CAPÍTULO VIII APLICACIONES DE LA INTEGRAL

CAPÍTULO VIII

APLICACIONES DE LA INTEGRAL 8.1 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Cuando una región plana es girada alrededor de un eje de revolución engendra un sólido de revolución.

y y

x x

La primera región resulta de girar una región parabólica alrededor del eje y, mientras que en el segundo caso se ha girado un rectángulo alrededor del eje constituido por la parte superior del rectángulo.

8.1.2 METODO DE LOS DISCOS

w

R r

eje de revolución

El volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje de revolución genera un disco cuyo volumen es:

w r R disco

Volumen ( 2 2)

x R(x)

r(x)

x=a x=b

Cada disco representativo del volumen viene dado por:

x x r x R V ( ( )2 ( )2)

Se puede obtener una aproximación del volumen, calculando el volumen de n discos similares de ancho x.

x x r x R VolSólido x x r x R VolSólido n i i i n n i i i 1 2 2 1 2 2 ) ( ) ( lim ) ( ) (

El volumen exacto para eje de revolución horizontal será:

dx

x

r

x

R

VolSólido

b a 2 2

)

(

)

(

Si el eje de revolución es vertical se tendrá:

dy

x

r

x

R

VolSólido

b a 2 2

)

(

)

(

Ejemplo 1 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región

y = x ; y = 0 ; x = 4 por revolución en torno de: a) el eje x b) el eje y c) la recta x = 4 d) la recta x = 6.1 y dx 4 x a) eje x 8 0 2 4 2 0 2 4 0 2 4 0 4 0 2 2 2 2 x dx x A dx x dx r R A b a b) eje y

5

128

5

37

160

5

32

32

5

2

2

*

16

5

16

4

4

5 5 2 0 5 2 0 4 2 2 0 2 2 2 2 2

A

A

y

y

dy

y

A

dy

y

dy

r

R

A

d c

1 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill, 1986 Pag 287 4 2 dy 2

y

x

y = x

c) x=4 15 256 15 96 320 480 5 32 3 64 32 5 2 3 2 8 2 * 16 5 3 8 16 8 16 ) 0 4 ( 0 4 5 3 2 0 5 3 2 0 4 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 A y y y A dy y y dy y A dy y dy r R A d c d) 4 2 dy 2

4

y

4 2 dy 2

6

y

x=6

2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 4 4 2 0 0 2 5 3 5 3 0 (6 ) 2 36 12 4 12 32 2 2 12 32 4 64 5 3 5 1 32 32 160 192 32 5 5 5 d c A R r dy y dy A y y dy y y dy y y A y A

8.2.2 MÉTODO DE LAS CAPAS

El volumen de una capa cilíndrica generada por un rectángulo es igual a:

h h w p p eje de revolución pwh Vol h w pw p w pw p Vol h w p h w p Vol 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

Si la que gira es una sección triangular se tiene: h(y) d y P(x) c

El volumen de la capa representativa de este rectángulo es V = 2 p(y) h(y) y

Si se toman n capas el volumen del sólido de revolución será aproximadamente: d c i i n i n i i n i

dy

y

h

y

p

y

y

h

y

p

Sólido

Vol

tiene

se

n

Si

y

y

h

y

p

Sólido

Vol

)

(

)

(

2

)

(

)

(

2

lim

.

)

(

)

(

2

.

1 1

Por tanto, cuando se aplica el método de capas con eje de revolución horizontal se tiene: d c

phdy

Sólido

Vol

.

2

Si el eje de revolución es vertical tendremos:

d c

dx

ph

Sólido

Vol

.

2

Ejemplo 1 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región

acotada por

y = x ; y = 0 ; x = 4 por revolución en torno de: a) el eje x b) el eje y c) la recta x = 4 d) la recta x = 6.2 a) Eje x y x = y2 dy y dx 4 x 8 ) 2 ( 2 0 2 4 2 4 2 2 2 4 4 4 2 0 4 2 0 3 2 0 2 y dy y dy yy Vol b) Eje y y y=x1/2 x dx 4 x

5

128

4

5

4

5

2

2

2

2

5/2 4₀ 5/2 4 0 2 / 3 4 0

x

dx

x

dx

x

x

Vol

c) x = 4 y x = 4 y=x1/2 dx 4 - x x

15

256

5

32

3

32

4

5

4

4

3

4

4

2

/

5

2

/

3

4

2

)

