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Introducción a los Modelos de Equilibrio General
Diógenes Cruz Figueroa García
Última revisión: 18-agosto-20131 0. Preámbulo
Los modelos económicos son herramientas simples que nos permiten, una vez que son contrastados con la realidad, generar conclusiones acerca del comportamiento de los agentes de la economía. Para esto, partimos de varios supuestos que creemos ciertos sobre el comportamiento de dichos agentes. Por ejemplo, que la utilidad de los agentes es monótona, o que las empresas presentan rendimientos a escala constantes. La resolución del modelo y su posterior contraste con la realidad nos dirá si los supuestos de los que partimos son confiables o no.
Una vez planteados todos estos supuestos, se resuelve el modelo. La conclusión a la que queremos llegar en particular, para los modelos de equilibrio general, es a una oferta, a una demanda, y a cantidades intercambiadas y los precios a los que fueron intercambiadas. Éstas demandas y ofertas se contrastan con la realidad, y dependiendo de la confiabilidad, veremos qué tan aceptable es el modelo. Si con determinada confianza, el modelo describe la realidad, lo podemos usar para el diseño de políticas públicas, pronósticos, evaluación de proyectos, etcétera.
Los modelos de equilibrio general se resuelven de manera similar a los de equilibrio parcial, pero se añaden restricciones adicionales, o se quitan algunas. Por esto es necesario recapitular brevemente los resultados del equilibrio parcial.
En el curso de Economía III se vieron formas de resolver un equilibrio parcial, tanto por el lado del consumidor, como por el lado de la empresa.
Por el lado del consumidor, teníamos un problema de la siguiente forma:
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En donde es un vector de N bienes demandados que le generan utilidad al consumidor, es el precio del bien , e es el ingreso del individuo, que bien puede ser un ingreso fijo (marshaliano), o un ingreso dependiente de la venta en el mercado de diferentes dotaciones (walrasiano), que bien pueden ser dotaciones de otros bienes que intercambia a precios del mercado, o dotaciones de trabajo y capital, que presta a cambio de un salario y un precio de renta. Notamos que el argumento de maximización es únicamente la cantidad de bienes, y no los precios, ya que los individuos toman los precios como dados.
Al final, obteníamos una demanda para cada bien que dependía de los parámetros del modelo y de los precios.
Donde es un vector de N precios, y es un vector de otros parámetros dados en el modelo, tales como el ingreso, dotaciones, e indicadores de preferencias, por parte del consumidor (aunque para efectos de este modelo, los precios, dados, eran parámetros adicionales).
Por otro lado, cada una de las N empresas que producían los diferentes N bienes que le generan utilidad a los individuos, resolvían un problema de la siguiente manera:
En donde es el precio del bien , que es el mismo tanto para oferentes como para demandantes; es la cantidad demandada por la empresa del insumo (Hay insumos que la empresa puede utilizar) En particular, habíamos visto el supuesto de dos insumos: capital y trabajo , aunque en otros modelos, los insumos pueden ser otros como capital humano , u otros bienes intermedios (la empresa podría demandar bienes de la empresa ). Además, es el precio del insumo , y es la cantidad producida de dicho bien, (notar que no tiene el supra índice D, ya que se trata de la oferta y no de la demanda), y que está determinada por una función de producción dependiente de los insumos:
Donde es el vector de insumos utilizado para la producción del bien .
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dependiente únicamente de los precios de los insumos y de la cantidad de a producir. Así, se puede rescribir el problema de la siguiente manera:
Donde es el vector de precios, dados, de los insumos. Al final del problema, tenemos una oferta del bien dependiente únicamente del precio de dicho bien, del precio de los insumos, y de los parámetros del modelo para el oferente :
Estos supuestos de Equilibrio parcial pueden ser modificados. Por ejemplo, una empresa que produzca dos bienes de manera complementaria. O la empresa que actúe como un monopolio, y toma en cuenta la demanda del agente para fijar el precio. Todo dependerá de los objetivos del investigador.
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1. Equilibrio general
En esta nota, nos dedicaremos únicamente a los modelos de equilibrio general en la que los agentes son competitivos, es decir, toman los precios como dados, no obstante que es la interacción entre los mismos agentes la que fijará estos precios. De esta manera excluiremos la presencia de agentes que actúen como monopolios, oligopolios, o monopsonios. Empero, para los siguientes modelos, trataremos de definir igualmente el equilibrio general con las distorsiones necesarias. Asimismo, tomaremos el caso de que la economía vive únicamente un período, excluyendo así decisiones intertemporales de consumo y de producción. Por último, cada empresa producirá únicamente un bien, es decir, no habrá complementos o sustitutos en la producción.
Los modelos siguientes tendrán una forma similar, y los rasgos particulares que tendrá cada uno serán especificados. Por el momento, nos dedicaremos a definir a grandes rasgos los modelos de equilibrio general e indicar cómo se resuelven. Los siguientes modelos serán modificaciones a esta generalización.
1.1. Definición del equilibrio general
Un equilibrio general para determinada economía es un conjunto de cantidades {…} y de precios {…}, tales que:
i. Cada consumidor resuelve un problema de maximización de utilidad, conocido o desconocido, tomando los precios como dados, y que dará como resultado demandas de bienes de consumo, y ofertas de insumos a la producción.
ii. Cada empresa resuelven un problema de maximización de beneficios, conocido o desconocido, tomando los precios como dados, y que dará como resultado una oferta del bien que produce, y demandas de insumos de la producción.
iii. El gobierno cumple su restricción con déficit cero. iv. Todos los mercados se vacían.
Para los modelos en este curso, el problema de los consumidores será conocido. Cada consumidor contará con una dotación de bienes (ya sean bienes de consumo, o insumos de la producción), y la resolución de su problema de maximización de utilidad sujeto a su restricción presupuestal dará como resultado funciones de demanda de bienes y funciones de oferta de insumos.
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de demanda de insumos de la producción. Modelos más generales podrán tener distintos tipos de empresas (por ejemplo: productoras de bien intermedio y productoras del bien final), pero no serán objeto de estudio en este curso.
El tercer supuesto sólo nos dice que el gasto del gobierno tiene que ser igual a la recaudación de impuestos. La intervención del gobierno será mediante impuestos y subsidios, que podrán ser de suma fija y/o mediante tasas. Estas intervenciones entrarán dentro de las restricciones de los agentes, pero no serán tomadas como variables de decisión por ellos (el impuesto o subsidio es exógeno al agente, pero afectará su restricción). Que cumpla su restricción con déficit cero significa que no se puede endeudar. Esto, principalmente, porque como la economía sólo vive un período, la deuda del gobierno tendría que ser pagada el mismo período, para lo cual sería inútil endeudarse.
El cuarto y último supuesto es esencial para definir un equilibrio general. Lo que nos dice es que el exceso de demanda de cada bien es igual a cero. En otras palabras, la oferta agregada de cada bien es igual a la demanda agregada de dicho bien. La demanda agregada de un bien no es más que la suma de las demandas de todos los agentes de la economía, por dicho bien. La oferta agregada es la suma de todas las ofertas de los agentes de la economía, por dicho bien. Éstas son las condiciones adicionales al modelo de equilibrio parcial, que nos permitirán resolver el equilibrio general: la interacción entre agentes, demandantes y oferentes.
