La Formulación Variacional del Problema de Newmann Dirlchlet en los Espacios de Sobolev

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL "PEDRO RUIZ GALLO" J.! , S FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS ~. V MATEMÁTICAS ,. ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA. "La Formulación Variacional del Problema de Newmann-Dirlchlet en los Espacios de Sobolev". TESIS PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE:. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Presentado por:. Bach. Mat. Karina Del Milagro Aguilera Tigre Bach. Mat. César Arturo Santisteban Jacinto. Asesor: Drae !ris Margarita Tejada Romero .. v. '. Lambayeque - Perú Agosto2015. ,,. r 1. 1. ,¡ .l.

(2) UNIVERSIDAD NACIONAL "PEDRO RUIZ GALLO" FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA. "La Formulación Variacional del Problema de Newmann-Dirichlet en los Espacios de Sobolev" TESIS Para optar el título profesional de. Licenciado en Matemáticas. presentado por:. Bach. Mat. Karina Del Milagro Aguilera Tigre Bach. Mat. César Arturo Santisteban Jacinto Asesor. Dra. Iris Margarita Tejada Romero. Lambayeque - Perú Agosto 2015.

(3) Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Escuela Profesional De Matemática Los firmantes, por la presente certifican que han leído y recomiendan a la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas la aceptación de la tesis titulada "La Formulación Variacional del Problema de Newmann-Dirichlet en los Espacios de Sobolev", presentado por los Bach. Mat. Karina Del Milagro Aguilera Tigre y César Arturo Santisteban Jacinto en el cumplimiento parcial de los requisitos necesarios para la obtención del título profesional de Licenciado en Matemáticas.. Mg. Alcides Raúl Cuti Gutiérrez. Lic.. Mg. Segundo Leonardo Valdivia Velásquez Vocal del Jurado. Fecha de defensa:. 1 1. 14 Septiembre del 2015.

(4) Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Escuela Profesional de Matemática. "La Formulación Variacional del Problema de Newmann-Dirichlet en los Espacios de Sobolev". César Arturo Santisteban Jacinto Autor. Autor. Larnbayeque - Perú Agosto del 2015.

(5) DEDICATORIA Este trabajo se lo dedico a Dios por darme salud y paciencia necesaria para culminar este trabajo. A mis Padres por estar ahí cuando más los necesité; en especial a mi madre Vilma, por ser el pilar más importante y por demostrarme siempre su cariño y apoyo incondicional sin importar nuestras diferencias de opiniones. A mis hermanos, por haber fomentado en mí el deseo de superación y el anhelo de triunfo en la vida. A todos, espero no defraudarlos y contar siempre con su valioso apoyo, sincero e incondicional. Karina Del Milagro. A mis padres Mariano y Blanca, a mis hermanos Mariano, Percy, Javier, Alex y Junior que siempre estuvieron conmigo en todo momento. A mi esposa Elizabeth y a mi hijo Iker que son mi fuente de energía. César Arturo.

(6) AGRADECIMIENTOS. Quiero expresar mi más sincero agradecimiento, reconocimiento y cariño a mis padres por todo el esfuerzo que hicieron por darme una profesión y hacer de mí una persona de bien. Gracias a mis hermanos: Aracely, Danny, Mery y Walter quienes han sido mis amigos fieles y sinceros, en los que he podido confiar y apoyarme para seguir adelante. Agradezco a mis viejos amigos y a quienes recién se sumaron a mi vida para hacerme compañía con sus sonrisas de ánimo. Agradezco también de manera especial a nuestra asesora Iris Margarita Tejada Romero quién con sus conocimientos y apoyo supo guiar el desarrollo de la presente tesis desde el inicio hasta su culminación.. Karina Del Milagro A mi Padre Mariano por su ejemplo de esfuerzo y valor para seguir siempre hacia adelante. A mi Madre Blanca por haberme apoyado en todo momento, por sus consejos y ser mi ejemplo de vida. A mi Esposa Elizabeth por siempre confiar en mi y darme el ánimo nesario para culminar este trabajo. A la Dra. Iris Tejada Romero por sus conocimientos y apoyo incondicional.. César Arturo.

(7) Resumen En este trabajo se presenta una descripción del método variacional, haciendo un estudio cualitativo de las ecuaciones de Newmann-Dirichlet en los espacios de Sobolev para el caso homogéneo y no homogéneo de existencia y unicidad de la solución, mostrando la adaptavilidad del método variacional..

(8) ,.. 1=~~:-:~~i'.;:i ·:~_c:.~~~i~ ~ _ 1. !o::.::.i:';:;;llo"..'.c.\Vt.":-"1.·~.·,.-.o,·aoo:,.·.._-,.. .,..:o..-....,,.._.._ CQ\} ~>f:(:l,;\<:¡c:¡c.\CIO'J· ........ ;. 6~~~~¿;~~=-~. Índice general. Dedicatoria. 4. Agradecimientos. 5. Resumen. 6. l. Teoría Matemática del Método Variacional. 9. 1.1. Introducción a los espacios Funcionales .... 9. 1.1.1. Un toque a la teoría de integración de Lebesgue. 10. 1.1.2. Derivada Generalizada. 13. 1.2. El Espacio de Distribuciones.. 15. 1.3. Espacios de Sobolev . . . . . .. 23. 1.3.1. Desigualdades en los Espacios de Sobolev .. 25. 1.3.2. Dualidad en los Espacios de Sobolev. 28. 1.4. Espacios de Hilbert . . . . . . . . .. 31. 1.4.1. Algunos Espacios de Hilbert. 39. 7.

(9) ÍNDICE GENERAL. 8. 1.4020 Funciones Lineales 1.50 Método Variacional. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. 2. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 201. El Problema Mixto Newmann-Dirichlet Homogéneo. o. 2020 El Problema Mixto Newmann-Dirichlet No Homogéneo. 40 42. 44 o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. o. 44 52. Conclusiones. 60. Bibliografía. 61. UNPRG. FACFyM.

(10) Capítulo 1: Teoría Matemática del Método Variacional. 1.1.. Introducción a los espacios Funcionales Es necesario definir la integral de Lebesgue, puesto que en el presente trabajo la. medida del conjunto sobre el cual se integra es más amplio que el que se usa para la integral Riemann (puede ser JRn , espacios topológicos, variedades, etc). La integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración convencional de Riemann a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en los cuales estas integrales pueden definirse.. 9.

(11) Cap.1:. 10. Teoría Matemática del Método Variacional. 1.1.1.. Un toque a la teoría de integración de Lebesgue. En esta sección revisaremos algunos conceptos básicos de la teoría de integración de Lebesgue. Entendemos por un dominio D un subconjunto de IRn medible Lebesgue con interior no vacío (generalmente abierto o cerrado). Sea f : D -+ IR una función medible-Lebesgue e integrable, cuya integral se denota por. { f(x)dx. )¡¡. donde dx denota la medida de Lebesgue. Hagamos algunas notaciones y definiciones: Una función medible, se dice que es totalmente acotada sii existe una constante K > O tal que \f(x)\. ~K,. sobre D.. Definamos el espacio de funciones .L(D) = {f : D-+ IR, integrable según Lebesgue } Ejemplo 1.1.1. Sea la función f(x). =. XIQn[O,lj(x),. se puede observar fácilmente que f. no es integrable según Riemann, pero según Lebesgue se tiene que. f. dp,. = p,(Qn ¡o, 1]) =o. JIQn[O,l]. para 1 :::; p < oo, y f E .C(S1) se define. (1.1) Para p. = oo, escribimos. 1\f\\L=(n) := sup ess\f(x)\. (1.2). xE!!. UNPRG. FACFyM.

