Estadística II
5.
Contraste de Hipótesis
Conceptos previos
Prueba unilateral a una cola superior
Prueba unilateral a una cola inferior
Prueba Bilateral, a dos colas
0 0 0:
ϑ
=
ϑ
versus
H
A:
ϑ
≠
ϑ
H
0 0 0:
ϑ
=
ϑ
versus
H
A:
ϑ
<
ϑ
H
0 0 0:
ϑ
=
ϑ
versus
H
A:
ϑ
>
ϑ
H
Conceptos previos
Etapas de un test de hipótesis
1.
Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.
2.
Fijar el nivel de significación.
3.
Determinar un Estadístico de Prueba (muestra-hipótesis nula):
selección de estadístico muestral
4.
Formular una Regla de Decisión.
5.
Calcular el correspondiente valor del Estadístico de Prueba.
6.
Aplicar la Regla de Decisión:
– Si el valor del Estadístico de Prueba cae en la Región de Rechazo, entonces Rechazamos la H0.
– Si el valor del Estadístico de Prueba cae en la Región de Aceptación, entonces NO hay evidencia para Rechazar la H0.
Tipos de Error
β
α
⇒
↓
↑
Si
Si
↓
α
⇒
↑
β
Tipos de Error
H1 H0 1-β 1-α α β H1 H0Tipos de Error
EJEMPLO-Población Normal con desviación igual a 8
.
Se plantean las siguientes hipótesis:
Criterio: Rechazo H
0si la media muestral es superior a 193
Muestra de 12 observaciones que han proporcionado una media
muestral de 194.
196
:
190
:
1 0=
=
µ
µ
H
H
α β H1 H0 190 193 196Tipos de Error
196
:
190
:
1 0=
=
µ
µ
H
H
β α H1 H0 190 193 196 10 , 0 ) 30 , 1 ( 12 8 190 193 ) 190 / 193 ( cierta) es H / H Rechazar ( ) I Error ( 0 0 ≈ > = − > − = = > = = = Z P n X P X P P Pσ
µ
µ
α
α
10 , 0 ) 30 , 1 ( 12 8 196 193 ) 196 / 193 ( falsa) es H / H Rechazar No ( ) II Error ( 0 0 ≈ − < = − < − = = < = = = Z P n X P X P P Pσ
µ
µ
β
β
90 , 0 10 , 0 1 contraste del Potencia 1 ≈ − = = − =η
β
η
Tipos de Error
196
:
190
:
1 0=
=
µ
µ
H
H
β H1 H0 190 a 196 192,08 en fijado queda criterio nuevo El 192,08 25 8 190 30 , 1 10 , 0 ) ( 25 8 190 ) 190 / ( cierta) es H / H Rechazar ( ) I Error ( 0 0 ⇒ = ⇒ − = ≈ > = − > − = = > = = = a a a Z P a n X P a X P P Pσ
µ
µ
α
α
007 , 0 ) 45 , 2 ( 25 8 196 08 , 192 ) 196 / 08 , 192 ( falsa) es H / H Rechazar No ( ) II Error ( 0 0 ≈ − < = − < − = = < = = = Z P n X P X P P Pσ
µ
µ
β
β
993 , 0 007 , 0 1 contraste del Potencia 1 ≈ − = = − =η
β
η
Ejemplo. Si se cambia el tamaño de la muestra, n= 25, pero queremos que el nivel de significación siga siendo del 10%.
