APENDICEBINTEGRALESIMPROPIASNUME

B.1) METODOS NUMÉRICOS PARA APROXIMAR

INTEGRALES IMPROPIAS.

Antes de intentar evaluar una integral impropia, mediante un método aproximado, se debe asegurar que dicha integral sea convergente.

B.1.1 Para evaluar una integral impropia convergente del tipo:

∫

+∞

a f(x)dx , f continua para todo x≥a (B.1)

con una exactitud dada

ε

, se procede así: se descompone la integral de la forma:

∫

+∞

a f(x)dx=

∫

∫

+∞ +

N N

a f(x)dx f(x)dx (B.2)

Como la integral impropia (B.1) es convergente, entonces la integral impropia del lado derecho de ( B.2 ) es convergente; por lo que el número N, `suficientemente grande ´, puede elegirse de tal manera que:

2 )

( ε

∫

+∞ p

N f x dx (B.3)

La integral

∫

N

a f(x)dx puede aproximarse usando la regla Trapezoidal o

la regla de Simpson. Sea S el valor aproximado de esta integral con una

exactitud de

2

ε

, por lo tanto:

2 )

(x dx S_p ε f

N

a −

∫

( B.4 )

Luego

∫

+∞ f x dx−S =

a ( )

∫

∫

+∞

+ −

N N

a f(x)dx S f(x)dx

≤ N f x dx S

a −

∫

( ) +

∫

+∞

N f(x)dx < ₂ ε

+

2

ε

=

ε

Así: f x dx S

a −

aproximarse mediante el valor de la integral

∫

N

a f(x)dx, donde N es un

número suficientemente grande.

CONCLUSIÓNES:

1) Para evaluar una integral impropia (B.2) mediante un método aproximado se sustituye el limite superior por un número N suficientemente

grande, la integral

∫

N

a f(x)dx se aproxima numéricamente. Por lo que:

∫

+∞

a f(x)dx ≈

∫

N

a f(x)dx.

2) Análogamente se pueden aproximar las integrales impropias del tipo :

∫

₋b_∞

f

(

x

)

dx

.

3) En el caso de las integrales impropias con ambos limites de integración infinitos e integrando continuo se procede así:

∫

+∞

=

∞

−

f

(

x

)

dx

∫

∫

+∞ ∞

−

+

N

N

dx

x

f

dx

x

f

(

)

(

)

(B.5)

y cada una de estas integrales se aproxima usando el método analizado anteriormente.

Ejemplo 1. Aproxime el valor de las siguientes integrales impropias,

usando el método de los Trapecios y el método de Simpson, con h =0,5

y h =0,1

a)

∫

+∞ − 0

2

dx

e

x b)

∫

+∞

∞

−

₊

2

1

x

dx

N dado:

N 5 10 20

h 0,5 0,1 0,5 0,1 0,5 0,1

n 10 50 20 100 40 200

a) El valor exacto es

∫

+∞ − 0

2

dx

e

x = 0,8862269258 2 ≈

π

. Para N =5 , h =0,5 ,

n =10 se obtuvieron resultados siguientes : con la regla de los Trapecios:

∫

₀5

e

−x2

dx

≈0,8862269 y con la regla de Simpson

∫

₀5

e

−x2

dx

≈0,8861964.

En las tablas B.1 y B.2 se muestran los resultados obtenidos, con el PROGRAMA 1 para los valores de h = 0,5 y h = 0,1 respectivamente:

TABLA B.1 TABLA B.2

b) La integral

∫

+∞

∞ −

₊

2

1

x

dx

converge a

π

y como el integrando es una

función par entonces se tiene que:

∫

+∞

∞ −

₊

2

1

x

dx

= 2

∫

+∞

+

0 2

1

x

dx

≈2

∫

+

N

x

dx

0 2

1

.