(12) Cap.l:. 11. Teoría Matemática del Método Variacional. Observar que 11 ·. \\LP(O). nulas, tendrán por ejemplo,. es solamente una semi-norma, pues muchas funciones no. llflb(n) =O. Entonces se puede identifitar funciones usando. la siguiente relación: en .cP(D) por f ,. ._, g sii el conjunto {x E D/ f(x). :f. g(x)}. tiene. medida nula. Así se define el espacio de Lebesgue. el espacio de funciones V en el cual. 11 ·. IILP(!2). es una norma, con identificación se dirá. que todas las funciones que pertenecen a la misma clase de equivalencia se representan por una sola y diremos que f = g, y de ello se tiene que general. IIJIILP(O) = II9IILP(O)·. Ejemplo 1.1.2. n. 1,. f(x). r f(x)dx = lnr g(x)dx y en. ln. = 1, D = [-1, 1]. X;::: 0. 1,. g(x) =. =. {. 0, X< 0. X> 0 h(x) =. {. O,. X~. o 0,. Como. X<. 0. f, g y h difieren solamente en un conjunto de medida nula, entonces son la misma. función en un espacio de Lebesgue. De esta manera, se puede pensar que LP(f!) es un conjunto de clases de equivalencía de funciones respecto a la identificación vista anteriormente. Pero en la práctica no se pensará que los elementos de V son clases de equivalencia de funciones, más sí como funciones definidas. Las desigualdades que mencionaremos a continuación (junto con desigualdad de poincare. UNPRG. FACFyM.

(13) Cap.l:. 12. Teoría Matemática del Método Variacional. que mencionamos mas adelante) son de suma importancia, las usaremos en la demostración de la hipótesis del teorema de Lax Milgram. 1 1 l. Desigualdad de Holder: para 1 ::::; p, q < oo, tal que - +p. Lq(n). Entonces fg. q. = 1, si f. E V(D.), g E. E L 1 (D.) y además. . 1 1 General 1zación: - +p q. De ello se sigue para. 1. = -, entonces . r. n acotado;. 1\J\h : : ; · · · I!JI!p : : ; I!JI!q · · · : : ; I!JI!oo,. 1 ::::; P::::; q ::::;. 00. de donde se tiene la siguiente cadena de inclusiones continuas. L 00 (D.). e ... e U(n) e ... e LP(D.) e ... e. L 1 (D.),. 1 ::::; p::::; q::::; oo. (1.3). 2. Desigualdad de Cauchy-Schawrz: es un caso particular de la desigualdad de Holder, cuando p = 2 = q, si j,g E L 2 (D.), entonces fg E L 1 (D.) y además. llfgllvcnl ::::; llfi!Pcn) 1!91!L2(n) Si denotamos en L 2 (D.) el producto interno como. (f, g) L2(n) UNPRG. :=. r f(x)g(:r)d1;. .}¡¡. FACFyM.

(14) 13. Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa como. \(!, 9)L2(n)\ ~ l\fi\L2(!l)I\91\L2(n). Ahora necesitamosintroducir un nuevo termino DISTRIBUCION. Entendemos por distribución o función generalizada como un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida. Además la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales.. 1.1.2.. Derivada Generalizada. Consideremos ahora la derivada de una distribución, si un funcional la definimos F : K -------+ ffi., definida mediante la función. f (x) (en el sentido corriente) por. ¡+oo. F[rp(x)] = (J(x), rp(x)) =}-oo f(x)rp(x)dx parece natural definir su derivada por. dF[rp(x)] ¡+oo dx = F'[rp(x)] = (J'(x), rp(x)) = }_ f'(x)rp(x)dx 00. UNPRG. FACFyM.

(15) Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. 14. Si la función f(x) es diferenciable su primera derivada f'(x) es continua, haciendo uso de la integración por partes en F[:p(x)] con u= :p(x) dv. F'[:p(x)] =. = f'(x)dx. ¡:oo J'(x):p(x)dx f(x):p(x)l~:- ¡~ f(x):p'(x)dx +oo. - j-oo. f(x):p'(x)dx. -F[<p'(x)]. ya que si :p(x) es una función de prueba, tiene soporte compacto y se desvanece fuera de un intervalo finito, es decir :p(±oo). = O, por lo cual el primer término de la ecuación. se anula, obteniendo una expresión en la que no figura la derivada de f(x), y escribimos. (f'(x), :p(x)) = -(f(x), :p'(x)) Esta nueva funcional es lineal y continua sobre K, ya que si :p(x) es función de prueba, su derivada :p'(x) también lo es. Lo anterior sugiere la siguiente definición.. Derivada Generalizada Llamaremos derivada dd.F de la función generalizada F [<p ( x)] a la funcional definida X. mediante dF = F'[:p(x)] = -F[:p'(x)].. dx. UNPRG. FACFyM.

(16) Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. 15. El Espacio de Distribuciones.. 1.2.. En primer lugar introducimos algunas notaciones para derivadas parciales y multiíndices: Dado un vector x con componentes (x 1 , x 2 , · · · , :r:n) E JR.n. Un multiíndice es un vector,. a= (al, az, · · · , an). E Zci; la longitud de. a se define por n. Para cp E C 00 , denotamos por. D acp,. Dacp X. '. a la derivada parcial usual. A continuación mencionaremos definiciones y notaciones puntuales como Soporte de una función, el espacio de distribuciones y distribución.. Soporte de una función Sea cp : O e JR.n---+ IR. una función, el soporte de una función es la clausura del conjunto de puntos donde cp no se anula, y se denota por sop(cp ), es decir:. sop(cp) = {x. UNPRG. E O;. jcp(x) =/=O}. FACFyM.

(17) Cap.l:. 16. Teoría Matemática del Método Variacional. Si este conjunto es compacto y está en el interior de n, entonces se dice que la función tiene "soporte compacto", con respecto a n. Cuando n se dice acotado se dice que <p se anula en una vecindad de. an = r.. Ejemplo 1.2.1.. f -5. Los x E IR tal que. -2. 2. 5. f =/=O es ( -2, 2).. Soporte de <p = ( -2, 2) = [-2, 2]. Definición 1.2.1. Sea n. e. IRn, un dominio con. r. =. an.. Se denota el conjunto de. funciones C00 (r2) con soporte compacto en D(D) o C0 (D), es decir:. D (f2) = { <p : n ---+ IR 1:¡; es diferenciable y de soporte compacto en n} Definición 1.2.2. Una distribución o función generalizada es un funcional T definida. sobre el espacio D(D), que es continua en el siguiente sentido. Para cada subconjunto compacto K E n le corresponde e > O y k entero positivo tal que: IT(cfJ)I ::; e. sup. IDjcjJ(x)l, Vcp E D(D). ljl::;k, xEK. Definición 1.2.3. El espacio de distribuciones sobren se define como el dual D'(D) de. D(D), es decir D'(D) = {T: D(D) --t IR UNPRG. 1 Tes lineal y. continua}. FACFyM.

