R1_Bloque 8

(1)

-Bloque 8

(2)

Bloque 8

Introducción a la representación gráfica de funciones

Este bloque tiene como propósito introducir el estudio de la representación gráfica de funciones lineales en el plano cartesiano. La construcción de gráficas es una extensión de lo realizado hasta el momento, se parte de una tabla de valores de entrada y salida para generar la expresión algebraica (fórmula) que corresponde a ese patrón numérico, con esa expresión se construye su gráfica en la calculadora. Esta secuencia puede describirse mediante el siguiente esquema que muestra las tres formas de representación de una función:

La experiencia obtenida en los bloques anteriores permite establecer conexiones entre las representaciones algebraica, tabular y la gráfica de una función, favoreciendo así los procesos de traducción entre ellas y la formación del concepto de función.

Al igual que los valores numéricos, las literales y sus operaciones, el ambiente gráfico posee reglas y propiedades para su construcción, lectura e interpretación. El ingreso al ambiente gráfico de la calculadora requiere que el usuario se familiarice con sus componentes (plano, ejes cartesianos, cuadrantes, escala, etc.) desde que comienza su interacción con las gráficas.

Las actividades de este bloque incluyen una serie de cuestionamientos para la lectura e interpretación de las gráficas que se construyen en la calculadora, tales como: ¿qué regiones del plano ocupan?, ¿qué puntos importantes pueden resaltarse?, ¿qué signos tienen las coordenadas?, ¿qué relación hay entre la expresión algebraica y la gráfica?

La incorporación de la calculadora es importante en esta propuesta de trabajo, con un mínimo de instrucciones la máquina pone a la vista una gráfica de manera casi inmediata, lista para ser explorada con ayuda de herramientas que proporciona la máquina, por ejemplo, la herramienta TRACE permite recorrer la gráfica pasando por varios de sus puntos y muestra sus coordenadas. Asimismo, se propone la construcción de gráficas con lápiz y papel, dando paso a otro tipo de actividades que complementan las que se hicieron con la calculadora. Es necesario destacar que la escritura de funciones en la calculadora es acorde con la notación convencional (

y

=).

Representación Tabular

Representación Algebraica

(3)

Patrones numéricos y gráficas 1. Un estudiante creó una fórmula que

produce estos valores de salida.

Valor de

entrada Valor de salida

1.5 3

2.1 4.2

3.9 7.8

4.2 8.4

2. Es fácil encontrar cuál es esa fórmula, pruébala en tu calculadora para comprobar que funciona como esperas y anótalo en el recuadro.

3. Con tu fórmula completa la siguiente tabla. Valor de

entrada

-1.5

-0.7

-0.2

0

0.2

0.8

1

1.5

Valor de salida

4. Usa la expresión algebraica que empleaste en tu fórmula para construir su gráfica usando el editor de gráficas de la calculadora. Anota en el siguiente recuadro la expresión que usaste para construirla.

y=

5. Observa las características de la gráfica que construiste. ¿Cómo la describirías por teléfono para que otro estudiante construya una gráfica idéntica a la tuya? _________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

6. Como se muestra en la figura de la derecha, usa la tecla TRACE de la calculadora para recorrer con el cursor la gráfica que construiste. Así puedes comprobar si los valores de la tabla que completaste en el inciso (3) coinciden con las coordenadas de los puntos de la gráfica.

(4)

HOJA DE TRABAJO 71

Patrones numéricos y coordenadas cartesianas Un estudiante creó un fórmula que produce

los siguientes valores de salida.

Valor de

entrada Valor desalida

2 1

3 1.5

5 2.5

7.2 3.6

1. Encuentra cuál es la fórmula que hizo y prueba en tu calculadora que funcione igual que la de él. Anótala en el recuadro.

