Más Ejercicios de integrales.

Observación: Esta selección de integrales se puede ampliar con las propuestas en mi libro de Matemáticas II:

Integrales inmediatas

1. Resolver las siguientes integrales:

a)

∫

+ dx x

x x

2

3 5

b)

2

9

x dx x +

∫

c) dx

x x x

∫

2 − +

1 3

4 2

3

d) ₂

4

x dx x −

∫

e)

∫

(

x5−2x+3

)

dx f)

∫

(

2ex+5

)

dx g)

2 4

1 x dx x

+

∫

h) 2 2 4

2

x

e x dx

x  _{− +}   ₋ 

 

∫

i)

∫

(

2 sinx−tanx dx

)

. Solución

a)

:

∫

+ dx

x x x

2

3 5

=

∫



  



 + − dx x

x

2 / 3

3 5

= x x +c

−

+ −1/2

2 / 1

3 ln

5 = c

x x−2 3+

ln

5 .

b) ₂ 1 ₂2 ln1

(

2 9

)

2 2

9 9

x x

dx dx x c

x + = x + = + +

∫

∫

c) dx

x x x

∫

2 − +

1 3

4 2

3

= x dx

x x

∫



  



 _{− +}

2

1 3

1 3

= x dx

x x

∫



  



 − _{− +} 2

1

3 1

3 =

=

2

1 2 2

2 ln 2

3

   

 

+ −

− x x

x = 8 ln2

21 2 1 1 ln 2 3 2

2 ln 8

3 _{= −}

   



_{− − +} −

   



_{− − +}

d) ₂ 1 ₂2 1ln

(

2 4

)

2 2

4 4

x x

dx dx x c

x − = x − = − +

∫

∫

e)

(

)

6

5 2

2 3 3

6

x

x − x+ dx= −x + x+c

∫

f)

∫

(

2ex+5

)

dx=2ex+5x+c

g)

(

)

2 3 1

4 2

4 4 2 3

1 1 1 1 1

3 1 3

x x x

dx dx x x dx c

x

x x x x

− −

− −

+ ₌  ₊  _{= + = + = − − +}

  _{− −}

 

∫

∫

∫

b)

(

)

3

2 2 4 1 2

4 ln 2

2 2 3

x x x

e x dx e x c

x

 _{− +}  _{= − + − +}

 ₋ 

 

∫

i)

∫

(

2 sinx−tanx dx

)

= 2 sin tan 2 cos sin cos

x

xdx xdx x dx

x − − = − +

∫

∫

∫

→ (puede observarse

2. Calcula la siguiente integral indefinida:

3 2

1

x dx x +

∫

.

Solución

Descomponiendo el integrando (dividiendo): :

(

2

)

3 3

2 2 2 2

1

1 1 1 1

x x x

x x x x x

x

x x x x

+ − + −

= = = −

+ + + +

Por tanto:

(

)

3 2 2

2

2 2 2

1 2 1

ln 1

2 2 2 2

1 1 1

x x x x x

dx x dx dx x c

x x x

 

= _ − _ = − = − + +

+  +  +

∫

∫

∫

.

3. Halla:

∫

x2

(

x3+1

)

−7dx Solución

Es prácticamente inmediata. Bastaría con ajustar constantes y recordar que :

(

)

(

( )

)

1

´( )· ( )

1

n

n _{f x}

f x f x dx c

n

+

= +

+

∫

.

En efecto:

(

)

7

( )(

)

7

(

3

)

7 1

2 3 1 2 3 1 1

1 3 1 ·

3 3 7 1

x

x x dx x x dx c

− +

− − +

+ = + = +

− +

∫

∫

=

=

(

)

6

(

)

6

3 3

1 1 1

·

3 ( 6) 1 18· 1

c c

x x

+ = − +

− + +

También puede hacerse el cambio 3 1 3 2 2 1 3

x + = ⇒t x dx=dt⇒x dx= dt.

Luego:

(

)

7

2 3

1

x x + − dx

∫

=

(

)

(

)

6 7

3 2 7

6 ₃ 6

1 1 1 1

1 ·

3 3 6 18 _{18 1}

t

x x dx t dt c c c

t _x

−

− ₋

+ = = + = − + = − +

− ₊

∫

∫

Descomposición en fracciones simples

4. Calcula la siguiente integral:

∫

− +x dx x

x

2 3

2 .