(18) Cap.l:. 17. Teoría Matemática del Método Variacional. Notación: Uasremos la notación de dualidad (T, <p) para <p E D(O). Definición 1.2.4. Una distribución sobre 0, es cualquier aplicación T : D(O). ---t. IR tal. que:. a) T es lineal.. b) Tes (secuencialmente) continua, es decir, tal que si <t?n. ---t. <p, entonces T(<t?n). ---t. T(<p) en IR.. Al conjunto de todas las distribuciones sobre 0, se le denota D'(fJ).. Ejemplo 1.2.2. La función generalizada delta de Dirac, se define como (6x 0 , <p) =. :p(xo), esta función también se le llama función impulso unitario y se puede observar que 6x 0 E D'(O).. Una función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio ele definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local. Este concepto nos servirá para poder definir Derivada Generalizada y Derivada Distribucional Ahora las definiremos:. Funciones localmente integrables. UNPRG. FACFyM.

(19) Cap.l:. 18. Teoría Matemática del Método Variacional. Definición 1.2.5. Dado un dominio n, el conjunto de funciones localmente integrables. se define por. fE L1 (K),. Lfoc(n) = {f:. V compacto K e intn}. f Lfoc(n) = {E L 1 (I<), V compacto K en (intn, sin es arbitrario)} Recordar que 1. L (K) = {f: K---+ lR /. j~ \f\ < oo}. Así, se puede decir una funcional lineal T¡ : n(n) ---+ lR por. VJ---+ (Tf,VJ). =. f f<pdn = f fVJdn ln JSop<p. Así, se puede decir que Lfoc e n'(n) Notación: Sugeridos por la anterior representación, usaremos también la siguiente notación para cada T E. n' (n), por (T, VJ) D' (n),D(u). =. L. T<pdn.. Usando este espacio podemos presentar el nuevo concepto de derivada. Definición 1.2.6. (Derivada generalizada).. Dada una función. fE. Lfoc(n), decimos que. na j, sii existe una función g. E. f tiene derivada débil o generalizada,. Lfoc(r2) tal que. { g(x)<p(x)dx = (-l)lal { f(x)narp(x)dx,. ln. ln. Vrp E n(n). (1.4). Si tal g existe, se define na f := g en el sentido generalizado.. UNPRG. FACFyM.

(20) Cap.l:. 19. Teoría Matemática del Método Variacional. Definición 1.2. 7. (Derivada Distribucional).. Si T E D'(D.) la derivada de T se define por la siguiente expresión:. A continuación el teorema de Green clásico o teorema de la divergencia que nos sirve para poder integrar sobre D.. Este teorema nos servirá para poder "quitarle" una derivada allapaciano de u y así llevar el problema clasico a un problema variacional. Fórmula de Green para funciones de HJ(D.). V'u, 'V E HJ(D.), se tiene:. j. n. &v u,-dx &xi. =-. ¡·. O'U -vdx. . n &xi. '. Fórmula de Green clásica a las funciones D(D.):. donde "f. UNPRG. = (1 1 , 1 2 , 1 3 , · · ·. , "fn). vector normal.. FACFyM.

(21) Cap.l:. 20. Teoría Matemática del Método Variacional. Demostraremos que:. {. Jn. ~uvdx = -. {. ln. \lu\lv,. \;fv E C'[f. En efecto: Hacemos u. = Ux;. Reemplazando en Teorema de Green clásica o Teorema de divergencia:. 5.. \lu\lv. 6.. UNPRG. FACFyM.

(22) Cap.l:. 21. Teoría Matemática del Método Variacional. 3. Tomando. L. tenemos.. i=1. L1 3. 3. UxixiV. /. }¡. - L Jn/. dx. ¡¡. i=3. 3. UxiVxi. dx +. i=1. L. Uxixi V. -1 L. dx. ¡¡ i=3. -. }¡¡. UxiVxi. dx. /. .Jn. 1L. UxiV. -/ds. j.\lu\lv dx + ¡·an L. 8!1 i=1. 3. Uxi. "/vds. i=1. / b:..uv dx = - / \lu\lv dx +. =?. +. n. ln. }¡¡. "/ds. 3. ¡¡ i=1. / 6:u.v dx. UxiV. i=1. 3. 3. L Jan/. /. lau. b:..u¡vds. b:..v.v dx = - / \lv.\lv dx.. .Jn. Ejemplo 1.2.3. Hallar D 1 f, si f(x) = 1-Jxl, O= (-1, 1) Solución. En efecto: para Vcp E D(O). -1. 1. (1- JxJ)cp'(x)dx 1. -1:. 1:. cp'(x)dx +. -cp(x)l~ 1 +. 1:. JxJcp'(x)dx. Jxlcp'(x)dx. ;~: lxJcp'(x)dx. 1:. 1 1. lxJcp'(x)dx +. JxJcp'(x)dx. - }_1r xcp'(x)dx + lot x:.p'(x)dx - [xcpJ~ 1 - ;~: cp(x)dx] + [x cpJ~. = UNPRG. 1:. -1. 1. cp(x)dx]. g(x)cp(x)dx. FACFyM.

(23) 22. Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. donde 1,. -1 <X< 0. -1,. 0<:r<1. g(x) = {. Por tanto se concluye que en el sentido distribucional. (D 1 f, <p) = (g(x ), <p). 'íf<p E. D(O). de donde se puede observar que. ~~ = {. -1 <X< 0. 1, -1,. 0<x<1. Ahora veamos conceptos básicos sobre Los espacios de Sobolev, denotados por. wm,p(O) son otro ejemplo de espacios de Hilbert, que se utilizan muy a menudo en el marco de las ecuaciones en derivadas parciales definidas sobre un cierto dominio O. Los espacios de Sobolev generalizan los espacios V. Además en los espacios de Sobolev generales wm,p(O) se usan ciertas notaciones particulares para cierto tipo de espacios:. • H0 (0.). UNPRG. =. {fE Hm(O)/ flan= O}. FACFyM.

(24) Cap.l:. 23. Teoría Matemática del Método Variacional. 1.3.. Espacios de Sobolev Sea el operador Di. = 8j8xj ,. j. = 1, · · · , n. Sea a. E. ZR. cualquier n-upla de. n. enteros no negativos, sea. Jai = L. y. no:= rr~=l Dfi. i=l. Definición 1.3.1. Sea 1 ::; p < oo y m E Zci un entero no negativo, se define. dotado de la norma. JJuJJwm.v(!l) = si p. = oo. Aquí siempre tratamos a las derivadas en sentido de las distribuciones. Si p = 2, se denota por Hm(rl) =. wm· 2. al espacio de Sobolev que se define por. el cual es un espacio de Hilbert con respecto al producto interno. (u, v)Hm(n) =. L. (Do:, Do:v); u, vE Hm(rl). Ja:I:Sm. donde ('u,, v) es el producto interno ordinario en L 2 , también se denota por L 2 (rl). Sea D(rl) el espacio de funciones 0 00 con soporte compacto contenido en O. El cerrado UNPRG. FACFyM.

