MMII_CV_c1 CÁLCULO VARIACIONAL: Introducción y modelo básico.

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MMII_CV_c1 CÁLCULO VARIACIONAL: Introducción y modelo

básico.

Guión

Esta es una clase de introducción al Cálculo de Variaciones (CV). Por un lado, se establece su relación con otros campos de la Optimización en Matemática

Aplicada, estableciendo las diferencias con la Programación Matemática y el Control Óptimo.

Por otro lado, se estudia, con un ejemplo, la relación entre los modelos de optimización del CV con los problemas de contorno de las ecuaciones diferenciales, que son el objeto del curso.

En la segunda parte de la clase, se introduce el modelo “básico” del CV, que es el caso más sencillo que sirve de base para las extensiones del mismo que serán objeto de las clases siguientes.

Para su introducción se utiliza una aproximación intuitiva que en términos de las perturbaciones de las trayectorias candidatas a óptimas que nos permitirá obtener las Condiciones Necesarias de Primer Orden de Óptimo Local del modelo básico.

Libros recomendados: Apuntes de Métodos Matemáticos y “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional”, de L. Elsgoltz.

Ejercicio recomendado:

Obtener los extremales de

1 2 2 0 2 Opt ( ) ( ' 2 ) (0) 0; (1) x J y y y e dx y y e e     



______________________________________________________________________ Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada.

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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL

Se trata de obtener una función y*(x) que optimice (maximice o minimice) un funcionalJ y( ) definido en  E , donde E es un espacio de funciones.

Opt J(y) , y E 2 1 x x ,donde J: E

y(x) J(y(x)) f(x,y,y ') dx

, y donde E es un espacio normado funcional, por ejemplo,

2

1 2

E C x ,x , donde y(x) , x x ,x ₁ ₂

, siendo el conjunto de funciones admisibles definido por: y E y porque sus trayectorias pasan por los puntos fijos:



y E y x: ( 1) y y x1, ( 2) y2



    

Las y(x) admisibles son todas las trayectorias que perteneciendo a E cumplan la condición de pasar por los puntos: (x1, y1), (x2, y2).

Denominamos curva o trayectoria óptima, y*(x) aquella que optimiza el funcional J(y), que podemos definir por: y *(x) arg óptimo de J(y) , y E, donde arg. es la función “argumento de”. El valor óptimo del funcional lo expresaremos: J(y*)=J*.

El CV lo utilizamos para caracterizar los problemas de contorno de las ecuaciones diferenciales, es lo que denominaremos la formulación variacional (FV) de estos problemas. Es por lo tanto una formulación alternativa a las formulaciones fuerte y débil que hemos estudiado en los capítulos anteriores.

La FV se plantea los problemas de contorno en términos de minimizar la energía del sistema. La FV es equivalente a la FD por su generalidad teórica.

Su teoría y métodos serán aplicables para resolver problemas de ecuaciones en derivadas parciales tanto lineales como no lineales.

El CV tiene métodos numéricos propios, como por ejemplo el método de elementos finitos, de Ritz, de Garlequin etc., que no estudiaremos pero que queda como tema voluntario para los alumnos interesados.

x x2 x1 y y2 y1

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Comparemos el CV: Opt J(y),yE, con los métodos de optimización que conocemos en dimensión finita, que se denominan de Programación matemática (PM): Opt f(x) , xn. En PM optimizamos funciones definidas en subespacios de _n_.

La versión moderna del CV es el Control óptimo (CO):

E

V

v

E

U

u

v

u

J

(

,

)

,





,





Opt

(donde u es variable de estado, define el

sistema, y v es variable de control).

Ej1_CV0_c1: Para un problema de contorno lineal definido por una EDO lineal, veamos cuales son su FF y su FV.

Sea una EDO definida por el operador de Sturm Liouville regular:

 

0 ,

,

(

)

(

)

,

)

(

q

x

p

x

L

l

x

F

u

L

_SL _SL



























y con las condiciones de contorno:

u

(0)



0 ; (

pu

')( )

l



0

En la FV el problema se formula en términos de optimizar el funcional:





2 1 2 2 0 1 1 ( ) ( ' 2 ) 2 (0) 0 x l x J u pu qu uF u u        



No es necesario explicitar las condiciones de contorno Newmann, pues surgen como condiciones naturales en la FV, como estudiaremos.