Con N =5, h =0,5 y n =10 se concluye que:

2

∫

+

5 0

₁

_x

2

dx

≈ 2,7462082 ( Regla trapezoidal ) N TRAPEZOIDAL SIMPSON

5 0.8862269 0.8861964 10 0.8862269 0.8861964 15 0.8862269 0.8861964 20 0.8862269 0.8861964

N TRAPEZOIDAL SIMPSON

2

∫

+

5 0

₁

_x

2

dx

≈ 2,7429002 ( Regla de Simpson )

En las tablas B.3 y B.4 se muestran los resultados obtenidos, con

el PROGRAMA 1, para los valores de h =0,5 y h =0,1 respectivamente:

TABLA B.3 TABLA B.4

PROGAMA 1 ( Matlab)

N TRAPEZOIDAL SIMPSON

5 1.3731041 1.3714540 10 1.4710978 1.4691830 15 1.5042269 1.5022835 20 1.5208437 1.5188933

N TRAPEZOIDAL SIMPSON

5 1.3733884 1.3734008 10 1.4711260 1.4711277 15 1.5042277 1.5042282 20 1.5208377 1.5208379

% Regla de Simpson y regla trapezoidal para integrales impropias con límite %superior infinito

a=input('entre el extremo izquierdo del intervalo'); h=input('entre el valor de h');

fprintf('\n N TRAPEZOIDAL SIMPSON \n'); for N=5:5:20

n=(N-a)/h; y=0; for i=1:2:n-1

x=a+i*h; f=exp(-x*x); y=y+f; end

sp=y*4; yy=0; for i=2:2:n-2

x=a+i*h; g=exp(-x*x); yy=yy+g; end

spp=yy*2; fa=exp(-a*a); fN=exp(-N*N); II=sp+fa+fN+spp; vs=(II*h)/3;

vt=(h*(fa+2*(y+yy)+fN))/2;

B.1.2 Para aproximar numéricamente integrales impropias del tipo

∫

_ab

f

(

x

)

dx

, donde f tiene un número finito de discontinuidades infinitas en

un intervalo cerrado

[ ]

a,b , se procede así: se separan las discontinuidades

de tal manera que en cada subintervalo halla una sola discontinuidad. Sea c ∈(a ,b) un punto de discontinuidad entonces:

∫

b

a f(x)dx=

∫

c

a f(x)dx+

∫

b

c f(x)dx =   

 

∫

−

→

t

a c t

dx x f

Lim ( ) + 

  

 

∫

+

→

b

z c z

dx x f

Lim ( ) ( B.6 )

Para aproximar (B.6 ) con una exactitud dada

ε

se eligen t, z tal que

∫

t

<

z

f

(

x

)

dx

₂

ε

y aplicando el método de los Trapecios o el de Simpson se aproximan las

integrales

∫

t

a

f

(

x

)

dx

y

∫

b

z

f

(

x

)

dx

; sean S1 y S2 los valores aproximados

de estas integrales, luego:

∫

b

a

f

(

x

)

dx

≈ S1 + S2. (B.7)

Ejemplo 2 Aproximar el valor de la integral

∫

−

5 , 0

0

_x

₍

₁

_x

₎

dx

. Use la regla

Trapezoidal y la regla de Simpson con n =5,10,15,20.

Solución. Del capítulo 4 se tiene que el valor exacto de la integral es:

2

π .

Consideremos la variable t que a cero por la derecha, entonces:

I ≈

∫

−

5 , 0

)

1

(

t

_x

_x

dx

. Con t =0,1 , n =10 y h =0,04 no se obtienen

buenas aproximaciones como se muestra a continuación:

≈

−

∫

₀0_,,₁5

)

1

(

x

x

dx

≈

−

∫

₀0_,1,5

)

1

(

x

x

dx

0,9273618 Regla de Simpson.

Para t =0,01 y t =0,001 se obtienen, respectivamente, las siguientes aproximaciones

B.2) OTRO METODO PARA APROXIMAR INTEGRALES IMPROPIAS.

