GUIA DE FUNCIONES
.P1.- Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones:
a)
f
(
x
)
4
x
2
6
. Sol: IR.b)
4
7
2
4
)
(
22
t
t
t
t
f
. Sol:
2
1
,
4
IR
c)
(
)
5
2x
x
g
. Sol:IR
0
P2.- Determine los valores de la función en el valor indicado:
a)
h s
( )
s
2
3 ; (4),
h
h
( 1),
h
( 2 )
x
b)
( )
1
;
(1),
1
,
(1
)
16
h v
h
h
h
x
v
c)
( )
25
;
( 2),
(1),
(
)
4
x
g x
g
g
g x
h
x
Sol: a)
h
(4) 13, ( 1)
h
2, ( 2 )
h
x
4
x
2
3
b)
1 1 116 4 1
(1)
1,
, (1
)
xh
h
h
x
c) 2
7 4 5
8 5 ( ) 4
( 2)
, (1)
, (
)
x hx h
g
g
g x h
P3.- Sea
h
:
IR
IR
, dondeh
(
x
1
)
x
2
3
x
2
. Determineh
(
x
)
. Sol:h
(
x
)
x
2
x
.P4.- Considere las funciones
f
(
x
)
9
x
7
yg
(
x
)
x
2
x
, determine:a)
h
f
h
f
(
2
)
(
2
)
. Sol: 9
b)
4
)
4
(
)
(
x
g
x
g
. Sol:
x
3
c)
f
(
g
(
x
))
g
(
f
(
x
))
. Sol:
72
x
2
144
x
56
P6.- Determinar funciones f y g, tales que
h
(
x
)
f
(
g
(
x
))
para cada uno de los siguientes casos:a) 5
)
3
4
(
)
(
x
x
h
. Sol:f
(
x
)
x
5;
g
(
x
)
4
x
3
b)
h
(
x
)
x
2
2
. Sol:f
(
x
)
x
;
g
(
x
)
x
2
2
c)
1
1
)
(
2
x
x
h
. Sol:(
)
1
;
g
(
x
)
x
2
1
x
x
f
d)
h
(
x
)
(
3
x
3
2
x
)
3
(
3
x
3
2
x
)
2
7
. Sol:f
(
x
)
x
3
x
2
7
;
g
(
x
)
3
x
3
2
x
P7.- Graficar las siguientes funciones cuadráticas
(a)
g x
( )
2
x
2
3
x
4
(b)h x
( )
4
x
2(c)
l x
( )
3
x
2
2
x
1
(d)f t
( )
t
2
t
2
(e) 2
( )
4
6
h x
x
x
(f)g z
( )
(
x
3)(2
x
)
P8.- Dada la función
1
si
2
2
( )
3
1
si
2
4
x
x
x
f x
x
x
Determine
( 2) 3 (7)
(5)
(
)(0)
f
f
f
f
f
.P9.- Grafique las siguientes funciones determinando dominio, recorrido e intersección con los ejes.