(25) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. de D(O) en la topología de Hm. 24. = 1;Vm, 2 será denotado por. W~' 2 ó H 0 cuando p. = 2 el. cual también es un espacio de Hilbert. Para rn. = 1 y p = 2, definimos al espacio H 1 (0). = W 1 ,2 (0) y. HJ(O) = W~' 2 (0). Ellos son ambos espacios de Hilbert con el producto escalar. (u, v)Hl(n) =(u, v)L2(!l). + ·t)Diu, Div) =. 1 +t uv. n. i=l. Diu Div dx. i=l. y norma. En HJ(O) se define el producto escalar (·,·)por. Tenemos la desigualdad de Poincaré. n. lluiiL2 <. k. {. {;. } 1/2. 1Diul 2. lluiiL2 < kiiVuiiP(n¡,. ,. V1t E. Vu E HJ(O) HJ(O)}. donde k es una constante.. Teorema 1.1. El espacio. w;(o). es un espacio de Banach.. Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy {vi}, respecto a la norma. Teniendo en cuenta que justo esta norma es una combinación de normas de UNPRG. ll.llk,p,n·. 1 · IILP(!l) FACFyM.

(26) Cap.l:. 25. Teoría Matemática del Método Variacional. de derivadas generalizadas, se cumple que para cada. lal. nuevo una sucesión de Cauchy en la norma. Se dice que existe va E V(D) tal. 11 · IILP(!!)·. :<:::;k, la sucesión {Davj} es de. que IIDavj- vo:IILP ---+O, cuando j ---+ oo. En particular Vj ---+ vO,··· ,o := v en V(D). Solo falta verificar que Dav existe y es igual a va. Para ello, observe que si. Wj. ---+ w en LP, entonces para todo cp E D(D), se cumple. /' wj(x)cp(x)dx---+ /' w(x)cp(x)dx. }¡¡. Jn. Esto se sigue de la desigualdad de Holder. Para mostrar que Da. = va, debemos verificar la identidad en el sentido distribucional. Por tanto. D. 1.3.1.. Desigualdades en los Espacios de Sobolev. En los espacios de Sobolev existen relaciones de inclusión que se usan muy a menudo, cuando las inclusiones de un espacio en otro son continuas. UNPRG. FACFyM.

(27) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 26. Proposición 1.1. Sea Q cualquier dominio, k, m E. zt. tal que k :::; m,. 1 :::; p :::; oo,. entonces. inclusión continua y compacta.. Observemos que. por tanto, tomando la inclusión:. u. f-----t. i(u) =u. la desigualdad anterior significa que :. lli(u)ilk,p,!l:::; iiuiik,p,H. \;fu E. Wk,p(Q). La siguiente proposición nos muestra que si p > q,. Hfm,q. e. Wk,p, esto es claro de. entender pues en el primer espacio los elementos que la conforman deben de ser mas veces integrables. A continuación la proposición formal con algunos resultados a partir de esta proposición. Proposición 1.2. Sea Q dominio acotado, k E. zt,. p, q E lR tal que 1:::; p:::; q:::; oo,. entonces. UNPRG. FACFyM.

(28) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 27. observe que para k = O se tiene la siguiente cadena. L00 (D) e··· e U(D) e· .. e LP(D) e ... e L2 (D) e ... e L1 (D),. 2:::; p:::; q:::; oo.. Recordar que:. donde. (LP(D))' = {T: LP(D,) ---+IR: T lineal continua }, con la notación de dualidad (T, f). =. f Tf. ln. la continuidad significa que se cumple para. algún e> O. I(T, f)l = Si TE LP, y además. 11 Tfl:::; ellfiiLP Vf. E. LP(D).. ~ + ~ = 1, entonces, la desigualdad de Holder garantiza: r. P. I(T, f)l :::; ellfiiLP con e= IITIIu Por otro lado se tiene:. IITIIcLP)' = sup I(T, f)l IIJIILP=l. Por tanto. IITIIucn) = sup. IIJIILP=l. UNPRG. 1. (T, f). 1. FACFyM.

(29) Cap.l:. 28. Teoría Matemática del Método Variacional. Definición 1.3.2. Definimos los espacios. w;(n) por. nr;(n) = la clausura de D(Sl) en vv;(n) Es natural que estos espacios se pueden caracterizar por. w;(st) ={u E w;(n) j u= 0 sobre f = 8S1} Como. w;(n) es espacio de Banach, entonces se cumple que w;(n) es un espacio de. Banach. En particular para p. 1.3.2.. = 2 se denota por. Dualidad en los Espacios de Sobolev. Sabemos que si V es un espacio de Banach, V' es el espacio dual de V, y la norma en V' se define por:. IITIIv' =. sup. llxllv. Ejemplo 1.3.1. Para 1. ITxl =. sup. llxll9. ITxl =. sup. IITIxl,l. xEV,x'iO. X. =. sup. llxll=l. (T, x). s p < oo. (LP(S1))' = {T: LP(S1) --+IR, lineal y continua }. v. UNPRG. t-+. (T, v) = /' Tv. Jn. FACFyM.

(30) Cap.l:. Si. 29. Teoría Matemática del Método Variacional. 1 p. 1 q. fE Lq(D), con - +- = 1. por desigualdad de Holder se cumple. f. Entonces se cumple que. E. (V(D))'.. Por otro lado si:. TE (LP(D))', entonces ::le > O tal que:. Usando el Teorema de Riesz se tiene en [Brezis pag. 61] que existe. (T,v) = {. }¡¡. hE Lq(D). tal que. hv. y de ello se tiene que. U(D) = (LP(D))', Definición 1.3.3. Sea 1 :s; p :s; oo, k E. z+,. ~ + ~ = 1. p. q. q E ffi. tal que. ~+~ = p. q. l. Se define el. espacio Dual de Wk,q por. su norma. llvll-k,q,n =. sup. sup. uEWk•P(!!). uEWk,P(ll). (v, u) llullk,p,ll 1. 1. en particular si p = 2 tenemos H-k(D,) = (Hk(D.))'. UNPRG. FACFyM.

(31) Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. 30. Observación. Sean V, W dos espacios de Banach tal que V. e. H!; veamos la relación. de V' y W'. Sea TE W' se cumple. I(T,w)l ~ cllwllw,. Vw E W. En particular. I(T, v)l. ~. cllvllw,. (1.5). V·v E W.. entonces T E V' con la norma de W. Por lo tanto. W' Si V. e V'. con la norma de W.. e W es una inyección continua (llvllw. ~. Mllvllv). para algún M, entonces si. TE V', de (1.7) se tendría. (T, v)l Por lo tanto W'. e V'. si V. eW. ~. cllvllw ~ cMIIvllv,. Vv E V;. (inclusión continua).. De las inclusiones de Sobolev sabemos que. de ello se cumple. obteniendo la siguiente cadena de inclusiones continuas para k entero positivo D(D). e · · · e Hk(D) e Hk- 1 (D) e · · · e L 2 (D) = (L 2 (D))' e · · · e H-k+ 1 (D) e. H-k(D) e · · · e D'(D) UNPRG. FACFyM.

