3 AÑO
Polinomios
Variables y constantes
El valor de la velocidad de la luz siempre es el mismo: aproximadamente 300 000 km por segundo, o sea, que es una constante. En cambio, el valor de la velocidad de un automóvil cambia con el tiempo, aumenta o disminuye según la aceleración que lleve, es decir es una variable.
En consecuencia, se define como constantes a las cantidades cuyos valores no se modifican. Por otra parte, se denominan variables a aquellas cantidades cuyo valor puede cambiar en el tiempo y en el espacio. Para representar las constantes se utilizan las primeras letras del abecedario: a, b, c, d; mientras que para las variables se emplean la últimas: x, y, z.
Normalmente, los distintos valores que toma una variable dependen de los de otra variable, denominada variable independiente. Por ejemplo, el tiempo que demora un automóvil en recorrer una distancia es función de su velocidad. La velocidad es la variable independiente, mientras que el tiempo es la variable dependiente o función.
Este tipo de funciones se llama funciones empíricas, ya que sus valores se calculan por la simple observación. La relación de dependencia entre las variables puede estar determinada por operaciones matemáticas; en ese
caso la función se llama analítica.
La manera de simbolizar una función es y = f(x) (se lee "y igual a f de x") es decir "y" es función de otra variable "x":
y = 5x - 4 f(x) = 5x - 4
Los valores de la variable dependiente "y", dependen de los que toma "x", si:
x = 2
y = 5 . 2 - 4 = 10 - 4 = 6
La importancia de las
notaciones
La utilización y "la asignación" de símbolos para denotar conceptos o procesos matemáticos ha resultado de mucha importancia. Antes del siglo XVI el único hombre que introdujo conscientemente el simbolismo para el álgebra fue Diofanto (alrededor del 250 d.C.). Otros cambios de notación fueron esencialmente abreviaciones de palabras. Alrededor del siglo XV, por ejemplo, se usaba "m" para menos y "p" para más. + y - se supone fueron introducidos por los alemanes en ese mismo siglo. El = fue introducido por el inglés Robert Recorde (1510 - 1550). Viète usó ~ para la igualdad, y Descartes
u s ó para ésta misma. Descartes usó para la raíz cuadrada.
Para que se tenga una idea de la importancia de la notación, mencionemos que el matemático italiano Jerónimo Cardano en su libro Ars Magna (1545).
escribía:
"x2 = 4x + 32" como "quadratu aeqtur 4 rebus p: 32"
bases o variables
0 1 2 3 n- n
Las operaciones con términos algebraicos, involucran de manera categórica las nociones que se deben tener al sumar, restar, multiplicar y dividir números racionales. Esto es debido a que para sumar o restar expresiones algebraicas, trabajaremos básicamente con coeficientes.
Comenzamos con las siguientes definiciones:
1. Término algebraico
Recordemos:
Es una expresión algebraica que carece de las operaciones de adición y sustracción.
Ejemplos:
Ejemplos:
Reducir:
1. A = 7x2 - 5x2 + 8x2 = (7 - 5 + 8)x2 = 10x2
2. B 1 abc 4 1 abc 4 1 1 abc 4 5 abc 4
2 3 2 3 6
En el caso que aparezcan signos de colección, procedemos así:
• Cuando el signo (+) precede a un signo de colección, podemos eliminar éste y la expresión no se altera.
1. 3 x 7 y5
2 2.
7
a10bc xy 4
Ejemplo:
3x 7
3x 7¡CUIDADO!
(2x + y) No es un término algebraico porque aparece la
• Cuando el signo (-) precede a un signo de colección,
para eliminar éste debemos cambiar de signo a todos los términos de la expresión que aparece en el interior.
adición. En todo caso podemos afirmar que los signos + ó - separan a una expresión algebraica en dos o más términos.
