Tema01

(1)

Espacios Vectoriales.

1.1. Definici´

on de Espacio Vectorial

Notas 1.1.1. Denotaremos porN, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los n´umeros Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Definición 1.1.2. Sea Rel conjunto de los números reales. Un espacio vectorialsobre Rconsta de un conjunto no vac´ıoV, una ley de composición interna sobreV, ‘+’, y una aplicación deR×V enV, ‘·’, (ley externa), verificando las siguientes propiedades:

(1) (V,+)es un grupo abeliano, esto es, para todo⃗u, ⃗v, ⃗w∈V,

• (1.1)⃗u+⃗v=⃗v+⃗u. (Conmutativa).

• (1.2)⃗u+ (⃗v+w⃗) = (⃗u+⃗v) +w⃗. (Asociativa).

• (1.3) Existe⃗0∈V tal que para todo⃗u∈V,⃗0 +⃗u=⃗u. (Elemento neutro). • (1.4) Para todo⃗u∈V, existe ⃗u′ ∈V tal que⃗u+⃗u′=⃗0(opuesto de⃗u).

(2) Para todo⃗u, ⃗v∈V y para todoα, β∈R,

(2)

Notas 1.1.3.

(1) Los elementos deV se denominar´an vectores y los deRescalares.

(2) El elemento u′ cuya existencia asegura (1.4) es ´unico y se notar´a por−⃗u.

Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobreR:

M(n×m,R). (Conjunto de las matrices con coeficientes enRconnfilas ym colum-nas).

Un conjunto con un ´unico elemento {⃗0} es un espacio vectorial que llamaremos espacio vectorial trivial.

El conjunto R[X]de los polinomios en X, de grado menor o igual que n, con coefi-cientes en Res un espacio vectorial sobre R.

Proposici´on 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo ⃗u, ⃗v ∈ V y todo

α, β∈Rse verifica que:

(1) α·⃗0 =⃗0.

(2) 0·⃗u=⃗0.

(3) α·(⃗u−⃗v) =α·⃗u−α·⃗v.

(4) (α−β)·⃗u=α·⃗u−β·⃗u.

(5) (−α)·⃗u=−α·⃗u.

Definición 1.1.6. Llamaremos espacio numérico sobreR, de dimensiónn, al conjunto:

Rn₌_{₍_a

1, . . . , an)| ai∈R, i= 1, . . . , n}

EnRn definimos las siguientes operaciones:

(1) (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1+b1, . . . , an+bn).

(2) a·(a1, . . . , an) = (a·a1, . . . , a·an).

Nota 1.1.7. Los elementos de Rn _{se denominan vectores y los notaremos por}_⃗_{u, ⃗}_{v, . . .}_.

(3)

1.2. Subespacios vectoriales

Definici´on 1.2.1. SeaV un espacio vectorial sobre R. Diremos queL⊂V (L̸=∅) es un subespacio vectorial (o una variedad lineal) deV sobreRsiL, con las leyes de composici´on

interna y externa deV, es un espacio vectorial.

Proposici´on 1.2.2. L⊂V es subespacio vectorial deV si y s´olo si.

(a) ∀⃗u, ⃗v∈L⇒⃗u+⃗v∈L.

(b) ∀⃗u∈L,∀α∈R⇒α·⃗u∈L.

Condiciones que se pueden resumir en una sola:

∀α, β∈R,∀⃗u, ⃗v∈L ⇒ α·⃗u+β·⃗v∈L.

1.3. Dependencia lineal

Definici´on 1.3.1. Diremos que⃗v∈V es combinaci´on lineal de⃗v1, . . . , ⃗vn ∈V si existen

α1, . . . , αn∈R tales que:

⃗

v=α1·⃗v1+· · ·+αn·⃗vn

Ejemplos 1.3.2. .

(1)⃗0es combinaci´on lineal de cualquier conjunto de vectores.

(2)⃗ues combinaci´on lineal de cualquier conjunto que contenga a⃗u.

(3) EnR[x]todo polinomio de grado menor o igual anes combinaci´on lineal de los polinomios{1, x, x2_{, . . . , x}n_}_.

Definici´on 1.3.3. Sea A ⊂ V. Se llama subespacio vectorial engendrado por A, y se designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un n´umero finito de elementos deA. SiA=∅, se define L(∅) ={⃗0}.

Proposici´on 1.3.4. .

(4)

(2) L(A)⊃A.

(3) Si A⊂B ⇒ L(A)⊂L(B).

(4) Si Aes un subespacio vectorial de V, entoncesL(A) =A.