2. Usa tu fórmula para completar la siguiente tabla.

Valor de

entrada -4.6 -3.4 -2 0 1.3 2.2 3 3.7

3. Usa la calculadora para construir la gráfica que corresponde a tu fórmula y anota en el siguiente recuadro la expresión que usaste en el editor de gráficas.

y=

4. Un estudiante dice que la gráfica que aparece en la calculadora es una línea. Describe tan detalladamente como te sea posible cómo es esa línea señalando las coordenadas de algunos de sus puntos que consideres importantes. _________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

5. Comprueba si los valores de la tabla que llenaste coinciden con las coordenadas de los puntos de la gráfica. Para hacer eso recorre la gráfica usando la tecla TRACE y encuentra el valor que le corresponde a y cuando x=-1 __________ ¿Qué valor le

corresponde a x cuando y=1.5?

(5)

Ecuaciones lineales y sus gráficas Una estudiante creó un fórmula que produce los valores

de salida que se muestran en la tabla.

Valor de

entrada Valor de salida

1 1

1.8 1.8

3 3

4.7 4.7

1. Encuentra cuál es ese fórmula y comprueba con tu calculadora si funciona como esperas. Anótalo en el recuadro.

2. Con tu fórmula completa la siguiente tabla.

x

-2.3

-2

-0.9

0

0.5

1

1.8

3 y

3. Usa tu calculadora para construir la gráfica que corresponde a la ecuación que empleaste en tu fórmula y anótala en el recuadro.

y=

4. Un estudiante dice que esa gráfica no cruza al eje Y ni al eje X, ¿ a qué crees que se deba que él afirme eso? __________________________________ __________________________________________ __________________________________________

5. Recorre con TRACE la gráfica que construiste. ¿Cuál es el valor de x cuando y = 5.2? _______ ¿Cuál es el valor de y cuando x=-7.1? _____________________________

(6)

Inclinación de una recta en el plano cartesiano Unos estudiantes construyeron un fórmula

que produce los siguientes valores.

Valor de entrada

-0.5 -1.5

-2.2 -6.6

-4 -12

5.5 16.5

1. Encuentra cuál es esa fórmula y usa tu calculadora para comprobar si funciona como el de ellos. Anótalo en el recuadro.

x 2 1.5 1.3 1 -0.2 -0.7 -1.5 -2.2

y

3. Usa la calculadora para construir la gráfica que corresponde a tu fórmula y anota en el recuadro la expresión que usaste.

y=

4. Un estudiante dice que la gráfica que construyó en la calculadora está inclinada de manera que la recta está más cerca del eje X que del eje Y, ¿estás de acuerdo con él? ________ ¿A qué crees que se deba eso? ___________________________________ _____________________________________________________________________

5. ¿Qué signo tienen los valores de x y y en las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el primer cuadrante?____________ 6. ¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos

(7)

Ubicación de la recta en el plano cartesiano Una estudiante hizo un fórmula que produce

los siguientes valores de salida.

-7.5 -1.5

-10.5 -2.1

-22 -4.4

32.5 6.5

1. Encuentra cuál es esa fórmula y usa tu calculadora para comprobar si funciona como esperas. Anótala en el siguiente recuadro.

2. Con tu fórmula completa la siguiente tabla.

x -2.5 -2 -0.5 0 1.5 2 2.5 3

y

3. Usa la calculadora para construir la gráfica que corresponde a tu fórmula y anota en el siguiente recuadro la expresión que usaste.

y=

4. ¿Cómo describirías por teléfono la gráfica que acabas de construir para que otro estudiante construya una gráfica idéntica a la tuya? _____________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

5. Usa la tecla TRACE para recorrer la gráfica que construiste y contesta lo que se pide a continuación. ¿En qué cuadrante está el punto (-3.5,-0.7)? _________ ¿En qué cuadrante está el punto (4, 0.8)? __________________________________________

(8)

(9)

Noción de crecimiento en una recta en el plano Alguien creó un fórmula que produce los

siguientes valores de salida.