a)
f
(
p
)
4
p
2. Sol: Dom: IR; Rec:
,
4
b)
h
(
x
)
x
2
2
x
6
. Sol: Dom: IR; Rec:
5
,
.c)
(
)
16
2r
r
f
. Sol: Dom:IR
0
; Rec:IR
d)
f
(
x
)
x
4
2
1
. Sol: Dom: IR; Rec:
1
,
(c)
(1)
(2)
4 ( 2)
( 3)
f
g
g
f
(d)(0)
(0)
gf
P11.- Dadas las funciones
f x
( )
x
1
yg x
( )
2
x
2
3
, determine(a) Dominio y recorrido de
f
yg
. (b)(
f
g x
)( )
(c) Dominio de
f
g
(d)(
)(2) 10
4 ( 2) (
)(0)
f
g
g
f
f
P12.- Grafique las siguientes funciones:
a)
4
3
4
0
2
)
(
x
si
x
x
si
x
f
b)
2
9
2
1
1
2
)
(
2x
si
x
x
si
x
x
f
c)
5
1
5
3
4
3
0
1
)
(
x
si
x
x
si
x
si
x
x
f
P13.- Considere la función
f
:
IR
IR
definida por:
0
9
0
1
1
1
7
)
(
2x
si
x
x
si
x
x
si
x
x
f
a) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por
2 f
,
(
2
)
y que tiene pendiente “3”. b) Encuentref
(
f
(
2
))
Sol: a)
y
3
x
5
b) 20P14.- Sea
( )
(
1)
1
2
a
x
f x
ax
P15.- Considere las siguientes relaciones:
0
2
2
0
2
)
(
2x
x
x
x
x
f
g
(
x
)
x
5
a) Grafique
f
(
x
)
y encuentre los intervalos donde f sea positiva.b) Se define
)
1
)(
1
(
2
)
(
x
x
x
x
h
. Determine Dom(
h
og
)(
x
)
para que sea una función.Sol: a) f es positiva en todo IR b) Dom:
3
,
4
6
,
P16.- Dada la función
8
6
9
)
(
2 2
x
x
x
x
f
Encuentre:a) Ceros de la función b) Dominio de la función Sol: a)
x
3
x
3
b) Dom:IR
4
,
2
P17.- Dadas las funciones
2
3
4
)
(
2
x
x
x
x
f
g
(
x
)
1
x
, determine:a) Dom f
b)
x
Domf
/
f
(
x
)
0
c)
(
gof
)(
x
)
Sol: a)
IR
2
b)
1
,
3
c)2
5
5
2
x
x
x
f
o
g
P18.- Considere las siguientes funciones reales:
4
4
)
(
3
4
6
2
)
(
g
x
x
x
x
x
f
a) Encuentre Dom f y Dom g. b) Ceros de f.
c) Determine
(
f
g
)(
3
)
y
(
f
o
g
)(
0
)
.Sol: a) Dom f =
3
4
IR
; Dom g =
1
,
b)x
3
c)
(
)(
3
)
58;
(
)(
0
)
5
g
f
o
g
P19.- Dadas las siguientes funciones, encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que sean biyectivas
(a)
( )
3
2
1
x
g x
x
(b)3
( )
h x
x
(c) 2( )
3
1
p x
x
x
(d)
f t
( )
t
1
(e)g x
( )
2
x (f)l x
( )
4
x
1
(g)
( )
4
3
x
f x
x
(h)h x
( )
ln( )
x
(i)2
( )
1
p t
x
P20.- Escriba la expresión como un solo logaritmo:
a)
2
log
516
3
log
54
4
log
536
2
log
59
. Sol:
81
64
log
5b)
ln(
x
2
y
2)
ln
2
x
ln
3
y
ln
6
. Sol:
xy
y
x
2 2ln
P21.- Grafique en el mismo sistema de coordenadas: a)
y
log
3x
ex
y
3
b) x
y
4
1
e
y
x
4 1
log
P22.- Resuelva para
x
IR
:a)
3
1
9
25x
. Sol: 21
x
b)
ln(
x
1
)
ln(
2
x
25
)
. Sol:x
26
c)
(log
)
23
log
24
2
x
x
. Sol: 2 116
x
x
d)
2
x2
4
x1. Sol:x
4
e)
log
33
(log
3)
3
1
x
x
x . Sol:
x
3
x
1
P23.- Dadas las siguientes funciones:
7
2
1
)
(
2
4
)
(
)
(
)
4
(
log
)
(
7 3 7 5 3
x x xx
i
x
h
e
x
g
x
x
f
P24.- Encuentre el valor de
n
en la ecuación: 2 9 22
)
1
(
tt n n x
q
p
pqr
b
a
Sol:
a
b
a
r
q
p
q
p
n
x
t t
ln
2
)
1
(
ln
2 9
APLICACIONES.
P25.- Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1.000 peces. Se espera que su población aumente según:
t k
e
N
29
1
30
donde N: es el número de peces, en miles, que se espera después de “t” años.
Si se sabe que al cabo de 6 meses la población aumentó a 1900 peces y se planea que el lago estará abierto a la pesca cuando el número de peces sea de 20000. ¿Cuántos años pasarán para que se abra el lago a la pesca?
Sol: Nunca el lago se abrirá a la pesca.