4

(

2

)

4

(

2

2 / 5 2 / 3 4 0 2 / 5 2 / 3 4 0 2 / 3 2 / 1 4 0

x

x

dx

x

x

dx

x

x

Vol

d) x = 6 y x = 6 y=x1/2 dx 6 - x x 5 192 5 32 16 4 5 4 4 2 4 2 / 5 2 / 3 6 2 ) 6 ( 2 ) 6 ( 2 2 / 5 2 / 3 4 0 2 / 5 2 / 3 4 0 2 / 3 2 / 1 4 0 x x dx x x dx x x Vol 8.3 LONGITUD DE ARCO

Sin duda esta constituye otra apasionante aplicación del cálculo integral pues, nos permite determinar la longitud de una curva sin importar su forma o ubicación. El procedimiento consiste en dividir la curva en pequeños

segmentos de recta del siguiente modo:

y2

y1

y0

a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

La longitud del segmento comprendido entre los puntos 1 y 2 es:

2 1 2 2 1 2

)

(

)

(

x

x

y

y

d

La longitud de todos los segmentos rectilíneos será:

2 2 2 2 1 0 1 0 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... ( n n ) ( n n ) x x y y x x y y x x y y

Llamando Δxi , Δyi a cada intervalo la longitud s aproximada de la curva

desde el punto a hasta el punto b es:

n i i i y x s 1 2 2 ) ( ) ( En el límite tendremos:

dx

c

f

x

c

f

x

x

y

y

x

s

b a i i n i i n i n i i i n n i i i n 2 1 2 1 2 1 2 2

)

(

'

1

)

(

'

1

lim

1

lim

)

(

)

(

lim

Por tanto, si y = f(x) tiene derivada continua en [a,b] la longitud de arco entre a y b viene dada por

dx

x

f

s

b a 2

)

(

'

1

Si la curva es x = g(y) la longitud de arco entre c y d será:

dy

y

g

s

d c 2

)

(

'

1

Ejemplo Hallar la longitud de la curva ₂ 4 4 1 8 x x y entre x = 1 ; x = 2

La derivada de la función viene dada por:

3 3 2 1 2 ' x x y La longitud de la curva 2 2 2 3 2 3 1 1 2 6 3 2 6 3 6 6 1 1 1 1 '( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 4 2 2 4 2 4 4 x s f x dx dx x x x x dx dx x x x 2 2 6 2 3 2 3 6 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 2 2 2 2 x x x dx dx dx x x x 2 4 4 4 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 8 4 8 4 * 2 8 4 *1 16 8 4 32 1 2 4 33 16 16 x x

8.4 TRABAJO3

8.4.1 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Si un objeto se mueve una distancia D bajo la aplicación de una fuerza constante F, y en su misma dirección, el trabajo W realizado por esa fuerza se define como W=FD

8.4.2 TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Supongamos que un objeto se mueve en una línea recta desde x=a hasta x=b por la acción de una fuerza F(x) que varía de forma continua. Sea ∆ una partición de [a,b] en n subintervalos determinados por

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

y sea ∆xi = xi – xi-1. Para cada i escogemos ci tal que xi-1 ≤ ci ≤ xi. En ci la fuerza

viene dada por F(ci). Ya que F es continua, y supuestos ∆xi muy pequeños,

concluimos que la fuerza en cada subintervalo es casi constante. Por tanto, el trabajo realizado al mover el objeto a lo largo del i-ésimo subintervalo, es aproximadamente

∆Wi = F(ci) ∆xi

Sumando sobre todos los subintervalos, podemos estimar aproximadamente el trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b por

n i i W W 1

Más aún, cuanto menor sea ∆xi mejor será la aproximación. Tomando el límite

de esa suma para │∆│→0. ( n→∞ ) tenemos

n i i n W W 1 lim Definimos el trabajo como sigue:

Si un objeto se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza F(x) que varía de manera continua, y en su misma dirección, el trabajo realizado por esa fuerza para mover el objeto desde x=a hasta x=b viene dado por:

b a n i i n dx x F W W lim ( ) 1

Ejemplo 1. Una fuerza de 5 libras comprime un muelle de 15 pulgadas un total de 4 pulgadas. ¿Qué trabajo hace falta para comprimirlo 7 pulgadas?

La Ley de Hooke dice F(x) = k x, donde F(x) es la fuerza, k una constante que depende del muelle y x la distancia comprimida.

