Guía de Autoestudio de Matemáticas para el curso de Reforzamiento

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Agosto 2013

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 1

Comisión de matemática encargados de elaborar el documento

Carlos Sánchez Hernández (Coordinador) -UNI

Iván Cisneros Díaz - UNAN-Managua

Francisco Emilio Díaz Vega -MINED

Humberto Jarquín- MINED

Héctor Flores Guido -UNAN-León

Luisa Mercedes Barrera Delgado- UNAN-León

Carlos José Medina Prado -UNAN-León

José Manuel Siles Huerta -UNI

Elías Martínez Rayo -UNI

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1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a :

a) 312 b) 911 c) 333 d) 933

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? a) 90% b) 99% c) 100% d) 101%

4. Al simplificar [(9 - 4) + (-10 + 3)] (6 (-5)) [(-12 + 8) (6 - 9) (95 - 90)] el resultado es:

a) 1 b) -1 c) 2 d) -2

5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? a) 15 b) 18 c) 17 d) 20

6. Al simplificar 4 (3)2 6 - 3 + 2 [5 (7) - 15 3] 4 12 - 9. El resultado es

a) 19 b) -11 c) 11 d) 29

7. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir usando sólo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4?

(4)

8. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan?

a) 59 b) 79 c) 10 d) 60

9. En una ciudad

d

e los hombres están casados con los de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?

a) b)

c)

d)

10. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados?

a) 3 b) 10 c)

d)

11. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5 ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? a) 21 b) 25 c) 49 d) 50 12. El resultado de 2 4 6 3 5 7   − ÷   _{, es:} A. 4 15 − B. 4 35 − C. 7 45 − D. 2 105 − E. 4 75 −

13. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa?

(5)

14. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los 3

5 de los 7

2del costo de un juguete que me ha costado C$40.00?

A. gano C$24 B. pierdo C$24 C. gano C$100 D. pierdo C$40 E. gano C$44

15. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40 %, respectivamente, del monto total. Si la menor de las

aportaciones fue de C$9,000, la mayor de las aportaciones fue de:

A. C$10 500 B. C$12 000. C. C$24 000 D. C$60 000 E. C$65 000

16. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión?

A. 88 B. 85 C. 84 D. 78 E. 75

17. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$ 240.00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$ 30.00, les sobra dinero; pero si

compran pasajes de C$ 40.00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo?

A. 4 B. 7 C. 5 D. 8 E. 6

18. En el parqueo de la UNI, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay?

(6)

19. Un estudiante de la UNI proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante?

A.C$ 1 000 B.C$ 1 500 C. C$ 2,000 D. C$ 2 200 E. C$ 3,000 20. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000

cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma?

A. 1 090 cc B. 999,1 cc C. 991 cc D. 990 cc E. 910 cc 21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?

a) 2003n b) n2+ 2003 c) n3 _{d) 2n}2_{+ 2003}

22. La solución de es:

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1

23. Calcular el producto L H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39 a) 310 b) 280 c) 300 d) 100

24. Una epidemia mató los de las reses de un ganadero y luego él vendió los de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?

a) 1600; 950; 220 b) 1728; 1080; 432 c) 1539; 1080; 243 d) 1600; 84; 1300

25. Al realizar la operación: (4,62 x 10−2) : (2,2 x 10−4) se obtiene el número: a) 2100 b) 2,1 c) 21 d) 210

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 6 26. La Expresión 2 32 1 ++++ _{es equivalente a:} A. 2 2 2−−−−3 B. 10 4 2 2 4++++ 3 ++++3 C. 10 4 2 2 4−−−− 3 −−−−3 D. 10 4 2 2 4−−−− 3 ++++3 E. 6 4 2 2 4++++ 3 ++++3 27. Al racionalizar el numerador de 3 2 2 1 − + resulta: A. 5−4 2 B. 4 2−5 C. 2 4 5 1 − D. 5 4 2 1 + E. 4 2 5 1 −

28. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es:

A. 18 B. 36 C. 48 D. 56 E. 72 29. Al simplificar la expresión ? 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 0 1 ==== ++++ ++++ ++++ ++++ −−−− −−−− −−−− −−−− se obtiene: A. 6 B. 8 C. 31 / 2 D. 24 E. 512

30. Se va a tender una línea eléctrica de 35.75 km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125 m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al final ¿cuántos postes serán necesarios en total? A. 30 B. 36 C. 140 D. 180 E. 287

31. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? A. 0 B. 15 C. 21 D. 30 E. 10

(8)

32. En la sustracción , la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo?

A. 16 B.

32

3 _{C. 8 D. 4 E. 2}

33. El valor numérico de la expresión

2 2 2 4 (3 2) ( 6 1) − − − + _es: A. 3 5 − B. 3 10 C. – 1 D. 3 5 E. 1 34. Si A comió 1 4 _{de un queque, B comió} 1

3 _{de lo que quedó después que A}

comió; C comió

1

2 _{de lo que quedó después que A y B comieron ¿Qué parte del}

queque quedó? A. 1 4 _B. 1 9 _C. 1 12 _D. 1 24 _E. 1 48 35. Con los 2

7_{del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su}

cumpleaños. Con los

3

5_{del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al final}

Mara se quedó con C$100.00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?