1.2. Resolución del equilibrio general y ley de Walrás
En este apartado, aún no tenemos formas funcionales, pero podemos explicar a grandes rasgos la manera de proceder. En primer lugar, se resuelven los problemas de los consumidores y de los productores sujetos a sus restricciones que bien pueden ser alteradas por el gobierno mediante impuestos y subsidios.
Por poner un ejemplo. Un individuo puede consumir el bien . Cuenta con una dotación de unidades de trabajo que ofrece por un salario , y unidades de capital que ofrece por un precio de renta , y su empresa le reporta de beneficios. El gobierno decide poner un impuesto a la tasa sobre el ingreso del individuo por renta de capital. Asimismo, dicho impuesto se lo regresará al individuo en la forma transferencia de suma fija . Por lo cual, la restricción del individuo será:
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Notamos que, por la condición de cero déficit del gobierno, , hace que la riqueza disponible para usar en el consumo del bien sea . Es decir, una restricción como si no hubiera intervención del gobierno. No obstante, el individuo no introduce esta restricción en su problema, pues esa restricción es decisión del gobierno, y no suya, por lo cual, al momento de plantear el problema de maximización de utilidad, la restricción debe entrar con intervención del gobierno. Será en las condiciones de vaciado en donde se podrá introducir la restricción (exógena) del gobierno.
Resolvemos el problema del consumidor y del productor mediante el método de Kuhn-Tucker, y obtenemos las condiciones de primer orden. Después de obtener las condiciones de primer orden (derivar e igualar a cero determinada variable implica que dicha variable es de decisión, el impuesto y la transferencia, ni los precios, los puede decidir el individuo, por lo que no derivamos respecto a ellos). Una vez hecho esto, se introduce la restricción del gobierno en dichas condiciones (no es variable de decisión, y no derivamos respecto a ellas, pero se tiene que cumplir la restricción del gobierno al final del día). Finalmente obtenemos las demandas y ofertas de los bienes.
Sustituimos estas demandas y ofertas en las condiciones de vaciado (OA=DA). Así obtenemos tantas ecuaciones como bienes de decisión en la economía.
Suena poco ilustrativo un ejemplo sin números. No obstante, para las siguientes secciones, tendremos modelos más particulares y ejemplos definidos que nos permitirán ver esto de manera más clara.
Ahora bien, para ejemplificar, supongamos que hay tres bienes que se intercambian en la economía (bienes de consumo e insumos), por ejemplo,
. A cada uno de estos bienes, le corresponde su respectivo precio
. Entonces, por las condiciones de vaciado, tendríamos tres ecuaciones con tres incógnitas (los precios).
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nos dice que si en una economía con mercados, mercados están en equilibrio, entonces el N-ésimo mercado también estará en equilibrio.
Sin pérdida de generalidad, hagamos esto para nuestra economía de tres bienes. Por la linealidad de la restricción presupuestal del consumidor y de los beneficios de la empresa, sustituyendo todo lo necesario, tenemos. Por el lado del consumidor:
Por el lado de la empresa:
Igualando ambos términos y despejando obtenemos:
Esta última expresión nos dice que la riqueza total de toda la economía es igual al gasto total de la misma. No obstante, puede que algunos mercados presenten exceso de oferta y otros, exceso de demanda y al final se compensen.
Las condiciones de de vaciado del equilibrio general nos dicen que en todos los mercados, el exceso de demanda es igual a cero para todos los bienes de la economía. Entonces vamos a imponer la condición de que en el mercado del capital y en el mercado de trabajo (tres menos un mercados), el exceso de demanda es igual a cero, por lo cual:
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(podemos usar sólo N-1 ecuaciones de las posibles por los bienes intercambiados, y N variables dadas por los precios de cada uno de los bienes de la economía). De los conocimientos de álgebra matricial, la solución de dicho sistema de ecuaciones daría como resultado una infinidad de resultados. Esta es la razón por la cual las funciones de oferta y las funciones de demanda presentan homogeneidad grado cero en todos los precios.
Por esta razón, es necesario tomar el precio de algún bien como el numerario, y poner todos los demás precios en función del precio del bien numerario. Una vez hecho esto, resolvemos para mercados (omitimos una condición de vaciado) únicamente precios (uno ya está normalizado).
Para nuestro ejemplo, decimos que el precio del bien de consumo es el numerario, , con lo cual nos quedarían ecuaciones y variables. De aquí, que todos los demás precios estén unidades del bien de consumo. Siguiendo con el ejemplo, supongamos que al resolver el sistema de dos ecuaciones y dos variables que tenemos anteriormente, (eliminando cualquiera de las ecuaciones anteriores e imponiendo ), nos queda que el salario es igual a 5, decimos que el salario es igual a 5 unidades de consumo. Si, por otro lado, decimos que el salario es el numerario (imponemos ) y al resolver el mismo sistema de ecuaciones tenemos que el precio del bien de consumo es igual a , y
decimos que un bien de consumo vale lo que una quinta parte del salario. Lo que importa en esta economía son los precios relativos, y no absolutos.
Antes de resolver los siguientes modelos de equilibrio general, hay que notar que para que los excesos de demanda sean iguales a cero, las funciones de exceso de demanda deben de ser continuas (variaciones marginales en los precios generan variaciones marginales en las cantidades).
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2.0 Economía de intercambio puro
Describimos esta economía, como una economía en la que no hay producción (eliminamos el segundo supuesto). En lugar de esto, tendremos individuos en la economía y bienes de consumo. Cada consumidor contará con una dotación de bienes donde cada . Asimismo, cada individuo tendrá una función de utilidad dependiente de los bienes de la economía , donde es la función de utilidad del individuo
, y es el consumo final de bienes por parte del individuo.
Tomemos la idea del subastador walrasiano. Todos estos individuos acudirán a un mercado en donde un subastador gritará al público precios para cada bien de la economía. Los agentes verán cuánto están dispuestos a comprar y vender de los bienes que poseen. Una vez que cada agente le diga al subastador, dados los precios que gritó, cuánto está dispuesto a comprar o vender de cada bien, el subastador comparará las cantidades y se asegurará de que los mercados se vacíen. Que el agregado que se esté dispuesto a comprar sea igual al agregado que se esté dispuesto a vender, para cada bien. Si hay exceso de demanda o de oferta en cualquiera de los mercados, el subastador cambiará los precios, subiendo el precio de los bienes en los que haya exceso de demanda, y bajando el precio de los viene en cuyo mercado se presente un exceso de oferta. Así sucesivamente hasta que todos los mercados presenten exceso de demanda igual a cero. Una vez hecho esto, se cierra la subasta y las cantidades son intercambiadas.
Vamos a definir el equilibrio competitivo para esta economía.