Este método se aplicará a integrales impropias del tipo

∫

b

a

f

(

x

)

dx

,

donde f tiene una discontinuidad infinita en x = a. EL método usa la integral

∫

_ab

₋

p

a

x

dx

)

(

, la cual converge si y sólo si 0<p<1.

La función f se expresa así : f(x) =

p

a

x

x

g

)

(

)

(

−

, con 0<p<1 , g es una

función tal que sus (m +1) primeras derivadas son continuas en el intervalo

cerrado

[ ]

a,b , luego la función g se desarrolla mediante un polinomio de

Taylor de grado m alrededor de x = a ( punto de discontinuidad de f ):

Pm(x)= k

m

k k

a

x

k

a

g

)

(

)

(

0 ) (

−

!

∑

=

( B.8 )

Así , g (x ) = Pm(x) + Rm(x) , donde Rm(x) es el resto. Luego:

∫

b

a

f

(

x

)

dx

=

∫

−

b

a p

a

x

dx

x

g

)

(

)

(

=

∫

−

b

a p

m

a

x

dx

x

P

)

(

)

(

+

∫

−

−

b

a p

m

a

x

dx

x

P

x

g

)

(

))

(

)

(

(

(B.9 )

n TRAPEZOIDAL SIMPSON

5 1.3615777 1.2602472 10 1.4368006 1.3952493 15 1.3389526 1.3155766 20 1.3911043 1.3758721

n TRAPEZOIDAL SIMPSON

La integral S1 =

∫

−

b a p m

a

x

dx

x

P

)

(

)

(

=

dx

a

x

k

a

x

a

g

b a p m k k k

∫

∑

−

!

−

=

)

(

)

)(

(

0 ) ( se puede

calcular usando los métodos exactos y se obtiene :

S1 =

∑

= + −

+

−

−

!

m k p k k

p

k

a

b

k

a

g

0 1 ) (

)

1

(

)

(

.

)

(

(B.10)

Para resolver la integral

∫

−

−

b a p m

a

x

dx

x

P

x

g

)

(

))

(

)

(

(

se define una función

R así :

R(x) = m_p

a x x P x g ) ( ) ( ) ( − −

si x ∈ (a ,b] y R(a)=0. Como 0<p<1 y

) ( ) ( ( ) ) ( a g a

P_mk = k , k = 0,1,2,...,m entonces R(x) tiene derivadas

continuas hasta de orden m en [ a ,b]. Por lo tanto la integral

∫

b

aR )(x dx se puede aproximar usando los métodos numéricos.

Sea S2 el valor aproximado de esta integral . Luego:

∫

b

a f(x)dx=

∫

− b

a _{x a} p

dx x g ) ( ) ( _≈

S1 + S2

OBSERVACIONES:

1) El método anterior se puede adaptar para aproximar integrales

impropias

∫

b

a f(x)dx, donde el punto de discontinuas es el limite superior. Para ello , se hace la sustitución y =-x :

∫

b

a f(x)dx= -

∫

−

− −

b

a f( y)dy=

∫

−

− −

a

b f( y)dy (B:11 )

descompone así:

∫

b

a f(x)dx=

∫

c

a f(x)dx+

∫

b

c f(x)dx (B.12)

luego, cada una de estas integrales se aproxima usando el método anterior

3) Si hay varios puntos de discontinuidades en el intervalo de integración, este se divide de tal manera que en cada subintervalo halla un solo punto de discontinuidad.

4) Para aproximar

∫

+∞

a f(x)dx , donde f es continua para todo x≥a ,a distinto de cero , usando el método explicado anteriormente se hace el cambio de variable z =1/x :

∫

_a+∞ f(x)dx=

∫

a dz z f z / 1

0 2 )

1 ( 1

que tiene la discontinuidad en el limite inferior.