F(4) = k 4 = 5, de donde, k = 5/4 F(x) = 5/4 x ada pu libras x dx x W 30,625 lg 8 245 2 49 4 5 2 4 5 4 5 7 0 2 7 0

Problema propuesto. Un tanque cilíndrico, de 12 pies de alto y 8 de radio, se

coloca sobre una torre de modo que su fondo este a 20 pies sobre el suelo. ¿Cuánto trabajo es necesario para llenarlo hasta la mitad por un orificio del fondo, tomando el agua de un manantial en el suelo?

∆y

8.5 PRESIÓN DE UN FLUIDO

La presión ejercida por un líquido sobre un cuerpo sumergido en él viene dada por

p = ρ h

que es independiente de la forma del recipiente, donde; p es la presión del fluido, ρ la densidad del fluido, h la altura debajo de la superficie o profundidad. Para una región plana sumergida horizontalmente la fuerza total F sobre la región plana será:

F = ρ h A

Sea una región plana vertical sumergida en un fluido de densidad ρ como se ve en la figura. Deseamos hallar la fuerza total que actúa sobre esa región, desde la profundidad h – a hasta h – b.

Consideremos el rectángulo representativo ∆y de longitud Li con yi un punto

del i-ésimo intervalo. La fuerza que actúa sobre ese rectángulo representativo es

∆Fi = ρ (profundidad)(área) = ρ ( h – yi ) Li ∆y

Superficie del fluido

La fuerza que actúa sobre los n rectángulos de este tipo es:

y L y h F i n i i n i i ( ) 1 1

Tomando el límite cuando │∆│→0 ( n→∞ ) se tiene la fuerza total sobre la región yi a b h-yi h-yi ∆y h Li

y L y h F i n i i n ( ) lim 1

Por tanto, la fuerza ejercida por un fluido de densidad constante ρ sobre una región plana, sumergida verticalmente entre y=a e y=b, viene dada por

Ldy y h F b a ) (

donde h denota la profundidad total del fluido y L la longitud horizontal de la región en y.

Ejemplo. Hallar la fuerza en libras sobre la cara lateral vertical de un depósito que tiene la forma de un rectángulo y que se encuentra lleno de agua.

libras

F

y

y

dy

y

F

dy

y

area

d

profundida

F

2

,

1123

2

9

)

4

,

62

(

4

2

9

9

4

0

2

3

3

3

4

2

3

4

)

3

(

4

4

)

3

(

2 3 0 2 3 0 3 0 3 0

8.6 MOMENTOS CENTROS DE MASA Y CENTROIDES4

El momento que produce una cierta masa respecto al punto P es

4 LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill, 1986 Pag 311 4

3 3-y

Momento = (masa) (brazo del momento) Donde el brazo del momento es la distancia de la masa al punto P. El momento de un sistema respecto al origen es

n i i i n nx mx m x m x m M 1 2 2 1 1 0 ...

Si el momento es cero el sistema está en equilibrio.

Consideremos un sistema que no esté en equilibrio, y desplacemos el punto de apoyo a un cierto x = x’ de modo que el sistema quede ya en equilibrio. De manera que: n i n n i i x x m x x m x x m x x m 1 2 2 1 1( ') ( ') ... ( ') 0 ) ' ( o sea

sistema

del

total

masa

origen

al

respecto

sistema

del

momento

m

x

m

x

x

m

x

m

n i i n i i i n i i n i i i 1 1 1 1

'

0

'

Ese punto x’ de balanceo en equilibrio, se llama centro de masas del sistema.

8.6.1 DEFINICIÓN DEL MOMENTO DE UN SISTEMA LINEAL

El momento respecto al origen de un sistema de masas m1, m2, ...,mn,

colocadas en los puntos x1, x2, ... , xn, es:

M0 = m1 x1 +m2 x2 + ... + mn xn

Si la masa total del sistema es m, su centro de masas x’ viene dado por: x’ = M0/m