2.1 Equilibrio competitivo para una economía de intercambio puro.
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A partir de aquí, los individuos pasarán a intercambiar su dotación de bienes de manera racional. Decimos que una asignación es individualmente racional si . Es decir, individualmente, los agentes racionales buscarán mejorar a partir de su situación inicial.
Definimos un equilibrio para esta economía como un conjunto de cantidades y de precios tales que:
i. Cada consumidor resuelve el problema:
Tomando los precios como dados. ii. Los mercados se vacían
Demostraremos que, por la ley de Walrás, este sistema de ecuaciones no es linealmente independiente. Empezaremos escribiendo la restricción presupuestal de cada agente:
Sumando ambas expresiones:
Despejando:
Entonces, si cualquiera de los dos mercados está en equilibrio, por las restricciones presupuestales, el otro también lo estará. De aquí que podamos normalizar el precio del bien , .
Entonces, para resolver el equilibrio competitivo, resolvemos el problema de cada consumidor para encontrar las funciones de demanda de cada individuo dependientes únicamente del precio del bien , : .
Una vez hecho esto, pasamos a las condiciones de vaciado:
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. Estas cantidades junto con los precios caracterizan el equilibrio competitivo.
Pasemos a un ejemplo numérico, para después dar las herramientas gráficas para el modelo.
Las funciones de utilidad de los agentes están dadas de la siguiente manera:
Resolviendo el problema de maximización de utilidad de cada consumidor, teniendo en cuenta que ya normalizamos el precio del bien , obtenemos:
Utilizando la condición de vaciado del bien X:
De aquí podemos despejar el precio del bien , :
Una vez que obtenemos el precio, podemos sustituirlo en las respectivas demandas para obtener las cantidades y los precios en función de los parámetros del modelo.
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también se cumple. Sólo por no dejar, tomemos la condición de vaciado de .
Para un equilibrio con N bienes y M consumidores, definimos el equilibrio competitivo para esta economía como un conjunto de cantidades, ,
, ( bienes para los individuos) y de precios
(tomaremos el precio del bien como el numerario,), tales que:
i. Cada consumidor resuelve el problema:
ii. Los mercados se vacían
Por la Ley de Walrás, omitimos de una vez el N-ésimo mercado de las condiciones de vaciado.
La resolución del problema es similar. Obtenemos la demanda de cada uno de los agentes por cada uno de los bienes, y utilizando las condiciones de vaciado, con un sistema de ecuaciones y variables (los precios sin el numerario), obtenemos los precios de equilibrio. Los sustituimos en las demandas de bienes, y obtenemos el equilibrio competitivo de la economía.
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2.2. La Caja de Edgeworth
La herramienta gráfica que utilizaremos para nuestro modelo de dos consumidores con dos bienes de intercambio será la caja de Edgeworth. En general, tenemos la representación de las curvas de indiferencia de determinado individuo, representadas en un plano cartesiano con los ejes y , como se muestra en la gráfica de al lado.
Ahora vamos a suponer que tenemos dos individuos: A y B. La economía tiene una dotación positiva total de bienes , y cada individuo tiene una partición positiva de dicha dotación de bienes , con , tales que la suma de las dotaciones de cada individuo de determinado bien representa la dotación de la economía de dicho bien:
De esta manera, la caja de Edgeworth es un rectángulo con base y con altura en donde todas las posibles asignaciones sin desperdicio de dos bienes de la economía entre los dos agentes están incluidas.
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De igual manera, podemos representar gráficamente las preferencias de los agentes y su interacción. Antes de pasar a la siguiente gráfica, recordemos que la Tasa Marginal de Sustitución no es más que la razón a la que los individuos están dispuestos a cambiar unidades del bien por una unidad del bien , y es igual al negativo de la pendiente de la recta tangente a la curva de indiferencia.
Pasemos a la siguiente gráfica, en la que analizamos la situación de los agentes al consumir su dotación inicial, dada por el punto .
De esta gráfica, notamos que cuando cada individuo consume su dotación,
puesto que la pendiente está más empinada. Esto significa que:
Es decir, cuando los individuos consumen su dotación, el individuo está dispuesto a sacrificar más unidades del bien por unidades del bien que lo que el individuo está dispuesto a aceptar de a cambio de una unidad de . Por lo
Gráfica 2
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que es de esperar, que al momento de intercambiar, el individuo venda esas unidades de y compre X. Lo contrario aplica para el individuo .
Pasemos ahora a ver el gráficamente la dinámica de transición al equilibrio competitivo.
Supongamos que la dotación inicial de bienes de la economía está dada por el punto . En este punto,la utilidad que recibe el individuo A (la utilidad de consumir su dotación) es , mientras que la utilidad que recibe el individuo B es . No obstante, vemos que a partir de este punto es posible que ambos individuos mejoren su situación, logrando simultaneamente curvas de diferencia más alejadas de los respectivos orígenes. A través del intercambio, ambos individuos logran un equilibrio en el punto .
El punto es el punto de equilibrio al que llegamos mediante la resolución del equilibrio competitivo planteado en la sección 2.1. Hay que notar ciertas particularidades.
De las condiciones de primer orden para cada individuo, tenemos que:
Gráfica 3
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Es decir, la Tasa marginal de sustitución de cada individuo evaluada en el punto óptimo es igual a los precios relativos. Es por esto, que las curvas de indiferencia en el punto óptimo (en el equilibrio competitivo) son tangentes e iguales a los precios relativos . Otra forma de verlo es resolver el problema de
maximizar la utilidad de un agente sujeto a la condición de que el otro agente obtenga un nivel de utilidad más las condiciones de vaciado de mercado. Integramos las condiciones de vaciado y nos queda:
Resolviendo el Lagrangiano del problema tenemos:
Lamentablemente, utilizar este método sólo nos dice que las tasas marginales de sustitución se igualan en el óptimo, mas no cuál es el óptimo. Pero podemos obtener una interpretación económica. Los agentes intercambiarán sus productos a través de un sistema de precios relativos que será fijado por la utilidad marginal (tasa marginal de sustitución) en aquel punto en el que ninguno de los individuos esté dispuesto a seguir intercambiando.
En la gráfica, las pendientes son iguales a la pendiente de la recta Notamos adicionalmente que la recta es la restricción presupuestal de cada individuo. Esta recta tiene como pendiente el negativo de los precios relativos (lo notamos porque la tangencia entre las curvas de indiferencia). Adicionalmente, esta recta pasa por el punto de equilibrio (la restricción presupuestal se cumple con igualdad para cada individuo), y por el punto de la dotación (los individuos siempre deben de ser capaces de consumir su propia dotación).
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En este ejemplo, bajamos el precio de , haciendo la pendiente de más empinada. Esto ocasiona que la restricción presupuestal de ambos agentes se vea modificada, y bajo la cual, ambos agentes aumentarán sus cantidades demandas de (baja el precio, sube la cantidad demandada) y disminuirán las de , ocasionando un exceso de demanda en el mercado de (notemos como la suma de las demandas excede la oferta fija de la economía) y un exceso de oferta en (hay cantidades de las que nadie se quiere apropiar, representadas como un hueco).