Contraste de hipótesis
TEST DE LA MEDIA POBLACIONALA-Población: siendo σ2 conocido
Estadístico de Prueba:
Región crítica: un nivel de significación, α
)
;
(
µ
σ
2N
X
≈
α/2 α/2 μ0 a b 1-α 0 0 0:
:
µ
µ
µ
µ
≠
=
AH
H
)
1
,
0
(
0N
n
X
Z
=
σ
−
µ
≈
Dos colas (bilateral)
0 2 / 0 0 2 / 0
H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αZ
Z
Z
Z
+
>
−
<
En la distribución N(0,1): 0 0:
µ
=
µ
H
Contraste de hipótesis
Cola Inferior: α μ 0 a 1-α 0 0 0:
:
µ
µ
µ
µ
<
=
AH
H
0 0 0:
:
µ
µ
µ
µ
>
=
AH
H
α μ 0 b 1-α Cola superior: 0 0Rechazo
la
H
si
Z
<
−
Z
α 0 0Rechazo
la
H
si
Z
>
+
Z
α En la distribución N(0,1): En la distribución N(0,1):Contraste de hipótesis
B-Población: siendo σ2 desconocido Estadístico de Prueba:
Región crítica: establecemos un nivel de significación, α
)
;
(
µ
σ
2N
X
≈
0 1 0 0:
:
µ
µ
µ
µ
≠
=
H
H
) 1 ( 0 −→
−
=
t
nn
S
X
t
µ
α/2 α/2 t0 H0 2 / αt
−
+
t
α/2 0 /2 0 0 2 / 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αt
t
t
t
+
>
−
<
Contraste de hipótesis
α t0 H0 α t − 0 0Rechazo
la
H
si
t
<
−
t
α α t0 H0 α t + 0 0Rechazo
la
H
si
t
>
+
t
α Cola superior: Cola inferior:Contraste de hipótesis
TEST de IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES
A.-Las varianzas poblacionales conocidas de Poblaciones Normales
(
)
+
−
≈
y 2 y x 2 x x yn
σ
n
σ
,
μ
μ
N
Y
-X
0 2 / 0 0 2 / 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αZ
Z
Z
Z
+
>
−
<
(
)
( )
1
,
0
n
σ
n
σ
Y
-X
y 2 y x 2 x 0N
Z
≈
+
=
El est. de prueba:
≠
=
μ
μ
:
μ
μ
:
x y x y 0 AH
H
<
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y x y 0 AH
H
>
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y x y 0 AH
H
0 0Rechazo
la
H
si
Z
<
−
Z
α 0 0Rechazo
la
H
si
Z
>
+
Z
αContraste de hipótesis
B.- Poblaciones Normales con varianzas poblacionales son iguales, pero no
conocidas
(
)
) 2 ( y x 2 0n
1
n
1
·
Y
-X
− +≈
+
=
y x n n pt
S
t
≠
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y x y 0 AH
H
0 2 / 0 0 2 / 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αt
t
t
t
+
>
−
<
El estadístico de prueba:
<
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y x y 0 AH
H
0 0Rechazo
la
H
si
t
<
−
t
α
>
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y x y 0 AH
H
0 0Rechazo
la
H
si
t
>
+
t
αContraste de hipótesis
C.- Las varianzas poblacionales son distintas y no conocidas
(
)
) ( y 2 y x 2 x 0n
S
n
S
Y
-X
vt
t
≈
+
=
≠
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y 1 x y 0H
H
0 2 / 0 0 2 / 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αt
t
t
t
+
>
−
<
( ) ( )
1 n n S 1 n S n S n S y y 2 y 2 2 2 2 2 2 − + − =
+
x x x y x x x n v El estadístico de prueba:
<
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y 1 x y 0H
H
0 0Rechazo
la
H
si
t
<
−
t
α
>
−
=
−
0
μ
μ
:
0
μ
μ
:
x y 1 x y 0H
H
0 0Rechazo
la
H
si
t
>
+
t
α1-α 2 2 1 α χ− χα22 α/ 2 α/ 2
Contraste de hipótesis
2 0 2 1 2 0 2 0:
:
σ
σ
σ
σ
≠
=
H
H
Estadístico de prueba(
)
2 ) 1 ( 2 0 2 2 0·S
1
−→
−
=
n
χ
nσ
χ
Contraste de hipótesis
0 2 2 0Rechazo
la
H
si
χ
>
χ
α 2 0 2 1 2 0 2 0:
:
σ
σ
σ
σ
>
=
H
H
2 0 2 1 2 0 2 0:
:
σ
σ
σ
σ
<
=
H
H
0 2 1 2 0Rechazo
la
H
si
χ
<
χ
−α 2 0 2 1 2 0 2 0:
:
σ
σ
σ
σ
≠
=
H
H
0 2 2 2 0 0 2 2 1 2 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αχ
χ
χ
χ
>
<
−Contraste de hipótesis
TEST de IGUALDAD DE VARIANZAS POBLACIONALES
Poblaciones Normales e independientes
Estadístico muestral: Hipótesis nula: Estadístico de prueba:
(
1; 1)
2 2 2 2·
≈
− − y x n n x y y xF
S
S
σ
σ
2 2 0:
x yH
σ
=
σ
2 2 0 y xS
S
F
=
Contraste de hipótesis
2 1−α F Fα 2 α/ 2 α/ 2 H 0 0 2 0 0 2 1 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αF
F
F
F
>
<
− 2 2 1 2 2 0:
:
y x y xH
H
σ
σ
σ
σ
≠
=
2 2 1 2 2 0:
:
y x y xH
H
σ
σ
σ
σ
<
=
0 1 0Rechazo
la
H
si
F
<
F
−α 2 2 1 2 2 0:
:
y x y xH
H
σ
σ
σ
σ
>
=
0 0Rechazo
la
H
si
F
>
F
αContraste de hipótesis
TEST de la PROPORCIÓN POBLACIONAL
Población dicotómica. Muestra de n observaciones. Estadístico muestral α/2 α/2 p0 a b 1-α
α
−
=
<
<
ˆ
)
1
(
a
p
b
P
≈ n q p p N pˆ , · 0 1 0 0:
:
p
p
H
p
p
H
≠
=
Estadístico de prueba)
1
,
0
(
·
ˆ
0 0 0 0N
n
q
p
p
p
Z
=
−
≈
Contraste de hipótesis
α/2 α/2 Z 0 H0 2 / α Z − + Zα/2 0 1 0 0:
:
p
p
H
p
p
H
≠
=
0 2 / 0 0 2 / 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αZ
Z
Z
Z
+
>
−
<
0 1 0 0:
:
p
p
H
p
p
H
<
=
0 0Rechazo
la
H
si
Z
<
−
Z
α 0 1 0 0:
:
p
p
H
p
p
H
>
=
0 0Rechazo
la
H
si
Z
>
+
Z
αContraste de hipótesis
TEST de IGUALDAD DE PROPORCIONES POBLACIONALES
Dos poblaciones dicotómicas e independientes. Muestras con tamaños muestrales nx y ny observaciones. Estadístico muestral
0
p
p
:
x y 0−
=
H
+
−
≈
−
y y y x x x y x y xn
q
p
n
q
p
p
p
N
p
p
ˆ
ˆ
)
,
(
y x y y x x y xn
n
p
n
p
n
n
n
Y
X
p
+
+
=
+
+
=
ó
p
·
ˆ
·
ˆ
)
1
,
0
(
1
1
)·
1
·(
)
ˆ
ˆ
(
0N
n
n
p
p
p
p
Z
y x y x≈
+
−
−
=
Hipótesis nula: Estadístico de prueba: Siendo:Contraste de hipótesis
0 2 / 0 0 2 / 0H
la
Rechazo
si
H
la
Rechazo
si
α αZ
Z
Z
Z
+
>
−
<
α/2 α/2 Z 0 H0 2 / α Z − + Zα/20
p
p
:
0
p
p
:
x y 1 x y 0≠
−
=
−
H
H
0
p
p
:
0
p
p
:
x y 1 x y 0<
−
=
−
H
H
0 0Rechazo
la
H
si
Z
<
−
Z
α0
p
p
:
0
p
p
:
x y 1 x y 0>
−
=
−
H
H
0 0Rechazo
la
H
si
Z
>
+
Z
αRESULTADO del Test: P-VALOR
RESULTADO del Test: P-VALOR
RESULTADO del Test: P-VALOR
H0
H0
Rechazar la H0
No rechazar la H0