P26.- Los altímetros utilizados en la mayoría de los aviones miden la altitud mediante una expresión que relaciona la altitud “a” en metros sobre el nivel del mar, la temperatura del aire “T” en grados Celsius, la presión atmosférica “Po” al nivel del mar y la Presión atmosférica “P” a cierta altitud “a”:
)
(
ln
)
8000
30
(
P
P
T
a
oSuponga que la presión atmosférica a cierta altitud es 24.9 cm de mercurio, la temperatura es de – 3°C y la presión atmosférica al nivel del mar es 76 cm de mercurio ¿Qué altitud marcará el
instrumento?
Si el instrumento marca una altitud de 10000 metros, para las mismas condiciones de temperatura y presión a nivel del mar ¿Qué presión atmosférica hay a esa altura?
P27.- Un gran hospital tiene una flota de 30 ambulancias cada una de las cuales recorre aproximadamente 200 Km al día y gasta en promedio 1 galón por cada 15 Km. El precio de la gasolina es de $70 por galón.
i) Establezca una función que exprese la cantidad de dinero que se necesita para gastos de gasolina en los siguientes “x” días.
ii) Si la facturación mensual promedio en el último año fue de $485.000, determine la cantidad de días promedio que al mes funcionan las ambulancias.
P28.- El nivel de producción de un producto está en función de su venta. Consideremos la función nivel de producción
f
(
v
)
5
1
,
1
v
donde “v” es el número de unidades vendidas del productoi) Encuentre el nivel de producción para una venta de: 20 unidades y 100 unidades ii) Grafique la función y determine que sucede cuando las ventas aumentan
ii) Exprese las ventas en función del nivel de producción.
Sol: i) 27 y 115 iii)
;
(
)
1
.
1
5
)
(
y
y
y
f
v
v
P29.- En cierto lago, las lobinas se alimentan principalmente de peces pequeños y estos se alimentan a su vez de plancton. Suponga que la magnitud de la población de lobinas es una función f (n) del número n de peces pequeños en el lago, y el número de peces pequeños es una función de g (x) de la cantidad x de plancton. Exprese el tamaño de la población de lobinas como una función de la cantidad de plancton si:
150
50
)
(
n
n
f
yg
(
x
)
4
x
3
Sol:
150
3
4
50
)
(
x
x
f
P30.- La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan. Para los peces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por día) está dada por la función:
77
.
3
)
23
(
0723
.
0
)
23
(
0346
.
0
)
(
T
T
2
T
G
i) Encuentre la temperatura del agua que genera la máxima tasa de crecimiento ii) Cuando la temperatura del agua es de 15°C ¿ Cual es la tasa de crecimiento? iii) ¿A que temperatura los peces dejan de crecer?
P31.- Suponga que un técnico de laboratorio tiene un cultivo de bacterias tal que el número de bacterias presentes N depende de la temperatura Celsius (C) del aire ambiente y está dado por la función:
40
C
15
para
10200
250
3
)
(
C
C
2
C
N
La temperatura Celsius, a su vez, depende del número de horas después de que comienza a crecer el cultivo y está dado por la función:
15
h
0
15
5
)
(
h
h
C
i) Exprese el número de bacterias como una función de h ii) ¿Cuántas bacterias están presentes después de 4 horas? iii) ¿Después de cuantas horas existen 30.000 bacterias?
Sol: i)
N
(
h
)
3
(
5
h
15
)
2
250
(
5
h
15
)
10200
ii) 22650 bacterias iii) Después de aproximadamente 6.92 horas.P32.- Una compañía se seguros examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que el porcentaje total de quienes habían sido dados de alta al final de “t” días de hospitalización está dado por la función f ( t ) donde:
100
)
)
30
30
(
1
(
)
(
3
t
t
f
i) ¿Qué porcentajes de pacientes habían sido dados de alta luego de 2 semanas de hospitalización?
ii) ¿Al cabo de cuántos días se habían dado de alta el 99% de los pacientes? Sol: i) 68.3% ii) Aproximadamente después de 109 días.
P33.- Después de observar una fotocopiadora automática de trabajo continuo, el técnico descubre que por un defecto de funcionamiento, la producción disminuirá en un número constante de hojas impresas por hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos. Si la hora 30 con desperfecto produjo 3900 hojas.
i) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora con defecto, “N”, en función de la cantidad de horas “t”.
ii) ¿Después de cuántas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420?