8.6.2 DEFINICIÓN DE LOS MOMENTOS DE UN SISTEMA BIDIMENSIONAL

Para un sistema de masas m1, m2, ..., mn, colocadas en los puntos (x1, y1),

My = m1 x1 +m2 x2 + ... + mn xn

Y el MOMENTO MX RESPECTO AL EJE X es

Mx = m1 y1 +m2 y2 + ... + mn yn

Si la masa total del sistema es m, el centro de masas (x’, y’) viene dado por:

x’ = My/m y’ = Mx/m

y y=f(x)

y=g(x)

y1 (xi, yi)

a x1 b x

Sea la lámina de la figura de densidad constante ρ, el rectángulo representativo se ha obtenido subdividiendo [a,b] en n subintervalos de anchuras ∆x. Si denotamos por (xi, yi) el centro de masas del i-ésimo rectángulo, la regla del

punto medio lleva a que:

2 ) ( ) ( _{i i} i x g x f y

La masa del i-ésimo rectángulo es:

Masa = (densidad) (área) = ρ [ ∆Ai ] = ρ [f(xi) – g(xi)] (∆x)

n i i i g x x x f m 1 ) )]( ( ) ( [

tomando el límite para │∆│→0 (n→∞), obtenemos como definición de la masa b a

A

dx

x

g

x

f

m

[

(

)

(

)]

donde A es el área de la lámina.

El momento respecto del eje x del i-ésimo rectángulo es Momento = (masa)(brazo del momento)=(ρ∆Ai)(yi)=ρ(yi)(∆Ai)

x

x

g

x

f

x

x

g

x

f

x

g

x

f

i i i i i i

]

)

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

2

)

(

)

(

2 2

Sumando todos esos momentos y tomando el límite cuando n→∞, obtenemos el momento respecto al eje x definido como

b a x

f

x

g

x

dx

M

[

(

)

(

)

]

2

2 2

para el momento del eje y

b

a

y

x

f

x

g

x

dx

M

[

(

)

(

)

]

8.6.3 MOMENTOS DE UNA LÁMINA PLANA

Sean g ≤ f funciones continua en [a,b]. Para la lámina plana, de densidad uniforme ρ, acotada por y = g(x), y = f(x), x = a, x = b, los momentos respecto a los ejes x, y vienen dados por:

b a x f x g x dx M [ ( ) ( ) ] 2 2 2 b a y x f x g x dx M [ ( ) ( ) ]

la masa m de la lámina viene dada a su vez por b a A dx x g x f m [ ( ) ( )]

y el centro de masas (x’, y’) por

m M

x' y y' Mx

m

Ejemplo. Hallar Mx, My, (x’, y’) para la lámina de densidad uniforme ρ

acotada por y x , y = 0, x = 4.

4

2

4

2

2

2

2

]

0

)

[(

2

]

)

(

)

(

[

2

2 4 0 2 4 0 4 0 2 2 2

x

M

dx

x

dx

x

dx

x

g

x

f

M

x b a x

5

64

32

5

2

4

5

2

2

/

5

)

0

(

]

)

(

)

(

[

2 / 5 4 0 2 / 5 4 0 2 / 3 4 0

x

dx

x

M

dx

x

x

dx

x

g

x

f

x

M

y b a y

3 16 4 3 2 2 / 3 2 / 3 4 0 2 / 3 4 0 x dx x m

5

12

3

16

5

64

'

m

M

x

y

4

3

3

16

4

'

m

M

y

x

8.7 CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA

El centro de masas de una lámina uniforme sólo depende de la forma de ésta, no de densidad, por tanto, podemos generalizar la fórmula del centro de masas de una lámina para hallar el centro de una región ‘sin masa’ del plano. Cuando hagamos tal cosa, llamaremos a (x’, y’) el centroide de esa región.

Sean g ≤ f funciones continuas en [a, b]. El centroide (x’, y’) de la región acotada por y=g(x), y=f(x), x=a, x=b viene dado por

A

dx

x

g

x

f

x

x

b a

]

)

(

)

(

[

'

A

dx

x

g

x

f

y

b a

]

)

(

)

(

[

2

1

'

2 2

donde A es el área de la región.

6 1 3 1 2 1 3 2 ) ( 1 0 3 2 1 0 2 x x dx x x A

El centroide estará dado por

2 1 12 1 6 4 1 3 1 6 4 3 6 ' ) ( 6 6 / 1 ) ( ] ) ( ) ( [ ' 1 0 4 3 1 0 3 2 1 0 2 x x x dx x x dx x x x A dx x g x f x x b a

5

2

15

2

3

5

1

3

1

3

5

3

3

'

6

/

1

]

[

2

1

]

)

(

)

(

[

2

1

'

1 0 5 3 1 0 4 2 2 2

x

x

y

dx

x

x

A

dx

x

g

x

f

y

b a 8.8 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Si la gráfica de una función continua se hace girar alrededor de un eje, la superficie resultante se denomina superficie de revolución.

