a2 > 0.

Tablas de verdad

Es importante poder decidir cu´ando una proposici´on es verdadera, ya que para razonar correctamente se debe garantizar que a partir de proposiciones verdaderas se infiera otra proposici´on verdadera. Algunas proposiciones compuestas pueden ser complejas, de manera que no sea sencillo mencionar si estas son verdaderas o no.

Se estudiar´a, en principio, el valor de verdad (si la proposici´on es verdadera o si es falsa) de proposi-ciones compuestas que contengan alguno de los conectivos l´ogicos que hemos estudiado hasta el momento y, luego, con ayuda de tablas se estar´an analizando proposiciones un poco m´as complejas. Con ayuda de las tablas, podremos colocar todas las posibilidades de certeza o falsedad de las proposi-ciones at´omicas que forman la proposici´on molecular y, de esta manera, deducir si la proposici´on molecular es cierta o falsa.

A continuaci´on, basados en las proposiciones representadas por P y por Q, se enuncian las tablas b´asicas de certeza para los cinco t´erminos primitivos que se estudian en este curso.

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Negaci´on P ¬P V F F V Disyunci´on P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F Conjunci´on P Q P ∧ Q V V V V F F F V F F F F Condicional P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V Bicondicional P Q P ⇔ Q V V V V F F F V F F F V

Con base en las tablas anteriores es posible determinar si alguna proposici´on compuesta es falsa o verdadera con s´olo analizar todas los posibles valores de verdad para cada una de las proposiciones simples que la conforman.

El uso de las tablas de verdad para determinar si alg´un razonamiento es v´alido o no se basa en los pasos siguientes:

1. Se escriben todas las combinaciones posibles de valores de certeza para las proposiciones at´omicas incluidas en el enunciado.

2. Se determinan los valores de certeza para todas las premisas y para la conlusi´on del razona-miento.

3. Se buscan las l´ıneas que presentan todas las premisas como proposiciones verdaderas; en caso de que la conclusi´on sea cierta tambi´en para cada una de estas l´ıneas, entonces el razonamiento es v´alido. En caso de que exista alguna l´ınea en la que todas las premisas son verdaderas y la conclusi´on es falsa, el razonamiento no es v´alido.

Ejemplo

En este ejemplo se simboliza y se analiza, mediante una tabla de verdad y basados en los pasos descritos anteriormente, si el razonamiento siguiente es v´alido o no:

Tomo sufiente agua o como frutas frescas de temporada. No tomo suficiente agua. Por lo tanto, como frutas frescas de temporada.

Se simbolizan las proposiciones at´omicas como P = “tomo sufiente agua” y Q = “como frutas frescas de temporada”. Las premisas, de manera simb´olica, son las proposiciones P ∨ Q y ¬P . La conclusi´on es la proposici´on Q.

La tabla de verdad para el razonamiento est´a dada por:

P Q P ∨ Q ¬P

V V V F

V F V F

F V V V

F F F V

Las dos premisas de este razonamiento son verdaderas en la tercera l´ınea (´unicamente) y la conclusi´on tambi´en es verdadera en esta tercera l´ınea; de esta manera, se concluye que el razonamiento es v´alido. Ejercicio

Determine, mediante tablas de verdad, si cada uno de los razonamientos siguientes son v´alidos o no. 6

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1. Si llueve torrencialmente, entonces me mojo los zapatos. Me mojo los zapatos. Por lo tanto, llueve torrencialmente.

2. Si Isabel se retrasa, entonces Cristina es puntual. Si Isabel no se retrasa, entonces Cristina no es puntual. Por lo tanto, Isabel se retrasa o Cristina es puntual.

3. Garc´ıa no entrega la mercader´ıa o el contrato se considera legal. Por lo tanto, si Garc´ıa entrega la mercader´ıa, entonces el contrato se considera legal.

4. Voy al cine o a dormir. No voy al cine. Por lo tanto, no voy a dormir.

5. Si el viernes voy a clases de C´alculo Diferencial e Integral, entonces ese d´ıa no ir´e a clases de Laboratorio de F´ısica. Voy a clases de Laboratorio de F´ısica el viernes y ese d´ıa no voy a clases de C´alculo Diferencial e Integral. Por lo tanto, el viernes voy a clases de C´alculo Diferencial e Integral o ese d´ıa voy a clases de Laboratorio de F´ısica.

6. Si yo fuera el presidente de Costa Rica, entonces vivir´ıa en Zapote. Es claro que no soy el presidente de Costa Rica. Por lo tanto, no vivo en Zapote.

7. Los terrenos sembrados continuamente se agotan si, y s´olo si, no se han tomado las medidas para restablecer los minerales extra´ıdos por las cosechas. Por lo tanto, los terrenos sembrados continuamente se agotan o se han tomado las medidas para restablecer los minerales extra´ıdos por las cosechas.

8. Un ´atomo de hidr´ogeno tiene un prot´on en su n´ucleo y el n´umero at´omico del hidr´ogeno es uno. Por lo tanto, un ´atomo de hidr´ogeno tiene un prot´on en cada n´ucleo si, y s´olo si, el n´umero at´omico del hidr´ogeno es uno.

Tautolog´ıas, contingencias y contradicciones

Una proposici´on es una tautolog´ıa si, y s´olo si, permanece cierta para todas las combinaciones de asig-naciones de certeza atribuidas a cada una de sus distintas proposiciones at´omicas. En forma an´aloga, si una proposici´on es falsa para todas las combinaciones de asignaci´on de certeza atribuidas a cada una de sus distintas proposiciones at´omicas, entonces dicha proposici´on es llamada contradicci´on. En caso de que una proposici´on no sea ni tautolog´ıa ni contradicci´on, se dice que es una contingencia. Ejemplo

Considerando la proposici´on (P ∨ Q) ⇒ P , se presenta su tabla de verdad asociada y se clasifica como tautolog´ıa, contradicci´on o contingencia.

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ⇒ P

V V V V

V F V V

F V V F

F F F V

En la cuarta columna de la tabla de verdad se encuentran los valores de certeza que se le atribuyen a la proposici´on (P ∨ Q) ⇒ P con base en todas las combinaciones de asignaciones de certeza atribuidas

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a cada una de sus distintas proposiciones at´omicas. La proposici´on (P ∨ Q) ⇒ P es una contingencia. Ejercicio

Determine, con base en tablas de verdad, si cada una de las proposiciones que se enuncian es una tautolog´ıa, una contradicci´on o una contingencia.

1. P ⇒ P 2. ¬Q ⇒ P 3. (P ⇒ Q) ⇔ (¬P ∨ Q) 4. (P ∧ Q) ⇒ (P ∨ ¬Q) 5. P ∧ ¬P 6. (P ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ P ) 7. (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P ) 8. ((P ⇒ Q) ∧ ¬Q) ⇒ P 9. (P ⇒ Q) ∨ ¬Q 10. P ⇒ (P ∨ Q) 11. (Q ∨ P ) ⇒ (¬P ⇒ Q) 12. P ∨ ¬P 13. ¬P ∧ (P ⇒ Q) 14. (¬P ∨ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q) 15. (P ∧ Q) ∨ (Q ⇒ ¬P ) 16. (P ⇒ Q) ∧ (P ∨ Q) 17. ¬ (P ∨ Q) ∧ R 18. (¬P ∨ Q) ∧ ¬P 19. (P ∧ Q) ⇒ P 20. ¬P ⇒ (Q ∧ R) 21. (P ⇔ ¬Q) ∨ R Inferencias l´ogicas

En algunas ocasiones es tedioso utilizar tablas de verdad para probar la validez de ciertos argumentos, principalmente cuando estos contienen dos o m´as enunciados simples diferentes como componentes; es estos casos, conviene establecer la validez de los argumentos deduciendo las conclusiones de sus premisas mediante una secuencia de argumentos m´as cortos y elementales para los que se conoce su validez. Reglas de inferencia • Modus Ponens: MP (a) P ⇒ Q (b) P ∴ Q • Modus Tollens: MT (a) P ⇒ Q (b) ¬Q ∴ ¬P • Silogismo Hipot´etico: SH (a) P ⇒ Q (b) Q ⇒ R ∴ P ⇒ R • Silogismo Disyuntivo: SD (a) P ∨ Q (b) ¬P ∴ Q • Dilema Constructivo: DC (a) P ⇒ Q (b) R ⇒ S (c) P ∨ R ∴ Q ∨ S • Simplificaci´on: Simp. (a) P ∧ Q ∴ P • Dilema Destructivo: DD (a) P ⇒ Q (b) R ⇒ S (c) ¬Q ∨ ¬S ∴ ¬P ∨ ¬R • Adjunci´on: Adj. (a) P (b) Q ∴ P ∧ Q • Adici´on: Adi. (a) P ∴ P ∨ Q 8

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Se inicia con un listado de premisas y con base en las reglas de inferencia se deducen conclusiones; el paso l´ogico de las premisas a la conclusi´on es una deducci´on. La conclusi´on que se obtiene se dice que es una consecuencia l´ogica de las premisas si cada paso que se da para llegar a la conclusi´on est´a permitido por una regla de inferencia. Lo fundamental en inferencia es que de premisas verdaderas se obtienen s´olo conclusiones verdaderas.

Algunos ejemplos

1. Demostrar R ∧ (P ∨ Q) dadas las premisas siguientes: P ∨ Q, Q ⇒ R, P ⇒ T, ¬T *(1) P ∨ Q *(2) Q ⇒ R *(3) P ⇒ T *(4) ¬T ————————— (5) ¬P MT 3,4 (6) Q SD 1,5 (7) R MP 2,6 ∴ R ∧ (P ∨ Q) Adj. 7,1

2. Demostrar C dadas las premisas siguientes: A ⇒ (B ∧ D) , (B ∧ D) ⇒ C, A *(1) A ⇒ (B ∧ D) *(2) (B ∧ D) ⇒ C *(3) A ————————— (4) B ∧ D MP 1,3 ∴ C MP 2,4

3. Demostrar ¬N dadas las premisas siguientes: R ⇒ ¬S, R, ¬S ⇒ Q, Q ⇒ ¬N *(1) R ⇒ ¬S *(2) R *(3) ¬S ⇒ Q *(4) Q ⇒ ¬N ————————— (5) ¬S MP 1,2 (6) Q MP 3,5 ∴ ¬N MP 4,6 9

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4. Considere el planteamiento siguiente:

Si Tom´as tiene diecisiete a˜nos, entonces Tom´as tiene la misma edad que Juana. Si Joaqu´ın tiene distinta edad que Tom´as, entonces Joaqu´ın tiene distinta edad que Juana. Tom´as tiene diecisiete a˜nos y Joaqu´ın tiene la misma edad que Juana. Por tanto, Joaqu´ın tiene la misma edad que Tom´as y Tom´as la misma que Juana.

Sean:

E : Tom´as tiene diecisiete a˜nos

S : Tom´as tiene la misma edad que Juana T : Joaqu´ın tiene la misma edad que Tom´as J : Joaqu´ın tiene la misma edad que Juana Entonces: *(1) E ⇒ S *(2) ¬T ⇒ ¬J *(3) E ∧ J ————————— (4) E Simp. 3 (5) S MP 1,4 (6) J Simp. 3 (7) T MT 2,6 ∴ T ∧ S Adj. 5,7 Algunos ejercicios

1. Justifique cada uno los pasos que se realizan en la demostraci´on de: x = 5 ∧ x 6= 4 *(1) x = 2 ⇒ x < 3 *(2) x 6= 4 ∧ x ≥ 3 *(3) (x 6= 2 ∨ x > 4) ⇒ x = 5 ————————— (4) x ≥ 3 (5) x 6= 2 (6) x 6= 2 ∨ x > 4 (7) x = 5 (8) x 6= 4 ∴ x = 5 ∧ x 6= 4 10

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2. Justifique cada uno los pasos que se realizan en la demostraci´on de: x = 3 *(1) x − 2 = 1 ∧ 2 − x 6= 1 *(2) x = 1 ⇒ 2 − x = 1 *(3) x = 1 ∨ x + 2 = 5 *(4) (x + 2 = 5 ∧ x − 2 = 1) ⇒ x = 3 ————————— (5) 2 − x 6= 1 (6) x 6= 1 (7) x + 2 = 5 (8) x − 2 = 1 (9) x + 2 = 5 ∧ x − 2 = 1 ∴ x = 3

3. Simbolice el razonamiento siguiente. ¿Es v´alido lo que se concluye?

Si el rey no se enroca y el pe´on avanza, entonces o el alfil queda bloqueado o la torre inmovilizada. Si el rey no se enroca, entonces, si el alfil queda bloqueado entonces el juego es tablas. O el rey se enroca o si la torre es inmovilizada se pierde el cambio. El rey no se enroca y el pe´on avanza. Por lo tanto, o el juego es tablas o se pierde el cambio. (K: el rey se enroca. P: El pe´on avanza. B: El alfil es bloqueado. R: La torre es inmovilizada. D: El juego es tablas. E: Se pierde el cambio.)