(32) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 31. El espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Esta generalización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión dos y tres se extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita. Ejemplos de tales nociones y técnicas son la de ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre vectores y convergencia de una sucesión. El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático David Hilbert quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales. Más formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interior. Ahora definiremos producto interno para luego poder definir formalmente Espacio de Hilbert.. Espacios de Hilbert. 1.4.. Espacio con Producto Interno Sea H un espacio vectorial, (-, ·) : H x H ---+ lHI es un producto interno si: i) (x, x) 2: O, Vx E H. ii) (x, x) = O, si x = O. iii) (ax, y)= a(x, y), Vx, y EH, a escalar.. iv) (x, y) = (y, x). UNPRG. FACFyM.

(33) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 32. v) (x+z,y)=(x,y)+(z,y). n. Ejemplo 1.4.1. lRn, (x, y). = L XiYi, X= (x1, · · · , Xn). E. lRn, y= (yl, · · · , Yn) E lRn. i=l. Demostraremos que (x, y) es un producto interno. i) (x, x) 2: O n LXiXi. (x, x). i=l. n ¿x¡ i=l. Como x 2 ~. > o. (x, .re) > O.. ii) (x, x) =O ~ x =O. (x, x). o. n. ¿x¡. o. i=l ~x2~. o para cada i.. ~lxil. o para cada i.. ~Xi. ~X. n. O para cada i.. o.. n. iii) (ax, y)= L(axi)Yi =aL XiYi = a(x, y). i=l. UNPRG. i=l. FACFyM.

(34) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 33. n n n n iv) (ay, x) = LYi, xi = LYi xi = L XiYi = L XiYi = (x, y). i=l i=l i=l i=l. v) (x+z,y)=(x,y)+(z,y). n. (x + z, y) i=l n. i=l n. L. n. XiYi. +L. i=l. ZiYi. i=l. (x, y). + (z, y). Luego : (IRn, (-, ·)) es un espacio con producto interno. 00. lxnl 2 < +oo} es un espacio con producto. 2. Ejemplo 1.4.2. l = {x = (xn)nEN : L. n=l interno, con 00. (x,y) = LXn ·Yn n=l 00. Demostraremos que (x, y). = L Xn · Yn es un producto interno. n=l. i). (x, x). ~O 00. (x, x). LXn.Xn. n=l 00. Llxnl n=l Como lxnl 2. 2. > o 00. UNPRG. (x, x). Llxnl ~O n=l. (x, x) >. o. 2. FACFyM.

(35) Cap.l:. ii). Teoría Matemática del Método Variacional. (x, x) = O. ~. 34. x= O 00. (x, x). 2::. Xn.Xn. n=l 00. O para cada n. ~Xn. O para cada n. O para cada n.. iii). (ax, y)= a(x, y) 00. (ax, y) n=l 00. a(x,y). iv). n=l. n=l 00. 2::. Xn·Yn. n=l. (x, y). UNPRG. FACFyM.

(36) Cap.l:. v). Teoría Matemática del Método Variacional. 35. (x + z, y) = (x, y)+ (z, y). (x+z,y) n=l 00. n=l 00. L. 00. Xn·Yn. n=l. +L. Zn·Yn. n=l. (x, y)+ (z, y).. Propiedades Sea (H, (-, ·)) espacio con producto interno. i). ii). (z, x +y) = (z, x) + (z, y).. (x, ay)= a(x, y).. Desigualdad de Cauchy-Schwartz. l(x,y)l:::; (x,x) + (y,y), \fx,y E H. Observación. Sea ( H, (-, ·)) espacio con producto interno.. llxll = ~ \fx. E H. define una norma sobre H.. La norma proviene de un producto interno.. UNPRG. FACFyM.

(37) Cap.l:. i). Teoría Matemática del Método Variacional. 36. 11x11 ;: : O 11x11 = ~ se sabe que (x, x) >. o. ~ >. o. ===?. 11x11 > o. ===?. ii). 1\x\1 =0. ~. X=O. 1\xll. -. o. ~ = o ~. (x,x) = o. ~. iii). X =. o. 1\ax\1 = \a\\lx\1 \\ax\1 =. V(ax, ax). 1\ax\1. -. Ja.a(x, x). \1ax1\. -. vla\ 2 (x, x). \\ax\1 = \al~ 1\ax\1 = \a\\lx\1. UNPRG. FACFyM.

(38) Cap.l:. iv). Teoría Matemática del Método Variacional. llx +vil. ~. 37. llxll + llvll llx+vll 2 = =. (x+y,x+y) (:e, ;r:). +(y, ;r;) + (;r:, y)+ (y, y). = llxll 2 + 2Re( (x, y))+ llvll 2. llxll 2 + 2l(x,y)l + llvll 2 = llxll 2 + 2J(x,x)~ + llvll 2 = llxll 2 + 2llxll llvll + llvll 2. llx+vll 2 < (llxll + llvll) 2 llx+vll < llxll + llvll Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Si la norma proviene de un producto interno entonces:. l(x,y)l La norma. UNPRG. 11 · 11. ~. llxll-llvll. proviene de un producto interno si cumple la ley del paralelogramo:. FACFyM.

(39) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. • llx + Yll2. 38. (x+y,x+y) (x, x). + (x, y)+ (y, x) + (y, y). - \\x\\ 2 + (x, Y)+ (y, x) + IIYII 2. • llx- Y\1 2. =?. (x-y, x-y) =. \\2:11 2 - (x, y)-. (y, x). + IIYII 2. llx + Y\1 2 + llx- Yll 2 Espacio de Hilbert. Sea (H, (-, ·)) un espacio con producto interno. El espacio H es de Hilbert con. i) ·á). H es de Banach con. 11 · 11. UNPRG. 11 · 11. si. 11 · 11.. provenga del producto interno.. FACFyM.

(40) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 1.4.1.. 39. Algunos Espacios de Hilbert n. l. Rn con llxll. = ( ~ lxil. 2. ) 1/2. En efecto:. es un espacio de Banach El producto interno en Rn n. (x, y). LXiYi. i=l n. (x, x). Lxixi. i=l n. Llxil i=l llxll 2. (x, x). ~. llxll Luego:. 11 · 11. 2. en Rn proviene de un producto interno.. 00. 2. l = {x = (xn)nEN: ~ lxnl < +oo} 2. 2. COn. llxll =. (00 ~ lxil 2. )0. En efecto: l2 es un espacio con producto interno. 00. (x, y) =. L x/[Ji;. X= (xi)iEN; y= (Yi)iEN E l. i=l. (l', 11 · 11) es un espacio de Banach con llxll. UNPRG. 2. .. ~ ( ~ ¡x,l'). 112. FACFyM.

(41) Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. 40. El producto interno en l 2 00. (x,y). LXi'fh n=l 00. (x, x). LXi'fh n=l 00. (x, x). = :Lixil 2 n=l. (x, x). llxll2. llxll = ~ =?. 1 · 11. proviene de un producto interno.. Luego:. z2 es Hilbert con. 1.4.2.. 1\ ·. 11·. Funciones Lineales. Sea V un espacio de Hilbert con producto escalar (·, ·) y norma. 11 · llv.. Definición 1.4.1. (Funcional Lineal). Una funcional lineal en V es una función:. L:V ---r IR. u. 1----1. L(u). tal que L(au + {3v) =aL(u)+ {3L(v), Va, {3 E IR. UNPRG. FACFyM.