A. C$350 B. C$ 200 C. C$150.00 D. C$100.00 E. C$ 70.00

36. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica.

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47 286 km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el

cuentakilómetros marcaba 47506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro?

A. C$ 5.00 B. C$4.00 C. C$3.50 D. C$2.20 E. C$ 2.00

38. De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción entre dos partículas varía directamente proporcional al producto de sus masas e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros, es decir

1 2 2 m m F k d =

. Cuando dos partículas con masas de un gramo cada una están separadas 1 cm, la fuerza de atracción es de F = 6.67 x10−8dinas. ¿Cuál es la fuerza de atracción resultante entre estas partículas si se colocan a 1 metro de distancia?

A. 6.67 x10−4dinas B. 6.67 x10−6dinas C. 6.67 x10−9dinas D. 6.67 x10−10dinas E. 6.67 x10−12dinas

39. La frecuencia de una onda de radio es inversamente proporcional a la longitud de onda. Si una onda de 250 m de longitud tiene una frecuencia de 1200 kilociclos por segundo, ¿cuál es la longitud de una onda que tiene una frecuencia de 800 kilociclos por asegundo?

A. 650 m. B. 375 m. C. 300 m. D. 275 m. E. 167 m. 40. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida?

A. 2 : 5 B. 3 : 7 C. 3 : 5 D. 4 : 7 E. 7 : 3 41. Por un préstamo de 20 000 pesos se paga al cabo de un año 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

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42. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? A. 0 B. 15 C. 21 D. 30 E. 10

43. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?

a) 7 b) 9 c) 8 d) 10

44. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M, se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M?

A. 7 B. 15 C. 21 D. 30 E. 37 45. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47

286 km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el

cuentakilómetros marcaba 47 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro?

A. C$4 B. C$3,50 C. C$2,20 D. C$ 2 E. C$0,50 46. En la sustracción a – b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la

diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo?

A. 16 B.

32

3 _{C. 8 D. 4 E. 2}

47. Con los

2

7_{del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su}

cumpleaños. Con los

3

5_{del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al final}

Mara se quedó con C$100.00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas? A. C$350 B. C$ 200 C. C$150 D. C$100 E. C$ 70

48. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra?

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 10 A. C$1,5 B. C$1 C. C$2 D. C$0,50 E. C$5 49. El valor de la expresión,

( )

3 2 2

2

1 −

−

+













− es: a) – 2 b) 2 c) 1 d) – 1

50. En el censo del año 1900 una ciudad registró una población de 20 000

personas. El año 1930 la población fue de 60 000 personas, 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento de población en la ciudad se mantiene constante, para el año 2020 se puede estimar una población de:

a) 540 000 personas b) 720 000 personas c) 1 440 000 personas d) 1 620 000 personas e) 2 200 000 personas

51. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

a. C$10 000 b. C$12 500 c. C$ 6 000 d. C$100 000

52. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1,3 1017 segundos y la de la pirámide de Keops 1,5 1011 segundos. La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación científica es:

a) 1,2999985 1011 b) 1,2999985 1017 c) 1,2999985 10-11

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53. Al invertir $ 50.000 al 6 % anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de

A) 50 000 • (1,06)4 B) 50 000 • (1,06)3 C) 50 000 • (1,18)4 D) 50 000 • (1,015)3 E) 50 000 • (1,015)4

¿A qué equivale 15 kg?

a) 15 t b) 1 500 t c) 1500 g d) 0,0015 g e) 0,015 t 54. ¿Cuál es la conversión correcta de 20 l?

a) 20 decímetro cúbico. b) 20 metro cúbico. c) 20centímetro cúbico. d) Un kilogramo

55. ¿A que equivalen 1,5 h?

a) 0,015 días. b) 120 s c) 0,54 min d) 5 400 s 56. ¿A qué es igual 12 m?

57. a) 10 km b) 120 km c) 1 000 km d) 1 200 cm

58. Un ciclista viaja a una velocidad de 20 km / h , esta velocidad convertida a m/s es:

59. a) 10 m/s b) 5,56 m/s c) 5 m/s d) 20 m/s

60. La temperatura en Fahrenheit que corresponde a 0 kelvin es: a) -120 F b) -434 F c) -523 F d) -549 F

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SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. El valor numérico de la expresión

) b 3 a (2 ) b (a b) (a ) b (a ) b (a a 2 2 2 2 3 3 2 2 −−−− ++++ −−−− −−−− ++++ para a = 1 y b = – 2 es: A. 10 7 B. 10 21 C. 10 21 −−−− D. 10 27 E. 10 27 −−−− 2. El resultado de

((((

bn−−−−5ym

))))((((

5ym++++bn

))))

es A. _bn2 ₊₊₊₊₂₅_ym2_B._b2n ++++₂₅_y2m_C._bn2 ₋₋₋₋₂₅_ym2_D._b2n −−−−₂₅_y2m_{E. 0}