L L

R r

eje de revolución

Cuando el segmento L se hace girar sobre el eje, engendra un tronco de un cono, cuya área lateral es

L

r

R

L

r

R

lateral

area

(

)

2

2

Supongamos que la gráfica de una función f, con derivada continua en [a, b], gira alrededor del eje x, para engendrar una superficie de revolución, tal como se ilustra en la siguiente figura. Sea ∆ una partición de [a, b] en subintervalos de anchuras ∆xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud

2 2 i i i

x

y

L

y=f(x) a=x0 xi-1 xi b=xn ∆Li ∆yi ∆xi

genera un cono truncado cuya área lateral, ∆Si viene dada por

i i i i i i i i i i i i i i i i

x

y

x

x

f

x

f

y

x

x

f

x

f

L

x

f

x

f

L

r

R

S

2 1 2 2 1 1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Por aplicación del teorema del valor medio e del teorema del valor intermedio, podemos concluir la existencia de un ci y di en (xi-1, xi) tales que

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

'

1 1 1 i i i i i i i i i i

x

f

x

f

d

f

y

x

y

x

x

x

f

x

f

c

f

por tanto i i i i

f

d

f

c

x

S

2

(

)

1

[

'

(

)]

2

el área total puede estimarse aproximadamente como

i i i n i x c f d f S 2 1 )] ( ' [ 1 ) ( 2

tomando el límite cuando │∆│→0 (n→∞) obtenemos

dx

c

f

x

f

S

x

c

f

d

f

S

i b a i i i n i n 2 2 1

)]

(

'

[

1

)

(

2

)]

(

'

[

1

)

(

lim

2

del mismo modo se demuestra que, si la gráfica de f gira alrededor del eje y, el área S viene dada por

dx

c

f

x

S

_i b a 2

)]

(

'

[

1

2

En ambas fórmulas para S, podemos mirar los productos 2 π f(x) y 2 π x como asociados a las circunferencias descritas por un punto (x, y) de loa gráfica de f en su rotación en torno a los respectivos ejes x e y.

8.8.1 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si y = f(x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b], entonces el área S de la superficie de revolución que engendra esa gráfica en {a, b} es:

1.- Si gira en torno al eje x

dx c f x f S _i b a 2 )] ( ' [ 1 ) ( 2

2.- Si gira en torno al eje y dx c f x S i b a 2 )] ( ' [ 1 2

Ejemplo. Hallar el área de la superficie engendrada por rotación de la gráfica de f(x)=x3, en su intervalo [0,2], alrededor del eje x

f ’(x) = 3 x2 El área será 203,043 2 / 3 ) 9 1 ( 18 ] 9 [ 1 36 36 2 ] 9 [ 1 2 ] 3 [ 1 2 )] ( ' [ 1 ) ( 2 2 0 2 / 3 4 2 0 4 3 2 0 4 3 2 0 2 2 3 2 0 2 x S dx x x dx x x S dx x x dx x f x f S

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

1 ; 1 ' ) 1 1 n C n u dx u u n n

C

e

dx

u

e

u

'

u

)

2

C

u

dx

u

u

ln

'

)

3

4

)

(sin

u

)

u

'

dx

cos

u

C

C

u

dx

u

u

)

'

sin

(cos

)

5

6

)

(sec

2

u

)

u

'

dx

tan

u

C

C

u

dx

u

u

)

'

cot

(csc

)

7

2

8

)

(sec

u

.

tan

u

)

u

'

dx

sec

u

C

C

u

dx

u

u

u

.

cot

)

'

csc

(csc

)

9

10

)

(tan

u

)

u

'

dx

ln

cos

u

C

C

u

u

u

)

'

ln

sin

(cot

)

11

C

u

u

dx

u

u

)

'

ln

sec

tan

(sec

)

12

C

u

u

dx

u

u

)

'

ln

csc

cot

(csc

)

13

C a u dx u a u arcsin ' ) 14 2 2 _a C u a dx u a u arctan 1 ' ) 15 _{2 2} C a u u dx a u u 2 2 2 2 ln ' ) 16 C a u a u a dx a u u ln 2 1 ' ) 17 _{2 2}

C

a

u

arc

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