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2.3 Óptimo de Pareto y la Curva de contrato
Ahora bien, regresemos a la gráfica 3 en donde hay un punto de equilibrio en el que se vacían ambos mercados. A partir del punto , notamos que no es posible mejorar la situación de ningún agente sin empeorar la del otro. Es decir, un individuo no puede consumir más bienes para alejarse del origen y aumentar su nivel de utilidad, sin que esto signifique para el otro individuo acercarse más al origen y disminuir su nivel de utilidad. En este sentido, decimos que el punto es un Óptimo de Pareto.
Un Óptimo de Paerto (una asignación eficiente en sentido Pareto) es una asignación de recursos , si NO existe otra asignación diferente tal que:
I. Para toda
II. Para al menos una .
De esta manera, para nuestro ejemplo, el movimiento del punto al punto es una mejora en sentido Pareto.
En una economía de este tipo puede no existir un solo óptimo de Pareto, sino que pueden existir desde uno solo hasta una infinidad de ellos. Solo basta encontrar aquellos puntos en los cuales no se puede mejorar la situación de ninguno de los agentes sin empeorar la del otro. Gráficamente:
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En esta caja de Edgeworth, vemos tres puntos (tangencias entre curvas de indiferencia de cada individuo) en los que, una vez estando ahí, no es posible mejorar la situación de nungún agente sin empeorar la del otro. No obstante, a lo largo de toda la curva que va desde el origen de A hasta el origen de B existen más intersecciones como las tres mostradas, en donde también estamos frente a un óptimo de Pareto. A esta curva la conocemos como conjunto de Pareto.
Por otro lado, conocemos como Curva de Contrato a todas aquellas asignaciones que son óptimo de pareto e individualmente racionales. Gráficamente, es el segmento de la curva del conjunto de Pareto que está entre las curvas de indiferencia que pasan por la dotación inicial:
La curva gruesa entre las curvas de indiferencia y es la curva de contrato. El punto de equilibrio del
mercado está
necesariamente sobre la curva de contrato.
Para obtener el conjunto de Pareto, basta con resolver el siguiente problema:
Gráfica 5
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La primera restricción, que tiene integrada las condiciones de vaciado, nos da la condición de que el individuo no pueda estar mejor dado que el individuo tiene determinado nivel de utilidad. Por incluir las condiciones de vaciado en la utilidad del individuo para ponerlo en términos del consumo de , una vez que ha escogido su mejor canasta, mejorar la situación de implicaría retirarle recursos a , disminuyendo su nivel de utilidad (por monotonía de la función de utilidad). De aquí, derivamos que ninguno de los dos pueda estar mejor sin empeorar la situación del otro (óptimo de Pareto).
Las siguientes dos restricciones son las de factibilidad, y nos dicen que el consumo de no puede ser negativo, ni mayor a la dotación de la economía (por conclusión, de las condiciones de vaciado, el consumo de será igualmente no negativo y no mayor a la dotación de la economía). Para los casos de que estas restricciones se cumplan con igualdad, obtendremos los óptimos de Pareto ubicados en las esquinas de la caja de Edgeworth (soluciones esquina).
Por último, notamos que en el ejemplo anterior hay puntos que son óptimos en sentido Pareto en los que cualquiera de los dos agentes consumen cantidades muy pequeñas de los bienes. Es decir, el óptimo de Pareto está en una curva de indiferencia muy cercana al origen para cualquiera de los agentes. Esto nos da la idea de que un óptimo de Pareto puede no ser “socialmente justo” o deseable, aunque sea eficiente. No obstante, se pueden alcanzar distintos óptimos de pareto mediante la intervención del gobierno como lo veremos en una de las conclusiones de la sección siguiente.
2.4 Teoremas Fundamentales de la Economía del Bienestar
El Primer Teorema Fundamental del Bienestar indica que bajo los siguientes supuestos2:
Existencia de mercados completos: siempre que haya una persona que esté dispuesta a comprar determinado bien a determinado precio, y y una persona que esté dispuesta a vender ese mismo bien a dicho precio, habrá intercambio (casos en que hay mercados incompletos es cuando los costos de transacción impiden el intercambio).
Información Completa: los agentes de la economía la situación de los demás agentes de la economía hasta el presente, tanto sus estrategias como sus funciones de pago.
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Los agentes son precio aceptantes: los agentes actúan de manera competitiva y toman los precios como dados exógenamente.
Primer teorema Fundamental del Bienestar: Si determinada asignación es parte de un equilibrio competitivo, entonces, dicha asignación es también un óptimo de Pareto. Demostraremos este teorema, para este caso en particular, por contradicción.
Sea las cantidades de un equilibrio competitivo que NO es óptimo de pareto. Si no es óptimo de Pareto, entonces existe otra asignación
que mejora estrictamente a un individuo sin empeorar al otro:
Como son parte de un equilibrio competitivo, eso significa que son el argumento que maximiza la utilidad de los agentes sujetos a su restricción presupuestal que se cumple con igualdad (no saciedad a nivel local).
Si no escogieron la asignación , se debe a que
Sumando las expresiones y por propiedades de las desigualdadades:
Es decir, que el conjunto excede al valor de las dotaciones de la economía. En otras palabras, dicha asignación no es factible, por lo que la asignación , cantidades del equilibrio competitivo, son a la vez óptimo de Pareto.
Sin más que añadir, pasaremos al segundo teorema del bienestar.
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Las preferencias de los consumidores y los sets de producción son convenxos: Las funciones de utilidad son cuasicóncavas, y no existen rendimientos a escala crecientes en la producción.
Existe información perfecta: Los agentes conocen el pasado y el devenir de las interacciones
Es posible realizar impuestos y transferencias de suma fija sin incurrir en costos.
Si una asignación es óptimo de Pareto (recordemos que hay casos en que hay una infinidad de óptimos de Pareto, pero no necesariamente parte de un equilibrio competitivo), entonces existen trasferencias fijas de algún recurso (unidades del bien o del bien ) entre agentes (la suma neta de dichas transferencias debe ser igual acero) tales que sea la asignación resultado de resolver el equilibrio competitivo. Para ejemplificar. Digamos que en una economía cuenta con una dotación agregada de recursos . Estos recursos están inicialmente repartidos de la siguiente forma:
La utilidad de ambos agentes es de la forma:
Al resolver el equilibrio competitivo sin gobierno (sección 2.1), el individuo , que es rico, consume , por lo que el individuo , pobre, consume
. A la sociedad le parece que este es un equilibrio indeseable, y descubre que la asignación también es un óptimo de Pareto (las tasas marginales de sustitución son iguales en ese punto y no existen incentivos al intercambio) que es “más justa” a la asignación de equilibrio, y por lo tanto, socialmente deseable.