3. La descomposición en factores de la expresión 3x2 – 2x – 8 es:

A. (3x – 6) (x + 4) B. (x – 2) (3x + 4) C. (x – 6) (x + 4) D. (x – 2) (3x + 2) E. (x + 2) (3x – 4)

4. La descomposición en factores de la expresión x3 – 64y3 es

A. (x – 8y) ( x2 + 8xy + 16y2) B. (x + 8y) ( x2 – 8xy + 16y2) C. (x + 4y) ( x2 – 8xy + 16y2)

D. (x – 8y) ( x2 – 8xy + 16y2) E. (x – 4y) ( x2 + 4xy + 16y2)

5. La simplificación de ab a 3 b 2 ab 5 a 3 b 2 ab b 4 a 2 2 2 2 2 2 ++++ −−−− −−−− ÷÷÷÷ ++++ −−−− es A. b) a (3 b a ++++ B. a b C. b a D. 1 E. b) a (3 b b) a (3 a −−−− ++++

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 13 6. Al simplificar la expresión a 1 a 1 a 1 a 1 ++++ −−−− se obtiene A. a ) a (1++++ 2 _B. 1 −−−− ++++ a ) a (1 2 _C. a ) a (1 2 −−−− −−−− 1 D. 1 1 −−−− −−−− a ) a ( 2 _E. 1 ++++ −−−− a ) a (1 2

7. El resultado de la siguiente operación _

      −−−− −−−− ++++ ÷÷÷÷ −−−− −−−− −−−− ++++ −−−− x 9 3 x 8 x 3 3 x 11 x 4 x 4 x 12 1 x 1 2 2 2 2 es A. 1) x (4 1) (x 1 x 4 2 ++++ −−−− ++++ B. 1 x 1 x 4 ++++ ++++ C. 1) x 1)(4 (x 1 x 4 2 ++++ ++++ −−−− _D. 1) x (4 1) (x 1) x (2 2 ++++ ++++ ++++ E. 1 x 3 x 5 2₋₋₋₋ −−−− 8. Al desarrollar 2 x y y x −−−−       −−−− se obtiene A. ₂ 2 2 2 x y y x ₋₋₋₋ B. ₄ ₄ 2 2 y x y x −−−− C. 4 4 2 2 y x y x ++++ −−−−₂_x2_y2 D. 2 2 4 2 2 4 y x y y x 2 x −−−− ++++ E. ₄ ₄ 2 2 y x y x ++++

9. Al racionalizar el denominador de la fracción

5 x 2 3 2 x ++++ ++++ −−−− _{se obtiene} A. 2 3 5 x 2 ++++ −−−− B. 2 3 5 x 2 ++++ ++++ C. 2 5 x 2 3−−−− ++++ D. 2 3 5 x 2 ++++ −−−− −−−− _E. x 2 3 5 x 2 ++++ −−−−

10. El conjunto solución de la ecuación

5 x 15 1 5 x x 3 −−−− ++++ ==== −−−− es A. {2, 5/2} B. {– 5} C. {5} D. {– 5, 5} E. φ

11. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación

x 3 2 k kx x2 ++++ ++++ ==== −−−− −−−− es: A. 1 B. – 1 C. ± 1 D. – 5 E. No existe

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12. Al resolver el sistema de ecuaciones

                     ==== −−−− −−−− ++++ ==== −−−− ++++ ++++ 1 y x 3 4 y x 3 2 3 y x 3 4 y x 3 2

se obtiene que el valor de la variable y es

A. 1/2 B. – 2/3 C. – 2 D. 3/4 E. – 3 /2 13. Al efectuar 4 x 2) (x 2) (x 4 x 2 2 2 2 −−−− ++++ ++++ −−−− −−−− se obtiene A. 2 x 2) 2(x −−−− ++++ B. 2 x 2 −−−− C. x 2 2) 2(x ++++ −−−− D. 4 x 2 2₋₋₋₋ E. 1 14. Al resolver la ecuación 4 1 x 1 x 2 1 x 1 x ==== ++++ −−−− ++++ −−−− ++++

se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor de las raíces es

A. 5 B. 8 C. 10 D. 4 E. 2

15. Al resolver el sistema de ecuaciones

(

)

2 2 x 2 y 5 2 6 xy 2 x 3 y 1  ₊ _{= +}    ₋ ₌  se obtiene que el valor de la variable y es:

A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3 D. 1 E. 3

16. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es :

A. (– 2, 0) ∪ (1, +∞) B. [– 2, 0) ∪ [1, +∞) C. (– 2, 0) ∪ [1, +∞)

(16)

17. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a – 3 es: A. 2 B. 3 4 C. 3 8 D. 3 22 E. – 2 4

18. El conjunto solución de la desigualdad | x +

3 2 | ≤ 2 es A. – 3 8 ≤ x ≤ 3 8 B. – 3 4 ≤ x ≤ 3 8 C. – 3 8 ≤ x ≤ 3 4 D. 3 4 ≤ x ≤ 3 8 E. – 3 8 ≤ x ≤ – 3 4

19. El conjunto solución de la desigualdad 1 ≤

2 x 7−−−−

≤ 3 es

A. [– 5, – 2] B. [– 1, 5] C. [1, 5] D. [– 1, 13] E. [– 5, 2]

20. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el intervalo A. (– 1, ∞) B. ( – ∞, 6) C. (6, + ∞) D. (– 6, – 1) E. (– 1, 6)