2 -4

3 -6

4.5 -9

6 -12

1. Encuentra cuál es esa fórmula y usa tu calculadora para comprobar si funciona como esperas. Anótalo en el recuadro.

x -1.5 -1 -0.6 0 0.4 0.7 1 1.4

y

3. Usa la calculadora para hacer la gráfica que corresponde a tu fórmula y anota en el siguiente recuadro la expresión que usaste para construir la gráfica en la calculadora.

y=

4. Un estudiante dice que cuando construye esta gráfica en la calculadora, “en vez de crecer, decrece”. Explica por qué crees que él dice esto. ________________________ _____________________________________________________________________

5. Usa la tecla TRACE para recorrer la gráfica que construiste y verifica si los valores de la tabla que completaste en el inciso (3) coinciden con las coordenadas de los puntos de la gráfica.

6. ¿Qué signo tienen las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el segundo cuadrante? ___________________________________________________________ 7. ¿Qué signo tienen las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el cuarto

(10)

Rectas y cuadrantes del plano cartesiano

Valor de

entrada Valor desalida Una estudiante creó una_{fórmula que produce estos} valores de salida.

-6 6

-9 9

13.7 -13.7

17 -17

1. Encuentra cuál es esa fórmula y usa tu calculadora para comprobar si funciona igual que la de ella. Anótala en el recuadro.

2. Con tu fórmula completa la siguiente tabla. Valor de

entrada -1.5 -1 -0.6 0 0.4 0.7 1 1.4

3. Usa la calculadora para hacer la gráfica que corresponde a tu fórmula y anota en el siguiente recuadro la expresión que usaste en el editor de gráficas.

y=

4. Escribe claramente cómo le describirías la gráfica que acabas de construir a alguien que no la está viendo. __________________________________________________ _____________________________________________________________________

5. Recorre con TRACE la gráfica que construiste y comprueba que los valores de la tabla que completaste coinciden con las coordenadas de sus puntos.

6. Un estudiante dice que la gráfica del inciso (3) pasa por el primero, segundo y tercer cuadrantes. ¿Estás de acuerdo? __________ Escribe las coordenadas de tres puntos de la gráfica que ejemplifiquen tu respuesta. _________________________________ _____________________________________________________________________

(11)

Puntos relevantes en la gráfica de una ecuación lineal (1)

Hay un fórmula que produce los siguientes valores de salida.

Valor de

-5 -4

-2 -1

-1.5 -0.5

1 2

1. Encuentra cuál es esa fórmula y usa tu calculadora para comprobar si produce los valores de salida que se muestran en la tabla. Anótala en el recuadro.

2. Usa la fórmula que encontraste para completar la siguiente tabla. Valor de

entrada

-6 -4.5 -3 -1 -0.5 0 2.5 4

3. Usa los valores de la tabla para construir su gráfica en el siguiente plano cartesiano. Marca los puntos y después traza la recta que pasa por ellos.

4. Construye la gráfica en la calculadora, y verifica que la gráfica de la calculadora y la que trazaste con lápiz pasen por los mismos puntos.

5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje vertical?( , ).

(12)

Puntos relevantes en la gráfica de una ecuación lineal (2)

Valor de

entrada Valor de salida Un estudiante _{construyó una fórmula} que produce estos valores de salida.

18.3 6.1

15.9 5.3

9.6 3.2

-24 -8

1. Encuentra cuál es la fórmula que él hizo y usa tu calculadora para comprobar si funciona como esperas. Anótala en el recuadro.

2. Usa el fórmula que encontraste en el inciso (1) para completar la siguiente tabla. Valor de

entrada -10.5 -9 -3 0 1 3 9 10.5

3. Usa los valores de la tabla anterior para construir una gráfica en el plano de abajo.

4. Construye la gráfica en la calculadora, y verifica que la gráfica de la calculadora y la que tú trazaste con lápiz pasen por los mismos puntos.

5. Recorre la gráfica con TRACE y contesta lo siguiente: ¿qué valor tiene x cuando y=4? ________________________________________________________________ ¿Qué valor tiene y cuando x=21? ________ ¿Qué valor tiene x cuando y=0? _______

(13)

Iniciación a la lectura de gráficas de funciones lineales Hay un fórmula que produce

estos valores de salida.

Valor de

1 3

2 5

3 7

-2 -3

1. Encuentra cuál es esa fórmula y usa tu calculadora para comprobar si funciona correctamente. Anótala en el recuadro.

2. Usa el fórmula que encontraste en el inciso (1) para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada -2.5 -1 -0.5 0 0.5 1.2 1.5 2

Valor de salida

3. Traza la gráfica en el siguiente plano cartesiano de acuerdo a los valores de la tabla que completaste.

4. Construye la gráfica en la calculadora y verifica que ésta y la que trazaste con lápiz pasen por los mismos puntos.

(14)

Ecuaciones lineales y coordenadas en el plano Una estudiante construyó una gráfica usando la ecuación

y=x-2.

Valor de

entrada Valor desalida -34

-23 -25

16

8 1. Usa esa información para encontrar los valores que

faltan en la tabla.

2. Usa esa ecuación para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada -7 -6 -3.5 0 0.5 2.5 5.5 6.5

Valor de salida

3. Con los valores de la tabla traza en el siguiente plano la gráfica que resulta.

También construye la gráfica en la calculadora, y verifica que ésta y la que tú trazaste con lápiz pasen por los mismos puntos.

4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y? ( , )

5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje X? ( , )

6. A continuación se proporcionan las coordenadas de varios puntos, anota por cuáles pasa la gráfica que construiste y por cuáles no. Explica claramente tu elección.

(5, 3) (-3, -5) (1, -4) (2, -4) (1, -1)

La gráfica pasa por estos puntos.

( , ) ( , ) ( , )

Explicación. _______________________ _________________________________ _________________________________

No pasa la gráfica por estos puntos. ( , ) ( , ) ( , )

(15)

Los puntos de la gráfica de una ecuación lineal (1)

Un estudiante usó la ecuación y = 3 – x para construir una gráfica.

Valor de

entrada Valor desalida 9

7

3

-1

1. Construye en la calculadora la gráfica de la ecuación y=3–x. ¿Cuáles son las coorde-nadas del punto en que la gráfica corta al eje Y? _______________________

2. Usa la ecuación y = 4 - 2x para completar la siguiente tabla.

Valor de entrada -2 -1.5 -0.5 0 1.5 3 4.5 8

Valor de salida

3. Con los datos de la tabla traza la gráfica correspondiente.

4. Construye la gráfica en la calculadora, y verifica que ésta y la que tú trazaste con lápiz pasen por los mismos puntos.

5. Usa la tecla TRACE para recorrer la gráfica que construiste. Anota las coordenadas de 5 puntos que no estén en la tabla que completaste, y marca los puntos en el plano de la derecha. Nombra a cada uno con la letra que le corresponda.

A B C D E

(16)

Rectas paralelas en el plano cartesiano

1. Construye en la calculadora la gráfica de la ecuación y=13x, y dibújala tan fielmente como te sea posible en el plano de la derecha

2. Completa la siguiente tabla usando la ecuación que usaste para construir la gráfica.

Valor de

entrada 7 6 3 2 0 -1 -3 -5 -8 -10

3. Si alguien que no está viendo la gráfica te pidiera que se la describieras, ¿cómo lo harías?

________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

4. ¿Qué signo tiene cada una de las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el tercer cuadrante? ____________________________________________________

5. ¿Qué signo tiene cada una de las coordenadas de los puntos de la gráfica que están en el cuarto cuadrante?

____________________________________________________________________

6. Un estudiante de otra escuela construyó dos gráficas usando las siguientes ecuaciones.

y=23x y=13x

Él dice que estas gráficas cortan a los ejes Y y X en puntos distintos a los que los corta la gráfica que construiste en el inciso (1). ¿Estás de acuerdo con él? ______ Explica

claramente tu respuesta.

_______________________________________________________

________________________________________________________________________

7. Trata de cubrir la pantalla de la calculadora con rectas paralelas como las tres

anteriores. Explica claramente cómo lo lograste.