(42) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. 41. Una funcional lineal es acotada (contínua) si existe CE JR+ tal que. IL(v)l ::; Cllvllv. (1.6). \:fv E V. Ejemplo 1.4.3. V= L 2 ([a, b]). l: L2 ([a, b]). g. ----+ IR 1-------t. l(g) = ¡b g(x)dx. Veamos:. (i) Linealidad: l(ag +(3!). =. ¡b[ag(x) + (3f(x)]dx =a ¡b g(x)dx. + (3 ¡b f(x)dx. =. al(g) + (3l(f). Es acotada, puesto que por la desigualdad de Cauchy-Schawrz. ll(g) 1. l.i. 1. 1: ; 1 1. g(x )dx. lg(x) ldx ::; 1\111 11911. ll(g)l < cllgll El método variacional es especialmente útil en el estudio de la existencia de soluciones débiles de problemas de contorno no lineales para E.D.O. ó E.D.P., pues permite el uso de herramientas muy potentes del Análisis Funcional. Se debe de aprender aplicar tal método a problemas de relacionados con E.D.O., donde las dificultades técnicas son más fácilmente superables, para pasar después al caso de. UNPRG. FACFyM.

(43) Cap.l: Teoría Matemática del Método Variacional. 42. E.D.P. Se necesita conocer los espacios de Sobolev para entender adecuadamente el desarrollo que hacemos seguidamente, asi como tener unas nociones miiiimas de Cálculo diferencial e integral.. Método Variacional. 1.5.. l. transformar el problema clásico a un problema débil.. 2. Se establece la existencia y unicidad de la solución débil usando el Teorema de Lax-Milgram.. 3. Recuperación de la solución clásica, se demuestra que si una solución débil se le suma la regularidad se logra recuperar la solución clásica.. Las formas bilineales son un caso particular de funciones multilineales que tienen diversas aplicaciones. A continuación la definición formal:. Definición 1.5.1. Sea H un espacio de Hilbert. Se dice que la forma bilineal. a:HxH ----t IR. (u, v). f-----7. a( u,, 11). es continua si existe una constante C > O tal que. a( u, v) :::; C\\u\\H\\v\\H, \fu, vE H, UNPRG. FACFyM.

(44) Cap.l:. Teoría Matemática del Método Variacional. y es H -eliptica si existe una constante a. 43. > O tal que. a( u, u) ~ a[[uff1-, Vu. E. H.. En caso de existir, C y a son llamadas constantes de continuidad y elipticidad, respectivamente.. En este trabajo hacemos uso del teorema de Lax-Milgram por ser quien garantice la existencia y unicidad de la forma débil de diversas ecuaciones elípticas en derivadas parciales de segundo orden. Su enunciado dice que:. Teorema 1.2. Sea H un espacio de Hilbert y a una forma bilineal, continua y coersiva. Entonces para cada f E H 1 (! lineal y continua) existe un único u E H tal que. a( u, v) = (!, v) , Vv. E. H. además, si a es simétrica, entonces u es caracterizado por la propiedad. ~a(1t, u)- (!,u)= ~ÍJJ { ~a(v, v)- (f, v)} Demostración. Ver [3].. UNPRG. FACFyM.

(45) Capítulo 2: Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 2.1.. El Problema Mixto Newmann-Dirichlet Homogéneo Dado. fE. L 2 (f2). Hallar u definida y solución de:. -.6.u. f. en. ne. IR.2. o, r1 e an. donde. (2.1). ~~ lr2 es la derivada normal hacia afuera sobre r2 e an.. Supongamos que u es suficientemente regular de modo que la ecuación anterior tenga. 44.

(46) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 45. sentido, por ejemplo u E H 2 (D.), entendiendo las derivadas en sentido de distribuciones, para esto tenemos una función test H 1 (D.). Sobre r 1 se debe tener en cuenta que 'P =O, puesto que allí la función admisible satisface la condición de contorno esncial. Sobre. r2. no necesitamos condiciones para la función test tp, pués. condición de contorno natural para u en. ~~. = O, que es la. r2. De acuerdo a esta deducción podemos determinar un espacio, que se puede definir como sigue. En efecto multipliquemos 'P e integremos la ecuación diferencial del problema (2.1). - lnr~utpdx = rf tpdx ( Jn. (2.2). Utilizando el Teorema de Green:. L~utpdx. = -. L. Vu'Vtpdx. + lan ~~ tpds. = - { Vv.'\ltpdx +. ln. .j 8~u tpds . 8v. -rz un Ir un ....__,.__., . rl. ~tpds+. por cplr 1 =o. ~. por condición. Reemplazando en (2.2) { Vu'Vtpdx. ln. = { f.tpdx. ln. (2.3). Por lo tanto el problema (2.3) recibe el nombre de formulación variacional o problema. UNPRG. FACFyM.

(47) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. débil como:. ¡-l. dado. f. E. L 2 (n). 46. hallar u E H 1 (n) tal que. (2.4). \h.t 'V cpdx. o en la notación abstracta. tal que. a(u, :p). L(cp), Vcp E V.. Teorema 2.1. El problema (2.4) tiene solución única, si cumple las condiciones del. Teorema de Lax-Milgram. Demostración.. Sea a : H 1 x H 1 ------+ IR, definido por: (u, cp). 1----t. a( u, cp). =. r\lu\lcpdx. .Jn. Probemos que a( u, cp) así definido cumple que:. I. Es bilineal. II. Continua y III. H-Elíptica.. I. Bilineal:. UNPRG. FACFyM.

(48) Cap.2:. 47. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. En efecto: Sea A, pE ffi. y u, v, 'PE H 1 (D.). a(Au + pv, 'P) = =. lnrV'(Au + ¡.w)V'tpdx {(A V' u+ pV'v)V'tpdx. )¡¡. AL V'uV'tpdx Aa(u, 'P). +pL. V'v\i'tpdx. + pa(v, tp).. Por la linealidad de la otra componente se demuestra en forma análoga. Por lo tanto a( u, 'P) es bilineal.. II. Continuidad:. En efecto:. \j~ (V'u\i'tpdx\. la(u, 'P)I <. ln{ IY'uV'tpldx. <. L. <. (j~ IY'ul dx). IY'1tiiY''Pidx. (1¡ IY''PI dx) (L (IY'ul + lul )dx) (L (IY''PI + I'PI )dx) 112. 112. 2. 2. desigualdad de Cauchy-Schwartz. 112. <. 2. 2. 2. (IIY'ull~2 + llull~2). 112. (IIY''PII~2 + II'PII~2). 112. 2. 112. Luego a( u, 'P) es continua con k = l.. UNPRG. FACFyM.

(49) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 48. III. H-Elíptica: Probaremos que:. a( u, u) >. allull1-l. En efecto:. a( u., u,). Sabemos que: (2.5) Pero por la desigualdad de Poincaret: 3c > O tal que. De (2.5) se sigue:. Entonces. 1 c2. 2 2 + 1 llull Hl < 11Vuii L2 = a('u, 'l.l). ===?a( u, u) > UNPRG. allull1-l FACFyM.