21. El conjunto solución de la desigualdad (x ₂1 0 ) (x 2 ) 0 x 7 x 8 + − _≤ − − es A. [– 10, – 1] ∪ [2, 8] B. [– 10, – 1) ∪ [2, 8) C. (– 10, – 1) ∪ (2, 8) D. [– 10, 1] ∪ [2, 8) E. [– 10, – 8) ∪ (1, 2]

22. El conjunto solución de la ecuación 2 x 3+ − x 2− =2 es

A. {3, – 11} B. {– 3, – 11} C. {3, 11} D. {

3 ,

11

} E. {

2 3

−−−− , 2}

23. Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es A. – 3 B. 3 C. 2.5 D. – 5 E. – 1 24. Si 3 x 1 x 2 ====       ++++ , entonces 3 3 x 1 x ++++ es igual a: A. 3 3/2 B. 27/8 C. 9 D. 0 E. x2 – 1 + 1/x2

(17)

A. φ B. R C. 4 D. – 4 E. 0– 8 / 3

26. Al factorizar la expresión , uno de los factores es:

A) B) C)

D) E)

27. El resultado simplificado de , es:

A) B) C)

D) E)

28. Si x, y, z, son números positivos que satisfacen x 1 4, y 1 1, z 1 7

y z x 3

+ = + = + =

entonces el valor de xyz es:

A. 2/3 B. 1 C. 4/3 D. 2 E. 7/3 29. Si N > 1, entonces 3 _N3 _N3 _N es igual a: A. 1/27 N B. 1/ 9 N C. 1/ 3 N D. 28/9 N E. 13 / 27 N 30. La expresión es igual a: A. B. C. . D. Sugerencia utilice la igualdad

31. Si = 3 entonces es igual a :

(18)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 17 32. Si A. B. x+ y C. D. 33. Al simplificar 3 3 / 7 3 / 2 3 / 1 4 3 / 4 3 / 2 z y x z y x −−−− −−−− −−−− −−−− −−−− −−−−         resulta A. x6 y z B. x y6 z5 C. x y z5 D. x6 y5 z6 E. 5 6_z y x 1

34. Si 2x3 ++++x2 ++++px++++2p2 es divisible entre x + 1, siendo p un entero, entonces el valor de p es:

A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2 E. 4

35. El conjunto solución de la desigualdad

2 x 1 3 x 2 3 −−−− <<<< ++++ es: A. ( – ∞, 2 3 −−−− ) ∪ (– 2, 9) B. ( – ∞, 2 3 −−−− ) ∪ (2, 9) C. ( – ∞, 2 3 ) ∪ (2, 9) D. ( – ∞, – 2) ∪ ( 2 3 −−−− , 9) E. ( – ∞, – 2 3 ₎_∪_(– 2 3 _{, 2)}_∪_{(2, 9)} 36. Dos enteros A. 5 B. 7 C. 10 D. -4 37. Si A. -1 B. -2 C. -3 D. -4

(19)

38. El polinomio se anula en 1 , luego p(x) es divisible por :

A. B. C. D.

39. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son:

A) x = 650 , y = 16 B) x = 640 ; y = 26 C) x = 340; y = 326 D) x = 568; y = 98

40. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100. La edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era:

A) 40.5 B) 50.3 C) 44.2 D) 41.6

41. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16

42. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12

43. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien:

Preso: Vamos, ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?

(20)

Carcelero: ¿Cuántos años tienes?

Preso: Veinticinco.

Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaños.

Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás.

¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8

44. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel : ¿Cuántos hijos tienes?

Arturo : Tres hijos.

Daniel : ¿Qué edades tienen?

Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel,

después depensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita másdatos.

(21)

Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que

tenemos enfrente.

Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo

durante un par de minutos. - ¡No es posible! - responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más.

Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano.

Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de

Arturo?

A) 6; 6; 1 B) 9; 2; 2 C) 6; 3; 2 D) 9; 4; 1

45. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números?

A) 27 B) 16 C) 15 D) 14

46. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1/3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1/2 de los pasajeros y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio?

A) 18 B) 36 C) 30 D) 42

47. Halla tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos más pequeños es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.

(22)

48. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km/hora llegará a su destino a la 1p.m., y si avanza a 15 km/hora llegará a su destino a las 11 a.m. ¿a qué velocidad, en km/hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.?

A. 12 B. 13 C. 14 D. 20 E. 25

49. Un camino puede recorrerse en “t” horas con una cierta velocidad en km/hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un

kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.

A. t 1 t++++ B. 1 t 1 −−−− C. t 1 t−−−− D. 1 t t −−−− E. t2−−−−t

50. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez.

A. 40 litros B. 45 litros C. 30 litros D. 35 litros E. 25 litros

51. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2.5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números?

A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 E. 11

52. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre.

(23)

minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal?

A. 1 hora B. 2 horas C. 3 horas D. 4 horas E. 5 horas.

54. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo?

A. 72 B. 56 C. 48 D. 36 E. 18

55. Por Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?

A) 21 B) 23 C) 25 D) 27

56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16.

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22

57. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144.