Solución

Se hace por descomposición en fracciones simples. :

Como las raíces del denominador son x = 1 y x = −2: x2 +x−2=(x−1)(x+2), puede escribirse la igualdad:

2 1

2 3

2+ − = − + +

x B x

A x

x x

=

) 2 )( 1 (

) 1 ( ) 2 (

+ −

− + +

x x

x B x

A

Con esto:

) 1 ( ) 2 (

3x= A x+ +B x− ⇒ 3x=2A−B+

(

A+B

)

x ⇒

  

= +

= −

3 0 2

B A

B A

⇒A = 1; B = 2.

(

x

)

(

x

)

c dx

x dx x dx x x

x _{= − + + +}

+ + − = −

+

∫

∫

∫

ln 1 2ln 2

2 2 1

1 2

3

2

5. (PAU, junio 2013) Calcula la integral dx x x

b ax

∫

− +

+

6 5

2 , en función de a y de b.

Solución

Por descomposición en fracciones simples: :

3 2

6 5

2− + = − + −

+

x B x

A x

x b ax

=

) 3 )( 2 (

) 2 ( ) 3 (

− −

− + −

x x

x B x

A

Luego:

) 2 ( ) 3

( − + −

=

+b A x B x

ax ⇒ ax+b=

(

A+B

)

x−3A−2B.

Por tanto:

  

− − =

+ =

B A b

B A a

2

3 ⇒ _



− − =

+ =

B A b

B A a

2 3

3 3 3

⇒ B=3a+b; A=−2a−b

Con esto:

∫

∫

∫

− + + −

− − = + −

+

dx x

b a dx x

b a dx

x x

b ax

3 3 2

2 6

5

2 =

(

−2a−b

) (

ln x−2

) (

+ 3a+b

) (

ln x−3

)

+k

Integración por partes

6. Calcula las siguientes integrales.

a)

∫

x

( )

lnx dx b)

∫

x

(

cos 2x dx

)

c)

∫

excosxdx d)

∫

(

x+1

)

e dx2x

Solución

a)

:

( )

ln

x x dx

∫

→ Tomando: u=lnx ⇒ dx x

du= 1 ; dv=xdx ⇒

2

2

x v=

Se tiene:

( )

ln

x x dx

∫

= dx x x xdx x x x c

x x x x

+ − =

− =

−

∫

∫

4 ln 2 2

ln 2 1

· 2 ln

2

2 2

2 2

2

.

b)

∫

x

(

cos 2x dx

)

→ Haciendo: x = u⇒dx = du; dv=

(

cos 2x dx

)

⇒ v sin2x

2 1

= .

Se tiene:

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2

2 2 2 4

x x

x x dx= x− x dx= x + x +c

∫

∫

c)

∫

excosxdx.

1) Haciendo: u=ex y dv=cosxdx ⇒ du=exdx; v=sinx

Luego:

∫

excosxdx = exsinx−

∫

exsinxdx.

La segunda integral,

∫

exsinxdx, también debe hacerse por el método de partes. 2) Tomando: u=ex y dv=sinxdx ⇒ du =exdx; v=−cosx

Luego:

∫

ex xdx

cos = ex x ex xdx

sin

sin −

∫

= _

  



 _{− − −}

− e x

∫

e x dx x

ex x x

) cos ( )

cos (

sin ⇒

⇒

∫

excosxdx = exsinx+excosx−

∫

excosxdx

Pasando la integral del segundo miembro al primero:

dx x excos

2

∫

= exsinx+excosx

Por tanto,

∫

excosxdx = ex(sinx+cosx)+c

2 1

d)

∫

(

x+1

)

e dx2x =

∫

xe dx2x +

∫

e dx2x

La primera integral,

∫

xe dx2x , debe hacerse por partes; la segunda es inmediata. Tomando:

u=x y dv=e dx2x ⇒ du=dx y 1 2 2

x

v= e

Luego,

2x

xe dx

∫

= 1 2 1 2 2 1 2

2 2 2 4

x x x x x

x e −

∫

e dx= e − e

Como 2 1 2

2

x x

e dx= e +c

∫

, se tendrá que:

(

)

2 2 2

1 x x x

x+ e dx= xe dx+ e dx

∫

∫

∫

= 2 1 2 1 2 2 1 2

2 4 2 2 4

x x x x x

x x

e − e + e + =c e + e +c

7. Calcula:

∫

2x

[

ln(x)