MODELO BÁSICO DEL CÁLCULO DE VARIACIONES (MB(CV))



x

y

x

y

x



dx

f

y

J

x x





2 1

)

(

'

),

(

,

)

(

Opt











2



1 1, 2 ; ( )1 1, ( 2) 2 y V y C x x y x y y x y      

De todas las funciones “y” admisibles (trayectorias) buscamos las que optimizan el funcional J(y). Condiciones de regularidad: 2

C f  .

Estudiaremos sólo la minimización del funcional, pues: min J(y) = - max(-J(y)).

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y* es mínimo global de J en V1 si:

J

(

y

*)



J

(

y

),



y



V

1

y* es mínimo local de J en V1 si:

J y

( *)



J y

( ),

  

y V

1

,

y próximo a y

*

Para definir la proximidad entre funciones, se introducen las métricas:

- Variaciones fuertes (VF) o de orden cero:

Si







0 y

(

x

)



y

*

(

x

)







x





x

1

,

x

2





y

,

y

*

próximas

o, lo que es lo mismo, si

y



y

*

_





. - Variaciones débiles (VD) o de orden uno:

Si  



0 yy*_  y'y'*_ 



y y, * próximas

En el ejemplo las trayectorias están próximas según las VF pero no según las VD.

La notación que se va a usar es:

y

*

óptimo local;

y

candidato a óptimo local (si verifica las condiciones necesarias de óptimo).

J

*



J

(

y

*)

o J J y( ).

Por otro lado, pondremos haciendo referencia a las funciones de perturbación h

respecto de la candidata a trayectoria óptima,

y

, y usando un escalar  ,

h

y







;









 

0 

 2 : ( ₁) ( ₂)0



 V h C h x h x h , “h” funciones de

perturbación, emparentadas con las funciones de prueba  de la FD,

y



y

*

_



y

'



y

'*

_





h

_





h

'

_





La condición de mínimo local:   J* J J*0 ,  y V1 , y  prox y*, nos queda:

x x x x

J

2

f x y

h y

h

2

f x y y

h V

1 1

( ,

, '

')

( , , ')

0 ,

 



 







 

Desarrollo

f

en serie de Taylor de alrededor de

y

,

y

a lo largo de



h

,



h

'

: h



y

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



2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 '

'

' '

'

2

'

(

)

x x y y yy y y yy x x

J

f



h

f



h

f



h

f



h

f



hh

o



f

 









que se puede expresar por:  J

 

J 

 

2 2J o(



3)0 ,  h V

, donde





2



1

)

'

(

_' x x

f

y

h

f

y

h

J



, variaciones de primer orden de J en y, y'

y







2







1 x 2 2 2 yy y ' y ' yy ' x

J

f h

f

h'

2f hh'

, variaciones de segundo orden de J en y, y'.

2 2 2 2 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 J J J o J J J o













  _ _ _ _      _     _{  }

, lo que implica que:







2





2



 

 



J

J o(

)

0 , h

V ,

La condición necesaria de primer orden para óptimo local (cn1o (ol)) se obtiene pasando al límite cuando



tiende a cero:





  



2





 

1 x y y' x

J

0 , h

V

( f h

f h')

0 , h

V

Integrando por partes el segundo término de las cn10(ol):











2 1 2 1 2 1 2 1 ' ' ' '

'

x x y x x y x x y x x y

_dx

f

d

h

f

dx

d

h

f

h

f

_{, pues}

_h

₍

_x

₁

₎



_h

₍

_x

₂

₎



₀





 



2 1 x y y' x

d

h( f

f )

0 , h

V

dx

Lema de Fundamental del Cálculo de Variaciones (LFCV):















         _{  }



2 1 0 1 2 x 1 2 x C x ,x (x) 0 , x x ,x h 0 , h V

Demostración por reducción al absurdo: Suponemos que  x0



x x1, 2



: ( x0)0 Por ser



C0 



x' , '1 x 2

 

 x x1, 2



:



( )x 0 ,  x



x' , '1 x 2



Tomando       





 2 2 1 2 1 2 1 1 , x x ' ,x ' (x x ' ) (x x ' ) h V ; h resto 0

0

2 1 1





x

h



pues h1 0, lo que contradice

0

2 1





x x

h



. x 1 x’1 x 0 x’2 x 2

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Aplicando el LFCV a: y

f

y'

dx

d

f







; 2





1 0 1 2 ( ) 0, , 0 x x C x x x x h             



cn1o(ol):

f

'

0 ,

x



x

1

,

x

2



dx

d

f

_y



_y







Ecuación denominada de Euler, que es una EDO de 2º orden, que junto con las condiciones de contorno constituye el problema de contorno que define las cn1o(ol). Su resolución proporciona los extremales (candidatos a óptimo local):