En principio, el gobierno podría transferir tres unidades del bien y una unidad del bien del individuo al individuo , y lograr la asignación deseada sin que los individuos intercambien sus bienes después de la transferencia. Pero supongamos que por razones políticas, el gobierno no puede tocar el bien (por ejemplo, se trata de tierra, y la Constitución prohíbe la expropiación de la tierra), por lo que sólo puede operar mediante transferencias del bien , llamémosla, (digamos, automóviles, la Constitución permite la expropiación de automóviles, para repartirlos a otros agentes). Sea el bien numerario ( y ).
Entonces, el individuo resuelve:
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Sólo podrá vender unidades de al precio , pues de sus unidades de dotación inicial, son transferidas al individuo .
Por su parte, el individuo resuelve:
Podrá vender unidades de al precio , pues adicional a sus unidades de dotación, le son transferidas unidades del individuo
Notamos que lo que le quita a lo da directamente a , y la suma neta de las transferencias es igual a cero (todo lo que quita como impuesto de suma fija, lo da al otro agente como una transferencia de suma fija). Obtenemos las demandas de ambos individuos, se impone la condición de que dichas demandas sean iguales a la asignación : Nos quedarán cuatro ecuaciones (cuatro demandas, de las cuales sólo podremos usar dos) con dos incógnitas: el precio del bien , , y la transferencia de recursos . Ponemos sólo las del bien .
Se resuelve el sistema y se encuentra la transferencia óptima para alcanzar la asignación socialmente deseable, y el precio de equilibrio en dicha asignación. En este ejemplo:
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¿Para qué sirven los Teoremas del Bienestar? El Primer Teorema parace decirnos que no es necesaria la intervención del gobierno, pues el equilibrio competitivo nos da una asignación eficiente (en sentido Pareto) de recursos. No obstante, los supuestos bajo los que se da este Óptimo de Pareto son bastante estrictos, por lo que no podemos decir (y de hecho se ve en la realidad) que los mercados se comporten de manera competitiva sin la intervención del gobierno. Entonces entra el segundo teorema del Bienestar que nos dice que la intervención del gobierno es posible para encontrar un óptimo de pareto deseable, mediante transferencias de suma fija, y dejando el resto al mercado (equilibrio competitivo). No obstante, los supuestos bajo los que opera el segundo teorema del bienestar son todavía más estrictos que los del primer teorema del bienestar, por lo que no podemos asegurar que la reasignación que realice el gobierno será eficiente en sentido Pareto.
En resumen, el Primer Teorema del Bienestar parece decirnos que el equilibrio competitivo es eficiente en sentido Pareto, pero en realidad nos dice que es muy difícil (técnicamente imposible) que lo sea. El Segundo Teorema del Bienestar parece decirnos que el gobierno puede intervenir de manera eficiente en los mercados, pero en realidad nos dice que es muy difícil (técnicamente imposible) que lo pueda hacer.
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3.0 Equilibrio general con producción
A diferencia del modelo anterior, en esta economía nos encontraremos con dos diferencias fundamentales. La primera es que, como su nombre lo indica, los agentes podrán producir los bienes de consumo, por lo que sus dotaciones no estarán dadas como bienes de consumo, sino como insumos a la producción. En segundo lugar, nos vamos a centrar únicamente en el caso de un consumidor representativo (en lugar de dos individuos que intercambian entre ellos) que es dueño de las empresas, y puede producir con éstas. Por último supondremos que en la producción no hay presencia de rendimientos a escala crecientes. Explicaremos más adelante el porqué.
Al igual que en la sección anterior, empezaremos definiendo el equilibrio competitivo. Después, daremos las herramientas gráficas y finalizaremos con el Teorema Fundamental del Bienestar. Empezaremos con una economía con un agente representativo que puede consumir dos bienes, utilizando un solo factor de producción. En segundo lugar, veremos un modelo similar al anterior, pero añadiremos un segundo factor de producción. Por último, veremos el caso de una economía con oferta laboral endógena, es decir, un modelo en que el individuo tiene preferencias por el ocio y el consumo, en el cual, para consumir más, es necesario sacrificar ocio para dotar de trabajo a la producción.
3.1 Una economía con un agente representativo, dos bienes de consumo y un factor de producción
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Cada empresa obtendrá beneficios con . Como el individuo es dueño de las empresas, será éste el que perciba los beneficios de las mismas. Entonces, el consumo del individuo estará financiado por sus ingresos laborales y por sus ingresos por beneficios de sus empresas. Por la ley de Walrás, normalizaremos más adelante el precio del trabajo ( . Por último, nuestra economía vive sólo un período, por lo que resolvemos un problema estático. Pasamos a definir el equilibrio competitivo para esta economía.
Un equilibrio competitivo para esta economía es un conjunto de cantidades
y de precios tales que:
i. El consumidor representativo resuelve el problema
Tomando los precios como dados.
ii. Cada empresa productora de resuelve
Tomando los precios como dados. iii. Los mercados se vacían:
Por ley de Walrás, sólo podemos usar dos de estas condiciones de vaciado.
La manera de resolver el eqilibrio competitivo es sencilla. Empecemos con el problema del productor. De las condiciones de primer orden:
Por la ley de Walrás, normalizamos el salario, , despejamos y la expresamos en términos del precio del bien .
Sustituímos esta expresión en la función de producción del bien para obtener la producción del bien en términos de su precio (la función de oferta). Lo hacemos para cada bien y obtenemos:
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Asimismo, sustituímos la expresión en la función de beneficios de la empresa para obtener una función de beneficios dependiente únicamente de los precios.
Pasamos después al problema del consumidor. Como el consumidor elige cantidades, y no precios, es irrelevante si sustituímos los beneficios de la empresa antes o después. No obstante, los vamos a sustituir después para hacer énfasis en que el consumidor toma los beneficios de la empresa como dados, y piensa que no los puede alterar. Entonces, al resolver el problema del consumidor, obtendremos una demanda para cada bien dependiente de los precios y de los beneficios:
Sustituimos los beneficios de las empresas obtenidos anteriormente, y conseguimos funciones de demanda dependientes únicamente de los precios:
Utilizamos dos de las tres condiciones de vaciado. En este caso, utilizaremos las condiciones de vaciado de los bienes de consumo:
Una vez hecho esto, tenemos dos ecuaciones con dos variables. Resolviendo el sistema, obtenemos los precios de equilibrio . Sustituimos en las funciones de demanda para obtener las cantidades de equilibrio:
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El álgebra en estos casos resulta, con frecuencia, tediosa. No obstante, esta economía presenta los supuestos de los Teoremas Fundamentales del Bienestar (añadimos que la función de utilidad es estrictamente convexa, para facilitar el álgebra). En este caso, es posible encontrar el equilibrio competitivo a partir del único óptimo de Pareto que hay (como hay un solo individuo con preferencias estríctamente convexas) a partir del problema del Planificador Social.
El problema del planificador social es un supuesto en que un planificador omnisciente puede asignar todos los recursos de la manera más eficiente para maximizar la utilidad del agente representativo, sin pasar por el sistema de precios. En presencia de los supuestos del Teorema fundamental del bienestar (ausencia de externalidades, impuestos o subsidios distorcionantes, información perfecta y mercados completos), como es nuestro modelo, el óptimo de Pareto que logremos a partir del problema del Planificador Social coincidirá con el equilibrio competitivo de la economía. Lo único que hay que hacer es maximizar la utilidad del agente, sujeto a la restricción de factibilidad. Para esto, es necesario introducir la frontera de posibilidades de producción, que nos dirá cuál es exactamente la restricción de factibilidad.