(24)

I. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS

1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del

∠ BOA es:

2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es

A. Un punto. B. Dos puntos C. Una única recta D. Dos rectas diferentes E. Falta información

3. En la figura, m1 m4 m2 m3 ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥

⊥ , ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera?

4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es A. 3x – 4 B. 3x – 6 C. 3x + 2 D. 6x – 12 E. 6x + 6 50º 120º 130º xº yº

A partir de la información indicada en la figura, el valor de y es: 5. 90º 140º xº En la figura, si __ __ CD || AB , el valor de x es: A B C D 6. C B D O A A. 20º B. 30º C. 40º D. 60º E. 80º 1 m ↔ ↔ ↔ ↔ 2 m ↔ ↔ ↔ ↔ 3 m ↔ ↔ ↔ ↔ 4 m ↔ ↔ ↔ ↔ R S T • • •

A partir de la información brindada en la figura, el valor de z resulta: 7. A. m1 m2 ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ || B. m1 m3 ↔ ↔↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ⊥ ⊥⊥ ⊥ C. m3 m4 ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔↔ ↔ || D. m2 m4 ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔↔ ↔ ⊥ ⊥⊥ ⊥ E. NDLA

(25)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 24 11. A – B – C – D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces

EF = ?

A. 5 B. 6 C. 9 D. 11 E. 22

13. Para qué valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos?

15. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º x y 130º A B C E

En la figura, A D⊥ A C , E B | | D C , entonces el valor de y es:

120º xº A B C D E Si __ __ CD || AB , ¿Cuál es el valor de x? A. 170º B. 150º C. 120º D. 100º E. 80º 14. α β A B C En la figura αº + βº = 255º, entonces ¿m∠ A = ? 12. x 140º 115º xº 150º 9. 10. En la figura, el valor de x es A. 25º B. 40º C. 45º D. 65 E. 75º En la figura, el valor de x es 25º xº A. 25 B. 50 C. 65 D. 75 E. 130 A B C D

(26)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 25 16. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo?

A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

20. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de

__

AC. Se toma otro punto O, tal que B – O – C. Encuentre el valor numérico de

OB OC AO−−−− . A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 2 3 E. Falta información. Soluciones 1 C 5 D 9 E 13 C 17 B 2 C 6 C 10 A 14 B 18 E 3 E 7 A 11 D 15 E 19 B 4 E 8 B 12 A 16 B 20 A 18. 84° (x – 6)° (3x + 10)° ↔ 1 m ↔ 2 m

En la figura las rectas

↔ 1 m y

↔ 2

m son paralelas. Entonces el valor de x es

A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 20 60º 110º xº ↔ 2 m ↔ 1 m 17

En la figura las rectas

↔ 1 m y

↔ 2

m son paralelas. Entonces el valor de x es

A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 30 P Q S R 1 2 3 4 Si m ∠ P = 90º, ∠ 1 ≅∠2, ∠ 3 ≅∠ 4, entonces m ∠ R es A. 30º B. 45º C. 60º 19.

(27)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 26 i) h = nm ii) b = nc iii) a = mc iv) m + n = c h b a n m c A _D B C

II. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

TRIÁNGULOS

Dado un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, las longitudes de sus lados (a, b, c), la altura

correspondiente a la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m, n), se cumplen las siguientes relaciones métricas:

A = 2 1 base x altura _{A =} 2 1 a b A = x2 4 3

Fórmula de Herón: (Área de un triángulo en función de sus lados)

A = s(s−−−−a)(s−−−−b)(s−−−−c) , donde s c b a++++ ++++ x c a a b b h h A = 2 1 a h TRIÁNGULO EQUILÁTERO h b h b b B h d D

RECTÁNGULO PARALELOGRAMO ROMBO TRAPECIO

A = b h A = b h _{A =} 2 1 D⋅d A = 2 1 (B + b)⋅h = 2 1 B’⋅h B’ d

1. ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

(28)

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS Y

CUADRILÁTEROS

1. Un poste cercano a un árbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11 m, la altura del árbol es

A. 11 m B. 11.22 m C. 12. D. 12.22 E. 13 m 2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el árbol mide 36 m, su sombra mide

A. 36 m B. 30 m C. 18 m D. 15 m E. 9 m 3. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es

A. 7.07 B. 14.14 C. 24.14 D. 24.99 E. 50

5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120 m del edificio y la persona está a 6 m del espejo?

A. 20 m B. 30 m C. 31.5 m D. 120 m E. 126 m 6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es

A. 4 m B. 7.07 m C. 12.25 m D. 14 m E. 15.5 m 7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo miden:

A. 15 m y 27.5 m B. 20 m y 22.5 m C. 7.5 m y 25 m D. 30m y 12.5 m E. 40m y 2.5 m 8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide

A. 50/3 B. 25/9 C. 100/9 D. 25 E. 200/9 9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2 106, otro 5 15. Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto mide? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 8 y x 4

4. En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y,

respectivamente son

A. 11 y 13 B. 15 y 16 C. 9 y 8

6

7 9

El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano, mide:

A. 21 B. 22 C. 27 D. 31 E. 54 10.

(29)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 28 12. Si un rectángulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo

isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es A. 7.5 B. 2 15 C. 15 D. 15 3 E. 10

13. El área de un trapecio isósceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es A. 2220 m2 B. 160 m2 C. 128 m2 D. 80 m2 E. 64 m2

14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 63 cm2. Entonces el perímetro de la figura es:

16. Se tiene un trapecio ABCD donde

___{B C}

es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectiv amente, entonces AD = ?