Ejemplo:
3x 5. Polinomios en IR
7
3x 7Es decir: (2x + y) es una expresión algebraica que
tiene dos términos. Son expresiones algebraicas de la forma:
2. Elementos de un término algebraico
Los recordamos en el siguiente ejemplo:
a + a x + a x2
donde:
+ a x3 + ... + a xn-1 + a xn
1. Los elementos "a" son los COEFICIENTES que pertenecen al conjunto de los números REALES (IR);
Exponentes a
n 0
Coeficiente
-2 3 x 7 y
10
2. Se dice que es un POLINOMIO DE VARIABLE x (polinomio en x) de grado n; (nIN) y con "n+1"
términos.
3. "a0" es el TÉRMINO INDEPENDIENTE (no depende
3. Términos semejantes
Dos o más términos son SEMEJANTES si tienen
la misma variable elevado a los mismos exponentes.
Ejemplos:
de "x")
4. Si el polinomio tiene:
1 término, recibe el nombre de MONOMIO 2 términos, recibe el nombre de BINOMIO 3 términos, recibe el nombre de TRINOMIO
1. 7x2y; 3 x 2
y ; 1 x 2
y son TÉRMINOS SEMEJANTES.
5
Ejemplo: 7x 2 2 x 1
2. Si a, b y c son constantes, entonces ax2; 3bcx2;
6
2
Es un polinomio (Trinomio) en x, de grado 2 cuyos
abx2, son términos semejantes. ¿Por qué? 5
Dos o más términos semejantes se pueden reducir a uno solo, operando los coeficientes y ESCRIBIENDO LA MISMA PARTE LITERAL.
1 coeficientes son 7, 2 y
2
2
6. Notación polinómica
L e ll am am os a sí a u na f or ma a br ev ia da d e representación de Polinomios. Si "x" es la única variable de un polinomio, este puede ser representado así: P(x)
Problemas resueltos1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z
Para:
Lo cual se lee del siguiente modo: P de "x" o P en "x"
Si un polinomio tiene como variables a "x" e "y" entonces lo representamos así: P(x, y)
S o l uc i ó n :
x = 3 ; y = 2 ; z = 5
V.N.(E)= 32 + 23 + 3(5) = 32
Ejemplo:
P(x) 7 x 5
2 11 x
3 7
2. Hallar "P(3;2)" Si:
P(x;y) = x + 5y + 30
7. Valor numérico (V.N.)
Se llama así al número que resulta de efectuar las
S o l uc i ó n :
P(3;2) es el valor numérico de P(x,y)
2 operaciones indicadas en el polinomio al
REEMPLAZAR
valores dados a sus variables.
P(3;2) = 3 + 5(2) + 30 = 49
Ejemplos:
1. Hallar el V.N. de:
Bloque I
Problemas para la clase
R = (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2
para: x = 1; y = 2; z = 3
S o l uc i ó n :
Reemplacemos los valores dados para "x", "y", "z" en la expresión R:
R = (1 + 1)2 + (2 + 1)2 + (3 + 1)2
1. Hallar la expresión equivalente más simple
de: E = 2(x2 + y2) - 3(x2 - y2) + (x2 -
5y2)
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2. Hallar la mínima expresión equivalente a: 1
xy 1 yz 1 xy 1 yz
2 3 3 3
Efectuando operaciones:
R = 22 + 32 + 42
R = 4 + 9 + 16 R = 29
a) 1 5xy
5
b) 1 6 xy
6
c) 1 3xy
2. Si: P(x) = 7x2 + x - 6; Hallar P(-3)
d) 6 xy e) 5 xy
S o l uc i ó n :
Se tiene P(x)
Se pide P(-3); es decir, se pide REEMPLAZAR "x" por -3 en P(x):
3. Calcular el V.N. de:
E 1 a 3bc 1 d
2 5
1 P(-3) = 7(-3)2 + (-3) - 6