Si a =0 la integral se descompone así:

∫

+∞

a f(x)dx=

∫

c

a f(x)dx+

∫

+∞

c f(x)dx,

después cada integral se resuelve aplicando el l método apropiado.

Ejemplo 3 Aproximar el valor de las integrales impropias dadas usando la

regla Trapezoidal y la regla de Simpson, tome n =10 :

a)

∫

−

5 , 0

0

_x

₍

₁

_x

₎

dx

b)

∫

+∞

+

0

₁

_x

2

dx

Solución a) La función f(x)=

) 1 (

1

x

x − tiene una discontinuidad infinita en

x =0 . La función f puede expresarse así:

5 . 0

5 . 0

)

1

(

)

(

x

x

x

f

−

−

función g del método es g(x) =(1-x)-0.5 y su correspondiente polinomio de Taylor de grado 4 alrededor de x =0 es:

4 3 2 4 128 35 16 5 8 3 2

1 x x x x

x

P( )= + + + + , g(x) = P4(x)+R4(x) , R4(x) es el resto.

Luego:

∫

−

5 , 0

0

_x

₍

₁

_x

₎

dx

=

∫

0.5

+

0 0.5

dx

4 4

x

(x)

R

(x)

P

=

∫

0.5

0 0.5

dx

4

x

(x)

P

+

∫

0.5

0 0.5

dx

4

x

(x)

R

( B.13 )

Cada una de estas integrales se calcula por separado:

I1=

∫

5 . 0

0 0.5

dx

4

x

(x)

P

=

∫

+ → t t

Lim

0 0

( 3 2 5 2 7 2

5 0 5 0 128 35 16 5 8 3 2 / / / . . x x x x

x− + + + + )

dx

=1,5691585

En I2=

∫

5 . 0

0 0.5

dx

4

x

(x)

R

, se define R así: R(0)=0 y

5 , 0 4 5 , 0

)

(

)

1

(

)

(

x

x

P

x

x

R

=

−

−

−

si x ∈( 0 ; 0,5] . La integral I2 se aproximó usando la regla de Simpson

con n =10 obteniéndose I2=

∫

5 . 0

0 0.5

dx

4

x

(x)

R

= 0,00164. Luego:

∫

−

5

, 0

0

_x

₍

₁

_x

₎

dx

= I1+I2 ≈1,570799568.

La integral I2 también se puede aproximar usando la regla de los Trapecios con n =10 , obteniéndose: I2 = 0,0016830725.

∫

+∞ + 0 _{1 x}2

dx =

∫

+ 1

0_{1 x}2 dx

+

∫

+∞ + 1 _{1 x}2

dx

(B.14)

Hacer z =1/x en la segunda integral:

∫

+∞ +

1 _{1 x}2

dx =

∫

+ 1

0_{1 z}2 dz

, lo cual se

sustituye en ( B.14) obteniéndose:

∫

+∞ + 0 _{1 x}2

dx

= 2

∫

+ 1

0_{1 z}2 dz

(B.15)

La integral de la derecha de ( B.15 ) se aproximo usando el método de Simpson con varios valores de n como se muestra en la siguiente tabla:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Adapte la regla compuesta de los Trapecios para resolver las siguientes integrales impropias ( use n = 6):

a)

∫

2

0

.

(

).

π

dx

x

tag

x

b) dx

x 1

e

1

0 2

x

∫

−

c)

∫

∫

₋+_∞∞

−

+

1

0 2

2

1

)

)

(

2

dx

x

e

d

dx

x

tg

x

2. Aproximar la integral dx x e x

∫

₀1 −₋

1 usando la regla de los Trapecios con

h=0,05.

3. Repetir usando la regla de Simpson donde sea posible.

n VALOR APROXIMADO ERROR RELATIVO

2 1.5666667 0.0026250 4 1.5707843 0.0000036 8 1.5707963 0.0000040 16 1.5707963 0.0000040 32 1.5707963 0.0000040