A. 60 cm. B. 50 cm. C. 40 cm. D. 30 cm. E. 20 cm.

17. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5 cm y 40 cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

A. 2

40 5++++

cm B. 2 13 cm C. 45 cm D. 11.32 cm E. 5.66 cm

19. ABCD es un cuadrado, el ∆ ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a

D C G A B H F E A. 100 cm2 B. 120 cm2 C. 150 cm2 D. 175 cm2 E. 200 cm2

18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es

10

A B C

G F E H D

Si ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes)

15.

(30)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 29 21. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el perímetro 76 m. Entonces su área es:

A. 86 m2 B. 176 m2 C. 226 m2 D. 288 m2 E. 300 m2

22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el área del triángulo ADF en cm2 es igual a

23. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 24

24. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es

25. De acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es

A B P C Q R E C B A D F D E C F A B A. 150° B. 135° C. 90° D. 60° E. 45° B C D A F E

En la figura, ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18, AD = 30 y FE = 12. ¿Cuánto mide AE?

20. A. 2 1 B. 3 1 C. 4 1 D. 6 1 E. 8 1 A. 8.5 cm B. 17 cm C. 34 cm D. 51 cm E. 68 cm

(31)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 30 26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, ∆CMN es equilátero, El área de ∆CMN es igual a

27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45° sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es

28. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden A. 30° B. 45° C. 35° D. 75° E. 60°

29. En la figura ABCD es un cuadrilátero con AD||BC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD. m∠BAC = 30°, AC = 4 3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a

30. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectiv amente, entonces el área del trapecio mide

A D B C A D C B G E F A _70° 55° 60° 60° C D A. AB B. BC C. CD D. DA E. BD A N B C D M A. 0.866 B. 0.7071 C. 0.75 D. 0.5 E. 0.4641 A. 2 – 1 B. 0.5 C. 0.451 D. 2 E. 0.375 A . 6 B. 12 C. 12 3 D. 24 E. 30

(32)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 31 A. 300 3 cm2. B. 400 cm2. C. 300 cm2. D. 200 cm2. E. 200 3 cm2.

31. En la figura, m∠BAC = α , m∠BPC = m∠BQC = 90°. Entonces la medida de ∠BHC es

32. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5 cm y 20 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 E. 10

33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es

34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y m∠BAC = 60°, entonces la longitud del segmento AD es

35. En la figura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm , AC = 24 cm y la altura es 12 cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es

E D O A C B D B C P H Q A A. 180 – α B. α C. 90 – α D. 2α E. 3α A. 1/6 B. 21/100 C. 1/3 D. 2/5 E. 4/9 A. 2 3– 5 B. 2 3+ 5 C. 1 D. 2 E. 3.5 A B C A. 112 cm 2 B. 117 cm 2 C. 120 cm 2 D. 140 cm 2 E. 360 cm 2

(33)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 32 38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC. Trazamos por P paralelas a los lados del

paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura. Sabiendo que el área de ABCD es 40 cm2 , entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a

40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE?

A D G F B C E A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 6 A B C 3 6 x

En el triángulo rectángulo ABC ¿cuál es la longitud del segmento BC? 39 A R B N P Q D M C E B A A 109 cm B. 15 cm C. 11 D. 30 E. 61 C D x 10 52.8 132 66

En la figura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x? 37

A. 10 cm 2 B 20 cm2 C. 30 cm 2 D. 40 cm 2 E. 50 cm 2

(34)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 33 P A B C D P A B P A B SOLUCIONES 1 D 11 B 21 E 31 A 2 C 12 B 22 D 32 B 3 C 13 C 23 B 33 B 4 D 14 D 24 C 34 A 5 B 15 C 25 B 35 A 6 C 16 B 26 E 36 A 7 D 17 B 27 A 37 E 8 E 18 D 28 B 38 B 9 A 19 B 29 C 39 B 10 A 20 D 30 A 40 D

III. CIRCUNFERENCIA Y POLÍGONOS

ÁNGULO INSCRITO ÁNGULO SEMI-INSCRITO ÁNGULO INTERIOR

m ∠∠∠∠ APB = 2 1 m AB m ∠∠∠∠ APB = 2 1 m PB m ∠∠∠∠ APB = 2 1 [m AB + m CD ] Q _Q P R U S T T R S Q U R S T QT2 = QR ⋅ QS QR ⋅ QS = QU ⋅ QT QR ⋅ QS = QU ⋅ QT PA = PB ∠APO ≅∠BPO O A B RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULOS DETERMINADOS POR SECANTES Y TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

(35)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 34 r θθθθ O s h y x s θ r 2 ÁREA DE UN CÍRCULO REGIONES CIRCULARES 1. Sector circular:. A = rs 2 1 360 θ r2 ==== °°°° °°°° π , A = _r θ 2 1 2 _,_θθθθ_{en radianes.} 2. Segmento Circular: Tenemos h = r – y y = r cos 2 θ = 2 1 x cot 2 θ = 4r2 x2 2 1 ₋₋₋₋ , x = 2 r sen 2 θ = 2 y tan 2 θ ,