Efectuando operaciones:
P(-3) = 7(9) + (-3) - 6
Para: a=8; b=-2; c ; d = 10
3
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
e) 0
4. Calcular el V.N. de: E = a2 + 2ab + b2
para: a 1 ; b 1
2 2
a) 0 b) 1 c) 2
a) 5 b) 3 c) 1
d) 2 e) 4
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
a) 18 b) 17 c) 16
d) 15 e) 14
a) -11 b) 17 c) 12
d) -17 e) 15
a) 2 b) 1 c) 0
d) -4 e) 4
a) 2 b) -2 c) 10
d) 16 e) 14
(x,y 5. Si los términos 6xyb-3; 2xy10 son semejantes, calcular
el valor de "b". 12.Halle la suma de coeficientes de los términos semejantes:
2 2a-10 b-1
a) 10 b) 11 c) 12
d) 7 e) 13 tt1(x,y) = -4ax= 3b xa-7yy
2(x,y)
6. Sean "t1" y "t2" dos términos semejantes. ¿Qué valor a) -1 b) 0 c) 8
debe tener "m"? d) 4 e) 24
t1 5 a7m
t 7 a10
13.Si los términos:
3 2 2 t1(x,y)= (a+ 1)xb+2y4
4 a
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
t2(x,y) = (2 - a)x y
son semejantes, hallar: t1 + t2.
7. Si: 5 2 x 2a3
; 7 3 x a1 son términos semejantes; ¿cuál
a) x2y4 b) 3x3y4 c) 3x2y2 d) x4y4 e) 3x4y4
es el valor de "a"?
a) 0 b) 1 c) 2 14.Hallar a/b si los siguientes términos son semejantes:
d) 3 e) 4
8. Si: P(x) = 2x2 + 5x + 1 Calcular: P(-3)
A(x,y)= (a - 2)xa+byb; B = (b - 3)x3a-5byb
15.Si: P(x+2) = 7x, calcular: P(5)
a) 17 b) 19 c) 23
9. Hallar: P(2) + P(0) sabiendo que: d) 21 e) 25
P(x) = 7x2 + 5x - 10
16.Si F(2x - 5) = 3x2; Hallar el valor de F(13)
a) 81 b) 243 c) -81
d) -243 e) 9
10.Calcular: M P(2) P(1)
P(0) P(1) 17. Si F(x + 7) = 3x
3 + 2x2 - 1: Calcular el valor de F(5)
sabiendo que: P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Bloque II
11.Sean los términos semejantes:
18.Si: F(x + 2) = x + F(x) y F(3) = 1, hallar: F(5) + F(1)
2a-1 b-3 t1(x,y) = 3ax y
a+3 2b-9 19.En la siguiente adición:
t2(x,y) = 4bx y
c
x a c x 6a
bxb2
Calcular "a + b" 3 2
Calcular: a + b + c
a) 10 b) 11 c) 12
a) -9 b) -12 c) -6
d) -3 e) 0
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 4
x9 + x3 +10 a) 21 b) 11 c) 19
d) 25 e) 23
(x
(x
g =
(x,y
P =
20.Señale verdadero (V) o falso (F): 27. Sabiendo que: P = 1 - x + x2- x3... + x48
- x49+ x50
P(x) = 2x12 - 5x19 - 7x + 18 Calcular: E = P(0)+ P(1)+ P(-1)
I. Su término independiente es 18 ... ( ) II. Uno de los coeficientes es 32 ... ( ) III. La suma de los coeficientes es 32..( )
a) 0 b) 50 c) 51
d) 52 e) 53
IV. El coeficiente del término lineal es 7.. ( )
Bloque III
21.Si:
28.Dado el polinomio: P = x3
Hallar "P(2) + P(-1)"
- 5x2+ 4x + 1
f(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ... +
97x97
Hallar "f(-1)"
a) 97 b) 48 c) 49
d) -49 e) -97
22.Si:
29.Si: P( x - 3 ) = x+5
Calcular "P(0) + P(1) + P(2)"
a) 9 b) 10 c) 17
d) 18 e) 27
2
(x) - 11x + 30 Autoevaluación
Obtener " g(1) + g(5) + g(6)"
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 0
23.Sabiendo que: P(x) = 3x - 1 Q(x) = x - 2
1. Si: E 5 x x y y zz
Hallar el valor numérico de "E" para: x = 1; y = 2; z = 3.