4. Construir una prueba formal de la validez para cada uno de los argumentos siguientes: (a) Demostrar ¬A ∨ ¬C si

*(1) A ⇒ B *(2) C ⇒ D *(3) (¬B ∨ ¬D) ∧ (¬A ∨ ¬B) (b) Demostrar ¬T ∨ ¬U si *(1) (R ⇒ ¬S) ∧ (T ⇒ ¬U) *(2) (V ⇒ ¬W ) ∧ (X ⇒ ¬Y ) *(3) (T ⇒ W ) ∧ (U ⇒ S) *(4) V ∨ R (c) Demostrar H si *(1) E ⇒ (F ∧ ¬G) *(2) (F ∨ G) ⇒ H *(3) E (d) Demostrar Q si *(1) M ⇒ N *(2) N ⇒ O *(3) (M ⇒ O) ⇒ (N ⇒ P ) *(4) (M ⇒ P ) ⇒ Q (e) Demostrar T ∨ S si *(1) Q ∨ T *(2) Q ⇒ R *(3) ¬R (f) Demostrar Q si *(1) T ⇒ S *(2) (¬T ∨ R) ⇒ Q *(3) ¬S 11

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5. Para cada uno de los enunciados siguientes, demostrar que la conclusi´on es consecuencia de las premisas dadas.

(a) Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es el cabeza de familia. Si el hermano de la madre es el cabeza de familia, entonces el padre no tiene autoridad. Esta es una sociedad matriarcal. Por lo tanto, el padre no tiene autoridad.

(b) La c´amara fue adquirida legalmente por el vendedor o la c´amara es mercanc´ıa robada. Si la c´amara fue adquirida legalmente por el vendedor, entonces es mi c´amara. Si la c´amara es mercanc´ıa robada, entonces Tom´as es su propietario legal.

(c) Si Juan es m´as alto que Pedro, entonces Mar´ıa es m´as baja que Juana. Mar´ıa no es m´as baja que Juana. Si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan es m´as alto que Pedro. Por tanto, Juan y Luis no tienen la misma estatura.

(d) El Sol sale y se pone si, y s´olo si, la Tierra gira. La Tierra gira y la Luna se mueve alrededor de la Tierra. Por tanto, el Sol sale y se pone, o el clima es muy caliente o fr´ıo.

Cuantificadores

Una proposici´on abierta (predicado) es toda proposici´on del tipo A (x); es decir, toda proposici´on que dependa de una(varias) variable(s). Con cada elemento arbitrario x, A (x) tendr´a un valor de verdad. Con este tipo de proposiciones el lenguaje de la l´ogica proposicional es insuficiente para expresar la mayor´ıa de los resultados de la matem´atica.

Expresiones como “todo elemento de” ocurren con mucha frecuencia en matem´aticas y refleja una de sus caracter´ısticas m´as importantes: la posibilidad de mostrar hechos generales sobre los elementos del universo que se est´e analizando. La expresi´on anterior es llamada cuantificador universal y abreviada por el s´ımbolo ∀ que se lee “para todo”. Otro cuantificador que se utiliza en l´ogica es el cuantificador existencial, denotado con el s´ımbolo ∃ y cuya lectura es “existe”.

Si A (x) es una proposici´on abierta, por una parte, ∀x (A (x)) indica que “todo valor x cumple la proposici´on A (x)”; note que la proposici´on ∀x (A (x)) ser´a verdadera siempre que todos los posibles valores x hagan que A (x) sea verdadera; por otra parte, ∃x (A (x)) indica que “existe un valor x que cumple la proposici´on A (x)”; en este caso, la proposici´on ∃x (A (x)) ser´a verdadera siempre que exista al menos un elemento x de los posibles, de manera que A (x) sea verdadera.

Ejemplos

En cada caso, se enuncia una proposici´on y luego su simbolizaci´on con el uso de los cuantificadores en estudio.

1. La tercera potencia de todo n´umero entero es menor que siete: ∀x ∈ Z¡x3 < 7¢. 2. El cuadrado de todo n´umero real no es negativo: ∀x ∈ R¡x2 ≥ 0¢.

3. Existe un n´umero natural cuya tercera potencia es mayor que ocho: ∃x ∈ N¡x3 > 8¢. 4. Todo n´umero natural es menor que su consecutivo: ∀x ∈ N (x < x + 1).

5. Existe un n´umero entero cuyo doble es menor o igual que el cuadrado de su qu´ıntuple, aumentado en tres: ∃x ∈ Z¡2x ≤ (5x)2+ 3¢.

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Negaci´on de los cuantificadores

Al negar un cuantificador universal se obtiene un cuantificador existencial y, viceversa, al negar un cuantificador existencial se obtiene un cuantificador universal. Simb´olicamente, son los resultados siguientes:

¬ (∀xA (x)) ≡ ∃x (¬A (x)) ¬ (∃xA (x)) ≡ ∀x (¬A (x))

En la tabla siguiente se muetran proposiciones con su respectiva negaci´on: Proposici´on P Proposici´on ¬P ∀x ∈ N (x2− 4x + 5 > 3) ∃x ∈ N (x2− 4x + 5 ≤ 3) ∃x ∈ Z (x > 8 ⇒ x ≤ 14) ∀x ∈ Z (x > 8 ∧ x > 14) ∀x ∈ Z¡x3 < 7¢ ∃x ∈ Z (x3 ≥ 7) ∀x ∈ R¡x2 ≥ 0¢ ∃x ∈ R (x2 < 0) ∃x ∈ N¡x3 ≥ 8¢ ∀x ∈ N (x3 < 8) Ejercicios

1. Para cada una de las proposiones que se presentan, determine su respectiva negaci´on. (a) ∃x ∈ N¡x > 4 ∧ x2 ≤ 7¢ (b) ∀x ∈ Z (x + 1 = 4 ⇒ x ≥ 3) (c) ∀x ∈ R (x < 8 ⇒ (x + 1 = 4 ∨ x ≥ 2)) (d) ∀x ∈ Z¡x2+ 2x − 3 > 0 ∧ x + 4 ≤ 8¢ (e) ∃x ∈ N¡x 6= 4 ⇒ x2 + 5 ≤ 0¢ (f) ∃x ∈ R¡x2 > 1 ⇒ (x > 1 ∨ x < −1)¢ 2. Simbolice completamente las proposiciones siguientes:

(a) S´olo el protoplasma es sustancia viviente. (b) S´olo el ser humano es racional.

(c) Todos los p´ajaros y peces son animales. (d) Todos los caballos y vacas son cuadr´upedos.

(e) No todos los hombres son inteligentes. (f) No toda la hierba es verde.

(g) S´olo los europeos son italianos.

(14)

Contraejemplos

Hasta ahora el estudio se ha concentrado en mostrar algunos de los m´etodos que son utilizados para demostrar la validez de una afirmaci´on. Ahora veremos c´omo es posible mostrar que una afirmaci´on general no es v´alida. Saber mostrar que algo no es v´alido es importante, ya que esto puede llevar a intuir qu´e es lo que s´ı es v´alido.