(5) L(L(A)) =L(A).

Definición 1.3.5. Diremos queV es un espacio vectorial de dimensión finita si existe un número finito de elementos de V,⃗u1, . . . , ⃗un, tales que:

V =L(⃗u1, . . . , ⃗un)

Un tal conjunto diremos que es un sistema de generadores de V.

Ejemplos 1.3.6. .

(1) Rn _{es de dimensi´}_{on finita.}

(2)R[x](polinomios en la indeterminadaxcon coeficientes enR) no es de dimensi´on finita.

(3) El conjunto de los polinomios en la indeterminadax, de grado menor o igual que

n, con coeficientes en R, s´ı es un espacio vectorial de dimensi´on finita.

Definici´on 1.3.7. Sean⃗u1, . . . , ⃗un∈V.

(1)⃗u1, . . . , ⃗unson linealmente dependientes si existenα1, . . . , αn∈R,no todos nulos,

tales que:

α1·⃗u1+· · ·+αn·⃗un=⃗0

(2)⃗u1, . . . , un son linealmente independientes si:

α1·⃗u1+· · ·+αn·u⃗n=⃗0 ⇒ α1=· · ·=αn = 0

Ejemplos 1.3.8. .

(1) Si⃗0∈ {⃗u1, . . . , ⃗un}, entonces⃗u1, . . . , ⃗un son linealmente dependientes

(2) Si a un conjunto de vectores linealmente dependientes se le a˜naden cualesquiera

(5)

(3) Cualquier subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es

un conjunto de vectores linealmente independientes.

Proposici´on 1.3.9. Si⃗ves combinaci´on lineal de⃗v1, . . . , ⃗vn, entonces el conjunto{⃗v, ⃗v1, . . . , ⃗vn}

es linealmente dependiente.

Demostraci´on:

Por hip´otesis existenα1, . . . , αn ∈Rtales que:

⃗

v=α1·⃗v1+· · ·+αn·⃗vn

Entonces:

(−1)⃗v+α1·⃗v1+· · ·+αn·⃗vn=⃗0

y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es−1.

Proposici´on 1.3.10. Si los vectores⃗v1, . . . , ⃗vn son linealmente dependientes, alguno de

ellos es combinaci´on lineal de los dem´as.

1.4. Bases y dimensi´

on

Definici´on 1.4.1. Decimos queB={⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un} ⊂V es una base deV si se verifica:

(1) V = L{⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un}. Esto es, {⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un} es un sistema de generadores

deV.

(2) {⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗un} son linealmente independientes.

Ejemplo 1.4.2. {(1, . . . ,0),(0,1, . . . ,0), . . . ,(0, . . . ,1)} es una base deRn.

Teorema 1.4.3. Todo espacio vectorial de dimensi´on finita tiene una base.

(6)

Definición 1.4.5. Sea V un espacio vectorial sobre R de dimensión finita. Se llama dimensión de V, dim(V), al número de elementos de cualquier base de V. Si V ={⃗0}, convenimos en que tiene dimensión cero.

Ejemplo 1.4.6. dim(Rn_{) =}_n_.

Corolario 1.4.7. SeaV un espacio vectorial con dim(V) =n.

(1) Todo conjunto de nvectores linealmente independiente es una base.

(2) Todo conjunto con m´as den vectores es linealmente dependiente.

(3) Todo sistema de generadores de V tiene al menosn elementos.

(4) Todo sistema de generadores con nelementos es una base.

(5) Todo subespacio de V es de dimensi´on finita y tiene dimensi´on menor o igual

quen.

(6) Toda base de un subespacio deV puede ampliarse a una base deV.

Teorema 1.4.8. Si B={⃗u1, . . . , ⃗un} es una base deV, entonces para cada⃗v∈V existe

un ´unico(α1, . . . , αn)∈Rn tal que:

⃗v=α1·⃗u1+· · ·+αn·⃗un

Este elemento deRn se denomina coordenadas de⃗v respecto deB y lo notaremos por:

⃗

(7)

1.5. Ejercicios resueltos

1.- El vector (2,1,−3) es combinaci´on lineal de los vectores (1,−1,1),(1,0,0),(1,1,0), ya que existenα1, α2, α3∈Rtales que:

(2,1,−3) =α1(1,−1,1) +α2(1,0,0) +α3(1,1,0) = (α1+α2+α3,−α1+α3, α1)

de donde se obtiene el sistema:

      

α1+α2+α3 = 2

−α1+α3 = 1

α1 = −3

cuya soluci´on esα1=−3, α2= 7, α3=−2. Por tanto, existenα1, α2, α3∈Rtales

que: (2,1,−3) =−3(1,−1,1) + 7(1,0,0)−2(1,1,0).