(50) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. Tomemos o: = - 2 -. e. 1. +. 1. 49. . la constante coerslVa.. Analicemos que. L : H 1 (0.) ---+ lR. 'P---+ L('fJ)=1f'fJdX S!. es linal y continua. (i) L es lineal: Sea/\, u E IR 1\ 'fJ, 'lj; E H 1 (0.) se sigue. L(A'fJ+¡;,'lj;) =. { f(>.'fJ+¡;,'lj;)dx. Jn A. rf'fJdX + ¡.¿ Jnrf'lj;dx. Ju. = >.L('fJ) + ¡.¿L('lj;) (ii) L es continua: Probar que: \L(u)\ ~ k\\u\\Hl. \1. \L(u)\. f'Pdx\. <. <. Si hacemos: k=. \\f\\L2 ===> \L(u)\. Sea 'PE D(O.). desigualdad de Cauchy. ~. = C0 e H 1 (0.) =. UNPRG. k\\u\\Hl.. { f'Pdx ; 'li'{J. ./n. E. D(O.). (2.6) FACFyM.

(51) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 50. Interpretando la integral como producto interno del entre D'(D.) y D(D.) podemos escribir. (!, 'P)D'(!l},D(!l),. (\l u, \l <p) D'(U},D(U}. Vcp E. (2.7). D(D,). y por definición de derivada en sentido de distribuciones tenemos:. (\Ju, \J <p) D'(!!},D(!l}. (2.8). ( -f:::.u, ({)) D'(!!},D(U). Reemplazando (2.8) en (2.7). (-t::.u,rp)D'(!l},D(!l}. ( -f:::.u, rp) D'(!!),D(H). (!, rp) D'(!!},D(H}. =. O,. Vrp E. D(D.). 'P)D'(H),D(H). O,. Vrp E. D(D.). (-!:::.u- f).rpdx. O,. Vrp E. D(D.). -(J,rp)D'(!l),D(n}. (-!:::.u-f, ==?. L. ==?. -!:::.u. f. en. n. ,. 'i({J. E. D(D,). (2.9). Para recuperar las condiciones de contorno se necesita cierta regularidad en la solución débil. En efecto, si suponemos que u E H 2 (D.), tiene sentido integrar por partes en la solución débil (2.6), !:::.u E L 2 (D.); además, como u E H 2 (D,) entonces. ::i. E L 2 (D.) y las i-esimas. coordenadas pertenecen a L 2 (D,) por lo tanto el producto de estos pertenece a L 2 (D.).. ou éJn. UNPRG. (2.10). FACFyM.

(52) Cap.2:. 51. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. En (2.4), aplicamos el teorema de Green.. 1 .i -. l::.ur.pdx. ¡¡. .n. ( -/::.v,- f)r.pdx. +. 1. ou -;::¡-<pds rl un. + ~r·. . r1. O'U r.pds on. ¡. ou -;::¡-<pds rl un. <===>. +. 1. ou -;::¡-<pds' r2 un. + ~r·. ¡. . r2. +. ¡. ou on r.pds'. ou -;::¡-<pds' · r2 un. ou -;::¡- r.pds rl un. =O. 1\. r. ou r.pds'. lr2 on. A. A). 1. ou -;::¡-r.pds rl un. =. o. B. = O,. Expresandolo en sentido de distribuciones:. rp) D'(!!),D(!!). o. ====* (un, \1 <p) D'(!!),D(!!). o. (\!un,. ====*. UNPRG. 1 r1. u n\lr.p. o. ====*. o. 'U. en. rl. FACFyM.

(53) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 2.2.. 52. El Problema Mixto Newmann-Dirichlet No Homogéneo. -tlu. f enO (2.11). Bu 1 Bn r2. g;. r 1 u r 2 = ao. donde a&u 1 es la derivada normal hacia afuera sobre n r2. r2 e. &0.. Supongamos que ·u es suficientemente regular ele moclo que la ecuación (2.11) tenga sentido, por ejemplo u E H 2 (0), entendiendo las derivadas en sentido de distribuciones. Denotemos: v. = {<p E H 1 (0) : zplr 1 = O}. Tomemos <p (una función test), múltipliquemos e integremos en (2.11). ===?. l-tlucpdx. j~ fcpdx. =. Por teorema de Green:. - lnrtlv.¡pdx. r\lv.\lzpdx- Janr \lu¡p¡ids. ln. 1 1. \lu\lzpdx-. ¡¡. r. \lu\lcpdx- (. ¡¡. UNPRG. ~u ¡pds. .Ja¡¡ un. r aau zpds + .frr ~u ¡pds). .fr. 1. n. 2. (2.12). un. FACFyM.

(54) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 53. Reemplazando (2.11) en (2.12). ===?-. r. f ~u rpds. { \lu\lrpdx-. Jr. 11. {. Jn. 2. Jn. un. frpdx. \l u \l rpdx. (2.13). Por tanto (2.13) es el P.V de (2.11). r\l \lrpdx. Jn. ~~ rpds Jnrfrpdx + Jrr un. 'l_¿. (2.14). 2. Teorema 2.2. El problema {2.14) tiene solución única, si cumple las condiciones del teorema de Lax-Mil gran. Demostración.. Sea a : H 1 x H 1 -----+ IR, definido por: (u, rp). 1----t. a( u, rp). =. Jnr\lu\lrpdx. Probemos que a( u, rp) así definido cumple que:. l. Es bilineal II. Continua y. III. H-Elíptica (Coersiva).. UNPRG. FACFyM.

(55) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 54. l. Bilineal:. En efecto: Sea >-.,p. E IR y u, v, <pE H 1 (D.). a(>.u + J-LV, r.p) =. lnr\J()..u + J-LV).\Jr.pdx. lnr(>. \lu + J-L\lv).\lr.pdx { >.Vv.\lr.pdx +. ln. >.a(u, r.p). {. ln. ¡t\71!\lr.pdx. + J-La(v, r.p).. La linealidad de la otra componente se demuestra en forma análoga. Por lo tanto. a( u, r.p) es bilineal.. II. Continuidad: Probaremos que: la( u, r.p)l ~ klluiiHl. II'PIIHl,. k 2:: O. En efecto:. 11¡ \lu.\lr.pdxl. la(u,r.p)l. < <. ln{ IVu\lr.pldx { IVuiiVr.pldx. ln. (1 1Vul dx) (1 IVr.pl dx) desigualdad de Cauchy-Schwartz (.l (1Vul + l·ul )dx) (¡~ (IVr.pl + lr.pl )dx) 112. 112. 2. 2. 2. 2. 112. 2. 2. - (IIVullh + llulliz). UNPRG. 112. 2. 112. (IIVr.plliz + I\'P\\iz). 2. 112. FACFyM.

(56) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. Luego a( u, <p) es continua con k. =. l.. III. H-Elíptica: Probaremos que:. a( u, u) > aiiull~l En efecto:. a( u, u). r(\!u\!u)dx = }¡¡r(\7u) dx 2. }¡¡. Sabemos que: (2.15) Pero por la desigualdad de Poincaret: ::le> O tal que. De (2.15) se sigue:. Entonces. UNPRG. FACFyM.