◊ Si θ se mide en radianes, el área del segmento circular está dada por: A = 2 1 ₂ r (θθθθ – sen θθθθ) = 2 1 (r s – x y) P P C D A B A B C P A B m∠∠∠∠ P = 2 1_{[m AB – m CD], m∠}_∠_∠_{∠ P =} 2 1_{[m AC – m AB],}_m∠_∠_∠_{∠ P =} 2 1_{[m ACB – m}_AB] ÁNGULOS EXTERNOS

⁀ ⁀

⁀

A = ππππr2 = 4 d2 ⋅⋅⋅⋅ π ⁀

◊ Para un arco AB que mida θ°, su longitud está dada por: s =

°°°° °°°° 180 θ r π

◊ Si el arco se mide en radianes, resulta s = r θ

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 35 r R R r θ 3. Corona Circular: A = ππππ (R2−r2) 4. Trapecio Circular: A = (R r ) 360 θ ₂ ₂ −−−− °°°° °°°° π ó A = 2 1 θθθθ (R2−r2),θ en radianes

Si hacemos h = R – r y s y ₁ s son las longitudes de los arcos exterior e interior ₂ respectivamente, se tiene: A = 2 1 h θθθθ (R + r) = 2 1 h (s₁+s₂) EJERCICIOS PROPUESTOS

5. En la figura el área del círculo mayor es 1 m2. El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. Entonces el área del círculo menor es

θ

En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140º y 80°

respectivamente, entonces el valor de θ es

A B C D 1. X Y

Z La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene longitud π.

¿Cuánto mide la cuerda XZ?

A B

C

El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y BC = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de 2.

C El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y

CD = 4.8, el área de la región sombreada tiene un valor de 3.

A D B 4.

(37)

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 36 11. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por

C Q

P T

En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y

__

TP es un

segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide

A. r 2 B. r 3 C. 3r D. r 5 E. 5r

6.

10 8

Los extremos de la figura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la región sombreada? 7. •O A B C En la figura ___

AC es un diámetro. Si m AB = 50°, entonces m ∠ BAC = ?

A. 25° B. 50° C. 65° D. 90° E. 130° 8.

En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? 9. D _B P A C

En la figura, la medida del arco AB es 30°, y la medida del ∠BPA es 35°.

Los medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente A. 100 y 25 B. 50 y 50 C. 100 y 50 10. A. 2 1 B. 9 4 C. π D. 2π E. π 2 1

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 37 12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. CD yDA son diámetros de las

circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD ⊥CA . Si BD = 2, entonces el área sombreada es igual a

13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del ∠BAC es

14. En la figura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB ⊥BC, BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a

x 3 6 15. A B _C A B C 130° 110° A. 55° B. 60° C. 65° D. 110° E. 130° C D A B r r r r s s s p p p _p s q q q q A B C D A. 1 B. π C. 2π D. 4 3π E. 4 9π A. π B. 2π C. 3π D. 4π E. 5π

La figura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 38 18. Seis triángulos equiláteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la

figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?

19. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m ∠A = 50º y m ∠C = 60º. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el triángulo circunscrito A’B’C’. Entonces la medida del ángulo A’ es:

20. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y radio 3 . El área del cuadrilátero AOBC es

A

B P D

C

Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D.

Si AC = 31, PB = 19 ¿Cuál es el valor de AP? A. 6 B. 12 C. 15 D. 25 E. 50 17.

0.4

La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área de la región sombreada? A. 0.025 B. 0.048 C. 0.1428 D. 0.153 E. 0.1582 B C C C’ B B’ A A’ A. 40º B. 60º C. 80º D. 100º E. 120º A. ) 2 3 (π−−−− cm2 B. ) 2 3 3 (π−−−− cm2 C. ) 2 3 (2π−−−− cm2 D. 3 3 π cm2 E. (2π−−−−3 3)cm2

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 39 21. Si un ángulo central de 30° en una circunferen cia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide

A. π/36 B. π/6 C. π D. 36/π E. 180

24. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1?

A. 1 B. 1 + 2 C. 2 D. 2 + 2 E. 2.5

25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC y AF = 1¿Cuál es el área de la región sombreada?

26. Si el radio de un círculo aumenta en π unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro? A. π B. 2π C. 3π D. π2 E. 2π2

27. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?

A B C

Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura.

Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es:

A. 2 B. 2 3 C. 1 D. 3 2 E. 2 1 23 A. 1/2 B. 2 C. π/4 D. 3π/4 E. π/4 – 1/2 A B F C E O

En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado 1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada es 22. A B O C A. 3 B. 6 C 3 3 D. 6 E. 12 A. 0.5 B. 0.866 C. 1 D. 1.5 E. 2

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 40 30. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco

semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?

32. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas

circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide

A. 3 + 2 2 B. 4 C. 6 D. 4 + 2 2 E. 8

31

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 E. 3

En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada?

A. 6 3 – 3π B. 3 3 – 2π C. 2π – 1

28.