Sol: i)
N
(
t
)
20
t
4500
ii) Después de 4 horas.P34.- Un investigador en fisiología ha decidido que la función
r
(
s
)
s
2
12
s
20
es un modelomatemático aceptable para describir el número de impulsos emitidos después que se ha estimulado un nervio. Aquí “r”, es el número de respuestas por milisegunds (ms) y “s” es el número de
ii)Si hay 16 respuestas,¿cuántos milisegundos han transcurridos desde que fue estimulado el nervio?
iii)Grafique la función
r
(
s
)
. Sol: i) 7 respuestas ii) 6 msP35.- Se estima que la cantidad de material particulado (PM10) que dejan las fuentes móviles en el gran Santiago, relacionado con la cantidad de dígitos afectados por restricción vehicular está dada por :
ppm
e
t
f
t
15
9
2000
)
(
32 . 0
(partículas por millón)donde “t” representa la cantidad de dígitos que están restringidos durante una semana.
i)Si en total en una semana se restringen 12 dígitos, ¿ Cuántas ppm de PM10 contaminarán Santiago en ese período?
ii)Para que el nivel de contaminación no supere las 50 ppm ¿ cuántos dígitos se deberían restringir en la semana?
Sol: i) Aproximadamente 105 ppm ii) 16 dígitos.
P36.- El brillo de las estrellas a simple vista se mide en unidades llamadas magnitudes. El astrónomo griego Ptolomeo, estableció seis categorías; las estrellas más opacas tienen magnitud 6 y las más brillantes magnitud 1. Si L es la luminosidad de una estrella de magnitud M y
L
0 la luminosidad mínima para que una estrella sea visible, se deduce la siguiente fórmula para la magnitud M:
0 10
log
5
.
2
6
L
L
M
Demuestre que las magnitudes
M
A yM
B de dos estrellas A y B se relacionan con sus luminosidadesL
A yL
B mediante la ecuación:) ( 4 . 0
10
MB MAB A
L
L
P37.- En 1935, el sismólogo Charles Richter desarrolló una escala logarítmica para medir la magnitud M de los terremotos, tal escala es:
0 10
log
3
2
E
E
M
donde E es la energía liberada por el terremoto ( en joules ), y
E
0 es la energía liberada por unterremoto de muy leve intensidad que se ha estandarizado en
E
0
10
4.4 joulesa) El terremoto de 1985 en Chile liberó aproximadamente
1
.
26
10
16 joules de energía. ¿Cuál fue su magnitud en la escala de Richter?b) La magnitud del terremoto de Cobquecura el 27 de febrero del 2010 fue de 8.8 en la escala Richter, ¿cuál fue aproximadamente en joules la energía liberada por este terremoto?
c) La magnitud del terremoto de Haiti el 12 de enero del 2010 fue de 7.0 en la escala Richter, ¿cuál fue aproximadamente en joules la energía liberada por este terremoto?
P38.- En cierto experimento de aprendizaje, involucrando repetición y memoria, se estimó que la proporción de p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (en segundos), donde t está entre 5 y 9 . Para un tiempo de estudio efectivo de 5
segundos la proporción de elementos recordados fue de 0.32 .Por cada segundo más en el tiempo de estudio , la proporción recordada aumentaba en 0.059
a) Determine la relación que exprese p en términos de t
b) ¿Qué proporción de elementos fue recordada con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio? Sol: a)
P
(
t
)
0
.
059
t
0
.
025
b) 0.556.P39.- Un estudio contable realizado en una determinada clínica, dió como antecedente que el costo de intervenciones quirúrgicas , dependía del número de insumos utilizados y que la relación se daba de acuerdo a la función
C
(
x
)
x
2
50
x
8000
.Determine el costo mínimo por intervenciones quirúrgicas y el número de insumos a un costo de 7400 u.m. de intervenciones.
Sol: 7375 um; 20 ó 30 insumos.
P40.- Un diseñador de obras de arte ha determinado que el ingreso de vender “ x” unidades viene dado por
I
(
x
)
20000
x
1000
x
2 y los costos de producir “ x “ unidades por la función de costox
x
C
(
)
4
.
8000
4000
.b) La producción que maximiza la utilidad es 8 unidades. c)La utilidad máxima es 16000 unidades monetarias.