(57) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. Tomemos a. =. 1. +1. ~. e. 56. . la constante coers1va.. Analicemos que. L : H 1 (0.) ---t IR. L(rp). =. definido por. rfrpdx + lrr un~u rpds. Jn. (2.16). 2. sea lineal y continua.. (i) L es lineal: Vu, rp E H 1 (0.), >.,u E IR se sigue L(>.u + p,rp). rj(>.u + p,rp)dx + lrr un~u (>.u+ p,rp)ds r(>.fu+ p,rp)dx + lr2r g(>.u + p,rp)ds Jn ). lnrfudx+p, lnrfrpdx+ lr2r (>.gu+p,grp)ds ). lnrfv.dx + ll lnrfrpdx +). ./r2r gv, + lr2r grpds Jn. 2. fl. >.. [1 f udx + l. >.L(u). guds]. + p,. 2. [1!. f rpdx + [. grpds] 2. + p,L(rp). (ii) L es continua: Si hacemos l(rp) =. 1u. y. L(rp) -. l(rp). fvdx. z(rp) = { gvds. lr2. Entonces (2.16) queda. UNPRG. + z(rp). (2.17). FACFyM.

(58) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 57. Analicemos que l (<p) es continua. En efecto:. ll(<p) 1. !1J<pdxl < <. lnf 1!1 l<pldx. (.fs~ lfl dx). IIJIIL2. Tomando: k. Analicemos que. 112. 2. z( <p). (j~ l<pl dx). 112. 2. ,. desigualdad de Cauchy-Schwartz. se sigue l es continua.. es continua.. En efecto:. i'z(<p)l < 112 g<pdsl <. Jr2 lgii'Pids 2. 112 2. 1 2. < ([ lgl ds). ( [ l<pl 1 ds) 2 2 II9IIL2(r2) II'PIIL2(r2). < Cllgll L2(r2)II'PIIL2(r2) ; tomando a g fijo, hacemos K'. 11 ·. IIL2(r. desigualdad de Cauchy-Schwartz. 2). ~. Cll · IIH1Cr2). = CII9IIL2(r2), entonces. z es continua. Luego; l y z de. (2.17) son continuas, entonces L es continua. Por lo tanto, como la hipótesis del teorema de Lax-Milgram se verifica, se tiene que el. UNPRG. FACFyM.

(59) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 58. problema variacional (2.14) tiene solución única en u E H 1 (D). Ahora recuperaremos las ecuaciones de la formulación fuerte. Sea cp E D(D) = Cg::'. e H 1 (D). de la ecuación (2.14) se tiene. =. { \lu\lcpdx. Jn. { f<Pdx + { gcpds , 'r/cp. Jn. E. Jr2. D(D). (2.18). interpretando la integral sobre D. como producto interno del dual entre D'(D) y D(D) podemos escribir. (\!u, \lcp) D'(O.},D(O.). = (f, (¡?) D'(O.},D(O.) +. r gcpds. (2.19). Jr2. Por definición de derivada en sentido de distribuciones tenemos:. (\l U, \l cp) D'(!!},D(!!). (-6.u, cp) D'(!!),D(!!}. (2.20). Reemplazando (2.20) en (2.19). ( -6.u, cp) D'(!!},D(!!}. (-6.u- f,. rp)D'(n),D(n)-. ¡. r2. ==? ( -6_u-. ==?. gcpds. f, cp) D'(!!),D(!!}. ¡(. -6.u - f)cp&t. (f, cp) D'(!!),D(!!}. o,. +. l. r2. gcpds,. Vcp E D(D). Vcp E D(D). O, Vcp E D(D). o. ¡¡. ==?. -6.u. f. en. n. Para recuperar las condiciones de contorno se necesita cierta regularidad en la solución débil.. UNPRG. FACFyM.

(60) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 59. En efecto, si suponemos que ·u E H 2 (0), tiene sentido integrar por partes en la formulación débil (2.18), !::J..u E L 2 (0); además, como u E H 2 (0) entonces. ;~ti. E L 2 (0) y las. i-esimas coordenadas pertenecen a L 2 (0) por lo tanto el producto de estos pertenece a L 2 (0). La función --yi ~u.\. es una función de L 2 (0). UXt oH. (2.21). En (2.18), aplicamos el teorema de Green.. .l. ¡·. ¡·. rf:.pdx + .frzr g:.pdx,. EJv. EJv. -;:::¡:.pds + -;:::¡:.pds 1 rl un . rz un. .fu. r(-!::J..u- f)vdx + Jrr un~u vds + Jrr un~u vds'. Jr2. -!::J..wpdx +. . ¡¡. Jn. l. 1. 1. ~~ :.pds +. 2. l (~~-. = O,. 2. ==}. UNPRG. g) :.pds'. r gvds'. 'U.= Uo. en f1. FACFyM.

(61) Concltisiones l. La formulación variacional o enfoque variacional es una herramienta muy útil para. el estudio cualitativo de ecuaciones diferenciales parciales por permitir estudiar las soluciones en un ambiente muy general, y así superar la problemática presentada por los métodos clásicos.. 2. La formulación variacional es de fácil adaptabilidad a diversas situaciones expuesta de manera parcial en el presente trabajo.. 3. La formulación variacional ha permitido que sea la técnica preponderante para el análisis de problemas de ecuaciones diferenciales parciales.. 4. La formulación variacional destaca por la aproximación de sus soluciones, basada en demostrar que toda solución fuerte o clásica es una solución débil.. 5. En el problema mixto: Newmann-Dirichlet solo la primera condición de contorno aparece en el espacio funcional elegido para resolver el problema que es muy diferente a otros problemas como de Newmann o los de Dirichlet.. 60.

(62) Cap.2:. Formulación Variacional de Problemas de Contorno. 61. 6. La formulación débil (o formulación variacional) de un problema definido mediante ecuaciones diferenciales es una forma alternativa en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial ele dimensión infinita o espacio funcional.. 7. Muchos fenómenos ele la física, la ingeniería, la biología, la medicina, etc se modelan mediante una ecuación diferencial y muchos de estos modelos tienen una formulación variacional, es decir las soluciones ele la ecuación diferencial son los puntos críticos de un funcional, dado por un integral, en un espacio adecuado de funciones. Para que el modelo en cuestión tenga sentido, lo primero es demostrar que tiene al menos una solución.. UNPRG. FACFyM.

(63) Bibliografía [1] Brézis H, "Análisí Funcional", Alianza Editorial, Madrid, 1984.. l2J. Ciarlet P. G, "The Finíte Element Method for Elliptic Problems", North-Holland, Amster-dam, 1978.. [3] Evans L, "Partíal Differential Equations", American Mathematical Society, Rhode Island, 1998.. [4] Godlewsld E. and Raviart P.A., "Hyperbolic Systems of Conservation La:ws", TV[athematiques & Applications, France, 1991.. [5] Kruzkov S.N., "Fírst arder quasilinear equatíons in several independent variables", Math. USSR-Sb., 10 (1970), 217-243.. [6] Smoller J., "Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations", Springer-Verlag, N. [7] Collantes, Luis J.; Coronel, Aníbal, "Formulación variacional de ecuaciones diferenciales parciales Revista Integración, vol. 28, núm. 2, 2010, pp. 133-152", Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, Colombia.. 62.

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