Se indica la forma general para refutar afirmaciones del tipo P ∨ Q, P ∧ Q y P ⇒ Q. • P ∨ Q

Para este caso, se busca un ejemplo donde sea v´alida la proposici´on ¬ (P ∨ Q).

Dado que ¬ (P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q, basta hallar un ejemplo donde sea v´alida la proposici´on ¬P ∧ ¬Q; es decir, un ejemplo donde sean v´alidas, de manera simult´anea, las proposiones ¬P y ¬Q.

• P ∧ Q

Para este caso, se busca un ejemplo donde sea v´alida la proposici´on ¬ (P ∧ Q).

Dado que ¬ (P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q, basta hallar un ejemplo donde sea v´alida la proposici´on ¬P ∨ ¬Q; es decir, un ejemplo donde sea v´alida la proposi´on ¬P o sea v´alida la proposici´on ¬Q.

• P ⇒ Q

Para este caso, se busca un ejemplo donde sea v´alida la proposici´on ¬ (P ⇒ Q).

Dado que ¬ (P ⇒ Q) ≡ P ∧ ¬Q, basta hallar un ejemplo donde sea v´alida la proposici´on P ∧ ¬Q; es decir, un ejemplo donde sean v´alidas, de manera simult´anea, las proposiones P y ¬Q.

(15)

Instituto Tecnol´ogico de Costa Rica C´alculo Diferencial e Integral

Escuela de Matem´atica II Semestre de 2004

Ejercicios sobre l´ımites Determinaci´on de l´ımites de una funci´on dada su gr´afica

Considere las funciones siguientes y sus representaciones gr´aficas. En cada caso, y si existen, determine a partir de la gr´afica los l´ımites que se indican.

1. 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y 2 1 3 (a) lim x→−3+f (x) (b) lim x→−1f (x) (c) lim x→2f (x) (d) f (−1); f (2) (e) lim x→+∞f (x) 2. 1 1,5 -1,5 3 1 -1 2 (a) lim x→−∞f (x) (b) lim x→−3/2f (x) (c) lim x→3/2f (x) (d) f (3/2) (e) lim x→+∞f (x) 3. 3 -1 -1 -2 1 2 1 2 (a) x→−∞lim f (x) (b) lim x→−2f (x) (c) lim x→−1f (x) (d) lim x→0f (x) (e) lim x→2f (x) (f) lim x→3f (x) (g) lim x→+∞f (x) 1

(16)

4. 2 -1 -2 1 -2 2,5 (a) lim x→−∞f (x) (b) lim x→−2f (x) (c) lim x→−1f (x) (d) lim x→0f (x) (e) lim x→1f (x) (f) lim x→+∞f (x) 5. 1 -1 -2 -3 4 -2 3 2 1 (a) lim x→−∞g(x) (b) lim x→−3g(x) (c) lim x→−1g(x) (d) lim x→0g(x) (e) lim x→1g(x) (f) lim x→2g(x) (g) lim x→+∞g(x) 6. -2 2 -3 -2 (a) lim x→−∞h(x) (b) lim x→−3h(x) (c) lim x→−2h(x) (d) lim x→0h(x) (e) lim x→+∞h(x) 2

(17)

7. 2 -2 2 1 (a) lim x→−∞f (x) (b) lim x→−2f (x) (c) lim x→0f (x) (d) lim x→2f (x) (e) lim x→+∞f (x)

Construcci´on de la gr´afica de una funci´on conociendo sus l´ımites

En cada caso siguiente considere los datos indicados sobre la funci´on f y dibuje una gr´afica que la represente. 1. • Dh= IR − {−2, 2} lim x→−∞h(x) = −∞ • lim x→−3h(x) = −2 • f (−3) = 1 lim x→−2−h(x) = −∞ lim x→−2+h(x) = +∞ • lim x→2−h(x) = −∞ • lim x→2+h(x) = +∞ lim x→+∞h(x) = +∞ 2. • Df = IR − 0 lim x→−∞f (x) = +∞ • lim x→0−f (x) = 0 • f (x) = 1, ∀x ∈]0, 1[ • f (2) = 2; f (3) = 1 lim x→+∞f (x) = +∞ 3. • Dg=] − ∞, 1[∪]2, +∞[ lim x→−∞g(x) = 4 lim x→−2−g(x) = −∞ lim x→−1+g(x) = +∞ • lim x→1−g(x) = +∞ • lim x→2+g(x) = +∞ lim x→+∞g(x) = 5 4. • Df = IR−] − 2, 2[ lim x→−∞f (x) = +∞ • lim x→−4f (x) = −3 • f (−4) = −2 • f (−2) = f (2) = 0 lim x→+∞f (x) = −2 5. • Dg= IR − [0, 1] lim x→+∞g(x) = 3 • lim x→1+g(x) = −∞ • lim x→0−g(x) = −∞ • f (−3) = f (2) = 0 • f (3) = 3; f (4) = 5; f (5) = 4 6. • Dh=] − 3, +∞[−{−2, 3} • lim x→3h(x) = 0 lim x→−2−h(x) = 4 lim x→−2+h(x) = 5 • lim x→2−h(x) = −∞ • lim x→2+h(x) = +∞ lim x→+∞h(x) = 2 7. • Df = IR lim x→−∞f (x) = −2 • lim x→−2f (x) = 2 • lim x→0f (x) = −∞ • lim x→3+f (x) = 4 • lim x→3−f (x) = 2 • f (3) = 3 y f (−2) = 1. • limitex+∞f (x) = −2 8. • Df = IR − {0} lim x→−∞f (x) = +∞ lim x→−2−f (x) = +∞ lim x→−2+f (x) = −∞ • lim x→0−f (x) = 1 • lim x→0+f (x) = −1 • lim x→2−f (x) = 0 • lim x→2+f (x) = 1 • f (2) = 1 lim x→+∞f (x) = 3 3

(18)