La frontera de posibilidades de producción son todos aquellos puntos, que graficamos en un plano cartesiano para el caso de dos bienes, tales que no es posible aumentar la producción de alguno de los bienes sin disminuir la producción de otro. Para una economía con un solo insumo, el trabajo, la frontera de posibilidades de producción se obtiene a partir de las condiciones de vaciado del mercado laboral y de las funciones de producción que dependen de ese único insumo.
Tenemos que , por lo que . De igual manera, para ,
. Por la condición de vaciado: , nuestra frontera de
posibilidades de producción es:
Para poner un ejemplo, supongamos que la empresa X y la empresa Y producen con una tecnología de la siguiente manera:
Despejando y , tenemos que:
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Sustituyendo en la condición de vaciado:
Despejando para :
Gráficamente:
Todos los puntos al interior de la frontera son factibles, pero sólo aquellos sobre la frontera son eficientes. Es de esperar, entonces, que el óptimo de Pareto (equilibrio competitivo) esté sobre la frontera de posibilidades de producción. Antes de pasar a esto, vamos a analizar la frontera un poco más a fondo.
Introducimos un concepto que llamamos Tasa Marginal de Transformación ( ). Esta tasa la definimos como la cantidad de unidades que tenemos que sacrificar de para producir una unidad adicional del bien , es decir, el costo de oportunidad en el que incurrimos al producir una unidad del bien , expresado en unidades del bien . Esta Tasa Marginal de Transformación se puede ver, entonces, como la pendiente de la FPP.
Donde el supra índice es para definir la Tasa de cambio de la producción.
En primer lugar, notamos que la curva es cóncava al origen. Notamos igualmente que, partiendo de , entre más queremos producir de , cada vez hay que sacrificar más unidades de . La es creciente, lo que quiere decir es que el costo de oportunidad es creciente. Esto se debe a los rendimientos decrecientes del trabajo en las respectivas funciones de producción. Esto ocasiona una productividad marginal decreciente tal que para producir unidades adicionales de un bien, necesito cada vez mayor cantidad de trabajadores. Como la economía tiene una dotación fija de trabajo, añadir esta cada vez mayor cantidad de trabajadores a la producción de un bien, implica extraer una cantidad cada vez mayor de trabajadores del otro sector, haciendo que su producción caiga cada vez más (la productividad marginal va aumentando cuando disminuyo trabajadores, por lo cual, cuando el otro sector ya tiene pocos trabajadores, extraerle un trabajador adicional implica disminuir su producción cada vez más).
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Ahora bien, recordamos qué es la Tasa Marginal de Sustitución de un individuo.
Donde el supra índice es para definir la Tasa de cambio del consumidor.
Como ya habíamos visto tanto en equilibrio parcial como en el modelo de intercambio puro de equilibrio general, cuando las tasas son iguales, no existen incentivos al intercambio. Graficamos en un plano cartesiano las curvas de indiferencia y la frontera de posibilidades de producción:
En la gráfica anterior podemos observar más
claramente que una vez que se igualan , el individuo no puede estar mejor, ya que cualquier otro punto factible (sobre la FPP), le resulta en una curva de indiferencia más cercana al origen. Igualmente, podemos deducir intuitivamente que en el óptimo:
Antes de pasar al problema del planificador central, aclararemos el problema de los rendimientos a a escala. Los rendimientos a escala crecientes generan costos marginales decrecientes, imposibilitando la conducta competitiva de las empresas, e impide que la eficiencia se logre vía un equilibrio competitivo. Esto ocasiona que no se cumplan los supuestos para los teoremas fundamentales del bienestar.
El planificador social resuelve maximizar la utilidad sujeto a la restricción de factibilidad (FPP).
A partir de este problema, obtenemos inmediatamente y . Sustituyendo en y obtenemos y . Notamos que ya tenemos el conjunto de cantidades que queríamos al plantear el equilibrio competitivo. Recordemos que el planificador social no pasa por el sistema de precios. No obstante, es posible extrare los precios de equilibrio.
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Del problema de las empresas:
Normalizando el salario
Antes de pasar al modelo de dos factores de producción, podemos introducir un último método de resolver el equilibrio competitivo a través del problema del planificador central. Como sabemos, el planificador central es omnisciente y sabe que el consumo de cada bien es igual a la producción. Entonces, sin pasar por el sistema de precios, se puede resolver también el problema:
Planteamos el lagrangiano, y de las condiciones de primer orden obtenemos:
Sustituyendo y despejando obtenemos:
Notamos que la tasa marginal de sustitución es el cambio en unidades del bien ante cambios en el bien para mantener la utilidad constante del individio:
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Analicemos la expresión de la derecha:
Por las condiciones de vaciado,
Al alterar estoy alterando la producción de de manera directa. Pero por las condiciones de vaciado, esta alteración de modifica , alterando indirectamente la producción de . Esta alteración en ambas cantidades mediante el cambio en nos da, a final de cuentas, el cambio en ante cambios en en el sector de producción, es decir, la tasa marginal de transformación.
Pasemos ahora al caso en que hay dos factores de producción.
3.2 Una economía con un agente representativo, dos bienes de consumo y dos factores de producción.
Este caso es muy similar al anterior. Incluso en el sentido de que podemos resolver el equilibrio general a partir del problema del planificador social utilizando los teoremas fundamentales del bienestar.
Sumponemos una economía en la que existen dos empresas, propiedad del consumidor representativo. Cada empresa produce con una tecnología , y vende su producto a un precio que es igual tanto para oferentes como para el demandante. Cada empresa buscará maximizar sus beneficios
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dotación de capital que renta a las empresas a un precio (con ), y de los beneficios de las empresas de las que es dueño, . Aquellos dos factores son perfectamente movibles entre el sector y el sector , por lo que el salario y el precio de renta que paguen ambas empresas tendrán que ser iguales en el punto de equilibrio.
Los agentes de nuestra economía actuarán de manera competitiva, es decir, tomarán los precios como dados. Esta economía vivirá solamente un período, por lo que excluímos decisiones intertemporales de consumo o de inversión. Normalizaremos más adelante el salario .
Definimos un equilibrio competitivo para esta economía como un conjunto de cantidades y un conjunto de precios tales que:
i. El consumidor representativo resuelve el problema
Tomando los precios como dados.
ii. Cada empresa resuelve su problema
Tomando los precios como dados. iii. Los Mercados se vacían
Resolver el equilibrio competitivo no es complicado, y es muy similar al caso de un factor de producción. En primer lugar, obtenemos las demandas de insumos de las empresas, dependiente de los precios, la función de oferta de los bienes de consumos, dependientes de los precios, y la función de beneficios de la empresa dependiente de los precios (como en el problema del productor visto en el curso de Economía III). Se introducen los beneficios de la empresa en la restricción del individuo y se derivan sus funciones de demanda por los dos bienes, en función de los precios. Se aplican las condiciones de vaciado del mercado, excluyendo una, y se normaliza algún precio (en general, el salario). No obstante, existe otra manera.