a) 7 b) 9 c) 2
d) 5 e) 1
2. Sean los términos semejantes: t = 5ax3m - 1y2n + 5 Calcular " Q(P(2) )
" Hallar "m . n" t2(x,y)= 6bxm - 3 y n - 5
24.Sabiendo que:
100 98
a) 5 b) 10 c) -10
d) -6 e) 6
3. Si: P(x) = 4x - 5
P(x) = x - 4x + 5x - 2 Q
(x)= 2x + 2 Calcular: E = P(0) + P(1) + P(2)
a) 5 b) 6 c) 7
Hallar "P[Q(P (1))]"
d) 8 e) 9
25.El término independiente y la suma de coeficientes de:
a) 1 b) 2 c) -3
d) -5 e) -2
2
4. Dado: P(x) = 2x + mx - 1 4
(x) + ax2+ 5x + b Si: P(-1)= -6 ; entonces "m2" es:
son -2 y 7
respectivamente. Hallar "a2 + b2"
a) 17 b) 25 c) 5
d) 34 e) 13
26.Si: P(3x - 2) =
a) 36 b)
49 c) 1
d) 7 e)
25
5. Si: P(x - 1) = 2x + 3
Calcular " P(0) + P(1) + P(2) "
a) 8 b) 5 c) 3 Claves
La solidaridad
Cuando dos o más personas se unen y colaboran mutuamente para conseguir un fin común, hablamos de solidaridad. La solidaridad es un valor de gran trascendencia para el género humano; pues gracias a ella no solo ha alcanzado los más altos grados de civilización y desarrollo tecnológico a lo largo de su historia, sino que ha logrado sobrevivir y salir adelante luego de los más terribles desastres (guerras, pestes, incendios, terremotos, inundaciones, etc.). Es tan grande el poder de la solidaridad que, cuando la ponemos en práctica, nos hacemos inmensamente fuertes y podemos asumir sin temor los más grandes desafíos, al tiempo que resistimos con firmeza los embates de la adversidad.
La solidaridad, cuando persigue una causa noble y justa (porque los hombres también se pueden unir para hacer daño), cambia el mundo, lo hace mejor, más habitable y más digno.
Para ser solidarios...
• Reflexionemos sobre la situación de todos aquellos menos favorecidos que nosotros y no cerremos los ojos frente a sus problemas y necesidades.
• Si hay una causa en la que creemos y sabemos que podemos colaborar, no vacilemos en hacerlo.
La falta de solidaridad
La falta de solidaridad denota indiferencia, egoísmo y estrechez de objetivos en cuanto seres humanos. El que se niega a colaborar de manera entusiasta y desinteresada con quienes lo rodean en el logro de un objetivo común renuncia a la posibilidad de unirse a algo más grande y más fuerte que él mismo, que puede darle seguridad y apoyo, pues cuenta con el respaldo de sus compañeros, lo mismo que ellos con el suyo. El individualismo exagerado conduce a la insensibilidad, a la ausencia de grandeza humana, y resta méritos y alegría a cualquier logro por grande que sea, pues no hay con quien compartirlo. Otro tanto les sucede a quienes, contando con los medios para ayudar a sus semejantes (a través de oportunidades de trabajo, por ejemplo), no se conmueven en absoluto por sus penas ni hacen nada para aliviarlas. Estas personas nunca serán admiradas ni queridas con sinceridad, y sus posesiones y dinero no tendrán valor humano alguno.
Obstáculos para la solidaridad...
• El afán de destacarse pisoteando a los demás, con el convencimiento de que el mundo está hecho de ganadores y perdedores.