2.- En el espacio vectorial R3, los vectores (1,−1,1),(1,0,0),(1,1,0) son linealmente independientes, ya que la ´unica forma de expresar el vector nulo como combinaci´on lineal de los tres es con todos los escalares iguales a cero. Es decir, si:

α1(1,−1,1) +α2(1,0,0) +α3(1,1,0) = (α1+α2+α3,−α1+α3, α1) = (0,0,0)

se obtiene el sistema:

      

α1+α2+α3 = 0

−α1+α3 = 0

α1 = 0

que es compatible determinado y cuya

´

unica soluci´on es la trivialα1=α2=α3= 0, luego los tres vectores son linealmente

independientes.

3.- El conjunto de vectores (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) forman una base deR3_.

Tenemos que comprobar que esos vectores son linealmente independientes y que forman un sistema de generadores de R3_.

En primer lugar, son linealmente independientes ya que si disponemos esos vectores

en forma matricial, resulta :A=

   

1 0 0 1 1 0 1 1 1

  

y se verifica querango(A) = 3, por lo

que los tres vectores que conforman la matriz son linealmente independientes.

Por ´ultimo, comprobamos que constituyen un sistema de generadores de R3_{: Para}

comprobarlo, se escribe el vector (a, b, c)∈R3 _{como combinaci´}_{on lineal de los tres:}

(8)

      

α1 = a

α1+α2 = b

α1+α2+α3 = c

⇐⇒

   

1 0 0 1 1 0 1 1 1

        α1 α2 α3    =     a b c    

Es un sistema lineal con variables α1, α2, α3 y t´erminos independientes a, b, c. La

matriz del sistema tiene rango 3 como se vio anteriormente y coincide con el rango de la matriz ampliada, por lo que el sistema tiene solución única. Esa solución es el conjunto de escalares que nos permite escribir la combinación lineal.

4.- El conjunto A={(x, y)∈R2 _: _x₊_y _{= 1}_} _{no es un subespacio vectorial de} _R2 _ya

que (0,0)∈/ A.

5.- El conjuntoA={(x, y, z)∈R3 _: _x₊_y₊_z_{= 0}_}_{es un subespacio vectorial de}_R3_.

Para comprobarlo, aplicamos la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vec-torial:

∀⃗u, v∈A, ∀α, β∈R : α⃗u+β⃗v∈A.

Si⃗u= (u1, u2, u3), ⃗v= (v1, v2, v3)∈A, entoncesu1+u2+u3= 0, v1+v2+v3= 0,

por lo que:

α⃗u+βbf v=α(u1, u2, u3) +β(v1, v2, v3) = (αu1+βv1, αu2+βv2, αu3+βv3).

Para que α⃗u, β⃗v∈Ase debe cumplir:

αu1+βv1+αu2+βv2+αu3+βv3= 0, en efecto:

αu1+βv1+αu2+βv2+αu3+βv3=α(u1+u2+u3)+β(v1+v2+v3) =α·0+β·0 = 0,

∀α, β∈R, por tanto,Aes un subespacio vectorial deR3.

6.- El conjuntoA={(x, y, z)∈R3 _: _x_·_y_{= 0}_}_{no es un subespacio vectorial de}_R3_.

A pesar de que (0,0,0)∈A, comprobaremos con un contraejemplo que no se verifica la condici´on necesaria y suficiente de subespacio vectorial.

(9)

7.- Sea el subespacio A∈R3_{, generado por los vectores}_⃗_u_{= (1}_,₀_,_{1) y}_⃗_v _{= (1}_,₁_,_{1), es}

decirA=⟨(1,0,1),(1,1,1)⟩. Determinar una base, unas ecuaciones param´etricas y unas ecuaciones impl´ıcitas de A.

a) A=⟨⃗u, v⟩=⟨(1,0,1),(1,1,1)⟩.

Los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes, ya que

rg     1 1 0 1 1 1   

= 2, por lo que forman una base deAydim(A) = 2.

b) Ecuaciones paramétricas: escribimos un vector genérico⃗x= (x, y, z)∈Acomo combinación lineal de los vectores de la base:

(x, y, z) =λ(1,0,1) +µ(1,1,1) = (λ+µ, µ, λ+µ)

de d´onde obtenemos las ecuaciones param´etricas.

      

x = λ+µ

y = µ

z = λ+µ

λ, µ ∈ R.

Aparecen dos par´ametros igual a la dimensi´on deA.

c) Para las ecuaciones impl´ıcitas consideramos que ∀(x, y, z) ∈ A, los vectores (x, y, z),(1,0,1),(1,1,1) son linealmente dependientes y que el rango de la ma-triz que forman debe coincidir con la dimensi´on deA:

rg

   

x 1 1

y 0 1

z 1 1

  

= 2⇐⇒

x 1 1

y 0 1

z 1 1

= 0⇐⇒z−x= 0

Luego el subespacio Atiene una ecuaci´on impl´ıcita

A={(x, y, z)∈R3 : z−x= 0}.

8.- Calcular la dimensi´on, una base, unas ecuaciones impl´ıcitas y unas ecuaciones param´ etri-cas del subespacio de R3_:_A₌_{₍_{x, y, z}₎_∈_R3 _:_x₊_y₊_z_{= 0}_,₋_x₊_y₊_z_{= 0}_}

a) Comenzamos con las ecuaciones impl´ıcitas. El rango de la matriz del sistema formado por las ecuaciones que definen aAes dos:

rg



 1 1 1

−1 1 1



= 2

(10)

b) Para obtener las ecuaciones param´etricas deA resolvemos el sistema:

  

x+y+z = 0

−x+y+x = 0.

Dado que el rango de la matriz del sistema es 2, como se vio anteriormente,

y que un menor principal de la matriz es

−11 11

, le damos a la variablez el

valor de un par´ametro, z=λy resolvemos el sistema:

  

x+y = −λ

−x+y = −λ

que

tiene por soluci´on:x=−λ, y= 0, z=λ, que son las ecuaciones param´etricas del subespacioA.

c) Para obtener una base deAusamos las ecuaciones param´etricas:

∀(x, y, z)∈A: (x, y, z) = (−λ,0, λ) =λ(−1,0,1),

por lo que cualquier vector de Aest´a generado por (−1,0,1) que es una base deA. Por tanto, la dimensi´on deA es 1.

1.6. Ejercicios Propuestos

1.- Hallar t ∈R para que el vector ⃗x = (3,8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los vectores ⃗u= (1,2,3), ⃗v= (1,3,−1).

2.- Determinaraybpara que el vector (1,4, a, b) sea combinaci´on lineal de (1,2,−1,−2) y de (0,1,2,1).

3.- Demostrar que los vectores⃗u1 = (1,1,0), ⃗u2 = (1,0,1), ⃗u3 = (0,1,1) forman una

base de (R3_,₊_,_·_{), y encontrar las coordenadas de los vectores de la base can´}_onica

respecto de dicha base.

4.- Determinar qu´e conjuntos son subespacios vectoriales de (R3_.₊_._·_):

(11)

C={(x, y, z) : x−y= 0, x−z= 0,}, D={(x, y, z) : x−y+z= 0, y+z= 1},

E={(x, y, z) : x= 0, y=z}, F ={(x, y, z) : x·y= 0}

5.- Demostrar que el conjunto E={(a,0, b, a), a, b∈R}es un subespacio vectorial de (R4_,₊_,_·_{). En caso afirmativo, h´}_{allese una base del mismos.}

6.- Calcular una base, unas ecuaciones param´etricas, unas ecuaciones impl´ıcitas y la dimensi´on de los siguientes subespacios vectoriales:

a) H1=⟨(1,0,1),(−1,1,0)⟩

b) H2=⟨(1,1,1),(−1,0,1),(0,1,2)⟩

c) H3={(x, y, z)∈R3 : x=y−z}

d) H4={(x, y, z)∈R3 : x+y+z= 0, x−2z= 0}

7.- Sea P3[x] el Espacio vectorial de los polinomios en la indeterminada x de grado

menor o igual que 3.

Probar que sip(x) es un polinomio de grado 3, entonces

{

p(x), p′(x), p′′(x), p′′′(x)

}

es una base.

T´omesep(x) =x3₋₃_x_{, y h´}_{allense las coordenadas de}_q₍_x_{) =}_x3₊_x₋_{2 respecto de}

dicha base.

8.- Sean los conjuntos:

F[x] =

{

p(x)∈P3[x] : p(0) +p

′

(0) = 0

}

, G[x] =

{

p(x)∈P3[x] : p

′′

(x) = 0

}

.

Demostrar queF[x] yG[x] son subespacios vectoriales deP3[x], y encontrar sendas

(12)