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el equilibrio competitivo a partir del problema del planificador social, es decir, maximizar la utilidad del agente representativo sujeto a la restricción de factibilidad (la frontera de posibilidades de producción). Para esto, hay que poder derivar la FPP. Pero antes de hacer eso, notemos que la dotación de recursos de la economía, trabajo y capital, pueden ponerse dentro de una caja de Edgeworth en donde se represente cuánto de cada bien posee cada empresa de los recursos para la producción, y donde se vean las isocuantas:
En esta caja de Edgeworth graficamos la dotación total de insumos a la producción y donde están contenindas todas las posibles asignaciones sin desperdicio entre ambas empresas. La curva que va desde el origen de hasta el origen de es la curva en la que los precios relativos de los insumos , se
igualan (que será igual a la tasa marginal de sustitución técnica de ambas empresas, representada por la pendiente de la recta). Notamos que en ninguno de esos puntos es posible aumentar la producción de un bien sin disminuir la producción del otro, por lo que las combinaciones que nos den las isocuantas sobre esta curva que va de origen a origen se verán reflejadas como la FPP. Por la misma razón, podemos decir que todos estos puntos son eficientes en sentido Pareto en la producción. No obstante, estos puntos no son necesariamente óptimos de Pareto del equilibrio competitivo, pues que la producción sea eficiente no significa que sea óptima para el consumidor (no todo punto sobre la FPP le genera la misma utilidad al consumidor representativo). Por esto, llamaremos a esta curva (que se reflejará como la FPP), curva de eficiencia.
Antes de seguir analizando esta gráfica hay que definir el concepto de intensidad en un factor. Decimos que la empresa es intensiva en capital cuando en los puntos óptimos (la curva que va de origen a origen) se cumple:
Por el otro lado, decimos que en este caso, la empresa es intensiva en trabajo.
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Notemos que la intensidad es un concepto relativo a la otra empresa, y no un término absoluto. Por poner un ejemplo, supongamos que la tecnología es la siguiente para ambas empresas:
Si es claro que la empresa le da más importancia al trabajo que la empresa , por lo que la empresa será intensiva en trabajo, y la empresa Y es intensiva en capital. Para verlo gráficamente, notamos que es la pendiente de la
recta que parte del origen de a cualquier punto sobre la curva de eficiencia, mientras que es la pendiente de la
recta que parte del origen de al mismo punto de la recta.
Aquí notamos que para cualquier punto sobre la curva de eficiencia se cumple:
Esto es, es intensiva en trabajo, mientras que es intensiva en capital.
Una versión alternativa a la gráfica 10 se encuentra en la gráfica 11. Aquí graficamos el trabajo en el eje de las absisas, y el capital en el eje de las ordenadas. Graficamos las isocuantas para y para . La recta tiene como pendiente los precios relativos entre trabajo y capital (iguales para ambas empresas, pues son competitivas, e Gráfica 11
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iguales a las en el óptimo). Como notamos, la recta que parte del origen y va al punto de tangencia de cada isocuanta es igual a la razón capital-trabajo para el bien producido. La empresa es intensiva en capital, por lo que sus isocuantas estarán cargadas hacia el eje de las ordendadas. Por su parte, el bien X es intensivo en trabajo, por lo que sus isocuantas estarán cargadas al eje de las absisas. Aquí notamos también que
Nota: la recta es una recta de isocosto. Los puntos sobre la curva de eficiencia de la gráfica 10 no implica que las isocuantas estén sobre misma curva de isocosto, como ejemplificamos en la gráfica 11, sino que basta con que tengan la misma pendiente.
Ahora bien, regressemos a la gráfica 10, y partamos del punto en el que ningún insumo de la producción es dedicado a la producción del bien (estamos situados en el origen de ). Entonces, decidimos empezar a producir X de manera eficiente. Notamos que empieza a avanzar más rápido que . Intuitivamente, esto se debe a que, al ser intensivo en trabajo, buscará al principio más trabajo que capital. Y como es intensivo en capital, estará dispuesta a sacrificar más fácilmente esas unidades de trabajo. No obstante, conforme vamos avanzando, por las condiciones de escacez de la economía y por la interacción de precios, una vez que estamos produciendo cantidades grandes de , el precio del trabajo sube, por lo que, para producir más unidades de este bien de manera eficiente (minimizando costos), la empresa empieza a demandar más fuertemente capital, y se extraen más rápidamente recursos de capital de la empresa . Es decir, empieza a avanzar más rápido que . Pero como la empresa es intensiva en trabajo y se abastece más rápidamente de capital, y la empresa es intensiva en capital, y se le extraen más rápidamente estos recursos, produzco cada vez menores cantidades de y sacrifico cada vez mayores cantidades de . Entonces, cada vez el costo de oportunidad de producir se vuelve más grande. Entonces, la gráfica de la FPP debe de ser cóncava al origen, y se vería de una manera similar a la gráfica 7. No obstante, la manera de derivar la función de la FPP es más difícil, pues al haber dos insumos en la producción, no sólo es necesario que ambos mercados de insumos se vacíen (las empresas ocupen cualquier punto de la caja de Edgeworth), sino que se vacíen de manera eficiente (que lo hagan sobre la curva de eficiencia).
Vamos a suponer de inicio que no existe solución esquina, por lo que la cantidad de ambos insumos utilizados para cada una de las dos empresasa es estrictamente positiva.
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Nuestro problema consiste en maximizar la producción de sujetos a que la empresa está produciendo ya una cantidad determinadad del bien minimizando sus costos:
Escribimos el lagrangiano del problema:
Antes de seguir, notamos que, por el teorema de la envolvente,
Es decir, el costo de oportunidad (en unidades del bien ) de producir una unidad adicional de , e igual a la . Sigamos con el lagrangiano, y extraigamos las Condiciones de primer orden (excluyendo la existencia de soluciones esquinas para simplicidad del problema).
Despejando ambas expresiones y dividiéndolas:
Es decir:
Despejamos y la dejamos expresada como función de (aunque dependerá también de las dotaciones de insumos, para no complicar la notación, las omitiremos).
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Esta función de producción de depende ahora úniccamente de (y de las dotaciones de insumos). Despejamos y la dejamos expresada como una función de :
Una vez hecho esto, la sustituímos en para obtener el capital destinado al bien como función de :
Una vez expresados ambos insumos únicamente como función de (Y de las dotaciones que son conocidas), los sustituímos en la función de producción del bien utilizando las condiciones de vaciado:
Como las dotaciones son conocidas, la única variable de la que depende va a ser , y ya obtenemos nuestra FPP:
como función de X (y las dotaciones de insumos conocidas), y ahora podemos grafiar nuestra FPP, y más importante, plantear el problema del planificador central.