_______________________________

(17)

(18)

HOJA DE TRABAJO 83 Rectas horizontales (1)

Una estudiante hizo un fórmula que produce estos valores de salida.

-7 2

-4 2

-1 2

0 2

6 2

11 2

1. Encuentra cuál es esa fórmula y anótala en el recuadro. Explica claramente cómo razonaste para encontrarla. _________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

2. Completa la siguiente tabla usando la fórmula que construiste en el inciso (1).

Valor de entrada -11 -9 -6 -2 1 5 8 10

Valor de salida

3. Usa la fórmula que encontraste para construir en la calculadora una gráfica. Anota en el siguiente espacio la expresión que utilizaste.

y=

4. Dibuja en este plano cartesiano la gráfica que hiciste.

5. ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el que la gráfica que construiste en la calculadora corta al eje Y? ( , )

6. ¿La gráfica que construiste cortará en algún punto al eje X? ___________________ Describe tan claramente como te sea posible cómo razonaste para formular tu

respuesta.

__________________________________________________________

(19)

Rectas horizontales (2)

Valor de

entrada Valor desalida Unos estudiantes hicieron una

fórmula que produce estos valores de salida.

-5 -3.5

-2 -3.5

-1 -3.5

8 -3.5

10 -3.5

13 -3.5

1. Encuentra cuál es esa fórmula y anótala en el recuadro. Explica claramente cómo razonaste para encontrarlo. __________________________________________

_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

2. Completa la siguiente tabla usando la fórmula que encontraste.

Valor de

entrada -10 -8.5 -4.5 -0.5 0 5.5 7 11

3. Construye en la calculadora una gráfica usando la fórmula que encontraste en el inciso (2) y anota sobre la línea la expresión algebraica que utilizaste. _________________

4. Dibuja en este plano cartesiano esa gráfica.

5. Usa la tecla TRACE para recorrer la gráfica que construiste y anota las coordenadas de cinco puntos por los que pase la gráfica que no coincidan con los de las dos tablas anteriores.

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

(20)

Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. En las actividades de este bloque se usan los términos “fórmula” y “ecuación”. Indica qué diferencia(s) hay entre el significado de esos términos. Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

2. En la presentación de este bloque se menciona el término “función”, indaga en fuentes bibliográficas acerca del concepto de función y señala la diferencia entre éste y los conceptos de fórmula y ecuación.

3. Enlista en qué orden aparecen las funciones (

y

=2

x

,

y

=

x,

…) en las hojas de trabajo de este bloque, analiza su estructura y discute con tus compañeros la razón de ese orden y, en su caso, qué modificaciones o agregados propondrían para trabajar con este material con estudiantes de educación básica.

4. Identifica los contenidos matemáticos de las actividades del bloque y elabora un esquema con conexiones que los relacionen.

5. En la presentación del bloque se menciona la construcción, lectura e interpretación de gráficas de funciones. Describe en qué consiste cada una de estas tareas y cuál es el papel que desempeñan en el aprendizaje de la noción de ecuación, si es necesario realiza una investigación al respecto.

6. Identifica en las hojas de trabajo tres ejemplos de cada una de las tareas

mencionadas en el inciso anterior y prepara una presentación empleando ejemplos que tú propongas.

7. Para las coordenadas de cada uno de los siguientes incisos construye tres fórmulas, con sus respectivas tablas, que produzcan rectas que pasen cada una por todos esos puntos.

a) (3, 0) b) (0, -2) c) (-4,-3)

d) (-2, -5) y (1, 4) e) (0, 0), (3, 5) y (7, 10)

8. ¿En qué incisos del punto anterior no fue posible encontrar tres rectas? Explica por qué no fue posible, utilizando argumentos matemáticos.

9. En el bloque se utiliza constantemente la representación de coordenadas. ¿Cuál consideras que es su importancia? ¿De qué aspectos depende su adecuada construcción, lectura e interpretación?