Índice general
Introducción 1
Notación 3
Capítulo 1. Espacios Vectoriales 5
1.1 Espacios vectoriales 5
1.2 Span y bases lineales 12
1.3 Operadores y funcionales lineales 17
1.4 Aplicaciones multilineales y producto tensorial 29
Capítulo 2. Espacios métricos 35
2.1 Espacios metricos y su topología 35
2.2 Aplicaciones continuas 45
2.3 Completitud 48
2.4 Los espacios(`p, dp),1≤p≤ +∞ 56
Capítulo 3. Espacios normados 67
3.1 Normas vectoriales 67
3.2 Los espacios(Lp, dp),1≤p< +∞ 71
3.3 Bases de Schauder 78
3.4 Espacios normados nitodimensionales 80
Capítulo 4. Espacios de Hilbert 83
4.1 Espacios de Hilbert 83
4.2 Ortogonalidad 88
4.3 Mejores aproximaciones y proyecciones ortogonales 90
4.4 Bases ortogonales y coecientes de Fourier 94
4.5 Series de Fourier y polinomios ortogonales 101
Capítulo 5. Operadores en espacios normados 103
5.1 Operadores continuos 103
5.2 Espacios de operadores continuos 112
5.3 Operadores en espacios de Hilbert 116
Capítulo 6. Introducción a la teoría espectral 125
6.1 Resolvente y espectro 126
6.2 Autovectores y sucesiones de Weyl 133
Apéndice A. Notación de Dirac 155
A.1 Dos productos escalares 155
A.2 Dualidad y notación de Dirac 157
A.3 Cálculos matriciales 159
A.4 Notación∗ de la conjugación compleja 159
Apéndice B. Técnicas de demostración 161
B.1 Demostracionesε- δ 161
B.2 El Principio de Inducción 163
Apéndice C. Contenidos de ampliación 165
C.1 Espacios cociente 165
C.2 Cardinalidad 168
C.3 Medida e integral de Lebesgue 170
Apéndice D. Ejercicios resueltos 181
Bibliografía 215
2 Espacios métricos
Día 5
Adicional a la estructura de espacio vectorial, los espacios de Hilbert están dotados de un producto escalar. Esta estructura está muy relacionada con otras dos: la de norma y la de distancia. Las tres se introdujeron en el curso de Álgebra para los espaciosRn.
En este capítulo nos ocuparemos de la última de ellas. Ésta es independiente de la estructura de espacio vectorial, por lo que la veremos desde el punto de vista más general de espacios métricos. La distancia es la que nos permitirá hablar de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones, de continuidad de funciones, y de completitud de espacios.
La mayor parte de los contenidos son sólo una generalización de los ya vistos en las asignaturas Análisis Matemático I y II y Métodos Matemáticos I. El único concepto realmente novedoso de este capítulo es el de completitud.
2.1 Espacios metricos y su topología
2.1.1 Distancia y espacios métricos
Una distancia en un conjunto cualquiera es una asignación a cada par de puntos de un valor real, con unos requerimientos mínimos de sentido común para cualquier cosa que pueda llamarse distancia: la distancia de un punto a otro será igual que la del segundo punto al primero, será siempre positiva salvo que hablemos de la distancia de un punto a sí mismo (en cuyo caso será 0) y la distancia de ir de un punto a otro será siempre menor que si pasamos por un tercero de camino (propiedad llamada desigualdad triangular). Formalmente, tenemos la siguiente denición.
Denición 2.1.1 (Distancia, espacio métrico) Dado un conjunto no vacío X, diremos que d∶X×X→R es una distancia1 o métrica en X si
EM a) es simétrica: d(x, y) =d(y, x), ∀x, y∈X, EM b) es positiva: d(x, y) ≥0, ∀x, y∈X,
EM c) es no degenerada: d(x, y) =0 ⇐⇒ x=y , y
EM d) verica la desigualdad triangular: d(x, z) ≤d(x, y) +d(y, z), ∀x, y, z∈X. Dado un conjunto no vacío X, diremos que (X, d) es un espacio2 métrico si des una distancia en X.
Ejemplo 2.1.2 (AMI, MMI) El valor absoluto enRy el módulo en Cson distancias.
Ejemplo 2.1.3 (ALG) En Rn y en Cn, la métrica usual es una
distancia: du(v, w) =d2(v, w) = ( n ∑ k=1 (vk−wk)2) 1/2 .
Figura 1. Distanciadu en el plano realR2, visto como conjunto de
puntos (d(x, z) ≤d(x, y) +d(y, z)) y como espacio vectorial (d(u, w) ≤
d(u, v) +d(v, w)).
1En ocasiones, se permite que las distancias estén denidas en
R+∪ {+∞}. Haría falta,
por ejemplo, si quiséramos extender las distancias del ejercicio 2.1.8 al espacioC(R)de
funciones continuas enR.
2Recordemos que aunque tengan nombre de espacio no tienen por qué ser espacios
CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS Ejemplo 2.1.4 EnS1r= {(x, y) ∈R
2, x2
+y2=r2}, la circunferencia
de centro(0,0)y radiorenR2, la distancia intrínseca3de la
circunferen-cia, determinada por la longitud del menor arco de circunferencia4entre los dos puntos,di(x, y) =rang(x, y), con al ángulo medido en radianes
y siempre en[0, π], es una distancia.
EnS1r, la restricción de la métrica usual deR2,du∣S1
r también es una
métrica.
Figura 2. Distancias intrínseca y usual deR2 en una circunferencia.
Ejemplo 2.1.5 Una matrizA∈ Mn×n(R)se dice denida positiva
siA=Aty para todox= (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn− {⃗0}el producto ( x1 x2 ⋯ xn )A ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
es siempre un número estrictamente positivo.
Entonces, siAes una matriz denida positiva, la función dA(x, y) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ( x1−y1 x2−y2 ⋯ xn−yn )A ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1−y1 x2−y2 ⋮ xn−yn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1/2
es una distancia enRn. Si A es la matriz identidad, dA es la distancia
euclídea enRn.
3Las métricas intrínsecas de curvas, supercies y variedades en general se verán en más profundidad en la asignatura Métodos Matemáticos IV.
4Nótese que para puntos antipodales no existe un menor arco de circunferencia, pero como los dos arcos de circunferencia entre los puntos miden lo mismo no hay ningún problema de denición.
Este tipo de distancias son las que darán estructura de espacio de Hilbert aRn. Además, se verán más a fondo en la asignatura Métodos
Matemáticos IV, al estudiar los tensores métricos de supercies.
Ejercicio 2.1.6 Demostrar que, enKn,
d1∶ Kn×Kn → R (v, w) ↦ ∑nk=1∣vk−wk∣
es una distancia. Calculard1((2i,2i,1−3i),(0,4i,1)). Calculard1((2,3),(3,1))
e ilustrar grácamente qued1enR2 es la distancia que tendríamos que
recorrer de un punto a otro si únicamente se nos permite movernos por segmentos rectos paralelos a los ejes coordenados.
Ejercicio 2.1.7 Demostrar que, enKn,
d∞∶ Kn×Kn → R
(v, w) ↦ m´ax{∣vk−wk∣, k=1, . . . , n}
es una distancia. Calcular d∞((2i,2i,1−3i),(0,4i,1)). Demostrar que
d∞≤d1.
Ejercicio 2.1.8 Demostrar que en C [a, b], el conjunto de funciones
reales y continuas denidas en[a, b], las funciones
d1(f, g) = ∫ b a
∣f(x) −g(x)∣dx y d∞(f, g) = m´ax
x∈[a,b]∣f(x) −g(x)∣
son distancias. Calculard1(f, g)y d∞(f, g) para f(x) = xy g(x) =1.
Relacionar estas distancias con las grácas de las funciones. Obsérvese que, en este caso,d∞no es menor qued1.
Ampliación
Para cualquier pen [1,+∞)se puede denir la distancia dp(v, w) = p ¿ Á Á À n ∑ k=1 ∣vk−wk∣p enKny la distanciadp(f, g) = p √ ∫ b a ∣f(x) −g(x)∣pdxenC [a, b]. El nombre ded∞ proviene de qued∞=l´ımp→+∞dp en ambos casos.
Ejercicio 2.1.12 Describir y dibujar, en R2, Bd1(0, r), B¯d1(0, r),
Bd∞(0, r)yB¯d∞(0, r)para las distancias de los ejercicios 2.1.6 y 2.1.7.
En (C [a, b], d∞), describir grácamenteBd∞(f,1)paraf=x.
Ejercicio 2.1.13 En la circunferencia de radio unidad de R2,
de-terminar las bolas centradas en el polo sur(0,−1) y de radio √2 para
las distancias intrínseca y heredada del plano del ejemplo 2.1.4.
Las bolas nos permiten hablar de convergencia de sucesiones. Una sucesión converge a un punto si, a partir de cierto índice, los elementos de la sucesión se van acercando, aunque quizás dando pequeños pasos atrás, a ese punto. Más for-malmente, si para todo entorno del punto hay una cola de la sucesión enteramente contenida en ese entorno.
Denición 2.1.14 (Convergencia, límite) (AMI, AMII, MMI) Dado un espa-cio métrico (X, d), y una sucesión (xn)∞n=1 en X. Diremos que la sucesión con-verge ax∈X, o tiene como límitex, o que tiende ax, si para todor>0, existe un número natural N (N dependerá de r, por lo que podríamos decir Nr∈N) tal quexm∈B(x, r) ∀m>N:
x= l´ım
n→∞xn ⇐⇒ ∀r>0,∃N ∈N, d(xm, x) <r∀m>N . Por tanto, tenemos que x=l´ımn→∞xn ⇐⇒ l´ımn→∞d(xn, x) =0.
Se puede probar, de manera análoga a lo visto en cursos anteriores, que si una sucesión tiene límite este es único.
Notación. Muchas veces, en lugar de escribir x = l´ımn→∞xn escribiremos xn→x. Cuando necesitemos explicitar la distancia, escribiremosxn
d
→x, y cuando necesitemos indicar el íncide que marca la convergencia (por ejemplo, si hay dobles índices y sólo está variando uno) escribiremosxn
n→∞
→ x (o xn,m n→∞
→ xm).
Ejemplo 2.1.15 Observar lo dicho antes de quizá dando pequeños pasos atrás en la convergencia de la sucesión1−n1+(−1)
n
2n enR.
Ejercicio 2.1.16 Demostrar que, en C,ηn→0 si∣η∣ <1 yηn no es
CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS
Ejercicio 2.1.17 Considerando las distancias d1 y d∞ en Cn,
de-mostrar que xk d1 →y ⇐⇒ xk d∞ → y ⇐⇒ xk,m du →ym,∀m=1, . . . , n ,
siendoxkm la m-ésima coordenada dexk eym la m-ésima coordenada
dey.
Ejercicio 2.1.18 Considerando las distancias d1 y d∞ en C [0,1],
demostrar que fn d∞ → f⇒fn d1 →f .
Demostrar que la armación recíproca no es cierta, usando para ello las funcionesfn(x) =xn. La distanciad∞ es llamada la distancia de la
convergencia uniforme.
Día 6
Además, las bolas nos permiten determinar la topología de un espacio métrico: sus subconjuntos abiertos y cerrados6.
Denición 2.1.19 (Abierto, cerrado) Dado un espacio métrico (X, d), dire-mos que un subconjunto A ⊆X es abierto si para todo punto x de A podemos encontrar alguna bola centrada en ese punto x y enteramente contenida en A:
A⊂X es abierto ⇐⇒ ∀x∈A,∃r>0, B(x, r) ⊆A . Además, diremos que el conjunto vacío es abierto7.
Diremos que un subconjunto B⊆X es cerrado si su complementario (X−B, X/B o Bc) es abierto. El conjunto total X es cerrado.
Ejemplo 2.1.20 Los intervalos abiertos de R son abiertos. Dado
un intervalo (a, b) y un punto x ∈ (a, b), podemos encontrar un r = m´ın{∣a−x∣,∣b−x∣} >0tal que B(x, r) = (x−r, x+r) ⊆ (a, b).
Los intervalos cerrados deRson cerrados. Dado un intervalo cerrado [a, b], su complementario es(−∞, a) ∪ (b,+∞), del que hay que probar
que es abierto. Dado un puntox∈R− [a, b], o bienx<ayB(x,∣a−x∣) ⊆ R− [a, b], o bienx>byB(x,∣b−x∣) ⊆R− [a, b].
6Para denir una topología no es necesario tener una distancia. Basta con denir una familia de subconjuntos, llamados abiertos, que veriquen ciertas propiedades; o, equivalentemente, denir una familia de subconjuntos, llamados cerrados, que veriquen otras propiedades; las recogemos en la proposición 2.1.25. No todas las topologías se pueden obtener a partir de una distancia, tan sólo las llamadas metrizables. En este curso este sí será el caso.
7En realidad, esta denición es superua después de lo dicho anteriormente. Dado que
el conjunto es vacío, no existe ningún elemento del conjunto que contradiga la armación anterior, por lo que el vacío es abierto.
CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS
Ejercicio 2.1.23 Demostrar que en el espacio métrico[0,1]con la
distancia usual, el intervalo[0,1/2)es abierto.
Ejercicio 2.1.24 Demostrar que la gráca de cualquier función con-tinuaf ∶R→Res cerrada enR2 (con la distancia euclídea).
Ampliación
Las propiedades básicas de los abiertos y cerrados, con las cuales se puede denir una topología8, son las siguientes.
Proposición 2.1.25 Dado un espacio métrico (X, d), entonces
AB a) dada una familia nita de abiertos de X, {Aj, j =1, . . . , n}, su intersec-cion, ⋂nj=1Aj, es otro abierto,
AB b) dada una familia arbitraria de abiertos de X, {Aj, j ∈ J}, su unión, ⋃j∈JAj, es otro abierto,
y las versiones correspondiente para cerrados,
CE a) dada una familia nita de cerrados de X, {Cj, j = 1, . . . , n}, su unión, ⋃nj=1Cj, es otro cerrado,
CE b) dada una familia arbitraria de cerrados de X,{Cj, j∈J}, su intersección, ⋂j∈JCj, es otro cerrado.
Una caracterización muy importante y útil de los conjuntos cerrados es la siguiente.
Proposición 2.1.26 Dado un espacio métrico (X, d), un conjunto C ⊆X es cerrado si y sólo si para toda sucesión (xn)∞n=1 convergente, con x = l´ımn→∞xn sucede que si la sucesión está contenida en C entonces también el límite x está enC:
C⊂X es cerrado ⇐⇒ [∀(xn)∞n=1⊆C, x= l´ım
n→∞xn⇒x∈C] .
Dado un conjunto arbitrario D ⊆ X, se puede distinguir entre tres tipos de puntos de X: los que están muy metidos en D, los que están lejos deD y los que están en su borde.
8Junto con que el vacío y el total sean abiertos y cerrados. 43
CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS
La clausura de un conjuntoDse puede describir como la intersección de todos los cerrados que contienen a D, o, de forma más sencilla, como la unión de su interior y su frontera.
Proposición 2.1.30 Dado un espacio métrico(X, d)y un subconjuntoD⊆X, entonces D¯ =int(D) ⋃fr(D).
La clausura de un conjunto cerrado es el propio conjunto. Por tanto, un conjun-to cerrado siempre contiene a su frontera. Además, las caracterizaciones anteriores en términos de sucesiones permite la siguiente caracterización
x∈D¯ ⇐⇒ ∃(xn)∞n=1⊂Dtal quexn→x .
Nótese que, aunque rara vez sucede y no tiene mucha importancia, la bola cerradaB¯(x, r)no es siempre la clausuraB(x, r)de la bola abierta. Por ejemplo, si consideramos X= [0,1] ∪ [2,3] con la distancia usual, tenemos que B(0,2) = [0,1] =B(0,2), mientras que B¯(0,2) = [0,1] ∪ {2}.
Ejercicio 2.1.31 Dado X el conjunto de funciones f ∶ [0,2] →R
que son integrables y absolutamente integrables (es decir,∣f∣es también
integrable9) en sentido de Riemann, con la distancia d
1, demostrar que
C [0,2]no es cerrado, probando que
f(x) = {
0 si x≤1 1 si x>1
está en su adherencia. Puede ser útil para ello recordar el ejercicio 2.1.18. Ejercicio 2.1.32 Demuéstrese queQ×Q=Q2 es denso enR2 con
la distancia euclídea.
2.2 Aplicaciones continuas
La existencia de topología, abiertos, cerrados y convergencia de sucesiones, nos permite hablar de continuidad de funciones entre dos espacios métricos, ex-tendiendo las nociones ya vistas en las asignaturas de Análisis Matemático I y II y de Métodos Matemáticos I.
Denición 2.2.1 (Continuidad) (AMI, AMII, MMI) Dados dos espacios mé-tricos X e Y, una función f ∶ X → Y es continua en un punto x0 ∈ X si verica cualquiera de las cuatro siguientes condiciones, que son equivalentes:
9La función f(x) =1 si x∈ [0,1] ∩Q, f(x) = −1 si x∈ [0,1] −Qes absolutamente integrable en el sentido de Riemann pero no integrable. La función g(x) = (−1)nn si
x∈ (1/(n+1),1/n](n∈N) es integrable (impropiamente) en sentido de Riemann pero
no absolutamente integrable.
Cp a) ∀ε>0,∃δ>0,[dX(x, x0) <δ⇒dY(f(x), f(x0)) <ε], Cp b) ∀(xn)∞n=1, l´ım
n→∞xn=x0⇒nl´ım→∞f(xn) =f(x0),
Diremos que una funciónf ∶X→Y es continua, si es continua en todo punto deX.
Ampliación
Se puede ver, además, que una función f ∶ X → Y es continua si y sólo si cumple cualquiera de las siguientes dos condiciones equivalentes:
C a) SiA es un abierto deY, entonces f−1(A)es un abierto de X, C b) SiC es un cerrado deY, entonces f−1(C)es un cerrado deX.
Ejemplo 2.2.2 (AMI)f(x) =x2 enRes una función continua.
Ejemplo 2.2.3 (MMI)f(z) =e1/z es una función continua en todo
el plano complejo menos en el 0, donde no está denida. Por tanto,
f∶ C− {0} → C
z ↦ e1/z
sí sería una función continua.
Ninguna extensión f¯a todo el plano complejo, con f¯(z) =f(z) si
z≠0 y f¯(0) =a∈ C, puede ser continua, ya que la singularidad que f
presenta en ese punto no es evitable.
Ejemplo 2.2.4 EnRncon la distancia usualdu,d1od∞, todos los
funcionales linealese∗j(x1, . . . , xn) =xj,j=1, . . . , n, son continuos.
Probémoslo para la distanciad1. Tomemosx0= (x0,1, . . . , x0,n) ∈Rn
y unε>0. Si elegimosδ=ε,∀xcon d1(x, x0) <δtenemos que
d(e∗j(x), e∗j(x0)) = ∣xj−x0,j∣ ≤ n ∑ k=1
∣xk−x0,k∣ =d1(x, x0) <ε .
De forma análoga se prueba el resultado paradu yd∞.
Por tanto, como en Rn todo funcional lineal es combinación lineal
de lose∗j, y como la suma de funciones continuas es continua y el
pro-ducto de una función continua por un escalar es otra función continua, tenemos que todos los funcionales lineales sobreRn son continuos para