]

2 dx

Solución

Se toman las siguientes partes: :

[

]

2

) ln( 2x x

u= ⇒

[

]

dx

x x x x

du 

  



 ₊

= 2ln( )2 2 ·2ln( )·1 ; dx=dv ⇒ v=x

Luego,

[

x

]

dx xln( )

2 2

∫

=

[

]

[

]

dx

x x x x

x x x

x

∫



  



 ₊

− 2ln( ) 2 ·2ln( )·1 ·

) ln(

2 2 2 =

= 2x

[

ln(x)

]

2·x−

∫

2x

[

ln(x)

]

2dx−

∫

4xln(x)dx ⇒ (trasponiendo la 1ª integral)

⇒ 2

∫

2x

[

ln(x)

]

2dx=2x

[

ln(x)

]

2·x−

∫

4xln(x)dx (1)

Ahora se trata de resolver

∫

4xln(x)dx, que también se hace por partes. Tomando ahora:

x

u =ln ⇒ dx

x

du = 1 ; dv=4xdx ⇒ v=2x2

dx x x

∫

4 ln( ) = 2 2ln 2 2·1dx 2x2lnx 2xdx 2x2lnx x2 x

x x

x −

∫

= −

∫

= − .

Sustituyendo en (1):

[

]

2

[

]

2 2 2

) ln( 2 · ) ln( 2 )

ln( 2

2

∫

x x dx= x x x− x x +x ⇒

⇒ x

[

x

]

dx x

[

x

]

x x x c x

[

x

]

x +c

  



 _{− +}

= + + −

=

∫

2

1 ) ln( ) ln( 2

) ln( )

ln( )

ln(

2 2 2

2 2

2 2

2

.

8. Calcula ( ) ln( ) 2

x

F x dx

x

=

∫

.

Solución

La primitiva, :

ln( ) ( )

2

x

F x dx

x

=

∫

, puede hacerse por partes.

Tomando:

ln

u= x y 1

2

dv dx

x

= ⇒ du 1dx x

= y 1 1ln

2 2

v dx x

x

=

∫

= .

Por tanto:

ln 1 ln ln ln 1

( ) ln · ln ln · ln

2 2 2 2 2 2

x x x x

F x dx x x dx dx dx x x

x x x x

=

∫

= −

∫

⇒

∫

+

∫

= ⇒

⇒ ln 1 ln 1

( )

2

2 ln · ln ln

2 2 2 4

x x

dx x x dx x c

x = ⇒ x = +

∫

∫

.

Esto es: ( ) 1

( )

ln 2 4

F x = x +c.

Problemas

9. Halla el valor de las siguientes integrales definidas:

a)

(

)

4

2 3

5

1

x

dx x

− +

∫

b)

(

)

3 2 1

2

x − dx

∫

.

Solución

a)

:

(

)

(

)

(

)

(

)

4

4 4 4

2 2 2

3 3 3 ₃

5 1 6 1 6 6

ln 1

1 1

1 1 1

x x

dx dx dx x

x x

x x x

 

− ₌ + − _{=  −  =} _{+ +} 

 

 ₊  _{ + }

+ + _ + _

∫

∫

∫

=

= ln 5 6 ln 4 6 ln 5 ln 4 3 ln5 3

5 4 10 4 10

 

+ −_ + _= − − = −

  .

b)

(

)

(

)

3 3

3 2 1

1

1 14

2 2 9 6 2

3 3 3

x

x − dx=_ − x_ = − −_ − _=    

∫

.

Observación: El valor de estas integrales no coincide con el área comprendida entre el eje OX

y la función dada en el intervalo indicado.

10. Halla el valor de la integral definida: dx x x

cos 3 5

sin 6

0 −

∫

π

La integral 6 sin

5 3cos

x dx x −

∫

es prácticamente inmediata. Hay que observar que en el numerador “está” la derivada del denominador y recordar que ´( ) ln ( )

( )

f x

dx f x

f x =

∫

.

Por tanto, ajustando constantes, se tiene:

(

)

6 sin 3sin

2 2 ln 5 3cos

5 3cos 5 3cos

x x

dx dx x c

x = x = − +

− −

∫

∫

También puede recurrirse a un cambio de variable. Si se hace el cambio cosx=t ⇒ −sinxdx=dt.

Además: si x= π, cosπ=t ⇒t = –1; si x = 0, cos0=t ⇒t = 1. Luego:

dx x x

cos 3 5

sin 6

0 −

∫

π

= 2ln

(

5 3

)

2

(

ln8 ln2

)

4ln2 3

5 3 2 3

5 6

₁1

1

1 1

1

= − =

− =

− − =

−

− − −

−

∫

∫

dt t

t dt

t .

11. Dada f x( )=ax3+ − −( 3 a x) 2+2x+1, halla el valor de a para que

1

0

( ) 3

f x dx=

∫

Solución

1

0

( ) 3

f x dx=

∫

:

⇒ 1

(

3 2

)

0

( 3 ) 2 1 3

ax + − −a x + x+ dx=

∫

⇒

⇒

1

4 3 2

0

3

3

4 3

a a

x − − x x x

 _{+ + +}  ₌

 

  ⇒a = –24.

Luego, la función pedida es f x( )= −24x3+21x2+2x+1.

12. Halla la función f(x) cuya derivada es f´(x)=2xe5x y que, además, cumpla que

2 ) 0 ( =

f .

Solución

La función :

) (x

f es una primitiva de f´(x)=2xe5x: f(x)=

∫

2xe5xdx. Esta integral se hace por partes, tomando:

u = 2x ⇒ du =2dx; dv=e5xdx ⇒ v e5x

5 1

=

Luego:

dx xe x

f( )=

∫

2 5x = x e5x−

∫

e5xdx

5 1 · 2 5

1 ·

2 = 

  



_xe5x₋

_∫

_e5x_dx

5 2

= xe x e x+c   



 5 ₋ 5

5 1 5

2

Como f(0)=2, entonces: 2 5

1 0 5 2 ) 0

( 0+ =

  

  −

= e c

f ⇒

25 52 25

2 2+ =

=

c .

Por tanto,

25 52 5

1 5

2 )

( 5 5 +

  

  ₋ = x x

e xe x

f .

13. Halla la función f x( ) sabiendo que f(0)=1 y que su derivada es f x´( )=

(

x−1

) (

3 x−3

)

. Solución

La función pedida debe ser una primitiva de :

(

) (

3

)

1 3

(

) (

3

)

( ) 1 3

f x =

∫

x− x− dx

Operando:

(

) (

3

)

1 3

x− x− =

(

x3−3x2+3x−1 ·

)

(

x− =3

)

x4−6x3+12x2−10x+3 Luego:

(

4 3 2

)

1 5 6 4 3 2

( ) 6 12 10 3 4 5 3

5 4

f x =

∫

x − x + x − x+ dx= x − x + x − x + x+c

Como f(0)=1 ⇒c = 1; y, por tanto: ( ) 1 5 3 4 4 3 5 2 3 1

5 2

f x = x − x + x − x + x+ .

14. Se sabe que la derivada de una función f x( ) es f x´( )=

(

x+1 ·

)

(

x2−4

)

. Determina la función f sabiendo que (0) 1

7

f = . Solución

La función :

( )

f x será una primitiva de f x´( )=

(

x+1 ·

)

(

x2 −4

)

:

(

)

(

2

)

(

3 2

)

4 3 2

( ) 1 · 4 4 4 2 4

4 3

x x

f x =

∫

x+ x − dx=

∫

x +x − x− dx= + − x − x+c

Como se sabe que (0) 1 7

f = ⇒ 1

7

c= . Luego

4 3

2 1

( ) 2 4

4 3 7

x x

f x = + − x − x+

15. Haciendo el cambio de variable ex =t, halla las siguientes integrales: a)

(

)

2

1

x

x e

dx e +

∫

b) ₂

3 2

x

x x

e

dx

e + e +

∫

c) 2

3 3+ ex dx

∫

Solución

a) Si :

x

e =t ⇒ e dxx =dt. Por tanto:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1

2 2

1 1 1

1 1

1 1

1 1

x

x x

e

dx dt t dt t c c c

t e

t e

− − − −

= = + = − + + = + = + + + +

+

∫

∫

∫

.

b) _{2 2} 1

3 2 3 2

x

x x

e

dx dt

e + e + = t + +t

∫

∫

.