P41.- Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontró que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192.
a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol C. b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?
Sol: a)
R
0
.
0015
C
0
.
128
b)R
0
.
268
P42.- El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función:
t
e
t
f
21
250
)
(
la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo “t”.
a) Si el tiempo es medido en semanas, ¿cuántas han sido contagiados en tres semanas? b) ¿Cuál es la cantidad de contagiados en tres meses?
c) ¿En qué tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas Sol: a) 249 personas b) 250 personas c) no se contagian personas.
P43.- En un estudio de paciente HIV que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se encontró que después de 4 años, 17% de los pacientes tenían sida y que después de 7 años 33% lo tenían.
a) Identifique las variables
b) Encuentre una función lineal que modele la relación entre el intervalo de tiempo y el porcentaje de pacientes con sida.
c) Pronostique el número de años hasta que la mitad de esos pacientes tenga sida. Sol: a) x variable independiente en años; y variable dependiente en %.
b)
y
0
.
053
x
0
.
042
c) 10.2 años.P44.- Un investigador en fisiología ha decidido que un buen midelo matemático para el número de impulsos disparados después que un nervio ha sido estimulado está dado por la función
y
x
2
20
x
60
, donde “y” es el número de respuestas por milisegundo y “x” es el número de milisegundos desde que el nervio fue estimulado.a) ¿Cuándo se alcanzará la razón máxima de disparos? b) ¿Cuál es la razón máxima de disparos?
c) Represente un gráfico de la situación planteada. Sol:
P45.- La evolución de tratamiento, aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneración de tejidos , sigue el comportamiento lineal, cuya variable independiente, corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus tejidos. Según antecedentes al primer día no hay tejidos regenerados; sin embargo al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados. Por lo tanto de acuerdo al planteamiento, determine:
a) la ecuación lineal de comportamiento
b) la cantidad de tejido regenerado, cuando han transcurrido 30 días
c) el tiempo aproximado, que ha permitido una evolución en el tejido de 100 milímetros cuadrados Sol: a) 21
2
)
(
x
x
T
b) 14.5 milímetros cuadrados de tejido c) 201 díasP46.- Dada la siguiente función real:
10
2
)
(
x
x
f
Determine:
a) Dominio de la función. Sol:
x
2
b) Ceros de la función. Sol:
x
98
c) Recorrido de la función. Sol:
y
10
d)
f
(
1
)
. Sol: -9P47.- La temperatura, que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía según la relación:
1
)
2
(
2
x
y
, donde x, representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica.a) Señale el intervalo de tiempo, en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva b) El tiempo en que la temperatura alcanza, su máxima
c) Identifique las variables planteadas en el estudio. d) Bosqueje la gráfica, asociada a la relación
Sol: a) La función es positiva en
1
,
3
b)Se produce un máximo en el vértice, es decir, en
x
2
c) Las variables son cuantitativas y continuas.P48.- Resuelva las siguientes ecuaciones:
a)
log(
2
x
1
)
log(
x
2
)
log(
x
)
log(
2
x
4
)
b)
3
9
81
2
5
xx
P49.- Los registros de salud pública indican que “
t
” semanas después del brote de cierta clase de gripe,aproximadamente -0,8 t
e
3
1
2
)
(
t
f
miles de personas han contraído la enfermedad.a) ¿ Cuántas personas tenían la enfermedad al comienzo.?
b) ¿ Cuántas habían contraído la enfermedad después de tres semanas? Sol: a) 500 personas b) 1572 personas
P50.- Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes , el número de estudiantes infectados después de
t
días, se pronostica por :t
e
t
N
0.8952999
1
3000
)
(
a) ¿Cuántos estudiantes estarán infectados después de 10 días?
b) ¿En qué período de tiempo, se estima que los infectados, lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?
Sol: a) 2160 estudiantes b) 8.17
P51.- Encuentre la solución de la ecuación, si es que existe.
4
ln
x
ln(
x
2
)
ln
x
2
ln
1
Sol: No existe solución.
P52.- Una ley de curación de las heridas es 10
n
Be
A
, siendo A ( en 2cm
) el área dañada después den
días, y B (en
cm
2) el área original dañada. Hallar el número de días necesarios para reducir la herida a su tercera parte del área dañada.Sol: aproximadamente 11 días.