B O C

A _{En la figura, m}_∠_{BCA = 90º, BA = 5 y AC = 3. ¿Cuál es el área del círculo con centro en}

O? 29.

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 41 33. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

34. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados?

A. Pentágono B. Hexágono C. Octógono D. Decágono E. Dodecágono

35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si m∠DEC = k ⋅ (m ∠BOA), entonces el valor de k es:

36 . Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A. 50% B. 100% C. 200% D. 100π% E. 400%

37. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?

38. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:

A. 1 B. 3 C. 2 3 D. 3 5 E. 2 3 2++++

39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:

A. 11 B. 12 C. 13 D. 184 E. 192

40. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene:

A. 3 2 B. 5 3 C. 9 4 D. 25 9 E. 2 A O C E B D A. 3 1 B. 2 1 C. 1 D. 2 E. 3 A. 8 – 2π B. 4 – π C. 12 – 3π D. 8 – 3π E. 4 + π A B C O • _A. 6 1 B. 6 π C. π 4 3 D. 4 3 E. 12 π

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 42 a b c d h a Soluciones 1 D 11 B 21 D 31 A 2 A 12 B 22 B 32 A 3 A 13 B 23 E 33 C 4 C 14 D 24 B 34 A 5 B 15 D 25 A 35 A 6 D 16 C 26 E 36 E 7 D 17 B 27 C 37 B 8 C 18 B 28 A 38 B 9 B 19 C 29 E 39 D 10 C 20 C 30 D 40 B

CUERPOS SÓLIDOS

PRISMAS

◊ Para un prisma recto se tiene: A_L= P⋅⋅⋅⋅ a = P ⋅⋅⋅⋅ h, A_T= P⋅⋅⋅⋅ a + 2 A_b

donde A_L : área lateral , A_T: área total, A_b: área de la base P : perímetro de la base, a: longitud de la

arista lateral.

◊ Para un paralelepípedo rectangular, si a, b y c representan el largo, ancho y alto, tenemos: Volumen: V = a b c

Area total: A_T = 2⋅⋅⋅⋅(a b + b c + a c)

La diagonal está dada por d = a2++++b2++++c2

◊ Para un cubo de lado a, se tiene:

Volumen: V = a3 Area total: A_T = 6a2 Diagonal: d = 3a

PIRÁMIDE: Volumen V =

3 1

⋅⋅⋅⋅ Ab ⋅⋅⋅⋅ h donde Ab: área de la base y h: altura

Áreas Únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares.

L A = 2 1 ⋅⋅⋅⋅P⋅⋅⋅⋅a A_T = 2 1

⋅⋅⋅⋅P⋅⋅⋅⋅a + A_b donde P: perímetro de la base, a: apotema de las caras laterales

PIRÁMIDE TRUNCADA O TRONCO DE PIRÁMIDE

Si A_B es el área de la base de la pirámide original, Ab el área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene:

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 43 2πr g L A = ππππ r g , donde g = h2++++r2 A_T = A_L + AB r R g h V = 3 1_{ππππ h ( R2 +}_r2_{+ Rr)} L A = ππππ g (R + r), A_T = A_L + ππππ (R2 + r2)

VOLUMEN Y ÁREA DE UNA ESFERA

VOLUMENES Y ÁREAS DE CILINDROS Y CONOS CIRCULARES

◊Para un cilindro circular de radio r y altura h, tenemos .

◊ Para los conos en general, su volumen está dado por:

◊ Para un cono circular recto,

CONO TRUNCADO:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Área Lateral: A_L = 2 ππππ r h. Área total: A_T = AL + 2Ab = 2 ππππ r h + 2 ππππr2

Si H es la altura de la pirámide original, k es la distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de cono, entonces si V es el volumen de la pirámide original y V’ el volumen de la pirámide que se quita: 3 H k V V'       ====

El volumen del cono truncado es la diferencia V – V’

H k h Volumen: V = 3 1 h [A_B + A_b + A_BA_b ] Area Lateral: A_L = 2 1 (P + P’) ⋅⋅⋅⋅ a Area Total: A_T = 2 1 (P + P’) ⋅⋅⋅⋅ a + A_B + A_b V = R3 3 4 π y S = 4 ππππR2 Volumen: V = A_b⋅⋅⋅⋅ h = ππππr2h V = 3 1 b A ⋅⋅⋅⋅ h = 3 1 ππππ 2 r h.

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Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 44 2. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un

triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, ¿Cuál es el área del triángulo formado? A. 2 6 B. 2 3 C. 2 2 D. 4 6 E. 4 3

5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es

A. 900 cm3 B. 1688.25 cm3 C. 2833.8 cm3 D. 4583.5 cm3 E. 9000 cm3 6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel del agua subió 1 cm. ¿cuál es el volumen del trozo de metal?

A. 13 cm3 B. 87 cm3 C. 88 cm3 D. 1850 cm3 E. 9250 cm3

7. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 8. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b =

c

2 , ¿Cuál es el volumen en términos de c?

En el prisma recto de la figura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30 cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. ¿cuál es el área total de la superficie del prisma? A. 100 B. 3 250 C. 100 3 D. 300 E. 50 3 + 300 1. A B C D E F G

La figura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la recta

3.

De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente 4.

a

b