Por descomposición en fracciones simples:

(

)

(

)

(

)(

)

2

2 1

1

1 2 1 2

3 2

A t B t

A B

t t t t

t t

+ + +

= + =

+ + + +

+ + ⇒

(

)

(

)

1

1 2 1

1

A

A t B t

B

= 

= + + _{+ ⇒ }

= −



Por tanto,

(

)

(

)

2

1 1 1 1

ln 1 ln 2 ln

1 2 2

3 2

t

dx dt t t c c

t t t

t t

+  

= _ − _ = + − + + = +

+ + +

+ +  

∫

∫

Luego: ₂ ln 1

3 2 2

x x

x x x

e e

dx c

e e e

+

= +

+ + +

c) Si se hace ex t e dxx dt dx 1_x dt 1dt t e

= ⇒ = ⇒ = = .

Luego:

(

)

2 2 1

3 1

3 3+ ex dx= t +t dt

∫

∫

.

La segunda integral se hace por descomposición en fracciones simples:.

(

)

(

(

)

)

1 1

1 1 1

A t Bt

A B

t t t t t t

+ + = + =

+ + + ⇒

0

1 1

A B

B A

+ =

 _{⇒ = −}

 ₌

 .

Por tanto:

(

)

(

(

)

)

2 2 1 2 1 1 2

ln ln 1

3 1 3 1 3

3 3exdx t t dt t t dt t t c

 

= = _ − _ = − + + =

+ +

+  

∫

∫

∫

Luego: 2 2

(

ln 1

(

)

)

3

3 3

x

x dx x e c

e = − + +

+

∫

16. Halla el área del recinto limitado por las curvas de las funciones: f(x)=x3−3x−2 y 2

)

(x =x2−x−

g .

Solución

→ Puntos de corte de las gráficas :

Se resuelve la ecuación f(x)=g(x): x3−3x−2=x2−x−2 ⇒ x3−x2 −2x=0 ⇒

⇒ x

(

x2−x−2

)

=0 ⇒x = 0; x = –1; x = 2.

Los puntos de intersección serán: (–1, 0); (0, –2); (2, 0).

→ La representación se puede hacer dando más valores.

También podría verse que f(x)=x3−3x−2 tiene un máximo en

x = –1 y un mínimo en x = 1, pues: f´(x)=3x3−3=3

(

x2−1

)

se anula en esos puntos.

→ El recinto es el sombreado en la figura. Su área viene dada por:

(

)

(

x x x x

)

dx

(

x x

(

x x

)

)

dx

A=

∫

− − − − − +

∫

− − − − −

−

2

0

3 2

0

1

2 3

2 3 2

2 2

3 ⇒

⇒ A=

∫

(

x −x − x

)

dx+

∫

(

−x +x + x

)

dx

−

2

0

2 3 0

1 2 3

2

2 =

=

2

0 2 3 4 0

1 2 3 4

3 4 3

4 _

 

 

+ + − +    

 

− −

−

x x x x

x x

=

12 37 4 3 8 4 1

3 1 4

1 ₌

   



_{− + +} +

   



 _{+ −}

− u2.

17. (PAU, junio 2013). La parábola 2

2 1

x

y= divide al rectángulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) y (0, 2) en dos recintos.

Calcula el área de cada uno de los recintos. Solución

La situación es la que se muestra en la figura adjunta. :

dx x

∫



  

  −

2

0

2

2 1

2 =

3 8 6 2

2

0 3

=    

 

−x

x u2

Como el área del rectángulo vale 8 u .

2

3 16 3 8 8− =

, la del recinto de la derecha será u2.

18. Halla el área sombreada en la siguiente figura. Las curvas son: y=8x y

3

( ) 12

f x = − +x x.

Solución

La curva y la recta se cortan en las soluciones de :

3

12 8

y x x

y x

 = − + 

 =

 ⇒

⇒ 3 3

(

2

)

8x= − +x 12x⇒x −4x= ⇒0 x x −4 =0 ⇒x = –2; x = 0; x = 2.

Como el área solicitada aparece sombreada en la figura dada, atendiendo a la simetría, se tiene que:

(

)

(

)

2 2

3 3

0 0

2 12 8 2 4

S =

∫

− +x x− x dx=

∫

− +x x dx =

(

)

2 4

2

0

2 2 2 4 8 8

4

x x

 

− + = − + =

 

 

  u

2