P53.- La temperatura que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía según
la relación
y
(
x
2
)
2
1
, donde x, representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica.a).- Señale el intervalo de tiempo, en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva b).-El tiempo en que la temperatura alcanza su máxima
Sol: a) Se mantiene positiva entre 1 y 3 b) en x = 2.
P54.- Se ha descubierto que los niveles de contaminación en los primeros 6 meses de 2001 ha variado de
Sol: a) al tercer mes b) en el sexto mes
P55.- Las funciones de costo de una empresa para dos artículos están dadas por:
x x
x
x
x
C
3 2 2
2 3 1
2
1
16
)
(
C
2
2
)
(
Determinar el o los valores de
x
para que los costos sean iguales. Sol: x = 0.P56.- Si la función precio de un determinado producto está dada por :
y
f
(
x
)
60
3
x
donde
x
es la cantidad demandada, determine la función cuadráticag
(
x
)
y
x
que representa el ingreso total. ¿ Cuál es el ingreso máximo?Sol: 300
P57.- El departamento de salud estima que el número de personas que consumen cocaína ha ido
aumentando en una proporción lineal. El número estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000 y en 1985 fue de 1025000.
(a) Determine la función
f t
( )
n
, donden
representa el número de usuarios yt
es el tiempo medido en años (t
0
, para 1980), empleando los datos dados.(b) Interprete el significado de la pendiente
(c) Si el número de drogadictos sigue creciendo de acuerdo a esta función, ¿ cuando llegará a 1250000 ?
P58.- Una clínica ha decidido renovar sus ambulancias. En el presente año el costo de compra es de 15000 dólares. Las unidades se conservan 3 años, una vez transcurridos los cuales se espera que su valor de reventa sea 3600 dólares. Si la depreciación es lineal, determine la función que describe esta devaluación.
P59.- Una compañía vende un insumo médico a $100 por unidad. Los costos de las materias primas son de $40 por unidad, los de mano de obra son de $25 por unidad, los costos de embarque son de $10 por unidad y los costos fijos anuales ascienden a $100000.
a) Determine la función de utilidad
U
f x
( )
, dondex
denota el número de insumos vendidos. b) ¿ Cuántas unidades hay que vender a fin de obtener una utilidad anual de $150000 ?c) ¿ Es posible no obtener utilidad ?
P60.- El valor de reventa
V
de un equipo radiográfico se comporta de acuerdo a la ecuación 0.05750000
tc) ¿ Después de cuántos años el valor de reventa será de $250000 ?
P61.- La población de un país fue de 100 millones en 1970. Ha estado creciendo desde ese año en forma exponencial a una tasa constante de 4% por año.
a) Obtener la función que describe el tamaño de la población
P
, en millones, en términos del tiempo medido en años.b) ¿ Cuál es la población proyectada para el año 2005 ?
c) ¿ Cuánto tiempo se requiere para que se duplique la población ?
P62.- De un elemento radiactivo quedan
N
gramos después det
horas, dondeN
100
e
0.035t.a) ¿ Cuántos gramos están presente inicialmente ?
b) ¿ Cuántos gramos permanecen después de 10 horas ? ¿y de 50 horas?
c) ¿ Es posible estimar la cantidad de horas necesarias para que el elemento radiactivo ya no este presente ?
P63.- A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitación se caracteriza por un efecto de rendimientos decrecientes. Es decir, la recuperación de la funcionalidad suele aumentar con la duración del programa terapéutico, pero con el tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relación con los esfuerzos adicionales del programa. Para una incapacidad particular, los terapeutas han ideado una función matemática que describe el costo
C
de un programa terapéutico en funcióndel porcentaje de la funcionalidad recuperada
x
, dada por5
120
x
c
x
, dondec
se mide en miles de dólaresa) ¿ Para qué valores de
x
tiene sentido dicha función ?b) ¿ Cuál es el costo de la terapia para lograr una recuperación del 10%? c) ¿ Cuál es el costo de la terapia para lograr una recuperación total ?
(d) Graficar la función costo.
P64.- Para una relación de particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad de huéspedes (número de huéspedes por unidad de área) es