Calcule los siguientes l´ımites (si existen). En caso de que no existan, justifique su respuesta. 1. lim x→2 x3+ 2x2− 5x − 6 x3+ x2− 4x − 4 2. lim x→−3 x2+ x − 6 x3+ 2x2− 3x 3. lim b→a2 a3− b − ab + a2 2a3− 2ab + b − a2 4. lim w→a 2w3− 4aw2+ 2a2w w4+ aw3− 2a2w2 5. lim z→−3 2z3− 3z2+ z4 z − 6 + z2 6. lim a→3 a3− 3a2− a + 3 a2− 2a − 3 7. lim a→5 a2− 25 2 −√a − 1 8. lim x→a x −√a x − a 9. lim y→7 2 −√y − 3 y2− 49 10. lim t→4 3 −√5 + t 1 −√5 − t 11. lim x→a 3x − a −√x + a x − a 12. lim w→−1 x + 1 3w +√6w2+ 3 13. lim r→3 r − 3 2r + 3 − 3 14. lim a→1 1 + 8a − 3 4a − 2 15. lim x→3 9 − 6x + x2 18 − 3x − 3 16. lim x→2 3 10 − x − 2 x2− 2x 17. lim t→0 3 1 + ct − 1 t 18. lim d→−1 3d2− 5d − 2 −1 − 5d d2− d −3 − d2 19. lim x→0 1 + x − 1 3 1 + x − 1 20. lim y→3 5y − 15 1 −√92y − 5 21. lim a→0 2 −√63a + 64 5a 22. lim k→−1 3 −√4k + 82 3 k + 28 − 3 23. lim h→0 4h 5 3h − 1 + 1 24. lim t→−2 1 − 4t − 3 1 +32t + 3 25. lim y→4 y − |y − 2| y − 4 26. lim a→3 2a − 6 4|a − 3| 27. lim t→−1 |t| − 1 t + 1 28. lim x→−3 |x − 2| − 5 6 − 2|x| 29. lim y→2 |y + 3| − |2y + 1| y2− 4 30. lim z→2/3 |3z − 2| |6z − 2| − 2 31. lim x→−5/4 5 |6x + 15/2| 32. lim x→4/3 |2 − 5x| + 14/3 |4 − 3x| 33. lim z→−4 |3z + 1| − z2+ 5 2z − 1 + |5 − z| 34. lim x→1 sen (1 − x) x − 1 35. lim x→1 sen (x − 1) x − 1 36. lim x→π/4 sen x − cos x 1 − tan x 37. lim x→0 tan x − sen x x3 38. lim x→0 x2+ x sen x cos x − 1 39. lim r→0 3 1 − sen r − 1 r 40. lim z→0 sen z z + sen z 41. lim t→0 t − sen (2t) t + sen (3t) 42. lim n→0 1 − cos3n sen2n 43. lim y→0 tan y − sen y sen3y 44. lim a→0 2 −√1 + cos a sen2a 45. lim t→0 1 − cos t t2 46. lim r→0 1 −√cos r r2 47. lim x→0 µ cot x − 1 sen x ¶ 48. lim z→0 sec(2z) · tan(3z) 4z 49. lim x→3 x 3 − x 50. lim x→−∞ 2x5+ 3x7 2x8 51. lim x→2 x3+ x2− 6x x3− 3x2+ 4 52. lim x→+∞(4x 3+ 5x2− x − 2) 53. lim x→1 1 x2 3 1 − x3 54. lim x→+∞ x2+ x + 3 −x3+ 1 55. lim x→0− x 1 − cos x 56. lim x→+∞ 2x2− 3x − 4 x4+ 1 57. lim x→−∞ x2+ 1 x 58. lim x→−∞ 2x5− x3+ 4x 5x5+ 3x2 59. lim x→−∞ ³p x2− 2x − 1 + x´ 4

(19)

60. lim x→+∞ sen (1/x) 1/x 61. lim x→+∞ x4− 3 2x3+ x 62. lim x→−∞ x2− 3 33x3+ 1 63. lim x→0+ x 1 − cos x 64. lim t→+∞ 3 2t2+ 3 − t 4t + 5 − 1 65. lim h→0− sen (2t) 2 cos(2t) − 2 66. lim w→1/2 2w2− 4 + 2w 3w − 1 − 2w2 67. lim z→−∞ 1 + z25 − 2z + 16z2 2z + 3 68. lim r→−∞ 4 r4− r + r2 r3− r 69. lim z→+∞ 3z2− 5z + 1 3 z6+ 1 − z 70. lim k→−∞ k2− k −−k 2k + 1 71. lim x→−∞ ³p 1 + x + x2 −√1 − x + x2´ 72. lim b→+∞ à b2 3b + x− b3 3b2− 4 ! 73. lim t→+∞ t5+ t2− 1 3t5− t 74. lim x→−∞x( p 1 + x2− x) 75. lim w→−∞ w6+ w2− 2 w5+ w3− w 76. lim x→3 ³ 5´ 1 x − 3 77. lim x→−4− µ 1 7 ¶ 5 4 + x 78. lim x→0 µ 2 7 ¶cot |x| 79. lim x→+∞ 1 log32x 80. lim x→2+ln µ x −2 + x ¶ 81. lim x→1+ln µ 4 sen (3x − 3) ¶ 82. lim x→1 ex ln x 83. lim a→9 ³ e´ a − 9 a − 3 84. lim t→3ln à t3+ 1 t + 1 ! 85. lim y→+∞ ³ 8´ 4 − 2y + y2 y − 1 + 3y2 86. lim w→2ln à w4+ 8 − w3 w2− 2w ! 87. lim b→−1 µ 5 4 ¶|b| − 1 b + 1 88. lim k→+∞ ³ e´ x2+ x − 2 4x3− 1 89. lim x→+∞ µ 1 3 ¶x2+ 5x + 6 x + 1 90. lim x→2+ 3x ln(x − 2) 91. lim x→0(e 2 x + 1) 92. lim x→−3 µ 1 2 ¶ −1 x2− 9 93. lim x→2+ln 2(x − 2) 94. lim x→0+ ln3x x2 95. lim x→1 x + 1 ln2x 96. lim x→−∞ 3x53 − 2x13 + 1 2x43 + 2x − 2 3 3 x5 97. lim x→+∞ x2− 1 3x + 5x4 98. lim x→−∞ x2− 1 3x + 5x4 99. lim x→+∞ 3 − x 2x2− 1 100. lim x→−∞ 3 − x 2x2− 1 101. lim x→+∞ ³p 4x2− 6 −p4x2+ x´ 102. lim x→−∞ ³p 4x2− 6 −p4x2− x´ 103. lim x→+∞ e3x+ 2x 31x 104. lim x→+∞2 35 ln(x − 6) 5

(20)

Continuidad de funciones

Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.

1. f (x) =      ex si x < 1 4 si x = 1 −x + e + 1 si x > 1 2. f (x) = ( x2 si x ≤ 0 x3− 2 si x > 0 3. f (x) =          −x si x < −1 2 si x = −1 −x2+ 2 si −1 < x < 1 2 si x > 2 4. f (x) =      −x si x ≤ −1 −x2+ 2 si −1 < x < 1 2 si x ≥ 1 5. g(x) =      2x3 si x < −1 0 si x = −1 x si x > −1 6. f (x) =      −x si x ≤ 0 x2 si 0 < x < 1 x si x > 1 7. h(x) =        1 x si x < 0 0 si x = 0 ln x si x > 0 8. f (x) =          2 si x < 0 1 si x = 0 −x + 2 si 0 < x < 2 x − 2 si x ≥ 2 9. f (x) = ( ex si x < 0 x si x ≥ 0

Determine los valores de a y c (si es posible) de modo que f sea continua:

1. f (x) = ( 3x + 7 si x ≤ 4 ax − 1 si 4 < x 2. f (x) = ( ax − 1 si x < 2 ax2 si 2 ≤ x 3. f (x) =      x si x ≤ 1 cx + a si 1 < x < 4 −2x si 4 ≤ x 4. f (x) =      x + 2c si x < −2 3ax + a si −2 ≤ x ≤ 1 3x − 2a si 1 < x 5. f (x) = ( 2x + a si x < 1 5 si x ≥ 1 6. f (x) =      x − 1 si x < 1 a si x = 1 x2+ a si x > 1 7. f (x) =      −3 sen x si x ≤ −π2 a sen x + c si −π2 < x < π2 cos x si x ≥ π 2 8. f (x) =    sen2(4x) x2 si x 6= 0 a si x = 0 6

(21)

Instituto Tecnológico de Costa Rica Cálculo Diferencial e Integral

Escuela de Matemática I Semestre 2005

Respuestas: Ejercicios sobre límites Determinación de límites de una función dada su gráfica 1) a) 1 b)no existe c)2 d)1; 1 e) ∞ 2) a) ∞ b)no existe c)no existe d)3 e)3

3) a) -1 b)0 c)2 d)1 e)0 f)no existe g)0

4) a) 2 b)no existe c)-2 d)no existe e)2.5 f)2

5) a) -∞ b)1 c)no existe d)no existe e)-2 f) ∞ g) ∞

6) a) 0 b)2 c)no existe d) ∞ e)-2

7) a) 1 b)no existe c)no existe d)no existe e) ∞

Cálculo de límites 1)5/4 2)-5/12 3) 1 2 1 a a + + + + − − − − 4)0 5)36/5 6)2 7)-40 8) 1 2 a 9)-1/56 10)-1/3 11) 2 2 a 12)1 13)3 14)4/3 15)0 16)-1/24 17)c/3 18)2 3 5 19)3/2 20)-45/2 21)-1/320 22)-1/4 23)20/3 24)-1 25)-3/4 26)no ∃ 27)-1 28)-1/2 29)-1/4 30)no ∃ 31) ∞ 32) ∞ 33)5 34)-1 35)2 36) 2 2 − −− − 37)1/2 38)-4 39)-1/3 40)1/2

(22)

41)-1/4 42)3/2 43)1/2 44) 2 8 45)1/2 46)1/4 47)0 48)3/4 49)no ∃ 50)0 51)no ∃ 52) ∞ 53)no ∃ 54)0 55)- ∞ 56)2 57)- ∞ 58)2/5 59)1 60)1 61) ∞ 62)- ∞ 63) ∞ 64)- ∞ 65) ∞ 66) no ∃ 67)3/2 68)0 69)3 70)-1/2 71)-1 72)-x/9 73)1/3 74)- ∞ 75)- ∞ 76)no ∃ 77) ∞ 78)0 79)0 80) ∞ 81) ∞ 82)no ∃ 83)e6 84)ln(7) 85)2 86)ln(10) 87)4/5 88)1 89)0 90)0 91)no ∃ 92) no ∃ 93) ∞ 94)- ∞ 95) ∞ 96)-9/2 97) 1 5 98) 1 5 99) 1 2 − −− − 100) 1 2 101)-1/4 102)-1/4 103) ∞ 104)1

Ejercicios sobre continuidad

1)No en 1 2)No en 0 3)No en 1 y -1 4)No en 1 5) No en -1 6)No en 1 7)No en 0 8)No en 0 9)No en 0

_________________

1) a = 5 2)a = -1/2 3)a = 4, c = -3

4)a = 1/2, c = -1/4 5) a = 3 6)No es posible 7)a = - 3/2, c = 3/2 8) a = 16

(23)

Cristhian Páez P.

Instituto Tecnológico de Costa Rica Cálculo Diferencial e Integral Escuela de Matemática 1. Calcular lim 1 1. 3 0 t ct t − + → . 1 , 1 0 , 1 3 3 c u t además u t si ct u Sea = + → ⇒ → = −

(

)

(

)

(

)

(

)

. 3 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 2 2 1 2 1 3 1 3 3 3 1 3 0 c c u u c u u u u c u u c c u u t ct u u u u t = + + = + + = + + − − = − − = − − = − + → → → → → 2. Calcular

( )

( )

. 5 sen 2 sen lim 0 x x x

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

5 2 lim 5 sen 5 lim 2 2 sen lim 5 2 5 sen 5 2 2 sen lim 2 5 5 2 5 sen 2 sen lim 5 sen 2 sen lim 0 0 0 0 0 0 → → → → → → ⋅ ⋅ =       ⋅ ⋅ =       ⋅ ⋅ ⋅ = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 0 0 0 , 5 2 : u= x y v= x si x→ ⇒u→ ∧vSean

( )

( )

. 5 2 5 2 sen lim sen lim 5 2 lim 5 sen 5 lim 2 2 sen lim : 0 0 0 0 0 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ → → → → → v v u u x x x x Así v u x x x

(24)

Cristhian Páez P.

3. Determine los valores de c y d para que la función

( )

     ≥ + < ≤ + < = 2 9 2 1 1 2 2 x si x x si d cx x si x x

g sea continua en IR.

A. Analizando continuidad en x=1. i ) g

( ) ( )

1 =c1 2 +d =c+d. ii ) lim

( )

: 1g x x→  lim

( )

lim2 2. 1 1− = →− = → g x x x x  lim

( )

lim

(

2

)

. 1 1 d c d cx x g x x→+ = →+ + = +

De esta manera, para que exista el límite en x=1 los límites laterales deben ser iguales, esto es, .

2

= +d c

iii ) Para que g

( )

x sea continua en x=1 debe cumplirse que lim

( ) ( )

1,

1g x g x→ = o sea, c+d =2. (*) c+d =2⇒d =2−c. B. Analizando continuidad en x=2. i ) g

( )

2 =9+2=11. ii ) lim

( )

: 2g x x→  lim

( )

lim

(

2

)

4 . 2 2 d c d cx x g x x→ − = → − + = +  lim

( )

lim

(

9

)

11. 2 2+ = → + + = → g x x x x

De esta manera, para que exista el límite en x=2 los límites laterales deben ser iguales, esto es, .

11 4c+d =

iii ) Para que g

( )

x sea continua en x=2 debe cumplirse que lim

( ) ( )

2,

2g x g

x→ = o sea,

. 11

4c+d = Sustituyendo (*) en la igualdad anterior se tiene que:

. 3 3 9 9 3 11 2 4 11 4 = ∴ = ⇒ = ⇒ = − + ⇒ = + c c c c c d c

Usando el resultado anterior en (*) se tiene que: d =2−cd =2−3 ∴d =−1. Así, los valores para que g

( )

x sea continua en el conjunto de números reales son: c = 3 y d = -1.

4. Determine si

( )

   ≥ + < − = 0 5 0 2 x si x x si x x f es continua en IR.

(25)

Cristhian Páez P.

Es claro que f

( )

x es continua para todo número diferente de 0 (las funciones contempladas son

continuas); hay que analizar la continuidad en x=0.

i ) f

( )

0 =0+5=5. ii ) lim

( )

: 0 f x x→  lim

( )

lim 2 2. 0 0− = → − − = → f x x x x  lim

( )

lim

(

5

)

5. 0 0+ = → + + = → f x x x x

Dado que los límites laterales son diferentes se tiene que f

( )

x x 0

lim

→ no existe.

iii ) Para que f

( )

x sea continua en x=0 debe cumplirse que lim

( ) ( )

0,

0 f x f

x→ = debido a que limx→0 f

( )

x

no existe, se concluye que la función no es continua en x=0 y por lo tanto no lo es en IR.

5. Determine si

( )

     > − − ≤ ≤ − − − − < − = 2 6 2 1 2 1 1 2 3 x si x x si x x si x x f es continua en IR.

Es claro que f

( )

x es continua para todo número diferente de -1 y diferente de 2 (las funciones

contempladas son continuas); hay que analizar la continuidad en x=−1 y en x=2.

A. Continuidad en x=−1. i ) f

( ) ( )

−1 =− −13 −2=−1. ii ) lim

( )

: 1 f x x→−  lim

( )

lim

( )

1 2. 1 1− = →−− − =− − → f x x x x  lim

( )

lim

(

3 2

)

1. 1 1+ = →−+ − − =− − → f x x x x

Dado que los límites laterales son diferentes se tiene que f

( )

x

xlim→−1 no existe.

iii ) Para que f

( )

x sea continua en x=−1 debe cumplirse que lim

( ) ( )

1,

1 = − − → f x f x debido a que

( )

x f

xlim→−1 no existe, se concluye que la función no es continua en x=−1 y por lo tanto no lo es en IR.

(26)

INSTITUTO TECNOLOGICO DE COSTARICA ESCUELA DE MATEMATICA

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LIMITES: PRACTICA COMPLEMENTARIA

Calcule los siguientes límites, incluya el análisis de los límites laterales

cuando sea necesario.

1. lim x x x x→ − − + − 1 2 2 2 7 4 2 4 11. lim x x x→0 1 3− −1 2. limx x x→ − − 2 5 2 32 4 12. 2 6 3 lim 3 − − → x x x 3. lim x x x x x x x→ + + + + 0 2 4 5 3 5 6 3 5 7 4 2 13. lim x x x→ − + − − 4 3 5 1 5 4. limx x x x→− − − + 1 2 2 1 14. lim x x x→ − − − 1 3 1 4 3 1 5. lim x x x x x x→ − + + − − + 1 3 2 2 1 2 1 15. lim x x x→ − − 1 3 4 1 1 6. x x x x 2 2 10 lim 2 3 2 − − − → 16. lim h h h→0 5 − + 4 3 1 1 7. lim

(

)

x x x→ − + − 1 3 2 2 1 1 17. limx→0 + −x 1 1 1 8. lim x x x→ − + − − 1 3 2 1 3 3 2 18.

(

)

lim x x x→ − − 0 2 2 2 4 9. lim x x x→ − − + − 2 3 5 2 1 1 2 5 19. lim x x x→ − + − 2 3 2 2 5 2 10. limx x x x→ − − 1 2 1

(27)

2 21. lin x x x→0 3 sen 33. lim x x x x→+∞ − + 2 4 1 3 5 22. lim x x x→0 3 2 sen sen 34. lim x x x x→±∞ − + 2 4 1 3 5 23. lim x x x→ − 0 2 1 cos 35. lim x x x→+∞ − − 3 2 2 1 24. lim x x x→ − 0 2 1 cos 36. lim x x x→±∞ − − 3 2 2 1 25. limx x x x x→ + − + 0 2 1 sen cos 37. xlim→±∞

(

4x − −6 4x +x

)

2 2 26. lim x x x x→ −     − π π 3 1 2 sen cos 38. xlim→+∞

(

4x − −6 4x +x

)

2 2 27. lim x x x→+∞     sen 1 39. lim

[

x

(

x x

)

]

x→+∞ + −1 28. lim x x x→+∞ + 2 3 2 40. lim x x x x→−∞ + + 2 3 3 29. lim x

(

x x

)

x→−∞ + + − 3 3 2 3 5 41.

(

)

lim x x x→ +2 − 3 2 ln 30. lim x x x→ − − − 2 3 8 1 1 42. lim ex→ +       0 2 3 1 31.

(

)

lim x x x→−∞ + + + 2 1 2 1 2 1 43. lim

(

x x x

)

x→+∞ − + − 2 5 6 32. lim x x x x x→−∞ + − + − 2 6 3 1 2 3 2 44. xlim→+∞

(

9x + −1 3x

)

2

(28)

3 45. lim

(

x a x

)

x→+∞ + − 49. xlim→ +2

(

x−

)

2 2 ln 46. lim x x→ +0 3 2 ln 50. lim e x x x x →+∞ + 3 1 2 3 47. limx x x→ + 1 2 1 ln 51. ( ) lim x x →+∞ − 2 35 6 ln 48. lim x x x x→ + +       0 1 ln

Límites Trigonométricos:

1. lim x x x→ − 0 1 7 7 cos 7. lim x x x x→0 2 2 2 csc cot 2. lim x x x x→ − 0 1 sec sec 8. limx→0x

( )

x 1 3 sen / 3. limtan θ θ θ →0sen 9. lim x x x→0 2 3 sen sen 4. lim x x x→0 4 5 sen 10. lim x x x→ − 0 2 1 cos 5. lim tan x x x x→ + − 0 1 cos 11. lim x x tan x x→x − − 4 1 sen cos 6. lim x x x→0 2 sen 12. limx→0x2

(

x

)

2 1 2 sen /

Lìmites infinitos:

1. lim x x→ +3 2 − 1 9 2. xlim→ −3 x2 − 1 9

(29)

4 3. lim tan x x→ +2 4 π 6. lim x x x→ + − 0 3 1 4. lim x x x→ +3 3 +3 7. lim x x x→ − − 0 3 1 5. lim x x x→0 cos 8. lim x x x→ +4 − 4 4

En cada caso haga el trazo de una función que cumpla simultáneamente

las condiciones que se dan

:

a.

b.

( )

lim f x x→−∞ =1 xlim f x→−∞

( )

= −2 lim f x x→− + = ∞ 3 ( ) lim f x

( )

x→−1 = 2 lim f x x→− − = ∞ 3 ( ) f 0

( )

=3 2/ lim f x x→∞ ( ) =0 xlim f x→ −1

( )

= − ∞

( )

lim f x x→−6 =3 xlim f x→ +1

( )

= ∞

( )

( ) ( )

f − =6 4, f 0 =f 3 =0 f

( )

− =1 0

( ) ( )

f 1 2/ =f 2 =0

( )

lim f x x→∞ = −∞

(30)

5

Hallar los valores c y k de modo que f(x) sea continua:

f x x x kx x ( ) = + ≤ − 〈    3 7 4 1 4 f x kx x kx x ( ) = − 〈 ≤    1 2 2 2 f x x x cx k x x x ( ) = ≤ + 〈 〈 − ≤      1 1 4 2 4 f x x c x xk k x x k x ( ) = + 〈 − + − ≤ ≤ − 〈      2 2 3 2 1 3 2 1 ARCHIVO/LIMITES/I-96

(31)

Cristhian Páez P.

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Cálculo Diferencial e Integral Escuela de Matemática

1. Calcule cada uno de los siguientes límites:

( )

: 3 2 1 1 3 sen lim 0 x R x x→ − − 32 13 : 16 10 lim 4 3 2 x R x x x − − + → 3 2 : 3 1 3 3 lim 4 3 6 2 x R x x x − + + − + − →

( )

2 3 : 5 cos 7 4 3 lim 3 2 −         + + −∞ → x R x x x x 2 1 : 1 lim 3 1t t R t t − + − → 2 1 : 6 2 9 lim 2 R x x x − − ∞ →

(

1

)

: 0 lim x x R x→∞ + −

(

)

2 1 : 1 lim 2 + + + − −∞ → x x x R x

2. Determine f

( )

x para cada una de las siguientes funciones:

( )

(

2

)

2 2 : c x cx R x c x x x f + + =

( )

(

)

(

) (

)

x x x x R x x f sen 2 cos sen sec sen tan cos : sen tan sen 2 ⋅ ⋅ =

3. Suponga que f es diferenciable en IR. Sean F

( ) (

x = f cosx

)

y G

( )

x =cos

(

f

( )

x

)

. Determine

( ) ( )

[

F x +G x

]

′. R: −senxf

(

cosx

)

−sen

(

f

( )

x

) ( )

fx

4. Si g

( ) (

x = f b+mx

) (

+ f bmx

)

y f es diferenciable en b, determine g

( )

0. R: 0

5. Determine todos los puntos de la curva x2y2 +xy=2 en los cuales la pendiente de la recta tangente sea −1. R:

(

−1;−1

) ( )

, 1;1

(32)

Cristhian Páez P.

6. La curva cuya ecuación es y2 =5x4 −x2 se llama cámpíla de Eudoxio. Determine una ecuación de la tangente a esta curva en el punto

( )

1;2. R: 9x−2y−5=0

7. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva

      = 4 tan 2 x y

π

en el punto

( )

1;1. 1 : y=

π

x

π

+ R

8. La función g es diferenciable 2 veces. Determine f ′′ en términos de g, g′ y g′′.

( )

( )

2

( )

2 3

( )

2 4 6 : xg x x g x R x xg x f = ′ + ′′

( )

( )

( ) ( )

x x x g x g x R x g x f 4 : ′′ − ′ = 9. Si f

( )

θ =cotθ, determine . : 80 6 −     ′′′ R f

π

10. Determine f ( )5

( )

x si f

( )

x = xx2 +x3 −x4 +x5 −x6. R: 120−720x 11. Determine y′′ si 7 2 4 4 48 . 16 y x y y x + = ′′=−

12. Usando f

(

x+∆x

)

dy+ f

( )

x aproxime el valor de 0,9. R: 0,95

13. Verifique que la función y=e2x +xe2x satisface la ecuación y′′−4y′+4y=0.

14. Verifique que la función y= x− cosx+10ex

2 1 sen 2 1

satisface la ecuación y sen x.

dx dy

= +

(33)

Cálculo Diferencial e Integral Práctica de Derivadas

PRÁCTICA GENERAL DE DERIVADAS

A. Usando la definición de derivada, encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones. 1.

f

(

x

)

=

a

x

+

b

2.

f

(

x

)

= x

2

2

3

3.

g

(

x

)

=

x

+

x

4.

g

(

x

)

=

1

+

x

5.

1

1

)

(

+

=

x

x

x

h

6.

(

)

2

x

x

1

h

=

B. Obtenga la derivada de las siguientes funciones (reglas de derivación).

1.

f

(

x

)

=

2

x

8

3

x

5

+

5

2.

f

(

x

)

= x

3

4 3

6

x

2 3

2

3.

z

z

z

g

(

)

=

1

4.

(

)

2

2 3

3

z

z

z

3

1

+

z

z

h

=

+

5.

h

(

u

)

=

u

3

8

4

u

5 6.

h

(

u

)

=

3

u

2

+

2

u

3 7.

f

(

x

)

=

2

x

2

e

x

+

x

3

cot

x

8.

f (

x

)

=

(

x

−2

3

csc

x

)

e

x 9.

f

(

z

)

=

(

2

e

z

+

z

2

)

ln

z

10.

f

(

z

)

=

3

z

ln

z

11.

g

(

x

)

=

2

x

−2

arctan

x

12.

g

(

x

)

=

(arccos x

)

(

arcsen

x

)

13. 2 2

1

1

)

(

t

t

t

g

+

=

14.

1

ln

+

=

t

t

g

(t

)

15.

x

x

x

h

cos

1

sen

)

(

+

=

16.

x

x

x

)

tan

1

(

h

sec

=

17.

z

z

h

e

z

arccos

)

(

=

18.

z

z

z

)

arccot

(

h

=

19.

u

u

u

f

ln

1

ln

1

)

(

+

=

20. u

e

u

u

u

1

ln

)

f

(

=

C. Obtenga la derivada de las siguientes funciones compuestas. 1.

f

(

x

)

=

(

x

3

+

3

x

2

5

x

3

)

5 2.

f

(

x

)

=

x

2

− x

8

+

1

3.

g

(

z

)

=

3

1

+

cot

3

z

4.

g

(

z

)

=

sec

(

e

1−2z

)

5.

h

(

u

)

=

e

usenu

+

ln

3

(

3

2

u

2

)

6.

h

(

u

)

=

cos

4

[

sen

( )

k

u

3

]

Figure

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