Antes de hacer esto, pasemos a un ejemplo numérico. Para no complicar el álgebra, la producción de ambos bienes tendrá la misma tecnología:
Suponemos, también por simplicidad algebráica, que y , y planteamos directamente el lagrangiano del problema:
Obtenemos las condiciones de primer orden, y la igualación de Tasas Marginales de Sustitución Técnica, y obtenemos que:
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Despejamos para expresarlo en términos de y obtenemos que:
Sustituímos en la función de producción de para obtener:
Entonces:
Sustituyendo en la función de producción de tomando en cuenta las condiciones de vaciado:
A diferencia del ejemplo gráfico, esta restricción tiene un costo de
oportunidad constante en lugar de uno creciente, generando que la FPP
sea una recta en lugar de una curva cóncava al origen. Esto se debe a la simplicidad del los supuestos, es decir, que la tecnología sea la misma y que las cantidades de insumos sean iguales.
Una vez hecho esto, pasamos al problema del planificador central para resolver el equilibrio competitivo. El planificador central resuelve:
Del problema obtenemos directamente y . Para las demás cantidades, sustituímos:
Ahora ya contamos con todas las cantidades del equilbrio competitivo, y falta derivar los precios del equilibrio. Esto lo hacemos mediante el problema de las empresas:
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Normalizamos el salario , y despejamos para obtener:
Sólo nos queda obtener el precio de renta del capital:
Al igual que en el modelo de producción con un factor, el planificador omnisciente puede resolver:
Se deja al lector un caso sencillo para resolver:
En una economía hay dos empresas que producen con las siguiente tecnología:
La dotación de insumos está dada por , (hasta aquí se parece al ejemplo que hicimos para sacar una FPP).
La función de utilidad del consumidor está dada por :
Este ejemplo es fácil de resolver tanto por medio del equilibrio competitivo (derivar demandas y ofertas e igualarlas) como por el del planificador central (maximizar utilidad sujetos a FPP). Nota: recordar que por el Teorema de Euler sobre funciones homogéneas, rendimientos a escala constantes implica ganancias cero.
3.3 Una economía con oferta laboral endógena
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ocupa en trabajar, sino que lo puede usar para estar de ocioso, de tal suerte que
. Por otro lado, la empresa del consumidor produce el bien de consumo con una tecnología , y que vende al precio . Los costos están únicamente dados por el trabajo: .
Definimos un equilibrio para esta economía como un conjunto de cantidades y de precios }, tales que:
i. El consumidor representativo resuelve:
Tomando los precios como dados.
Recapitulamos algo visto en el modelo de ocio consumo en Equilibrio Parcial. En la restricción presupuestal, del lado izquierdo está el valor del consumo del individuo. Del lado derecho, su riqueza total, que depende no únicamente de sus ganancias, sino del valor de todo su tiempo (no sólo del que trabaja).
ii. La empresa representativa resuelve:
Tomando los precios como dados. iii. Los mercados se vacían:
Para resolver el equilibrio competitivo, procederemos de la siguiente forma. Por la Ley de Walrás, normalizamos el precio del bien de consumo, . Resolvemos el problema de la empresa, y obtentemos:
Despejamos el trabajo, y obtenemos una función de demanda de trabajo en función del salario:
Sustituímos este trabajo en la función de producción, y obtenemos:
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Una vez que tenemos los beneficios de la empresa en función del salario, lo introducimos en la restricción presupuestal del agente representativo, y resolvemos:
Al final, obtenemos demandas de ocio y de consumo que dependerán del único precio que queda en el mercado, :
De tal suerte que la oferta de trabajo del individuo es:
Sólo nos quedan dos condiciones de vaciado, de las cuales sólo podemos usar una.
Utilizamos cualquiera de aquellas para extraer el salario de equilibrio . Lo sustituímos para obtener todas las demás variables del equilibrio competitivo.
Ahora, en este caso se cumplen todos los supuestos de los teoremas del bienestar, por lo que es posible obtener el equilibrio competitivo a partir del problema del planificador central. Esto es, maximizar la utilidad del agente sujeto a las restricciones de factibilidad.
El problema del planificador social está dado por:
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Como el maximizador social es omnisciente, podemos sustituir las restricciones de factibilidad dentro de la función de utilidad desde un inicio, y tener una única variable de decisión, de tal suerte que nuestro problema del planificador social esté dado por:
De las condiciones de primer orden, utilizando la regla de la cadena, tenemos:
Como la única variable desconocida es , la despejamos y obtenemos . Sustituyendo en las condiciones de factibilidad:
Una vez que tenemos las cantidades del equilibrio competitivo, falta derivar los precios de equilibrio. Para ello, nos vamos al problema de la empresa, que nos dice que:
Dejando el precio del bien de consumo como el numerario, y sustituyendo el trabajo óptimo:
Gráficamente:
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las absisas aumenta de derecha a izquierda) en el que está graficada la función de producción de la empresa dependiente del insumo .
En el Eje de las absisas tenemos graficado también la cantidad total de tiempo que tiene disponible el agente, . De izquierda a derecha, el individuo obtiene más ocio, y a consecuencia de ello, disminuye la cantidad que trabaja. A la inversa, si el individuo decide trabajar más, se mueve de derecha a iquierda, y tiene menos ocio. De esta suerte, se cumple . Notamos que de esta manera, la función de producción actúa como una frontera de factibilidad para el intercambio entre ocio y consumo. Una restricción que limita su nivel de utilidad. La recta es la recta tangente tanto a la función de producción como a la curva de indiferencia en el óptimo, y representa la restricción presupuestal junto con la altura , que funge como un ingreso no laboral que ya habíamos visto en el modelo de ocio-consumo. Vemos que en el óptimo, la , tal y como habíamos obtenido en el modelo de ocio consumo del equilibrio parcial. En este caso lo podemos ver desde el problema del planificador central si sólo sustituímos la restricción temporal:
Planteando el lagrangiano, obteniendo las condiciones de primer orden y de ahí las condiciones de optimalidad tenemos que:
3.4 Primer Teorema Fundamental del Bienestar con Producción
En este apartado vamos a ver rápidamente algunas conclusiones que obtenemos al resolver el equilibrio competitivo, bajo el cuál se cumplen los supuestos del Teorema Fundamental del Bienestar:
1. Si está sobre la FPP, entonces y se utilizan todos los recursos.
Dem: Cada empresa resuelve:
Tomando los precios como dados. Por las condiciones de primer orden se desprende que para cada empresa:
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Dividiendo ambas expresiones obtenemos:
De lo cual se desprende que
2. Para la FPP,
Dem:
Para obtener la FPP, resolvemos:
Escribimos el lagrangiano del problema:
Por el Teorema de la Envolvente:
Resolviendo el lagrangiano y planteando las condiciones de primer orden:
Despejando para obtenemos:
De igual manera, podríamos hacer esto para el capital, y obtener:
3. Para la FPP,
Dem: en un óptimo, cada empresa resuelve el problema de minimización de costos:
Planteamos el lagrangiano:
Utilizando el teorema de la Envolvente, tenemos que:
